.【学科精品】2020届高考数学一轮复习人教B版6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.doc
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》理 新人教B版
[第35讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·宁德质检] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋8>0，x <0，y <0表示的平面区域的整点坐标是( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．(－1，－1)D ．(－1，－2)2．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，－2≤y ≤0，y ≥kx ＋2是一个梯形，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－1)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)3．[2013·广东卷] 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 24．[2013·浙江卷] 设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0，则z 的取值范围是________．能力提升5．[2013·课程标准卷] 已知正三角形ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)6．[2013·肇庆一模] 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，2y ≥x ，3x ＋2y ≥6，3y ≤x ＋9，则z ＝2x －y 的最大值是( )A.152 B.92 C.94D ．2 7．已知向量a ＝(x －z ，1)，b ＝(2，y ＋z )，且a ⊥b ，若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋2y ≤5，则z 的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2确定的平面区域内，则点N (a ＋b ，a －b )所在平面区域的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．89．[2013·四川卷] 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元10．[2013·石家庄一模] 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ≤1，y －x ≤2，y ≥0，则z ＝x －2y 的最小值是________．11．[2013·西城一模] 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1，则2x ＋y 的最小值是________．12．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧（x －y ）（3x －y ）≤0，x 2＋y 2≤1，则点(x ，y )所在的平面区域的面积为________．13．[2013·西安一模] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．14．(10分)若点P 在区域⎩⎪⎨⎪⎧2y －1≥0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0内，求点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值．15．(13分)[2013·广州二模] 甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示：为x kg，y kg，z kg.(1)试以x，y表示混合食物的成本P；(2)若混合食物至少需含35 000单位维生素C及40 000单位维生素D，问x，y，z取什么值时，混合食物的成本最少？难点突破16．(1)(6分)[2013·东北三省四市调研] 已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x 1∈(－1，1)，x 2∈(2，4)，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(－11，－3)B ．(－6，－4)C ．(－16，－8)D ．(－11，3)(2)(6分)[2013·江苏卷] 已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．课时作业(三十五)【基础热身】1．C [解析] 画出如图所示的不等式组表示的平面区域(不包括边界)，在平面区域内的整数点只有(－1，－1)，故选C.2．D [解析] y ＝kx ＋2过定点(0，2)，当直线y ＝kx ＋2过点(2，－2)时，k ＝－2－22－0＝－2，此时平面区域为三角形；当k <－2时，平面区域为梯形，故选D.3．B [解析] z ＝OM →·OA →＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，画出不等式组表示的区域(如图)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72 [解析] 约束条件得到的可行域为图中的四边形ABCO 及其内部，由目标函数z ＝x ＋2y 可得y ＝－12x ＋z 2，直线x ＋2y －z ＝0平移通过可行域时，截距z2在B 点取得最大值，在O 点取得最小值，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 故z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72. 【能力提升】5．A [解析] 由正三角形的性质可求得点C ()1＋3，2，作出△ABC 表示的可行域(如下图所示不含△ABC 的三边)．可知当直线z ＝－x ＋y 经过点C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取得最小值，且z min ＝1－3；当直线z ＝－x ＋y 经过点B (1，3)时，z ＝－x ＋y 取得最大值，且z max ＝2.因为可行域不含△ABC 的三边，故z ＝－x ＋y 的取值范围是()1－3，2.故选A.6．B [解析] 2x －y ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝32，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，当直线z ＝2x －y 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32时，z 取得最大值z max ＝2×3－32＝92，故选B.7．C [解析] 因为a ⊥b ，所以(－，1)·(2，＋z )＝0，即z ＝2x ＋y .约束条件表示的平面区域如图所示，可解得A (－1，4)，B (－1，－1)，C (1，1)，当直线z ＝2x ＋y 经过点C 时，z 取得最大值，最大值为z max ＝2×1＋1＝3，故选C.8．