北京市朝阳区2014届高三上学期期中考试文科数学Word版含解析试题

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试
文科数学
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =．若A B B =I ，则实数m 的值是( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．0或1或2
2.命题p ：对任意x ∈R ，210x
+>的否定是( )
A ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x
+≤ B ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x
+> C ．p ⌝：不存在0x ∈R , 0210x
+≤ D ．p ⌝：对任意x ∈R ，210x
+≤
3.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( ) A ． 91
B ． 55
C ．54
D ．30
4.已知α为第二象限角，且3
sin 5
α=
，则tan()απ+的值是( ) A ．43 B. 34 C. 43- D. 34
-
5.函数()22x
x
f x -=-是( )
A ．奇函数且在R 上是减函数
B ．奇函数且在R 上是增函数
C ．偶函数且在()0,+∞上是减函数
D ．偶函数且在()0,+∞上是增函数
【答案】B
6.已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则下列说法中错误．．的是( ) A ．c ∥b B ．⊥a b
C ．对同一平面内的任意向量d ，都存在一对实数12,k k ，使得12k k =d b +c
D ．向量c 与向量-a b 的夹角为45︒
7.若01m <<，则 ( ) A ．1
13
2
m m > B ．1122
(1)(1)m m ->+ C ．log (1)0m m +> D ．log (1)log (1)m m m m +>-
【答案】A
8.同时满足以下4个条件的集合记作k A ：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()
k *∈N 的等差数列．那么
6133A A Y 中元素的个数是( )
A ．96
B ．94
C ．92
D ．90
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知12a =，532a =，则公比q 的值是 ___________．
10.已知平面向量,a b 满足0=⋅a b ，2=a ，3=b ，则|a +b |= ________.
11.函数4
3
y x x =+
+(3)x >-的最小值是 ____________．
12.在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且sin sin cos A B C =⋅，则B = _______； 若6
A π
=
,则a c = __________．
13.函数2log (1),01,
()2,10x x f x x x +≤≤⎧=⎨
-≤<⎩
的值域是 ______________．
14.已知函数x
a x f =)(（10<<a ），数列}{n a 满足)1(1f a =，)(1n n a f a =+，n *
∈N .则2a 与
3a 中，较大的是 ________；302520,,a a a 的大小关系是 _____________．
【答案】2a ；253020a a a << 【解析】
试题分析：函数()()01x
f x a
a =<<是单调递减的，11a a =，12a a a a a ==，23a
a a a a a ==，
因为1a >，
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.(本小题满分13分)已知函数2
()2sin cos 2cos f x x x x =+． (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及最小值； (Ⅱ)若α为锐角，且()2f α=，求α的值．
π
2)14
x =++． ┅┅┅┅┅┅ 5分
16.(本小题满分13分)在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若25cos
25
A =，5=bc ．
(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)若6=+c b ，求a 的值．
17.(本小题满分13分)已知数列{}n a ，{}n b 的通项n a ，n b 满足关系2n a
n b =，且数列{}n a 的前n
项和22n S n n =-()n *
∈N ．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(Ⅰ) 23n a n =-；(Ⅱ) 1(41)6
n
n T =-. 【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据公式11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧
=⎨
-≥⎩，先求出1n =时对应的1a 的值，再求出2n ≥时
对应的n a 的值，然后将1a 的值代入2n ≥时的n a 的表达式进行验证，如果符合就合成一个公式，如果不符合就写成分段函数的形式；(Ⅱ)先根据(Ⅰ)求得的n a 的值，求出n b 的表
18.(本小题满分14分)已知函数2
()43f x x x a =-++，a ∈R . (Ⅰ)若函数()f x 在()-∞∞,+上至少有一个零点，求a 的取值范围； (Ⅱ)若函数()f x 在[,2]a a +上的最大值为3，求a 的值．
即方
程2
()430f x x x a =-++=至少有一个实数根. ┅┅┅┅┅┅2分
所以164(3)0a ∆=-+≥，
解得1a ≤. ┅┅┅┅┅┅ 5分
19.（本小题满分14分）已知函数21()(3)3ln 2
f x x m x m x =-++，m ∈R ． (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；
(Ⅱ)设点00(,())A x f x 为函数()f x 的图象上任意一点，若曲线()f x 在点A 处的切线的斜率恒大
于3-，
求m 的取值范围．
③当
3m =时，
2
(3)()0x f x x
-'=≥在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞是增函数；
（ⅰ）
当0m =时，0()h x =200x >在()00,x ∈+∞时恒成立.
┅┅
┅14分
考点： 1.函数的单调性与导数的关系；2.不等式恒成立问题；3.二次函数的图像与性质；4.解不等式；5.分类讨论思想
20.(本小题满分13分)如果项数均为n ()2,n n *
≥∈N 的两个数列}{},{n
n b a 满足),,,2,1(n k k b a k k Λ==-且集合1212{,,,,,,,}{1,2,3,4,,2}n n a a a b b b n =L L L ，则称数列}{},{n n b a 是一对 “n 项相关数列”．
(Ⅰ)设}{},{n n b a 是一对“4项相关数列”，求1234a a a a +++和1234b b b b +++的值，并写出一
对“4项
相关数列” }{},{n n b a ；
(Ⅱ)是否存在 “10项相关数列” }{},{n n b a ？若存在，试写出一对}{},{n n b a ；若不存在，请说
明理由；
(Ⅲ)对于确定的n ，若存在 “n 项相关数列”，试证明符合条件的 “n 项相关数列”有偶数对．
),,2,1(n k Λ=，则可证明新数对也是“n 项相关数列”
，但是数列}{n c 与}{n a 是不同的数列，可知“n 项相关数列”都是成对对应出现的，即符合条件的 “n 项相关数列”有偶数对. 试题解析：(Ⅰ)依题意，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，相加得，
12341234()10a a a a b b b b +++-+++=，又1234a a a a +++123436b b b b ++++=， 则123423a a a a +++=，123413b b b b +++=.
“4项相关数列”}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1（不唯一） ┅┅┅ 4分 (Ⅱ)不存在．
理由如下：假设存在 “10项相关数列”}{},{n n b a ，
则10,,2,110102211=-=-=-b a b a b a Λ，
相加得
55)()(10211021=+++-+++b b b a a a ΛΛ．
又由已知210202*********=+++=+++++++ΛΛΛb b b a a a ，
})12(,,)12(,)12(,)12(,,)12(,)12{(2121n n b n b n b n a n a n a n -+-+-+-+-+-+ΛΛ}2,,3,2,1{n Λ=，。