1.3.1 函数的单调性 练习
《1.3.1函数的单调性(1)》同步练习2
《1.3.1函数的单调性（1）》同步练习2一、选择题1．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( ) A ．f (x 1)＜f (x 2) B ．f (x 1)＞f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2) D ．不能确定[答案] D2．下列函数在区间[0，＋∞)上是增函数的是( ) ①y ＝2x ②y ＝x 2＋2x －1 ③y ＝|x ＋2| ④y ＝|x |＋2 A ．①② B ．①③ C ．②③④ D ．①②③④[答案] D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0在R 上是( )A ．减函数B ．增函数C ．先减后增D ．无单调性[答案] B4．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等实数a ，b ，总有f a －f b a －b＞0成立，则必有( )[来源:学.科.网] A ．函数f (x )是先增加后减少 B ．函数f (x )是衔减少后增加 C ．f (x )在R 上是增函数 D ．f (x )在R 上是减函数[答案] C5．已知函数f (x )＝2x 2－ax －1，在[－1，2]上单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－4，8] B ．(－∞，－4]C ．[8，＋∞]D ．(－∞，－4]∪[8，＋∞)[答案] D[解析] 由已知得二次函数f (x )＝2x 2－ax －1的对称轴为x ＝a4，若在[－1，2]上单调则满足：a 4≤ －1或a4≥2，∴a ≤－4或9≥8，故选D .6．(2013～2014南阳市一中月考试题)若在[1，＋∞)上函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 都单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0≤a ≤1D ．0＜a ＜1[答案] D[解析] 由于两函数在(1，＋∞)上递减应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0a ＞0∴0＜a ＜1.故选D .二、填空题7．写出下列函数的单调区间． (1)y ＝|x |＋1________________. (2)y ＝－x 2＋ax ________________. (3)y ＝|2x －1|________________. (4)y ＝－1x ＋2________________.[答案] (1)增区间[0，＋∞)，减区间(－∞，0]；(2)增区间(－∞，a 2]，减区间[a2，＋∞)；(3)增区间[12，＋∞)，减区间(－∞，12]；(4)增区间 (－∞，－2)和(－2，＋∞)，无减区间．8．若函数y ＝－2x 2＋mx －3在[－1，＋∞)上为减函数，则m 的取值范围是________． [答案] m ≤－4[解析] 由条件知－m2×－2≤－1，∴m ≤－4.9．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．[答案] f (a 2－a ＋1)≤f (34)[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f(34)． 三、解答题10．证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．[证明] 设x 1，x 2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x 2＞x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1－1)－(x 22－4x 2－1)＝x 21－x 22－4x 1＋4x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．∵x 2＞x 1≥2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞4， 即x 1＋x 2－4＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2b －1x ＋b －1，x ＞0－x 2＋2－b x ，x ≤0在R 上为增函数，求实数b 的取值范围．[分析] 分别考虑两个分段解析式的单调性→再根据整体的单调性求b 的取值范围 [来源:学科网][解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞02－b ≥0b －1≥f 0，解得1≤b ≤2①[注释] ①本题在列不等式组时很容易忽略b －1≥f (0)，即只考虑到了分段函数在各自定义域上的单调性，忽略了f (x )在整个定义域上的单调性．[方法探究] 解决此类问题，一般要从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一部分的式子．12．(能力拔高题)(1)写出函数y ＝x 2－2x 的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y ＝|x |的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4，8]上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，y ＝f (x )的部分图象如图所示，请补全函数y ＝f (x )的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)[解析] (1)函数y ＝x 2－2x 的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)；其图象的对称轴是直线x ＝1；区间(－∞，1]和区间[1，＋∞)关于直线x ＝1对称，函数y ＝x 2－2x 在对称轴两侧的单调性相反．(2)函数y ＝|x |的单调减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)，图象关于直线x ＝0对称，在其两侧单调性相反．.(3)函数y ＝f (x )，x ∈[－4，8]的图象如图所示．函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2，5]；单调递减区间是[5，8]，[－1，2]；区间 [－4，－1]和区间[5，8]关于直线x＝2对称．区间[－1，2]和区间[2，5]关于直线x ＝2对称，函数y＝f(x)在对称轴两侧的对称区间内的单调性相反．(4)发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称区间内的单调性相反．。
2014年新课标人教A版必修1数学1.3.1函数的单调性随堂优化训练课件
【变式与拓展】 1．用函数单调性的定义证明：f(x)＝－2x2＋3x＋c(c 为常数)
3 在－∞，4上是增函数．
证明：设任意的 f(x1)－f(x2)
3 x1，x2∈－∞，4，且 x1<x2，则
2 ＝(－2x2 1＋3x1＋c)－(－2x2＋3x2＋c) 2 ＝2x2 － 2 x 2 1＋3x1－3x2＝2(x2＋x1)(x2－x1)－3(x2－x1)
证明：设任意的 x1，x2∈(0,1]，且x1<x2，
1 1 f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2＋x 1 2 1 1 ＝(x1－x2)＋x －x 1 2
x 2 －x 1 ＝(x1－x2)＋ x x 1 2 x1－x2x1x2－1 ＝ . xx
＝[2(x2＋x1)－3](x2－x1)．
由 x1<x2，得 x2－x1>0，
由
3 3 3 x1，x2∈ －∞，4 ，得 x1<4，x2<4.