C [解析] 令⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝u ，a －b ＝v ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝u ＋v2，b ＝u －v 2，由点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2确定的平面区域内，得⎩⎪⎨⎪⎧u ＋v ≥0，u －v ≥0，u ≤2，所以点N 所在平面区域为图中的阴影部分．所以该平面区域的面积为S ＝12×4×2＝4.9．C [解析] 设该公司每天生产甲产品桶，乙产品y 桶， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ∈N ，y ∈N ，利润函数z ＝300x ＋400y ，如图，在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12 的交点(4，4)处取得最大值．z max ＝300×4＋400×4＝2 800元．10．－72 [解析] 作出不等式组表示的平面区域(如图)，可行域是△ABC ，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (1，0)，作直线x －2y ＝0，把直线向上平移，当直线x －2y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32时，z 取得最小值，最小值为z min ＝－12－2×32＝－72.11．－2 [解析] 2x 平移经过点(－1，0)时，2x ＋y 有最小值－2.12.π12[解析] 画出不等式组表示的平面区域，是夹在两直线y ＝x 与y ＝3x 之间在圆内部分的平面区域，即圆心角为π3－π4＝π12的两个扇形，其面积为2×12×π12×12＝π12.13．3 [解析] 因为ax －y ＋1＝0恒过定点(0，1)， 当a ＝0时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所表示的平面区域的面积为12，不合题意；当a <0时，所围成的区域面积小于2，所以a >0，此时所围成的区域为三角形(如上图)，其面积为S ＝12×1×(a ＋1)＝2，解之得a ＝3.14．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0所表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x －4y 所表示的平行直线系过点A (0，2)时，目标函数取得最小值，此时对应的直线方程为3x －4y＋8＝0，其与直线3x －4y －12＝0的距离为d ＝8＋1232＋42＝4，即得点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值为4.15．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，P ＝5x ＋4y ＋3z .由x ＋y ＋z ＝100，得z ＝100－x －y ，代入P ＝5x ＋4y ＋3z ， 得P ＝300＋2x ＋y .(2)依题意知x ，y ，z 要满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，z ≥0，300x ＋500y ＋300z ≥35 000，700x ＋100y ＋300z ≥40 000.把z ＝100－x －y 代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，100－x －y ≥0，2x －y ≥50，y ≥25.如图，可行域(阴影部分)的一个顶点为A (37.5，25)．让目标函数2x ＋y ＋300＝P由此可知P ＝(300＋2x )＋y 在A (37.5，25)处取得最小值．∴当x ＝37.5(kg)，y ＝25(kg)，z ＝37.5(kg)时，混合食物的成本最少． 【难点突破】16．(1)D (2)[e ，7] [解析] (1)f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ，由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝（－1）2＋a （－1）＋b ＝1－a ＋b >0，f ′（1）＝12＋a ·1＋b ＝1＋a ＋b <0，f ′（2）＝22＋a ·2＋b ＝4＋2a ＋b <0，f ′（4）＝42＋a ·4＋b ＝16＋4a ＋b >0，所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3，2)，(－5，4)，可验证得，当a ＝－5，b ＝43； 当a ＝－3，b ＝－4时，z ＝a ＋2b 取得最小值为－11. 于是z ＝a ＋2b 的取值范围是(－11，3)，故选D.(2)本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c ，三元换成两元．题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3a c ＋bc≥5，a c ＋bc ≤4，b c ≥e a c，记x ＝a c ，y ＝b c ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x，x ，y >0，且目标函数为z ＝yx ，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72，此时z max ＝7.又过原点作曲线y ＝e x 的切线，切点为(x 0，y 0)，因y ′＝e x ，故切线斜率k ＝e x 0，切线方程为y ＝e x 0x ，而y 0＝e x 0且y 0＝e x 0x 0，解之得x 0＝1，故切线方程为y ＝e x ，从而z min ＝e ，所求取值范围为[e ，7]．。
高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域
反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等 式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求 “交”；④表示.但要注意是否包含边界.
跟踪训练3 画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域.
解 当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.
x≥0， 由y≥0，
3 达标检测
PART THREE
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是
A.(0，0) C.(0，2)
B.(1，1)
√D.(2，0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
1234
2.已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是
解析 在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0， 视察图象(图略)知原点在直线的右下方， 将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0， 所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.
