一元一次方程的解法(3)
3.3一元一次方程的解法
1.5 x 1.5 x 0.5 0.6 2
分析：当分母中含有小数时，可以应用分数的基本性质把它们先化为整数，如
1.5 x 10 1.5 x 15 x 5 x 0.6 10 0.6 6 2 5 x 1.5 x 0.5 解：将原方程化为 2 2
去分母，得 去括号，得
例2、解下列方程：
3 (4 x 3) 7
有括号时要先去括 号,再移项,合并同 类项.
3 (4 x 3) 7
解: 去括号，得 3 4 x 3 7
移项，得
4 x 7 3 3
合并同类项，得 4 x 1
1 两边同除以-4，得 x 4
探究3 解方程：
1 2 -y y 3 3 3 y 2 y ________ y 4. 3y-4y-(-2y)=_______
探究1
x+2x+4x=140
思考：怎样解 这个方程呢？
x 2x 4x 140
合并同类项
分析：解方程，就是把 方程变形，变为 x = a （a为常数）的形式.
7 x 140
5x (1.5 x) 1
5 x 1.5 x 1
移项，合并同类项，得
∴
5 x 12
6 x 2.5
中考 试题
例1
3 的倒数与 2a - 9 互为相反数，那么a的值为（ C a 3 -3 A. 3 B. C.3 D.-3 2 2
分析
解
解方程即可求出a的值.
）.
3 a + 2a - 9 因为 a 的倒数是 a ，根据“互为相反数之和等于 0” 可得 ， 3 3 3
系数化为1,得
x=-13
3.3.3一元一次方程的解法-去分母
解：去分母（方程两边乘10），得 去括号，得 移项，得
15x＋5－20＝3x－2－4 x－6
15 x－3x＋4 x＝－2－6－5＋20
16 x 7 7 x＝ 16
合并同类项，得
系数化为1，得
例 题 1. 2. 3.去分母的依据是等式性质二，去分母时应 去分母时不能漏乘没有分母的项； 去分母与去括号这两步分开写，不要跳步， 小 防止忘记变号。 在方程的两边乘所有分母的最小公倍数； 结 ： 解：去分母（方程两边乘10），得
3x 1 3x 2 2 x 3 10 （ 2) 10 ( ) 2 10 5
3x 1 3x 2 2x 3 10 10 2 10 10 2 10 5
（ 5 3x 1 ） 20 3x 2 2(2 x 3)
3x 1 3x 2 2 x 3 －2＝ － 2 10 5
解含分数系数的一元一次 方程的步骤包括哪些？
解一元一次方程的一般步骤:
变形名称 去分母 去括号 移项 依据及具体的做法
依据等式性质二 各项都乘所有的分母的最小公倍数. 依据去括号法则和乘法分配律 先去小括号,再去中括号,最后去大括号.
依据等式性质一 注意“移项要变号”
依据乘法分配律 合并同类项 将未知数的系数相加，常数项相加.
1、下列方程的解法对不对？如果不对，错在
哪里？应怎样改正？
2x 1 x 2 1 解方程： 3 2
解：去分母，得 4x-1-3x+6=1 移项，合并同类项，得 x=4
解方程： （1）
x＋1 2－x －1＝2＋ 2 4
小试身手：
解：去分母（方程两边乘4），得
2( x＋1)－4＝8＋(2－x )
一元一次方程组的解法
一元一次方程组的解法一元一次方程组是指由一元一次方程组成的多个方程的集合。
在解决一元一次方程组的问题时，我们可以借助线性代数和代数运算的方法，找到其解的具体数值。
本文将介绍一元一次方程组的解法，并通过实例来说明。
一、一元一次方程组的基本概念一元一次方程组由多个一元一次方程组成，一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
方程中的a称为方程的系数，b称为常数项。
一元一次方程组可以写为：a₁x + b₁ = 0a₂x + b₂ = 0...aₙx + bₙ = 0其中，a₁、a₂、...、aₙ为系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
二、一元一次方程组的解法解一元一次方程组的方法主要有两种：代入法和消元法。
1. 代入法：代入法的基本思想是将一个方程的解代入到另一个方程中，从而减少未知数的个数，逐步求解。
以下通过实例来说明代入法的解题过程。
实例1：已知方程组：2x + 3 = 03x - 5 = 0解：由第一个方程可得：2x = -3，解得 x = -3/2。
将x = -3/2代入第二个方程：3(-3/2) - 5 = 0，化简得：-9/2 - 5 = 0，继续化简得：-19/2 = 0。
由此可知，方程组无解。
2. 消元法：消元法的基本思想是通过给方程组中的方程进行线性组合，消去其中的未知数，逐步求解。
以下通过实例来说明消元法的解题过程。
实例2：已知方程组：2x + 3 = 04x - 1 = 0解：首先，将第一个方程乘以2得到：4x + 6 = 0。
然后，将第二个方程减去第一个方程得到：(4x - 1) - (4x + 6) = 0，化简得：-7 = 0。
由此可知，方程组无解。
三、总结通过以上两种方法，我们可以解决一元一次方程组的问题。
在解题时，可以根据具体情况选择使用代入法或消元法。
同时，我们还可以通过求解方程组的解，验证方程组的一致性。
如果方程组有解，则表示方程组一致；如果方程组无解，则表示方程组不一致。
一元一次方程的解法
2013 2015 2015
解得：
x 1 1007
3.解方程：
x x x
x
2016
1 2 1 23
1 2 3 2016
解：由原方程整理得：x
(1
x 2)
பைடு நூலகம்
2
(1
x 3) 3
(1
x 2016) 2016
2016
2
2
2
2x 2x 2x