3 3 ∵2x1<2，2x2<2，∴2(x2＋x1)<3， 即 2(x2＋x1)－3<0. 于是 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
增 函数． 区间[2,3]上是______
练习 2：下列函数在区间(0,2)上是增函数的是( C )
A．y＝－x＋1 C．y＝ 2x B．y＝x2－4x＋5 2 D．y＝x
【问题探究】
根据 f(x)＝x2(x>0)的图象进行讨论：随着 x 的增大，函数值 怎样变化？当 x1>x2 时，f(x1)与 f(x2)有怎样的大小关系？
1.3
1.3.1
函数的基本性质
函数的单调性
1.3.1函数的单调性与最值性
显明教育学生课后作业1、函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ）A 、递减函数B 、递增函数C 、先递减再递增D 、选递增再递减、 2、函数f （x ）＝－2x ＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ）A 、a ≥5B 、a ≥3C 、a ≤3D 、a ≤－53、若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ）A 、必是增函数B 、必是减函数C 、是增函数或是减函数D 、无法确定增减性 4、(x)=x 2-2ax+1在(]1,∞-上是减函数，则a 的取值范围是____________________5、数y=x x 22-的单调递增区间是_______________6、||2x x y +-=，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情为 .7、（x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1.8、()211y x x x =--≤≤的最大值，最小值．9、数()21y x x =-+的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间． 10、]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 得单调递减区间.显明教育学生预习内容一、函数的奇偶性定义1．偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有，那么f(x)就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．二、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称。
1.3.1函数的单调性与导数(一)
1.3.1函数的单调性与导数（一）【学习目标】1. 记住函数的单调性与导数之间的关系；2. 学会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．【重点难点】重点: 函数的单调性与导数之间的关系难点: 利用函数的导数判断单调性【学习过程】【预习案】预习教材P22～26，完成以下问题1.一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，f ′(x)＞0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的如果在这个区间内，f ′(x)＜0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系3.用导数求函数单调区间的步骤：①优先确定函数的定义域；②求函数f(x)的导数f ′(x)；③定义域内满足不等式f ′(x)＞0的x的区间就是递增区间；满足不等式f ′(x)＞0的x的区间就是递减区间．[预习诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．() 2．函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 【探究案】探究一函数余导函数图象间的关系例1：设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为()【变式训练】设f ′(x)是函数f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的递增区间是．探究二利用导数求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln x.【变式训练】证明:函数xxxfsin)(=在区间),2(ππ上单调递减.注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示【检测案】1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是增函数D．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是减函数2．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．是()4．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数f(x)的单调递增区间为________．5.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)6.函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为()A．(－1,1] B．(0,1]C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)7.判断函数xxxfln)(=在区间(0,e)上的单调性。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书：第1章 1.3.1 单调性 Word版含答案
1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1．利用导数研究函数的单调性．(重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：(2)2．导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．判断正误：(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.( )(2)函数f(x)＝1x在其定义域上是单调减函数．( )(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．( )(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．( )【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．【解析】f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2.【答案】(2，＋∞)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)0)内是减函数．(2)判断函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上的单调性．【精彩点拨】求出导数f′(x)，然后判断导数的符号即可．【自主解答】(1)证明：由于f(x)＝e x－x－1，所以f′(x)＝e x－1，当x∈(0，＋∞)时，e x>1，即f′(x)＝e x－1>0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，e x<1，即f′(x)＝e x－1<0. 故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．(2)由于f(x)＝ln x x，所以f′(x)＝1x·x－ln xx2＝1－ln xx2.由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，x2>0.故f′(x)＝1－ln xx2>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在( a，b)内的符号；(3)得出结论．[再练一题]1．证明：函数y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．【证明】显然函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(ln x＋x)′＝1x＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝exx－2；(3)f (x )＝－x 3＋3x 2.【精彩点拨】 首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间． 【自主解答】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x＝错误!.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝错误!＝错误!.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x >0，(x －2)2>0.由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <3，又x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．当0<x <2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0,2)；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，解出相应的x 的范围；当f ′(x )>0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )<0时，f (x )在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．[再练一题]2．若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________.【导学号：01580011】【解析】 由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x2－2x －4x，由f ′(x )>0得x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2， 又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 【答案】 (2，＋∞)[探究共研型]探究【提示】 由已知得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.探究2 若函数f (x )＝x ＋ax ＋ln x (a ∈R )在(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．【提示】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax2＋1x ＝x2＋x －ax由题意知，f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即x 2＋x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2＋x －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122－14－a ，则g (x )＞2－a ，从而2－a ≥0，∴a ≤2. 当a ＝2时，f ′(x )＞0在(1，＋∞)上恒成立， 因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．