命题角度2 给不等式组画平面区域
例3 画出下列不等式组所表示的平面区域.
x－2y≤3，
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
数形结合的魅力
典例 我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解.怎么证明直线
x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？
证明 设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，
则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点 B. 设B(x0，y1)，则有y0＞y1. ∵B在直线x－y＝6上，
(全国通用)高考数学大一轮复习 第六篇 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题选题明细表知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域1,4,9含参数的线性规划3,5,6,7,10,12目标函数的最值2,8,13,14,15线性规划的实际应用11基础对点练(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域是( D )解析:画出直线x=2,在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身);再画出直线x-y=0,取直线的右侧部分(包含直线本身),两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2016·某某卷)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( C )(A)4 (B)9(C)10 (D)12解析: 作出不等式组表示的可行域如图所示,由x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点的距离平方可知,点A(3,-1)满足条件,即x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.3.(2016·某某模拟)已知函数f(x)=log a x(a>1)的图象经过区域则a的取值X 围是( C )(A)(1,] (B)(,+∞)(C)[,+∞) (D)(2,+∞)解析: 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.联系函数f(x)=log a x(a>1)的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点A(3,3)时,a可以取到最小值,而显然只要a大于,函数f(x)=log a x(a>1)的图象必然经过区域内的点.则a的取值X围是[,+∞).故选C.4.(2015·某某校级三模)若A为不等式组表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( D )(A)9(B)3(C)(D)解析: 如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1.知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积S=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=.5.(2014·某某卷)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( D )(A)或-1 (B)2或(C)2或1 (D)2或-1解析:线性约束条件对应的可行域如图所示:目标函数z=y-ax化为y=ax+z,当a>0时,要使其取得最大值的最优解不唯一,需动直线y=ax+z与2x-y+2=0平行或重合,此时a=2;同理当a<0时,需动直线y=ax+z与x+y-2=0平行或重合,此时a=-1,故选D.6.(2016·某某章丘期末)若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m等于( C )(A)-2 (B)-1(C)1 (D)2解析: x-my+1=0恒过点(-1,0),旋转直线x-my+1=0可知可行域只可能是△ABC,且x+y的最大值只在点C处取得,联立方程组得C(,)(若m=,则与2x-y-3=0平行,不可能),(x+y)max=+=9,解得m=1.故选C.7.(2016·某某某某名校联考)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( A )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 根据约束条件画出可行域,如图,由图可知当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由解得所以z min=2×1-2a=1,解得a=.故选A.8.导学号 18702285已知x,y满足则的取值X围是( C )(A)[0,] (B)[2,] (C)[1,] (D)[0,]解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为==1+,表示区域内的点与(4,2)连线的斜率.斜率最小值为0,点(-3,-4)与M(4,2)连线斜率最大为=.所以的取值X围为[1,].故选C.9.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=.解析:由题意可得解得m=-3.答案:-310.(2016·某某模拟)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的取值X围是.解析: 由题意,由可求得交点坐标为(1,2),要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则点(1,2)在可行域内,如图所示,可得m≤1.答案:(-∞,1]11.导学号 18702284某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示:产品限额资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t) 9 4 360电(kW·h) 4 5 200劳力(个) 3 10 300利润(万元) 6 12问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨,获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z=6x+12y.如图,作出可行域,作直线l:6x+12y=0,把直线l向右上方平移至l1位置,直线经过可行域上的点M时z=6x+12y取最大值.解方程组得M(20,24).所以生产甲种产品20 t,乙种产品24 t,才能使此工厂获得最大利润.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·某某八校联考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值X围是( C )(A)(-6,-2) (B)(-3,2)(C)(-,-2)(D)(-,-3)解析: 作出可行域,如图所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,所以a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.