2x
2016
2 (1 2) 2 (1 3) 3
注： （1）去分母时，方程两边要同时乘以分母的最小公倍数，常数项不要漏乘 （2）去括号时，括号前的系数要与括号里的每一项都要相乘 （3）移项的时候要变号’ （4）方程的解的形式要写成x在等号左边的形式
解一元一次方程的常用技巧 （1）小数化整数：方程中，若分数的分子或分母中有小数出现，则利用分数的性 质将分子分母同时扩大若干倍，使分子分母化为整数后再计算 （2）整体思想：方程中重复出现内容相同的括号时，可考虑将括号当成整体 （3）裂项:若方程中出现明显的裂项法的特征，则考虑裂项后清项，把方程化为简 单形式后再求方程的解 （4）凑项
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1 2
1 3
1 3
1 4
1 2016
20117
2016
去括号： 整理得： 化简得：
x 1 1 1 1 1 1 1 2016
2234
2016 2017
x1 1 2016 2017
x=2017
2.解方程： x x x
一元一次方程的解法
（2） 调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系， 常见是“和、 差、 倍、 分”关系， 要注意调配对象流动的方向和数量。
例 1 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 27 人，在乙处植树的有 18 人.如果要使在甲处植树的人 数是乙处植树人数的 2 倍，需要从乙队调多少人到甲队？
例 2 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23 人，在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援，使在甲 处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍多 3 人，应调往甲、乙两处各多少人？
5
表或画图来帮助理解题意。
例 1 .一项工程，甲、单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成，如果先由甲单独做 8 天，再由乙单独 做 3 天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？
例 2. .一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天， 丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？
一元一次方程的解法 知识点和方法概述 1、等式 等式：用“=”表示相等关系的式子。 等式的性质： 1） 等式两边都加上 （或减去） 同一个数或同一个整式， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， 则 A±C=B±C。 2） 等式两边都乘以 （或除以） 同一个数 （除数不为 0） ， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， A B C ≠ 0 ，则 A⋅C=B⋅C， = 。 C C 3)等式的对称性：若 A=B，则 B=A。 4）等式的传递性：若 A=B，B=C，则 A=C。 等式的类型： 1）恒等式：当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总相等时，这样 的等式叫做恒等式。如 0 ⋅ x = 0 。 2）矛盾等式：如 2=0， 2 x = 2 x + 1 3）条件等式：字母取某特定值时才成立的等式，如 3 x − 4 = 3 2、方程 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 （注：用等式的 两条性质所得的方程与原方程是同解方程。 ） 方程的同解原理： 1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 2）方程两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得结果仍是等式。 不难看出，方程的同解原理是由等式的性质演变出来的，其实质是一样的。 检验方程的解：检验一个数是不是某个方程的解，其方法是将数分别代入方程的左边和 右边，如果左边=右边，则该数就是原方程的解，否则就不是。 含绝对值符号的方程：绝对值符号内含有未知数的方程，叫含绝对值符号的方程，有时 也简称绝对值方程。 解含绝对值符号的方程的基本思想就是去掉绝对值符号，转化为一般方程。具体操作方 式有两种：其一是对含绝对值符号的各个式子分别讨论其正负，利用绝对值的定义去掉绝对
3、1一元一次方程及其解法(3)
卫民中学高效课堂自主学习型数学导学案编号：022 年级：七年级学生姓名:课题：3、1一元一次方程及其解法—去分母自研课（时段：晚自习时间：10 分钟）1、旧知链接：解方程：①xx31215=+②xxx2171313-=+2、新知自研：自研课本P89页的“例4”到P90页的”练习”展示课（时段：正课时间： 60 分钟）一、学习主题：掌握去分母解方程的方法，并总结解方程的步骤；二、【定向导学·互动展示·当堂反馈】训练课（时段：晚自习 ， 时间： 20分钟）“日日清巩固达标训练题” 自评： 师评： 基础题：①312253-+=x x ②143321=---m m ③3142125x x -+=-④35.012.02=+--x x ⑤x x 655231)1(=-⑥ 31257243yy +-=-⑦32212++-=-y y y ⑧1255413452--+-=+y y y发展题：，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌补上原价。