【自主解答】 y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数． 则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 则a ≤(3x 2)最小值． 因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (2)令y ′>0，得x 2>a3.若a ≤0，则x 2>a3恒成立，即y ′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符． 若a >0，令y ′>0，得x >a 3或x <－a 3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．解答本题注意：可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．[再练一题]3．将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y′＝3x2－a，当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝a3或x＝－a3(舍去)．依题意，有a3>1，∴a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞)．[构建·体系]1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1-3-1所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )图1-3-1【解析】当x＜0时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，排除①，③；当x＞0时，f(x)先增后减再增，对应f ′(x )先正后负再正．故选④.【答案】 ④2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________(填序号)． ①y ＝2－3x 2；②y ＝ln x ；③y ＝1x －2；④y ＝sin x .【解析】 显然，函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的； 函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求； 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝错误!<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝错误!在区间(－1，1)上是减函数；函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数．【答案】 ③3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．【解析】 f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 【答案】 (1,2)4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝错误!，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，125．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x恒成立，所以a ≥G (x )最大值，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，1，所以G (x )最大值＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716. 当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x2－32x16x＝错误!.因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝错误!≤0， 即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－716，＋∞.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
1.3.1(1)函数的单调性知识点及 例题解析
函数的单调性知识点及例题解析知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1） 定义法（基本法）；①取值：任取，且；②作差：；③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差的正负；⑤下结论：即指出函数在给定区间上的单调性.（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（3）利用函数的图像；，，.（4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；如果单调性相同，那么是增函数；如果单调性相反，那么是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同增，异减”知识点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加：①的单调性：增函数，减函数；②的单调性：减区间；增区间；③的单调性：，减区间，增区间；，增区间，减区间；④在区间上是增（减）函数，则时，在上是增（减）函数；时则相反；⑤若、是区间上的增（减）函数，则在区间上是增（减）函数；⑥若且在区间上是增（减）函数，则在上是减（增）函数，在上是增（减）函数；1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．2. 函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（ ）A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，则[-1，0]，[1，2]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]2） 由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥15.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.56.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y 的单调性与单调区间．解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）8.求函数f（x）=x4﹣2x2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x2，可得0≤t≤4，根据二次函数g（t）=f（x）=x4﹣2x2+5=（t﹣1）2+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g（t） 在区间[0，4]上的最值．解：令t=x2，由﹣2≤x≤2，可得0≤t≤4，由于二次函数g（t）=f（x）=x4﹣2x2+5=t2﹣2t+5=（t﹣1）2+4 的对称轴为t=1，则函数g（t） 在区间[0，4]上的最大值是g（4）=13，最小值为 g（1）=4，故答案为 13，4．9.证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答证明：任取x1，x2∈[﹣2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=－==，因为x1-x2＜0，+＞0，得f（x1）＜f（x2）所以函数在[﹣2，+∞）上是增函数．10. 函数f（x）=，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；②求f（x）在[3，5]上最大值和最小值分析：①分离常数得到f（x）=，根据反比例函数的单调性便可看出f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x1，x2≠﹣1，且x1＜x2，然后作差，通分，说明x1，x2∈（﹣∞，﹣1），或x1，x2∈（﹣1，+∞）上时都有f（x1）＜f（x2），这样即可得出f（x）的单调区间；②根据f（x）的单调性便知f（x）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f（x）的值域，从而可以得出f（x）在[3，5]上的最大、最小值．解：①f（x）===2-；该函数的定义域为{x|x≠﹣1}，设x1，x2∈{x|x≠﹣1}，且x1＜x2，则：f（x1）- f（x2）=-=；∵x1＜x2；∴x1﹣x2＜0；∴x1，x2∈（﹣∞，﹣1）时，x1+1＜0，x2+1＜0；x1，x2∈（﹣1，+∞）时，x1+1＞0，x2+1＞0；∴（x1+1）（x2+1）＞0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）；②由上面知f（x）在[3，5]上单调递增；∴f（3）≤f（x）≤f（5）；∴7／4≤f（x）≤11／6；∴f（x）在[3，5]上的最大值为11／6，最小值为7／411.已知f（x）+2f（）=3x．（1）求f（x）的解析式及定义域；（2）指出f（x）的单调区间并加以证明解：（1）由 f(x)+2f()＝3x ①，用代替x，得 f()+2f(x)＝ ②；②×2-①，得 3f(x)＝-3x，所以 f(x)＝-x（x≠0）（2） 由（1），f(x)＝-x（x≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间．事实上，任取x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)＝-x1-+x2＝-(x1-x2)＝(x2-x1)• ，∵x1＜x2＜0∴x2-x1＞0，x1x2＞0，2+x1x2＞0，所以 (x2-x1)• ＞0，即f（x1）＞f（x2）故f（x）在（-∞，0）上递减．同理可证其在（0，+∞）上也递减12.证明：f（x）=x+在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数分析：利用函数单调性的定义证明．证明：设任意的x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1﹣x2）•，∵x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1﹣2＞1，x2﹣2＞1，（x1﹣2）（x2﹣2）＞1，∴（x1﹣x2）•＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在（3，+∞）上是增函数．同理可证，f（x）=x+在（2，3]上是减函数解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出图像。
1.3.1 函数单调性2(屠编)
河南省实验中学 屠新民编
复习准备
1、函数单调性的 、 定义是什么？ 定义是什么？ 2、证明函数单调 、 性的步骤是什么？ 性的步骤是什么？ 3、现在已经学过的 、 判断函数单调性有 些什么方法？ 些什么方法？ 数值列表法（不常用）、 数值列表法（不常用）、 图象法、 图象法、 定义法. 定义法
河南省实验中学 屠新民编
f ( x), f n( x)
(n > 1)
也是增函数. 也是增函数
河南省实验中学 屠新民编
f[g(x)]
题型三： 题型三：利用已知函数单调性进行判断
练习： 练习：求函数 答案： 答案： (－∞, －3]单减区间 － 单减区间; 单减区间 [2,+∞)单增区间 单增区间. 单增区间
f ( x) =
当k>0时，单调性相同； 即有 <y ,由定义可知，y＝3－ 时 单调性相同； 即有y 由定义可知， ＝ － 1 2 由定义可知 上为增函数. 在 上为增函数 当k<0时，单调性相反 2f(x)在A上为增函数 时 单调性相反.