导学号 18702286如果实数a,b满足条件:则的最大值是.解析: 根据约束条件画出可行域,如图,表示可行域内的点与原点(0,0)连线的斜率,设z的几何意义表示可行域内点P与原点O(0,0)连线的斜率,易知当直线OP过点B(,)时,取最大值,最大值为3,直线OP过点A(1,1)时,取最小值,最小值为1,所以∈[1,3].所以===2-因为∈[1,3].所以的最大值为.答案:14.(2014·某某卷)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X 围是.解析:可行域如图所示,则A(1,0),B(2,1),C(1,),设z=ax+y,即得1≤a≤.答案:[1,]15.导学号 18702287变量x,y满足(1)假设z1=4x-3y,求z1的最大值;(2)设z2=,求z2的最小值;(3)设z3=x2+y2,求z3的取值X围.解: 作出可行域如图中阴影部分,联立易得A(1,),B(1,1),C(5,2).(1)z1=4x-3y⇔y=x-,易知平移y=x至过点C时,z1最大,且最大值为4×5-3×2=14.(2)z2=表示可行域内的点与原点连线的斜率大小,显然直线OC斜率最小.故z2的最小值为.(3)z3=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,而2=OB2<OA2<OC2=29.故z3∈[2,29].好题天天练1.(2015·某某卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( A )(A)(B)(C)12 (D)16解题关键:判断xy取得最大值的点,并分类讨论确定最大值.解析: 先画出可行域,再将xy转化为矩形面积S,求S的最大值.表示的可行域如图中阴影部分所示.令S=xy,不妨设在点M(x0,y0)处S取得最大值,且由图象知点M(x0,y0)只可能在线段AD,AB,BC上.①当M(x0,y0)在线段AD上时,x0∈[-2,0],此时S=xy≤0;②当M(x0,y0)在线段AB上时,x0∈[0,2],S=xy=x·=x(7-)=-+7x=-(x-7)2+,当x0=2时,wordS max=-(2-7)2+=-+=12;③当M(x0,y 0)在线段BC上时,x 0∈[2,4],S=xy=x·(10-2x)=-2x2+10x=-2(x-)2+,当x0=时,S max =.综上所述,xy的最大值为.2.导学号 18702288设实数x,y满足则z=-的取值X围是.解析: 由于表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)的连线的斜率,如图,求出可行域的顶点坐标A(3,1),B(1,2),C(4,2),则k OA=,k OB=2,k OC=,可见∈[,2],令=t,则z=t-在[,2]上单调递增,所以z∈[-,].答案:[-,]11 / 11。
高三理科数学第一轮复习§6.3：二元一次不等式(组)与简单的线性规划
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
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第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
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第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
高考数学 专题27 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数
专题27 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
热点题型一 二元一次不等式(组)表示平面区域例1、 (1)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________。
解析：(1)不等式组对应的平面区域如图，对应的区域为正方形ABCD ， 其中A (0,1)，D (1,0)，边长AD＝2，则正方形的面积S＝2×2＝2，故选B。
(2)区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可。
【提分秘籍】平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解。
若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可。
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。
【举一反三】已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4对应的平面区域，如图：热点题型二 求线性目标函数的最值例2、【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件2+330{2330 30x y x y y -≤-+≥+≥的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由3{2330y x y =--+= 解得A (−6,−3)，则z =2x +y 的最小值是：−15. 故选：A.【变式探究】设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1【提分秘籍】利用可行域求线性目标函数最值的方法首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可。
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人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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考试要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式 的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情 境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
方加1，
结合图形得到 zmin＝
12＋|1（＋－1| 1）22＋1＝3.
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角度3 求参数值或取值范围
x≥2，
例 3 已知 x，y 满足x＋y≤4， 若目标函数 z＝3x＋y 的最大值为 10，则实数 2x－y－m≤0.
m 的值为___5_____. 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示.作出 直线3x＋y＝0，并平移可知，当直线过点A时， z取得最大值为10，当直线过点B时，z取得最 小值.
索引
(2)(2022·南昌模拟)已知变量
x，y
x－2y＋4≤0，
满足x≥2，
则
x＋y－6≥0，
k＝xy＋－13的取值范围是
__(_－__∞__，__－__5_]∪___12_，__＋__∞____.
解析 由题意作出可行域如图阴影部分所示，
由于 k＝xy＋－13＝y－（x－－31）表示动点 M(x，y)与
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(2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 设总收视人次为z万 ，则目标函数为z＝60x＋25y.