（列方程写解答过程） 提高题：某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8元，学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学生票各几张？（列方程写解答过程）培辅课（时段：大自习 附培辅单）1、基本题你都能顺利的独立完成吗？今晚你需要老师提供帮助吗？（需要，不需要）2、效果描述： 反思课1、病题诊所：2、精题入库：【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。
一元一次方程(找规律例3)
验证解的正确性
将求得的解代入原方程，检查是否成 立。
通过实际应用或进一步计算，验证解 的正确性和实用性。
05 总结与反思
解题方法总结
方程解析法
通过对方程进行解析，找出未知 数的值。
代数法
利用代数的基本性质和运算法则， 对方程进行变形，简化求解过程。
图像法
通过绘制方程的图像，观察图像交 点，确定未知数的值。
解题思路反思
理解题目要求
检验解的合理性
在解题前，需要仔细阅读题目，明确 题目要求，理解题目的背景和意义。
在得出解后，需要检验解的合理性， 确保解符合题目的实际情况。
分析方程特性
在解题过程中，需要分析方程的特性， 找出方程的解法。
学习收获与启示
掌握基础
通过学习一元一次方程，掌握了 代数的基础知识和基本技能。
培养思维
学习一元一次方程有助于培养逻 辑思维能力、推理能力和解决问
题的能力。
应用实践
一元一次方程在实际生活中有着 广泛的应用，通过学习可以更好
地理解和解决实际问题。
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一元一次方程(找规律例3)
contents
目录
• 一元一次方程的定义和性质 • 找规律例3的题目解析 • 一元一次方程的应用 • 找规律例3的解题过程 • 总结与反思
01 一元一次方程的定义和性 质
一元一次方程的定义
总结词
一元一次方程是只含有一个未知数， 且该未知数的次数为1的方程。
详细描述
一元一次方程的标准形式是 ax + b = 0， 其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。它只有一 个未知数 x，且 x 的最高次数为1。
解一元一次方程的基本步骤
解一元一次方程的基本步骤能够使一个一元一次方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做这个一元一次方程的解。
一元一次方程的解是求未知数的解一般解法：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数不含分母的项也要乘;2.去括号：先去小括号,再去中括号,最后去大括号;记住如括号外有减号的话一定要变号3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边;移项要变号4.合并同类项：把方程化成ax=ba≠0的形式;5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b/a.同解方程如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程.方程的同解原理：⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程.⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程只含有一个未知数、未知数的最高次数为1的等式叫做一元一次方程linear equation in one unknown;使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解solution基本信息标准形式一元一次方程的标准形式即所有一元一次方程经整理都能得到的形式是ax=b 。
其中是未知数的系数，是常数，是未知数。
未知数一般常设为 , , 。
方程特点1该方程为整式方程。
2该方程有且只含有一个未知数。
3该方程中未知数的最高次数是1。
满足以上三点的方程，就是一元一次方程。
判断方法要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。
若是，再对它进行整理。
如果能整理为的形式，则这个方程就为一元一次方程。
里面要有等号，且分母里不含未知数。
变形公式，为常数，为未知数，且求根公式一元一次方程的标准形式：ax+b=0 a≠0其求根公式为：x=-b/a一元一次方程只有一个根通常解法去分母→去括号→移项→合并同类项→未知项系数化为1即化为x=a的形式两种类型1总量等于各分量之和。
将未知数放在等号左边，常数放在右边。
如：。
2等式两边都含未知数。
湘教版七年级上册数学第3章 一元一次方程 利用去分母解一元一次方程
10．解下列方程： (1)2x－3 1＝x＋4 2；
解：去分母，得 4(2x－1)＝3(x＋2)．去括号，得 8x－4＝3x＋6. 移项，得 8x－3x＝4＋6.合并同类项，得 5x＝10.系数化为 1，得 x＝2.