河南省实验中学 屠新民编
题型三： 题型三：利用已知函数单调性进行判断
结论3： 结论 ：若f(x)与g(x)在 与 在 R上是增函数，则 上是增函数， 上是增函数 f(x)+g(x)也是增函数 也是增函数. 也是增函数 结论5： 结论 ：若f(x)(其中 其中 f(x)>0)在某个区间上 在某个区间上 为增函数， 为增函数，则
题型一： 题型一：用定义证明函数的单调性
例1、判断函数 3 f(x)=－x +1在(－∞,0) 是减函数，证明如下： 是减函数，证明如下： 上是增函数还是减函 在 ∞ 0)上任取 1 , x2 ,且 1 < x2 ( ， x x 并证明你的结论； 数，并证明你的结论； Q f ( x1 ) f ( x2 ) = (x13 + 1) (x23 + 1) 如果x∈（0，＋∞）， 2 2 = ( x2 x1 )( x1 + x x2 + x2 ) 函数f(x)是增函数还是 x2 2 3 2 = ( x2 x1 )( x1 + ) + x2 减函数？ 减函数？ 2 4 又Qx2 x1 > 0, 证明函数单调性 x2 2 3 2 的问题， 的问题，只需严格 (x1 + ) + x2 > 0, 2 4 按照定义的步骤就 ∴ f (x1) f (x2 ) > 0,即f (x1) > f (x2 ). 可以了. 可以了
单调性练习题
1.3.1 单调性与最大（小）值1.若函数y=ax 与y=-xb 在(0,+∞)上都是减函数，则函数y=ax 2+bx 在(0,+∞)上是单调递增函数还是单调递减函数？思路解析：确定a 、b 符号，求出y=ax 2+bx 的单调区间.由已知得a<0,b<0,∴-a b 2<0. ∵y=ax 2+bx 在［-ab 2,+∞］上单调递减， ∴y=ax 2+bx 在(0,+∞)上是单调递减函数.2.如果函数f(x)在［a ，b ］上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈［a ，b ］(x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.2121)()(x x x f x f -->0 B.(x 1-x 2)［f(x 1)-f(x 2)］＞0 C.f(a)＜f(x 1)＜f(x 2)＜f(b) D.)()(2121x f x f x x -->0 思路解析：2121)()(x x x f x f -->0 ⇔⎩⎨⎧>>⎩⎨⎧<<)()(,)()(,21212121x f x f x x x f x f x x 或 ⇔f(x)在［a ，b ］上为增函数. 又2121)()(x x x f x f -->0⇔ (x 1-x 2)［f(x 1)-f(x 2)］＞0⇔)()(2121x f x f x x --＞0, ∴A 、B 、D 正确，C 不正确.答案：C3.函数y=1-+x x 的值域为_________.思路解析：考查函数的单调性和值域的求法.由x ≥1和函数是增函数，可知y ≥1，所以函数的值域是［1，+∞］.答案：［1，+∞］4.已知函数y=f(x)在(-∞，＋∞)上是减函数，则y=f(|x ＋2|)的单调递减区间是( )A.(-∞，＋∞)B.［-2，＋∞］C.［2，＋∞］D.(-∞，-2)思路解析：∵u=|x ＋2|≥0，且u=|x ＋2|在［-2，＋∞)上为增函数，在(-∞，-2］上为减函数.又y=f(x)在(-∞，＋∞)上是减函数,∴y=f(u)在［0，＋∞)上也是减函数.∴y=f(|x ＋2|)在［-2，＋∞)上为减函数，在(-∞，-2］上为增函数.答案：B5.若函数f(x)=x 2＋2(a-1)x ＋2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是…( )A.a ≤-3B.a ≥-3C.a ≤5D.a ≥3思路解析：因为函数f(x)=x 2＋2(a-1)x ＋2有两个单调区间，它在(-∞，-(a-1)］上是减函数，又因为f(x)在区间(-∞，4)上是减函数，因此必有4≤-(a-1)，解得a ≤-3.答案：A6.设f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)＞0，则下列函数中为增函数的个数是( ) ①y=3-f(x) ②y=1＋)(2x f ③y=［f(x)］2 ④y=1-)(x fA.1B.2C.3D.4思路解析：∵f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)＞0,设x 1、x 2∈A ，且x 1＜x 2，则f(x 1)＞f(x 2)＞0,∴3-f(x 1)＜3-f(x 2)，即y=3-f(x)在A 上为增函数.)(11x f < )(12x f ,1+)(21x f <1+)(22x f ,即y=1＋)(2x f 在A 上为增函数.f 2(x 1)＞f 2(x 2)，即y=f 2(x)在A 上是减函数. )()(21x f x f ,1-)(1x f <1-)(2x f ，即y=1-)(x f 在A 上为增函数.答案：C7.若函数f(x)在区间［m ，n ］上是增函数，在区间［n ，k ］上也是增函数，则函数f(x)在区间(m ，k)上( )A.必是减函数B.是增函数或减函数C.必是增函数D.未必是增函数或减函数思路解析：任取x 1、x 2∈(m ，k)，且x 1＜x 2,若x 1、x 2∈(m ，n ］，则f(x 1)＜f(x 2).若x 1、x 2∈［n ，k)，则f(x 1)＜f(x 2).若x 1∈(m ，n ］，x 2∈(n ，k)，则x 1≤n ＜x 2.∴f(x 1)≤f(n)＜f(x 2). ∴f(x)在(m ，k)上必为增函数.答案：C8、若函数y=（2k+1）x+b 在R 上是减函数，则( )A.k ＞21 B.k ＜21 C.k ＞-21 D.k ＜-21 思路解析：利用一次函数的单调性解决此题.由已知，2k+1＜0，解得k ＜-21，选D. 答案：D6.求函数y=x 2-2x+3在x ∈［-1，2］上的最大值、最小值.思路解析：函数f （x ）为二次函数，在区间［-1，2］上的图象已确定，可结合图象求函数最值.解：原函数变形为y=（x-1）2+2，x ∈［-1，2］，对称轴方程为x=1.作出函数y=（x-1）2+2在x ∈［-1，2］上的图象，如上图实线部分，可以看出y 的最小值在x=1时取到，为2，y 的最大值在x=-1时取到，为6.7.借助计算机作出函数y=-x 2＋2|x|＋3的图象并指出它的单调区间.思路解析：计算机中有好多程序可以画图，但要注意的是，选用最常用的比较方便，如选用《几何画板》.解：用《几何画板》画的函数图象如下图，由图象可知，函数的单增区间为（-∞，-1）、（0，1）；函数的单调减区间为（-1，0）、（1，＋∞）.30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.已知f(x)是R 上的增函数，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),则F(x)是R 上的( )A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数思路解析：因为已知f(x)是R 上的增函数.采用特殊函数法变换.取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x 为减函数.答案：B2.函数f(x)在区间(-4，7)上是增函数，则y=f(x-3)的递增区间是( )A.(-2，3)B.(-1，10)C.(-1，7)D.(-4，10)思路解析：∵f(x)在(-4，7)上是增函数,由-4＜x-3＜7，得-1＜x ＜10.且u=x-3，在(-1，10)上也为增函数，∴f(x-3)在(-1，10)上为增函数.答案：B3.在（0，2）上为增函数的是( )A.y=-x+1B.y=xC.y=x 2-4x+5D.y=x2 答案：B4.f （x ）=x 2+2（a-1）x+2在（-∞，4）上是减函数，则a 的范围是_________.思路解析：只需对称轴1-a ≥4便可，∴a ≤-3.答案：a ≤-35.函数y=62+--x x 单调递增区间是_________，单调递减区间是_________.思路解析：由-x 2-x ＋6≥0，即x 2＋x-6≤0，解得-3≤x ≤2.∴y=62+--x x 的定义域是［-3，2］.又u=-x 2-x ＋6的对称轴是x=-21, ∴u 在x ∈［-3，-21］上递增，在x ∈［-21，2］上递减.又y=u 是［0，＋∞］上的增函数,∴y=62+--x x 的递增区间是［-3，-21］，递减区间是［-21，2］. 答案：［-3，-21］ ［-21，2］ 6.函数y=f(x)是定义在R 上的减函数，则y=f(|x ＋2|)的单调减区间是_________.思路解析：∵y=f(u)在R 上递减,u=|x ＋2|在［-2，＋∞)上递增，在(-∞，-2］上递减,∴y=f(|x ＋2|)在［-2，＋∞］上递减.答案：［-2，＋∞］7.已知f(x)=x 3＋x(x ∈R )，(1)判断f(x)在(-∞，＋∞)上的单调性，并证明；(2)求证：满足f(x)=a(a 为常数)的实数x 至多只有一个.思路解析：证明二次函数在给定区间上的单调性时，变形的主要手段是配方，通过配方达到判断符号的目的.