函数单调性、奇偶性、周期性与对称性题型梳理

函数单调性、奇偶性、周期性与对称性梳理一、知识梳理（一）单调性1.增函数与减函数定义增函数减函数定义设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量值x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象 描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.熟记常见初等函数的单调性理解掌握一次函数、二次函数、反比例函数及dcx bax y ++=、含绝对值的一次函数y ax b =+、指数函数、对数函数、幂函数及()()0,0>>+=x a xax x f 的单调性.并掌握由这些函数变换产生的函数和复合产生的函数的单调性.3. 函数单调性的常用结论区间D 上单调递增 区间D 上单调递减 定义法 x 1<x 2⇔f (x 1)<f (x 2) x 1<x 2⇔f (x 1)>f (x 2) 图象法 函数图象是上升的 函数图象是下降的 导数法 导数大于零 导数小于零 运算法 递增＋递增 递减＋递减 复合法内外层单调性相同内外层单调性相反（二）函数的最值 1.定义一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，那么，我们称M 是y ＝f (x )的最大值． (2)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．2.求函数最值的依据：我们知道连续函数在闭区间内一定存在最大值和最小值.（1）当函数为单调函数时，区间两端点处的函数值分别为最大值和最小值；（2）当函数不单调时，函数的极大（小）值与区间端点处的较大（小）值中最大的函数值为函数在给定区间的最大（小）值.3.有关不等式成立问题的最值转化（1）恒成立问题的转化，若函数()f x 都有最大（小）值，则①()a f x <恒成立⇔()min a f x <，()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤； ②()a f x >恒成立⇔()max a f x >，()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥. 常见形式：不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立⇔在区间D 上函数()y f x =的图象始终在函数()y g x =的上方， ⇔()()()0F x f x g x =->在区间D 上恒成立，⇔()min 0F x >.③对[][]12,,,x a b x c d ∀∈∀∈，都有()()12f x g x >成立⇔()()12min max f x g x >， 对[][]12,,,x a b x c d ∀∈∀∈，都有()()12f x g x <成立⇔()()12max min f x g x <. （2）能成立问题的转化，若函数f (x )有最大（小）值，则①()a f x >能成立⇔()a f x >有解⇔0x ∃，使()0a f x >成立⇔()min a f x >， ②()a f x <能成立⇔()a f x <有解⇔0x ∃，使()0a f x <成立⇔()max a f x <. 常见形式：不等式()()f x g x >在区间D 上能成立，⇔0x D ∃∈使()()00f x g x >成立，⇔()()()0F x f x g x =->在区间D 上有解， ⇔()max 0F x >.③对[][]12,,,x a b x c d ∃∈∃∈，使得()()12f x g x >成立⇔()()12max min f x g x >； 对[][]12,,,x a b x c d ∃∈∃∈，使得()()12f x g x <成立⇔()()12min max f x g x <. （3）既含有存在量词又含有全称量词的不等式问题的转化：对[][]12,,,x a b x c d ∀∈∃∈，使不等式()()12f x g x >成立⇔()()12min min f x g x >； 对[][]12,,,x a b x c d ∀∈∃∈，使不等式()()12f x g x <成立⇔()()12max max f x g x <.（三）奇偶性定义1. 偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()=()f x f x -，那么函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称；2. 奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()=()f x f x --，那么函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称；3. 函数的周期性：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期．（四）常见的奇函数和偶函数及相关性质 1.常见常考的奇函数： ①()2121(),,k n f x cxk Z n Z c --=∈∈为常数，②()()0,1x x f x a a a a -=->≠且，③()1()0,1+1x x a f x a a a -=>≠且，④()()log 0,1a b cxf x a a b cx-=>≠+且，⑤)()()log 0,1af x cx a a =>≠且，⑥()()sin f x A x ω=，⑦()()tan f x A x ω=， 2.常见常考的偶函数：①()()f x c c =为常数，②()221(),,kn f x cx k Z n Z c -=∈∈为常数，③()()+0,1xxf x a aa a -=>≠且，④()()cos f x A x ω=，3.