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件006003-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，
则直线 x＋y＝a 的 a 的取值范围 4 是 0＜a≤1 或 a≥ . 3
表示的平面△ABC 的面积即为所求．
求出点 A，B，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)， 1 (3,0)， 则△ABC 的面积为 S＝ × (2－1)× 2＝1. 2
B
A
C
y=2
二元一次不等式(组)表示的平面区域
考 点
(2) (2013· 安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点 A， → → →→ → → → B 满足|OA|＝ |OB|＝OA· OB＝2，则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋ |μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )． A．2 2 B．2 3 C．4 2 D．4 3 → → → → 解（2） 由|OA|＝|OB|＝OA· OB＝2， π → → 知〈OA，OB〉＝ . → →3 → 设OA＝(2,0)，OB＝(1， 3)，OP＝(x，y)， μ＝ y ， 3 x＝2λ＋μ， 解得 则 由|λ|＋|μ|≤1 得 y 1 y ＝ 3 μ ， λ＝ x－ . 3 2 | 3x－y|＋|2y|≤2 3. 作可行域如图． 1 则所求面积 S＝ 2× × 2× 2 3＝4 3. 2
1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直 线定界，特殊点定域”的方法．
2． 求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值， 当 b＞0 时， 直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截 距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上 截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大．
一元二次方程、不等式(考点串讲课件)高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过
二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
4.二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三
例3 [多选/2023山东枣庄调研]已知关于 x 的不等式( x ＋2)( x －4)＋ a ＜0( a ＜0)的解
集是( x 1， x 2)，则(
ABD
)
A. x1＋x2＝2
B. x1x2＜－8
C. －2＜x1＜x2＜4
D. x2－x1＞6
[解析] 解法一 ( x ＋2)( x －4)＋ a ＜0即( x ＋2)( x －4)＜－ a ，作出 f ( x )＝( x ＋2)( x －
＝5或 t ＝－2(舍去)；当 t ＜ ＜ t ＋2，即－ ＜ t ＜ 时，函数 f ( x )min＝ f ( )＝－ ≠6.
2
2
2
2
4
综上所述， t ＝－4或 t ＝5.
命题拓展
[变条件]若函数 f ( x )＝ x 2－3 x －4在区间[ t ， t ＋2]上的最大值为6，则实数 t ＝ －2
＝－1 时，A＝{1}，满足题意．所以 a＝0 或 a＝±1，故选 D.
1
1
2．已知 P(m，n)是一次函数 y＝－ x＋ 图象上的一个点，且函数 y＝x2＋mx＋n 的两个零点的平方和等于
2
2
1，则 m＋n＝( B
A．3
)
B．1
C．1 或－错误!
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件-2023届高三数学(文)一轮总复习
解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，
0)，(0，2)，(4，2)为顶点的三角形区(包含边界)(图略)，易得当目标函数z1＝2x
－y经过平面区域内的点(4，2)时，取得最大值2×4－2＝6.z2＝x2＋y2表示平面区
域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x＋y＝2的距离的平方为所求最
z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3
，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1
－(－3)＝4，dmax＝ −3 − 5 2
所以z的取值范围为[16，64].
+ 2 − 2 2 ＝8.
y
2．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝ ”改为“z＝|x＋y|”，如何
，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科
教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1
名文科教师做导师．若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支
5
持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是_____．
反思感悟
第三节 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题
·考向预测·
考情分析：主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范
围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔
也会出现斜率型和距离型的目标函数，此部分内容仍是高考的热点，
主要以选择题和填空题的形式出现．
学科素养：通过线性规划在求最值中的应用问题考查直观想象、数
最大值
最小值
最大值
在线性约束条件下求线性目标函数的________或
2020年数学新高考一轮复习(理) 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2018·浙江名校联考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝y －x 的最大值是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得M (5,10)，N (5，－2)，所以S △OMN ＝12×(10＋2)×5＝30.由z ＝y －x ，得y ＝x ＋z ，作出直线y ＝x ，平移直线y ＝x ，易知当直线z ＝y －x 经过可行域内的点M (5,10)时，目标函数z ＝y －x 取得最大值，且z max ＝10－5＝5.答案：30 51．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c ＞0(a ＞0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b ＞0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b ＜0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等式组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. 答案：6考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．2．(2019·嘉兴高三基础测试)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，3x ＋y ＜3，x ＋y ＞a 表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，34B.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C 如图所示，当直线x ＋y ＝a 在直线x ＋y ＝32(该直线经过直线x －y ＝0和直线3x ＋y ＝3的交点)的下方时，原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此a ＜32，故选C.3．