(1)解：设x 1＜x 2，即x 1-x 2＜0,∴f(x 1)-f(x 2)=(x 13+x 1)-(x 23+x 2)=(x 13-x 23)+(x 1-x 2)=(x 1-x 2)(x 12+x 1x 2+x 22+1)=(x 1-x 2)［(x 1+22x )2+43x 23+1］＜0. ∴f(x 1)-f(x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2).因此f(x)=x 3+x 在R 上是增函数.(2)证明：假设x 1＜x 2且f(x 1)=f(x 2)=a,由f(x)在R 上递增,∴f(x 1)＜f(x 2)，此与f(x 1)=f(x 2)矛盾.∴原命题正确.8.已知f （x ）是定义在R 上的函数，其图象关于y 轴对称，且在［a ，b ］（a 、b ＞0）上是增函数，证明f （x ）在［-b ，-a ］上是减函数.思路解析：考查函数的性质及推理能力.判断或证明函数的单调性，最基本的方法是用定义，即函数f （x ）在区间［-b ，-a ］上，若对任意x 1、x 2，且-b ≤x 1＜x 2≤-a ，如果f （x 1）＜f （x 2），则函数f （x ）为增函数；如果f （x 1）＞f （x 2），则函数f （x ）为减函数.有时会结合函数的奇偶性来解决.证明：设-b ≤x 1＜x 2≤-a ，则a ≤-x 2＜-x 1≤b.∵f （x ）在［a ，b ］（a 、b ＞0）上是增函数，∴f （-x 2）＜f （-x 1）.又f （x ）的图象关于y 轴对称，∴f （x ）是偶函数，即f （-x ）=f （x ）. ∴f （x 2）＜f （x 1）.∴f （x ）在［-b ，-a ］上是减函数.9.函数f （x ）=4x 2-4ax+a 2-2a+2在区间［0，2］上有最小值3，求a 的值.解：∵f （x ）=4（x-2a ）2-2a+2， ①当2a ≤0，即a ≤0时，函数f （x ）在［0，2］上是增函数.∴f （x ）min =f （0）=a 2-2a+2.由a 2-2a+2=3，得a=1±2.∵a<0，∴a=1-2.②当0<2a <2，即0<a<4时，f （x ）min =f （2a ）=-2a+2.由-2a+2=3，得 a=-21∉（0，4），舍去. ③当2a ≥2，即a ≥4时，函数f （x ）在［0，2］上是减函数，f （x ）min =f （2）=a 2-10a+18. 由a 2-10a+18=3，得a=5±10.∵a ≥4，∴a=5+10.综上所述，a=1-2或a=5+10.11.已知函数f （x ）=xa x x ++22，x ∈[1，+∞). (1)a=21时，求函数的最小值； （2）若对任意x ∈∈[1，+∞],f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 思路解析：先来解决第（1）问，当a 的值给定时，函数变为f （x ）=x+x 21+2，它类似于函数f （x ）=x+x1，所以可以利用函数的单调性来判断最值. 解：（1）当a=21时，f （x ）=x+x21+2.f （x ）在[1,+∞)上为增函数，所以f （x ）在[1,+∞)上的最小值为f （1）=27. （2）f （x ）=x+xa +2，x ∈[1,+∞). 当a ≥0时，函数f （x ）在值恒为正.当a<0时,函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,故当x=1时,f(x)有最小值3+a,于是当3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故0>a>-3.综上,可知当a>-3时,f(x)>0恒成立.。
《金版新学案》高一数学 第一章1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时函数的最大值、最小值)练习题
1．函数f(x)(－2≤x ≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f(2)，f(-2)B ．f(12)，f(－1)C ．f(12)，f(－32)D ．f(12)，f(0)【解析】 根据函数最值定义，结合函数图象知，当x ＝－32时，有最小值f(－32)；当x ＝12时，有最大值f(12)．【答案】 C2．y ＝2x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )A ．1，12 B.12，1C.12，14D.14，12【解析】 因为y ＝2x 在[2,4]上单调递减，所以y max ＝22＝1，y min ＝24＝12.【答案】 A3．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝________.【解析】 若a<0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，a ＝3不满足a<0；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，a＝1，满足a>0，所以a＝1.【答案】 14．已知函数y＝－x2＋4x－2，x∈[0,5]．(1)写出函数的单调区间；(2)若x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．【解析】y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，x∈[0,5]．所以(1)此函数的单调区间为[0,2)，[2,5]；(2)此函数在区间[0,2)上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，结合函数的图象知：当x＝2时，函数取得最大值，最大值为2；又x＝3时，y＝1，x＝0时，y＝－2，所以函数的最小值为－2.一、选择题(每小题5分，共20分)1.函数y=|x-1|在[-2,2]上的最大值为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】函数y＝|x－1|的图象，如右图所示可知y max＝3.【答案】 D2．函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋8 x ∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值为( ) A ．10,7 B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对【解析】 本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x ≤1时，7≤x ＋8≤9.∴f(x)min ＝f(－1)＝7，f(x)max ＝f(2)＝10.【答案】 A3．函数f(x)＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值－14【解析】 f(x)＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2－14，∵－5＜－23＜5，∴无最大值f(x)min ＝f(－32)＝－14.【答案】 D4．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a(x ∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A ．－1B ．0C．1 D．2【解析】函数f(x)＝－x2＋4x＋a的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)＝－2，即a＝－2，于是最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1，故选C.【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝－3x，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)的值域为________．【解析】y＝－3x在(－∞，－3]及[3，＋∞)上单调递增，所以值域为(0,1]∪[－1,0)．【答案】(0,1]∪[－1,0)6．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为________．【解析】f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2＋1－a，对称轴x＝－1，当a＞0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝1 3，当a＜0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a＝－5.【答案】13或－5三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数y＝2x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．【解析】设x1、x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)= -== .由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以，函数y= 是区间[2,6]上的减函数．如上图．因此，函数y= 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.8．