2020高考一轮复习数学知识点汇总：第5章 1

第五章 第1节
一、选择题
1．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，则35是它的( ) A ．第22项 B ．第23项 C ．第24项
D ．第28项
[解析] 观察知已知数列的通项公式是a n ＝2n －1， 令a n ＝2n －1＝35＝45，得n ＝23. [答案] B
2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45
D ．45＋1
[解析] 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．
又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1 (n ＝1)，
3×4n －2
(n ≥2). ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－
2＝3×44.
[答案] A
3．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 当a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，，则a 2>|a 1|不成立，即知：a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．
[答案] B
4．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12
D ．－15
[解析] 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)] ＝3×5＝15. [答案] A
5．(2015·银川模拟)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1
a n
，记数列{a n }的前n 项之积为
T n ，则T 2 013的值为( )
A ．－12
B ．－1 C.12
D ．2
[解析] 由a 2＝1
2，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 013
＝(－1)671＝－1.
[答案] B
6．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B ．(n ＋1n )n －1
C ．n 2
D ．n
[解析] 法一：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴
a n ＋1n ＋1＝a n n
，∴数列{a n
n }是常数列．
且a n n ＝a 1
1
＝1，∴a n ＝n . 法二：(累乘法)n ≥2时，a n a n －1＝n
n －1，
a n －1a n －2＝n －1
n －2
，… a 3a 2＝32，a 2a 1＝21， 两边分别相乘得a n
a 1＝n . 又∵a 1＝1，∴a n ＝n . [答案] D
7．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B.865
8
C.8258
D ．108
[解析] ∵a n ＝－2(n －294)2＋2×292
16
＋3，
∴n ＝7时，a n 最大．a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108. [答案] D
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23
)n －
1，则数列{a n }( )
A ．有最大项，没有最小项
B ．有最小项，没有最大项
C ．既有最大项又有最小项
D ．既没有最大项也没有最小项
[解析] ∵数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，令t ＝(23)n －
1，t ∈(0,1]，t 是减函数，
则a n ＝t 2－t ＝(t －12)2－1
4
，
由复合函数单调性知a n 先递增后递减． 故有最大项和最小项，选C. [答案] C
9．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1
2 (n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )
A ．5 B.7
2 C.92
D.132
[解析] ∵a n ＋a n ＋1＝1
2
(n ∈N ＋)，
∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝1
2－2，a 4＝2，…，
故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.
∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝7
2.
[答案] B
10．(2015·河南开封高三摸底考试)数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4
＝( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4 [解析] 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4，选D.
[答案] D
11．(2015·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
[解析] ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，
∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N ＋，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0， ∴193≤k ≤223， ∵k ∈N ＋，∴k ＝7. ∴满足条件的n 的值为7. [答案] B
12．(2015·天津一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n ≤2的正整数n 的
集合为( )
A ．{1,2}
B ．{1,2,3,4}
C ．{1,2,3}
D ．{1,2,4}
[解析] 因为S n ＝2a n －1， 所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，
所以{a n }是公比为2的等比数列， 又因为a 1＝2a 1－1， 解得a 1＝1，
故{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1.
而a n n ≤2，即2n －
1≤2n ， 所以有n ＝1,2,3,4. [答案] B 二、填空题
13．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1
a n
(n ≥2)，则a 16＝________.
[解析] 由题意知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝1
2，∴此数列是以3为周
期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝1
2
.
[答案] 1
2
14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 的值为________． [解析] ∵S n ＝n 2－9n ，
∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，
a 1＝S 1＝－8适合上式，∴a n ＝2n －10(n ∈N ＋)， ∴5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9.∴k ＝8. [答案] 8 15．数列
53，108，17
a ＋b
，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )是________． [解析] 根号里的数比分母大2，
可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝15
a －
b ＝26，解得⎩⎨⎧
a ＝41
2
b ＝－11
2
.
[答案] (412，－11
2
)
16．(2015·大连双基测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋
1＋
3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
[解析] a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋
1＋3，把n 换成n －1
得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .
[答案] 3n。