(2)2x－2 1＝x＋4 2－1；
解：去分母，得 2(2x－1)＝x＋2－4.去括号，得 4x－2＝x＋2－4.移项，得 4x－x＝2＋2－4. 合并同类项，得 3x＝0.系数化为 1，得 x＝0.
17．先阅读，后解题： |－3|＝3 表示－3 的绝对值为 3，|＋3|＝3 表示＋3 的绝对值 为 3，如果|x|＝3，那么 x＝3 或 x＝－3.若解方程|x＋1|＝3， 可将绝对值符号内的 x＋1 看成一个整体，则可得 x＋1＝3 或 x＋1＝－3，分别解方程可得 x＝2 或 x＝－4. 利用上面的知识，解答下列问题：
12．当 x＝___－__2___时，代数式 6＋x2与x－2 8的值互为相反数．
【点拨】根据题意可列方程 6＋x2＋x－2 8＝0，去分母， 得 12＋x＋x－8＝0，移项、合并同类项，得 2x＝－4， 两边都除以 2，得 x＝－2，即当 x＝－2 时， 代数式 6＋x2与x－2 8的值互为相反数．
去括号，得 2|2x－3y| ＋4－5|2x－3y|＋5＝5－2|2x－3y|，
移项，得 2|2x－3y|－5|2x－3y|＋ 2|2x－3y|＝5－4－5，
合并同类项，得－|2x－3y|＝－4， 两边都除以－1，得 |2x－3y|＝4， 所以 2x－3y＝4 或 2x－3y＝－4， 当 2x－3y＝4 时，6x－9y＋3＝3(2x－3y)＋3＝3×4＋3＝15； 当 2x－3y＝－4 时， 6x－9y＋3＝3(2x－3y)＋3＝3×(－4)＋3＝－9. 所以代数式 6x－9y＋3 的值为 15 或－9.
九章算术中的一元一次方程问题
一、引言九章算术是我国古代著名的数学经典之一，涵盖了广泛的数学内容，其中包括一元一次方程问题。
一元一次方程在数学中占有重要的地位，解决现实生活中的问题，也是数学学习中的重点内容。
本文将从九章算术中的一元一次方程问题入手，探讨其解法和应用。
二、一元一次方程的概念1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指形如ax+b=0的方程，其中a≠0，a和b是已知数，x是未知数，且x的最高次数为1。
例如2x+3=5就是一个一元一次方程。
2. 一元一次方程的解对于一元一次方程ax+b=0，可以使用反运算的原则，将方程化简为x=-b/a，因此方程的解为x=-b/a。
三、九章算术中的一元一次方程问题1. 《九章算术》中的具体问题《九章算术》是我国古代数学经典之一，其内容包含了丰富的数学问题和方法。
在《九章算术》中，有许多关于一元一次方程的问题，如田甲申数问题、城市水井修建问题等。
这些问题都是现实生活中的数学表达，通过一元一次方程的方法可以求解。
2. 举例分析以田甲申数问题为例，题目是这样的：田积之甲、丁之申，问积之何？这是一个典型的一元一次方程问题，通过变量的设定和方程的建立，可以得到方程的解，从而求得问题的答案。
3. 解法探讨《九章算术》中的一元一次方程问题，通常都可以通过设立变量、建立方程、解方程等步骤来求解。
这些问题在古代的《九章算术》中被提出，不仅具有数学意义，还对古代生产生活有着实际的指导作用。
四、一元一次方程在现实生活中的应用1. 求职择业在现实生活中，一元一次方程常常被用于求职择业过程中的问题。
关于工资的问题、工作时间的问题等，都可以建立成一元一次方程进行求解。
2. 购物计算在日常的购物消费中，一元一次方程也有着广泛的应用。
折扣问题、商品打折后的价格计算等都可以用一元一次方程进行求解。
3. 金融投资在金融投资领域，一元一次方程也有着重要的作用。
计算利息、投资收益率等问题都可以转化为一元一次方程进行求解。
五、一元一次方程问题的解法和技巧1. 设立方程的关键在解一元一次方程问题时，最关键的是能够正确地设立方程，将现实生活中的问题转化为数学表达式。
一元一次方程不等式解法
一元一次方程不等式解法一元一次方程不等式是数学中比较基础的知识，对于初学者来说，理解并掌握它是非常重要的。
本文将为大家介绍一元一次方程不等式的概念、解法以及常见的问题和注意事项。
一、什么是一元一次方程不等式？一元一次方程不等式是指一个只有一个未知数x的不等式，其形式一般为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为已知数且a ≠ 0。
二、一元一次方程不等式的解法1. 移项法将不等式中的常数项b移到一边，未知数项ax移到另一边，然后将方程两边同除以系数a。
例如，对于ax + b > 0，我们可将b移到另一边，得到ax > -b，再将两边同除以a，即可得到x > -b/a的解。
2. 加减法一元一次方程不等式的加减法是指将不等式两边同时加上或减去同一量，从而改变不等式符号后比较大小。
例如，对于ax + b < 0，我们可将b移到另一边，得到ax < -b，再将两边同时减去b/a，即可得到x < -b/a的解。
三、一元一次方程不等式的常见问题和注意事项1. 一元一次方程不等式的解可能是整数、有理数或无理数。
2. 当a为正数时，不等式ax + b > 0的解集为x > -b/a，不等式ax + b < 0的解集为x < -b/a。
3. 当a为负数时，不等式ax + b > 0的解集为x < -b/a，不等式ax + b < 0的解集为x > -b/a。
4. 在解一元一次方程不等式时，最好画出数轴，从而更直观地判断解的区间。
5. 如果在方程中遇到分母为0的情况，就必须将其排除在方程的解的范围之外。
综上所述，理解一元一次方程不等式的概念和解法，以及注意事项，有助于我们更好地学习数学，提高解题能力。
希望本文能为大家提供一些参考和帮助。
一元一次方程应用题的解法
⼀元⼀次⽅程应⽤题的解法⼀元⼀次⽅程应⽤题的解法⼀、直列法。
即由题中的“和”、“少”、“倍”等表⽰数量关系的字眼，直接列出相关的⽅程。
例1 在甲处劳动的有27⼈，在⼄处劳动的有19⼈，现在另调20⼈去⽀援，使在甲处⼈数为在⼄处的⼈数的2倍，应调往甲、⼄两处各多少⼈？分析：显然，⼈员调动完成后，甲处⼈数＝2×⼄处⼈数。
解：设调x⼈到甲处，则调（20-x）⼈到⼄处，由题意得：27+x=2(19+20-x)，解之得x＝17∴20-x＝20－17＝3（⼈）答：应调往甲处17⼈，⼄处3⼈。
⼆、公式法。
学⽣熟识的公式诸如“路程＝速度×时间”、“⼯作总量＝⼯作效率×⼯作时间”、“利润＝售价－进价”、“利润率＝利润/进价”等都是解答相关⽅程应⽤题的⼯具。