求f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．【解析】f(x)＝(x－a)2＋2－a2，当a≤2时，f(x)min＝f(2)＝6－4a；当2<a<4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2；当a≥4时，f(x)min＝f(4)＝18－8a.综上可知，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－4a (a ≤2)2－a 2 (2<a<4)18－8a (a ≥4)9．(10分)某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．摊主每天从报社买进多少份，才能使每月获得最大利润(设摊主每天从报社买进的份数是相同的)?【解析】 若设每天从报社买进x(180≤x ≤400，x ∈N )份，则每月(按30天计算)可销售(18x ＋12×180)份，每份获利0.20元，退回报社12(x －180)份，每份亏损0.35元，建立月纯利润函数，再求它的最大值．设每天从报社买进x 份报纸，每月获利为y 元，则有y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188,180≤x ≤400，x ∈N .函数y ＝－0.6x ＋1 188在区间[180,400]上是减函数，所以x ＝180时函数取最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.即摊主每天从报社买进180份时，每月获得的利润最大，最大利润为1 080元.。
1.3 1函数单调性与导数 导学案 (教师版)
§1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数内容要求 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间.知识点1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0【预习评价】思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？提示必要不充分条件.知识点2利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【预习评价】函数f(x)＝13－x2－3x＋2的单调增区间是________.3x解析 f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3，故f (x )的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). 答案 (－∞，－1)，(3，＋∞)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例1】 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).【训练1】 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1＜0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0， 解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33.∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).(4)f′(x)＝3x2－3t.令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，由x2＞t解得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t，函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).综上，当t≤0时，f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当t＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－t)，(t，＋∞)，减区间是(－t，t).规律方法求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间.【训练2】求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解方法一函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).方法二函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3(x2－1x2)；令f′(x)＝0，得x＝±1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1，0) (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x )＋0 －－0 ＋ f (x ) 单调递增Z －4单调递减] 单调递减]4单调递增Z0)，(0，1).方向1 已知函数的单调性求参数的取值范围【例3－1】 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16].方向2利用函数的单调性证明不等式【例3－2】已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：a b＞b a.证明当b＞a＞e时，要证a b＞b a，只要证b ln a＞a ln b，即只要证ln aa＞ln bb.构造函数y＝ln xx(x＞0)，则y′＝1－ln xx2.因为当x＞e时，y′＝1－ln xx2＜0，所以函数y＝ln xx在(e，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以ln aa ＞ln bb.故a b＞b a.规律方法(1)已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练3】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.因此Δ＝4－12m≤0，故m≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.课堂达标1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数解析 ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0，6)上单调递增. 答案 A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确. 答案 D3.若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0，1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.a ＝1C.(－∞，1]D.(0，1)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1，又f (x )在(0，1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0，1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1. 答案 A4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______. 解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2；令y ′<0，得x <2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2). 答案 (2，＋∞) (－∞，2)5.若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x.因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解.又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解. ①当a ＞0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a ＜0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线， 若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a ＞0，解得－1≤a ＜0， 而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1＜a ＜0；③当a ＝0时，显然符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (－1，＋∞)课堂小结1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.