复合函数的奇偶性的判断：内偶则偶，内奇同外 对于复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦来说，（1）若()g x 为偶函数，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为偶函数，（2）若()g x 为奇函数且()y f x =为奇函数，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为奇函数， （3）若()g x 为奇函数且()y f x =为偶函数，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为偶函数， （4）若()g x 为奇函数且()y f x =不具有奇偶性，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦不具有奇偶性. 4.奇偶性运算性质：在公共定义域内，若函数()y f x =和()y g x =为奇函数，函数()y h x =和()y x ϕ=为偶函数，则：①()()f x g x ±为奇函数；②()()h x x ϕ±为偶函数； ③()()f x h x ±一般不具有奇偶性；④()()f x g x 为偶函数；⑤ ()()h x x ϕ为偶函数； ⑥()()f x h x 为奇函数；⑦()()()()0f x x x ϕϕ≠为奇函数.5.奇偶性的常用结论(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即()0f 有意义，那么一定有()0=0f . (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()()f x fx =.(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.6.对称性的两个常用结论及推广(1)若函数()+y f x a =是偶函数即()()++f x a f x a -=，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称． 推广：若对于R 上的任意x 都有()()f a x f b x -=+，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称． (2)若函数()+y f x b =是奇函数即()()f b x f b x -=-+，则函数()y f x =关于点(),0b 中心对称． 推广：若对于R 上的任意x 都有()()f a x c f b x -=-+，则()y f x =的图象关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称． （五）周期性的常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：当a >0时， (1)若()()+f x a f x =-，则T ＝2a .(2)若()()()+0k f x a k f x =≠，则T ＝2a .(3)若()()+f a x f a x -=且()()+f b x f b x -=，则T a b =-, (4) 若()()+f a x f a x -=-且()()+f b x f b x -=-，则T a b =-, (5) 若()()+f a x f a x -=且()()+f b x f b x -=-，则4T a b =-,二、考点梳理考点一 单调性的定义例1 已知f(x)为R 上增函数，且对任意x ∈R ，都有f[f(x)−3x ]=4，则f(3)=( )A . 26B . 27C . 28D . 29【分析】单调函数是一个一对一对应下的函数，由f[f(x)−3x ]=4可知，f(x)−3x 为常数，设f(x)−3x =m ，则f(m)=4，f(x)=3x +m ，进而结合函数的单调性，求出m 的值，即可得f(x)的解析式，将x =3代入计算可得答案．【解析】由f(x)为R 上增函数，f(x)−3x 为常数，设f(x)−3x =m ，则f(m)=4，f(x)=3x +m ， ∴3m +m =4，3m +m −4=0， 易知方程3m +m −4=0有唯一解m =1， ∴f(x)=3x +1，f(3)=28．故选C ． 例2 已知函数f(x)={ax +1,x ≥0，(a −1)e x ,x <0，当x 1≠x 2时，(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0，则实数a 的取值范围为______．【分析】本题通过数学式子(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0，告诉我们函数f(x)为R 上的增函数，要使分段函数为增函数，必须保证：每段函数为增函数，并且在分界点的左端函数值不大于右端的函数值. 【解析】函数f(x)为R 上的单调递增函数， 当x ≥0时，f(x)=ax +1单调递增，则a >0，当x <0时，f(x)=(a −1)e x 单调递增，则a −1>0，解得a >1， 且a ×0+1≥(a −1)e 0，解得a ≤2，综上可得，a 的取值范围为1<a ≤2，故答案为：(1,2]．【小结】分段函数为增（减）函数必须保证：首先保证每一段函数都是增（减）函数，其次，分界点的左端函数值不大（小）于右端的函数值.例3 己知函数f(x)为定义在(−1,1)上为增函数，且f (m )>f (−m −1)则实数m 的取值范围是( ) A . (−1,−12)B . (−12,0)C . (−12,1)D . (−12,+∞)【分析】本题考查函数单调性定义的应用，解题时，首先保证m 和-m -1在定义域(−1,1)上，然后利用增函数的定义脱去对应关系f 得到关于m 的不等式．