(2018·浙江名校联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤1，则点P (x ＋y ，x －y )形成的区域的面积为________，能覆盖此区域(含边界)的圆的最小半径为________．解析：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，得⎩⎨⎧x ＝a ＋b2，y ＝a －b2，则原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧3b －a ＋2≤0，a ＋3b ≥0，a ＋b ≤2，所以点P 形成的区域如图中阴影部分所示，易知A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫1，－13，C (3，－1)． 设点B 到AC 的距离为d ，则S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×2×⎪⎪⎪⎪1－13－22＝23.所求半径最小的圆即△ABC 的外接圆，AC ，AB 的垂直平分线分别为直线y ＝x －3，y ＝－3x ＋133，求得交点坐标，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫116，－76，所以半径为526. 答案：23 526[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函数的最值(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0， 得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：9角度二：求非线性目标函数的最值2．(2018·温州模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则约束条件内的y 的最大值为________，目标函数y ＋1x ＋2的取值范围为________． 解析：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0， 可知A ⎝⎛⎭⎫12，32，所以y 的最大值为32.易知y ＋1x ＋2的几何意义是可行域内的点与点(－2，－1)所在直线的斜率，(2,0)与(－2，－1)两点连线的斜率为14，所以y ＋1x ＋2的最小值为14，由图可知y ＋1x ＋2的最大值为直线x －y ＋1＝0的斜率1，所以y ＋1x ＋2的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，1.答案：32 ⎣⎡⎦⎤14，1 角度三：线性规划中的参数问题3．(2018·绍兴考前冲刺)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，2y －3≤0.若目标函数z＝x ＋ay 仅在点(3,0)处取得最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[0,2)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a ＝0时，目标函数为z ＝x ，此时目标函数仅在点(3，0)处取得最大值；当a ＜0时，y ＝－x a ＋z a ，若使z 取得最大值，则需za取得最小值，数形结合知目标函数仅在点(3,0)处取得最大值；当a ＞0时，y ＝－x a ＋za ，要使目标函数仅在(3,0)处取得最大值，则需－1a ＜－12，即0＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，2)．[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2018·湖州五校高三模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＞0，x ＋y －3＜0，y ＞0，则z ＝2x －y的取值范围为( )A ．(－6，－1)B ．(－8，－2)C ．(－1,8)D ．(－2,6)解析：选D 法一：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y ＝2x ，平移该直线，可知直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处取得最小值－2，在点C (3,0)处取得最大值6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．法二：三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1，0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．2．(2018·杭州七校联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，ax －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为8，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 将目标函数变形为y ＝－2x ＋z ，当z 取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线x ＋y －5＝0与2x －y －1＝0的交点(2,3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线ax －2y ＋1＝0恒过定点⎝⎛⎭⎫0，12，所以要使目标函数能取到最大值，需－1＜a 2＜2，即－2＜a ＜4.作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋a ，5a ＋12＋a 处取得最大值，代入目标函数得2×92＋a ＋5a ＋12＋a＝8，解得a ＝1. 3．(2019·宁波高三模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则所求平面区域的面积为12×5×[10－(－2)]＝30.z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点(x ，y )与点M (－1，1)之间的距离的平方，数形结合易知，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为点M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2×(－1)－1|22＋(－1)2＝35的平方，即z min ＝95.答案：3095考点三 线性规划的实际应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43 D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.所以S △ABC ＝12×83×1＝43.2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C. 3．(2019·杭州高三质检)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －9≥0，x －2y －1≤0，设z ＝x ＋2y ，则( )A ．z ≤0B ．0≤z ≤5C ．3≤z ≤5D ．z ≥5解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线过点A (3,1)时，z 取得最小值，z min ＝3＋2×1＝5，即z ≥5.4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 5．(2019·温州四校联考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，2x －y ≤2，则可行域的面积为________，z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝23，所以A ⎝⎛⎭⎫43，23，易得|BC |＝4， 所以可行域的面积S ＝12×4×43＝83.由图可知，当目标函数z ＝2x ＋y 所表示的直线过点A ⎝⎛⎭⎫43，23时，z 取得最大值，且z max＝2×43＋23＝103.答案：83 103二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金华四校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，∴m ＝5.选B. 2．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：选D 因为ax －y ＋1＝0的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分△ABC .