基础过关1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)解析 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，即(x －2)e x ＞0，解得x ＞2，故选D. 答案 D2.y ＝x ln x 在(0，5)内的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递减解析 函数的定义域为(0，＋∞).y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e ；令y ′＜0，得0＜x ＜1e .所以函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增.答案 C3.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A.增函数 B.减函数 C.常数D.既不是增函数也不是减函数解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )>0恒成立，故f (x )是增函数. 答案 A4.函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.解析 函数y ＝f (x )为减函数的区间，反映在图象上图象是下降的. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)5.当x >0时，f (x )＝x ＋2x 的单调递减区间是________.解析 f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2.由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2. 答案 (0，2)6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间.解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2).7.已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t ).若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围.解 由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上f ′(x )≥0恒成立.即t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立.令函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.故t的取值范围是[5，＋∞).能力提升8.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是()A.单调递减B.单调递增C.先增后减D.先减后增解析因为函数f(x)在定义域R上为增函数，所以f′(x)≥0.又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内单调递增.答案 B9.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，选项中的四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是()解析由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的.由上述分析可知选C.答案 C10.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________.解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，故f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0＜1x ＜1，故k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).答案 [1，＋∞)11. 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数．又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x ＋e x －1e x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．由f (a －1)＋f (2a 2)≤0得，f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 12.已知函数f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，试求f (x )的单调区间.解 由f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝1x －f ′(1).令x ＝1，则f ′(1)＝1－f ′(1)，∴f ′(1)＝12，f ′(x )＝1x －12.由f ′(x )＞0，即1x －12＞0，得0＜x ＜2；由f ′(x )＜0，即1x －12＜0，得x ＞2.故f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞).创新突破13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3).当Δ＞0，即a ＞3或a ＜－3时，令f ′(x )＞0，即3x 2＋2ax ＋1＞0，解得x ＞－a ＋a 2－33或x ＜－a －a 2－33；令f ′(x )＜0，即3x 2＋2ax ＋1＜0， 解得－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33. 故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞； 单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33. 当Δ＜0，即－3＜a ＜3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a 3都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.(2)由(1)，知只有当a ＞3或a ＜－3时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －a 2－33≤－23，－a ＋a 2－33≥－13.解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞).。
1.3.1函数的单调性(一)
变式1：求y＝x2－4x＋5的单调区间.
变式1：求y＝x2－4x＋5的单调区间.
变式2： y＝x2－ax＋4在[2，4]上是
单调函数，求a的取值范围.
练2 证明：函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数．
判定函数在某个区间上的单调性的 方法步骤: 1. 设x1, x2∈给定的区间，且x1＜x2; 2. 计算f(x1)－f(x2) 至最简; 3. 判断上述差的符号;
x
y
y= x
2
f ( x1 )
x1O
x
y
y= x
2
f ( x1 ) O
x1
x
y
y= x
2
f ( x1 )
O
x1
x
y
y= x
2
f ( x1 )
O
x1
x
y
y= x
f ( x1 )
O
2
x1
x
y
y= x f ( x1 )
2
O
x1
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
1.3.1 函数的基本性质 ——单调性(1)
y
y＝x＋1
1
y y
2 2 y＝－2x＋2 x 1 1 x O
-1 O
x
y y
O
1
y＝－x2＋2x
2
y
x
1 y= x x O
y
y=x
2
O
x
y
y= x
f ( x1 )
2
x1
O
x
y
y= x
f ( x1 )
1.3.1(1)函数的单调性
f(x2)
的；即当x>0时，即f(x)随着x 的增大而增大.
f(x1)
x1 x2
活动3：仿照f(x)=x2，用符号语言刻画函数f(x)=|x|和 f(x)=-x2各有怎样的单调性？
符号语言：
函数单调性的定义
特别地:当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它 是增函数，例如f(x)=x，当函数f(x)在它的定义域上单调递减 时，我们就称它是减函数，例如f(x)=-x。
(3)y=x2-3x+2
3 2
单调递增区间:
(-∞,+∞)
增函数
单调递减区间:
(-∞,0)，(0 (1.5,+∞)
单调递减区间
(-∞,1.5)
不是单调函数
例1. 求下列函数的单调区间
(1)y=lx+2l
(2)y=xlx+2l
题型一 由函数图象求函数的单调区间
例2.画出下列函数图象，并写出单调区间：
f ( x) kxb(k 0) 为减函数.