例2 商品进价1800元，原价2250元，要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则此商品最低可打⼏折出售？分析：根据利润率公式，列出⽅程即可。
解：设最低可打x折。
据题意有：5%=（2250x-1800）/1800，解之得x＝0.84答：最低可打8.4折。
三、总分法。
即根据总量等于各分量之和来列出⽅程，⽤此法要注意分量不可有所遗漏。
例3 “过路的⼈！这⼉埋葬着丢番图。
请计算下列题⽬，便可知他⼀⽣经过了多少寒暑。
他⼀⽣的六分之⼀是幸福的童年，⼗⼆分之⼀是⽆忧⽆虑的少年。
再过去七分之⼀的年程，他建⽴了幸福的家庭。
五年后⼉⼦出⽣，不料⼉⼦竟先其⽗四年⽽终，只活到⽗亲岁数的⼀半。
晚年丧⼦⽼⼈真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。
请你算⼀算，丢番图活到多⼤，才和死神见⾯？”分析：本题即是著名的丢番图的“墓志铭”，题中巧妙地把丢番图的总年龄划分为了⼏个部分，解题时只需运⽤其总年龄＝各部分年龄的和即可得出解答。
解：设丢番图活了x年。
据题意可得：x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4解之得x＝84答：丢番图共活了84岁。
由此题的解答，我们还可知道古希腊的这位⼤数学家丢番图33岁结婚，38岁得⼦，80岁死了⼉⼦，⼉⼦活了42岁等。
初一数学书一元一次方讲解
一元一次方程的概念
一元一次方程是指只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程。
通常形式为ax + b = 0 (其中a和b是常数，a≠0)。
解一元一次方程的步骤
去分母：将方程两边同时乘以分母的最小公倍数，消除分母。
去括号：根据括号前是加号还是减号，决定去括号后各项的符号。
移项：将含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边。
合并同类项：将等号右边的常数项移到等号左边后，将左边的未知数系数化为1，得到方程的解。
一元一次方程的解法
直接开平方法：对于形如ax^2 = b (a > 0) 的方程，可以直接开平方求解。
配方法：将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为一个完全平方的形式，再求解。
公式法：对于任意实数a、b，都可以通过公式ax^2 + bx + c = 0 的解为x = [-b ±sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a) 来求解。
因式分解法：将方程左边分解因式，右边化为0，然后求解。
待定系数法：先假设方程左边多项式的系数为未知数，然后根据题目条件列出关于这些系数的方程组，解之得到系数值。
一元一次方程及其解法(最新整理)
3.1 一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x ＝3,3(x ＋2)＝4－x 等都是一元一次方程．解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根．②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解．如x ＝3是方程2x －4＝2的解，而y ＝3就不是方程2x －4＝2的解．(3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】 下列各式哪些是一元一次方程( )．A ．S ＝ab ；B.x －y ＝0；C.x ＝0；D.＝1；E.3－1＝2；F.4y －5＝1；G.2x 2＋2x ＋1＝0；1212x ＋3H.x ＋2.解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程；G 中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H 虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D 中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C ，F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】 x ＝－3是下列方程( )的解．A ．－5(x －1)＝－4(x －2)B ．4x ＋2＝1C ．x ＋5＝5D ．－3x －1＝013解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的基本性质(1)等式的基本性质①性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c .②性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式．用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，＝(c ≠0)．a c bc③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a .(对称性)如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .(传递性)如：若∠1＝60°，∠2＝∠1，则∠2＝60°.(2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，才能保证所得结果仍是等式．这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破坏相等关系．(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以0，因为0不能作除数或分母．【例2－1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( )．A ．若4y ＋2＝3y －1，则y ＝1B ．若7a ＝5，则a ＝57C ．若＝0，则x ＝2D ．