【解析】根据题意，可得原不等式等价于，故．故选：B ．【小结】解决单调性问题，首先保证自变量在给定的区间或定义域内！针对练习一1. 若f(x)是R 上的减函数，且f(x)的图像经过点A(0,4)和点B(3,−2)，则当不等式|f(x +t)−1|<3的解集为(−1,2)时，实数t 的值为( ) A . 0B . 1C . −1D . 2【解析】由不等式|f(x +t)−1|<3，得到：−3<f(x +t)−1<3，即−2<f(x +t)<4， 又因为f(x)的图象经过点A(0,4)和点B(3,−2)，所以f(0)=4，f(3)=−2， 所以f(3)<f(x +t)<f(0)，又f(x)在R 上为减函数， 则3>x +t >0，即−t <x <3−t ，解集为(−t,3−t)，∵不等式的解集为(−1,2)，∴−t =−1，3−t =2，解得t =1．故选B ． 2.已知函数f(x)={(1−2a)x ,x ≤1,log a x +13,x >1,当x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则a 的取值范围是______．【解析】∵当x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，∴f(x)是R 上的单调递减函数，∵f(x)={(1−2a)x ,x ⩽1log a x +13,x >1 ,∴{0<1−2a <10<a <11−2a ⩾13,解得0<a ⩽13，故答案为(0,13]. 3.已知减函数f(x)的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f(m)−f(n)>f(−m)−f(−n)成立，那么下列不等式成立的是( ) A . m −n >0B . m −n <0C . m +n <0D . m +n >0【解析】因为f(x)为R 上的减函数，所以−f(−x)为R 上的减函数， 所以令F(x)=f(x)−f(−x)，则F(x)也为R 上的减函数，又f(m)−f(n)>f(−m)−f(−n)，即f(m)−f(−m)>f(n)−f(−n)， 即F(m)>F(n)，所以m <n ，即m −n <0故选B ． 考点二 常见函数及其复合的单调性 例4 （1） 已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（ ）.A .110x y ->B .sin sin 0x y ->C .11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .ln ln 0x y +>（2）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【分析】高考常以基础题或中档题的形式对常见初等函数进行考查，要求复习时要牢记所学初等函数的单调性.比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 【解析】（1）选项A 错误：因为函数1y x=为()0,+∞上为减函数，所以由0x y >>得11xy<；选项B 错误：三角函数sin y x =在()0,+∞上不是单调的，所以不一定有sin sin x y >.选项C 正确：由指数函数1()2t f t ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，可得110022x y x y ⎛⎫⎛⎫>>⇒<<⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭选项D 错误：举一个反例如，e x =，1e y =.,x y 满足0x y >>，但ln ln 0x y +=.故选C .（2）【解析】因为551log 2log 2a =<=，0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.200.50.50.5c <=<，即112c <<，所以a c b <<.故选A . 例5 若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．先增后减D ．先减后增【分析】本题考查常见的初等函数的单调性问题，复习时，要牢记参变量对单调性的影响.【解析】 由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，知a <0；由y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，知b <0.所以y ＝ax 2＋bx 的图象的对称轴x ＝－b2a <0.又因为y ＝ax 2＋bx 的图象的开口向下，所以y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数.故选B . 例6 函数212log 4f x x 的单调递增区间是（ ）.A .0,B .,0 C .2, D .,2【解析】212log 4f x x 的定义域为2,,2，把函数212log 4f xx 分拆成两个简单函数12ylog u 和24ux ，由12ylog u 为减函数，只需找出24ux 的减区间0,，然后与原函数的定义域求交集，故答案为2,.考点训练二1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A . y =3−xB . y =log 13xC . y =x 12 D . y =3x【解析】A.函数y =3−x =(13)x在上单调递减，错误；B .函数y =log 13x 在上单调递减，错误；C .函数y =x 12在上单调递增，正确；D .函数y =3x 在上单调递减，错误。