当k 0时，k(x1 x2 )0, 即f (x1) f (x2) f ( x) kxb(k 0) 为增函数.
大本题型二 函数单调性的证明或判断 [例 2] 求证：函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数， 在(－∞，0)上是增函数．
[跟踪训练] 根据定义证明 y＝x＋1x在(0,1)上是减函数．
例3:已知函数f(x)定义域为R， x1,x2∈R，
满足
f
( x1 ) x1
f (x2 x2
)
0
或
f
( x1 )
f (x2 )x1 x2 0
求证:函数f(x)在R上单调递增
函数单调性定义的等价形式:
1.3.1_第一课时函数的单调性
1.3.1第一课时 函数的单调性1、函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定2、函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( )A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 3．下列四个函数：①y ＝xx －1；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④y ＝x1－x ＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．①B ．④C ．①④D ．①②④4、函数y ＝－x 2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞) B．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)5、若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．无法判断6、已知函数y ＝f (x )，x ∈A ，若对任意a ，b ∈A ，当a <b 时，都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的根( )A ．有且只有一个B ．可能有两个C ．至多有一个D ．有两个以上7、设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )＞f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a )8、下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x |x |. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④9、下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个10、若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________．11、若函数y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．12、已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________． 13、y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．14、若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．15、已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．16、设函数y＝f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．17、（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系.（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.18、证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数.19、证明函数f (x) =1x在（0，+∞）上是减函数.。
1.3.1正弦函数的单调性
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y sin x
2
3
4
5 6 x
性质1、正弦函数的定义域 R 、值域 [ - 1, 1 ] 性质2、正弦函数的周期性 T=2π 性质3、正弦函数的奇偶性 奇函数
1.如何由正弦函数的图像找到对应的单调区间。 2.会利用正弦函数单调性比较大小。
3.会求函数y Asinx 的单调区间。
5
与
sin( 17 )
4
3角转化到同一单调区间. (3)利用单调性比较大小．
题型2 求函数的单调区间
（1）求函数 y sin x 1的单调递减区间。
y
2
单调递减区间：
[ 2o
2
2k ,
2
3
2
2k ](k
3
2
Z)
x
（2）求函数 y 2sin x 的单调递增区间。
(1)sin π ________sin π .
10
11
(2)sin13π________sinπ.
6
3
(3)sin13π________sin
－3π 8
.
8
3．函数 f(x)＝sin
2x－π 4
在区间
0，π 2
上的值域是________．
探究正弦函数在一个周期上的单调性
y
y sin x
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y sin x, x 0,2
增区间为 [
1.3.1函数的单调性基础复习
1.3.1函数的单调性1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+1○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．3．f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ 一）函数单调性定义1．增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1) f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是 .2．减函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时都有f(x 1) f(x 2).那么就是f(x)在这个区间上是 .3．单调区间：如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f (x )的单调区间.【预习自测】1．判断1)(2-=x x f 在（0，+∞）上是 函数（填“增”、“减”） 2．判断x x x f 2)(2+-=在（ —∞，0）上是 函数（填“增”、“减”） 3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ） （A ）y=x1（B ） y=2x-1 （C ） y=1-x （D ）y=2)12(-x4． 函数y=x1-1的单调递 区间为5．证明函数f (x)=3x+2在R 上是增函数。
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函数的单调性 练习
一、选择题：（每小题6分，共36分）。
1.下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 ( ) A. x y = B. x y -=3 C. x y 1=
42+-=x y 2．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则
（ ） A ．21->k B ．2
1-<k C ．0>b D ．0>b 3．已知2,m <-点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图像上，则
（ ）
A ．123y y y <<
B ．321y y y <<
C ．132y y y <<
D ．213y y y <<
4．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么 （ ）
A ．)()(21x f x f <
B ．)()(21x f x f >
C ．)()(21x f x f =
D ．无法确定
5．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是
（ ） A ．]8,3[ B ． ]2,7[-- C ．]5,0[ D ．]3,2[-
6．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是
（ ）
A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+
B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+
C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+
D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 二、填空题：（每小题8分，共24分）.
7．已知函数223y ax x a =-++的图像经过原点，则此函数的单调增区间是___________
8．函数||2x x y +-=，单调递减区间为
9．已知函数)(x f 在区间()+∞,0上是减函数，则)4
3()1(2
f a a f 与+-的大小关系为_______ 三、解答题： (共40分). 10．（本题满分13分）设函数()()2231f x x a x a =--+在区间()1,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围。
11．（本题满分13分）画出函数26y x x =--的图像，并根据图像指出它的单调区间。
12．（本题满分14分）试用函数单调性的定义，判断函数1()f x x x
=+
在区间（1，∞+）上的单调性.
一、选择题：AABDBD
二、填空题：
7. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ ； 8. 11,0,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 9. 23(1)()4f a a f -+≤；
三、解答题：
10. (],1-∞
11. 增区间：()12,,3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
减区间：()1,2,,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
12. 略。