若－1＝1，则x －6＝1x 2x 6解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的基本性质1，等式的两边都减去3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是1；C 根据等式的基本性质2，两边都乘以2，右边应为0，不是2；D 根据等式的基本性质2，左边乘以6，而右边漏乘6，故不正确；只有B 根据等式的基本性质2，两边都除以7，得到a ＝.57答案：B【例2－2】 利用等式的基本性质解方程：(1)5x －8＝12；(2)4x －2＝2x ；(3)x ＋1＝6；(4)3－x ＝7.分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x ＝20.方程的两边同时除以5，得x ＝4.(2)方程的两边同时减去2x ，得2x －2＝0.方程的两边同时加上2，得2x ＝2.方程的两边同时除以2，得x ＝1.(3)方程两边都同时减去1，得x ＋1－1＝6－1，∴x ＝6－1.∴x ＝5.(4)方程两边都加上x ，得3－x ＋x ＝7＋x ,3＝7＋x ，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x －7，∴－4＝x ，即x ＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－2－3x ＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－”，移到右边后需变成“＋”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号．所以由移项，得－3x ＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x ＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x ＝1－3，是属于移项；而把5x －15x ＋11x ＝11变成5x ＋11x －15x ＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区 移项时应注意的问题在移项时注意“两变”：一变性质符号，即“＋”号变为“－”号，而“－”号变为“＋”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体见下表：变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质2不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号去括号可由小到大，或由大到小去括号分配律；去括号的法则不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边等式的基本性质1移项要变号合并同类项将方程化为ax ＝b 的最简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母及其指数不变化系数为1方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质2分子、分母不能颠倒解技巧 巧解一元一次方程值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】 下列各选项中的变形属于移项的是( )．A ．由2x ＝4，得x ＝2B ．由7x ＋3＝x ＋5，得7x ＋3＝5＋xC ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋9解析：选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项B 中x ＋5变成5＋x 是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C 是作的移项变形；选项D 是应用等式的对称性“a ＝b ，则b ＝a ”所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】 解方程－5＝.2－x 3x －14分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x )－60＝3(x －1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12，得4(2－x )－60＝3(x －1)．去括号，得8－4x －60＝3x －3.移项，得－4x －3x ＝－3－8＋60.合并同类项，得－7x ＝49.两边同除以－7，得x ＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x ＝a (a 是一个已知数)．(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】 解方程－＝.0.4x －90.5x －520.03＋0.02x0.03分析：由于和的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把0.4x －90.50.03＋0.02x0.03小数化为整数，在式子的分子、分母中都乘以10，变为，在式子0.4x －90.54x －9050.03＋0.02x0.03的分子、分母中都乘以100，变为，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．3＋2x3解：分母整数化，得－＝.4x －905x －523＋2x3去分母，得6(4x －90)－15(x －5)＝10(3＋2x )．去括号，得24x －540－15x ＋75＝30＋20x .移项，得24x －15x －20x ＝540－75＋30.合并同类项，得－11x ＝495.两边同除以－11，得x ＝－45.5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】 关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，则k ＝( )．A ．－2B ．C ．2D ．－4343解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－.53将x ＝－代入方程3x ＋3k ＝1，53得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选C.答案：C【例5－2】 若关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，则m ＝__________.解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8.答案：86.一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1，可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣．【例6－1】 解方程＝x ＋1.34[43(12x －14)－4]32分析：注意到×＝1，把乘以中括号的每一项，则可先去中括号，×－×43443343443(12x －14)34＝x ＋1，再去小括号为x －－3＝x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了．32121432解：去括号，得x －－3＝x ＋1.121432移项，合并同类项，得－x ＝.174两边同除以－1，得x ＝－.174【例6－2】 解方程－＝－.x ＋37x ＋25x ＋16x ＋44分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，＝，5(x ＋3)－7(x ＋2)352(x ＋1)－3(x ＋4)12把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．解：方程两边分别通分，得＝.化简，得＝5(x ＋3)－7(x ＋2)352(x ＋1)－3(x ＋4)12－2x ＋135.－x －1012去分母，得12(－2x ＋1)＝35(－x －10)．去括号，得－24x ＋12＝－35x －350.移项、合并同类项，得11x ＝－362.两边同除以11，得x ＝－.362117．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识．【例7－1】 (1)当a ＝__________时，式子2a ＋1与2－a 互为相反数．(2)若6的倒数等于x ＋2，则x 的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a ＋1＋(2－a )＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x ＋2)＝1，解得x ＝－.116答案：(1)－3 (2)－116【例7－2】 已知x ＝－2是方程＋－x ＝的解，求k 的值．x －k 33k ＋26x ＋k2分析：把x ＝－2代入原方程，原方程就变成了以k 为未知数的新方程，解含有未知数k 的方程，可以求出k 的值．解：把x ＝－2代入原方程，得＋－(－2)＝.－2－k 33k ＋26－2＋k2去分母，得2(－2－k )＋3k ＋2－(－2)×6＝3(－2＋k )．去括号，得－4－2k ＋3k ＋2＋12＝－6＋3k .移项、合并同类项，得－2k ＝－16.方程两边同除以－2，得k ＝8.课后作业【题01】下列变形中，不正确的是（ ）A ．若，则．B ．若则．25x x =5x =77,x -=1x =-C ．若，则．D ．若，则．10.2x x -=1012x x -=x ya a=ax ay =【题02】下列各式不是方程的是（ ）A ．B ．24y y -=2m n =C ．D ．222p pq q -+0x =【题03】解为的方程是（ ）2x =-A ．B ．240x -=5362x +=C ．D ．3(2)(3)5x x x---=275462x x --=-【题04】若关于的方程是一元一次方程，求的值．x 223(4)0n x n -+-=n 【题05】已知是关于的一元一次方程，则 ．2(23)(23)1m x m x ---=x m =【题06】若关于的方程是一元一次方程，求的解．x 2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=m 【题07】若关于的方程是一元一次方程，则= ．x 1(2)50k k xk --+=k 【题08】若关于的方程是一元一次方程，则= ．若关于的x 1(2)50k k x k --+=k x 方程是一元一次方程，则方程的解= ．2(2)450k x kx k ++-=x【题09】是关于的一元一次方程，且该方程有惟一解，则2(38)570a b x bx a ++-=x x =（ ）A ．B ．2140-2140C ．D ．5615-5615【题10】解方程：135(3)3(2)36524x x ---=【题11】解方程：11(4)(3)34y y -=+【题12】解方程：122233x x x -+-=-【题13】解方程：21511 36x x+--=【题14】解方程：11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题15】解方程：1(4)33519 0.50.125xxx+++=+【题16】解方程：0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-【题17】解方程：0.10.90.21 0.030.7x x--=【题18】解方程：4213 2[()] 3324x x x--=【题19】解方程：111[(1)6]20 343x--+=。
专题4一元一次方程
● 解：(1)采用计时制应付的费用为0.06×60x＋0.01×60x＝4.2x(元)； ● 采用包月制应付的费用为72＋0.01×60x＝(72＋0.6x)元． ● (2)设小明一个月内上网课m小时，两种方式收费相同， ● 由题意，得4.2m＝72＋0.6m，解得m＝20. ● 答：小明一个月内上网课20小时，两种方式收费相同． ● (3)当x＝25时，4.2x＝4.2×25＝105， ● 72＋0.6x＝72＋0.6×25＝87. ● ∵105＞87，∴小明采用包月制的收费方式较为合算．
●【变式 3-1】 有下列解方程的步骤：
①3x＝－4，系数化为 1，得 x＝－34；
②5＝2－x，移项，得 x＝5－2；
③2x3－1＝1＋x－2 3，去分母，得 2(2x－1)＝1＋3(x－3)；
④2(2x－1)－3(x－3)＝1，去括，得 4x－2－3x－9＝1.
其中正确的个数有( A )
A．0 个
(2)x－x－5 2＝2x3－5－3. 解：去分母，得15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45. 去括号，得15x－3x＋6＝10x－25－45. 移项、合并同类项，得2x＝－76. 两边同除以2，得x＝－38. 【点悟】 解一元一次方程的基本程序是：去分母、去括号、移项、合并 同类项、两边同除以未知数的系数．
解：设高铁用时为x(h)，则动车用时为(x＋0.5＋1)h. 由题意，得200(x＋0.5＋1)＝300x， 解得x＝3， ∴300x＝900. 答：A，B两地之间的距离为900 km.
【变式4-2】 某超市用6 800元购进A，B两种型号计算器共120台，进价、 标价如下表所示：
A型号 B型号
专题4 一元一次方程
题型一 一元一次方程和一元一次方程的解 【典例1】 已知(a2－1)x2－(a＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程． (1)求代数式2 022(a＋x)(x－2a)的值． (2)求关于y的方程a|y|＝x的解．
一元一次方程怎么列
一元一次方程怎么列
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一的方程。
对于一个一元一次方程，我们可以通过以下步骤进行列式：
1. 确定未知数
首先要确定未知数是什么，通常用$x$表示未知数。
2. 定义系数
其次，需要确定系数，系数是未知数前面的数字。
通常用$a,b,c$等表示。
3. 确定常数
未知数和系数确定之后，就要确定常数。
常数是在等号右侧的数字，通常用$b,c,d$等表示。
4. 编写等式
通过未知数、系数和常数，我们可以编写一个基本的一元一次方程，例如：
$ax+b=c$
其中 $a,b,c$ 都是已知数。
这个方程中未知数是 $x$。
我们可以通过已知数计算出 $x$ 的值。
5. 解方程
接下来，我们需要通过解方程来求出未知数 $x$ 的值。
解方程的方法包括：
（1）平移法
平移法是指将未知数移到一侧，系数移到另一侧。
例如：
$ax+b=c$
$ax=c-b$
$x=\frac{c-b}{a}$
（2）消元法
消元法是指将方程两边同时乘以一个数，使方程中含有未知数的项相互抵消，从而得到未知数的值。
例如：
$ax+b=c$
$ax=c-b$
$x=\frac{c-b}{a}$
以上就是一元一次方程的列式和解法。
对于常见的数学问题，我们可以通过列出一元一次方程来解决。
8.3(3)一元一次方程的解法
1 2
x)=2x-
1 3
例5.解方程 4x-3(20-x)=6x-7(9-x)
解：去括号，得 移项，合并，得
4x-60 +3x= 6x-63+7x -6x=-3
未知数的系数化为1，得 1 x= 2
1说出下列解方程去括号时 错在哪里，应怎样改正： -6 （1）方程5(x-2)-6(-2x-1)=3 去括号，得5x-10-12x-6=3 改正：5x-10+12xx 1
x 2
2去括号
(1)3(X-2)= 3X-6 (2)-2(2X-3)= -4X+6 -2 1 5X-2X+1 -2 (3)5X-2(X- 2 )= (4)3(X-2)-5(3X+1) -5 =3X-6-15X-5
例4 解方程：2-(3-
1 1 解:去括号,得 2 - 3+ x = 2 x 2 3 1 1 移项，得 X 2 X 2 3 2 3 3 2 合并,得 X 2 3 未知数的系数化 4 X 成1,得
8.3
(3)
初一年级
1.(口答)求下列方程的解:
(1)x=2x+3 X=-3
1 ( 3) x 6 6
(2)9x=0 X=0
1 2 ( 4) x 3 3
x 36
x 2
1 5 ( 5) x 5 2 25 x 2
4 4 (7) 5x 5
3 7 ( 6) x 7 3 49 x 9
(3)2(z-1)=6-4(z+1) 解:去括号,得2z-2=6-4z-4 移项合并,得6z=4
未知数的系数化为1，得
2 z 3
(4)3(2y+1)-4(2y-1)=2(8y-1) 解:去括号,得 6y+3-8y+4=16y-2 移项合并,得-18y=-9 未知数的系数化为1，得