由题意可求得A (0,1)，B (1,0)，C (1，a ＋1)， ∵S △ABC ＝2，BC ＝|a ＋1|，BC 边上的高为AD ＝1， ∴S △ABC ＝12×|a ＋1|×1＝2，解得a ＝－5或3，∵当a ＝－5时，可行域不是一个封闭区域， 当a ＝3时，满足题意，选D.3．(2017·浙江新高考研究联盟)过点P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是( )A ．(22，5)B ．[22，5]C ．[2,5]D ．[22，5)解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P 关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，|PA |＋|AB |＝|P 1B |，过点P 1作直线x ＋y －2＝0的垂线，则|P 1B |的最小值为|－1－1－2|2＝2 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x ＋y －9＝0得B 0(2,3)， 则|P 1B |的最大值为|P 1B 0|＝(2＋1)2＋(3＋1)2＝5. 故22≤|PA |＋|AB |≤5.4．(2018·浙江名校联考)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则a的值为( )A ．－72B ．0C ．1D ．－72或1解析：选C 法一：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝aa ＋1，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝aa ＋1代入2x ＋y ＝72，得a ＝1.法二：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值72，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，2x ＋y ＝72，得⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝12，把⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12代入ax －y －a ＝0，得a ＝1.5．(2018·余杭地区部分学校测试)若函数y ＝f (x )的图象上的任意一点P 的坐标为(x ，y )，且满足条件|x |≥|y |，则称函数f (x )具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是( )A ．f (x )＝e x －1B ．f (x )＝ln(x ＋1)C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝|x 2－1|解析：选C 作出不等式|x |≥|y |所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数f (x )具有性质S ，则函数f (x )的图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，易知f (x )＝e x －1的图象分布在区域①和③部分，f (x )＝ln(x ＋1)的图象分布在区域②和④部分，f (x )＝sin x 的图象分布在区域①和②部分，f (x )＝|x 2－1|的图象分布在①、②和③部分，故选C.6．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处取得最小值，在B (2,1)处取得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，32.答案：⎣⎡⎦⎤1，32 7．(2018·金丽衢十二校联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，3x －y －9≥0，y ≤3，则y ＋1x ＋1的取值范围为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，y ＋1x ＋1的几何意义为可行域内一点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率，故由图可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0＋13＋1＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1max ＝3＋14＋1＝45，故y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，45.答案：⎣⎡⎦⎤14，458．(2018·金华十校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，mx －y －3≤0⎝⎛⎭⎫m ＞13，当m ＝2时，z＝|x ＋5y －6|的最大值为________；当m ＝________时，x ，y 满足的不等式组所表示的平面区域的面积为30.解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，2x －y －3≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫53，13，C (0,2)， 令a ＝x ＋5y －6，即y ＝－15x ＋65＋15a ，显然当直线过A (3,3)时，a 取得最大值，此时a ＝12， 当直线过B ⎝⎛⎭⎫53，13时，a 取得最小值，此时a ＝－83， 又z ＝|a |，所以z 的最大值为12.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，mx －y －3＝0，得A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫153m －1，6m ＋33m －1，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，mx －y －3＝0，得B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫5m ＋1，2m －3m ＋1，如图，易得D (0，－3)，所以S △A ′B ′C ＝S △A ′CD －S △B ′CD ＝12×5×⎝⎛⎭⎫153m －1－5m ＋1＝30，即9m 2＋6m －8＝0，所以m ＝23或m ＝－43(舍去)．答案：12239．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0， 即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. 所以z 的最大值为1， 最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江名校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥0，y ≤－2x ＋6，则x ＋3y 的最大值为________；若x 2＋4y 2≤a 恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥0，y ≤－2x ＋6所表示的平面区域如图1中阴影部分所示，由图1可知，当u ＝x ＋3y 过点 A (2，2)时，u ＝x ＋3y 取得最大值u max ＝2＋3×2＝8.令x ＝x ′，2y ＝y ′，则原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧12y ′≤x ′，12y ′≥0，12y ′≤－2x ′＋6，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－y ′≥0，y ′≥0，4x ′＋y ′－12≤0，作出可行域如图2中阴影部分所示，由图2可知，x ′2＋y ′2的最大值为原点到点B (2,4)的距离的平方，易得|OB |2＝22＋42＝20，所以a 的最小值为20.答案：8 202．某工厂投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m 2，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产一百吨需要资金300万元，需场地100 m 2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1 400万元，场地900 m 2，问：应做怎样的组合投资，可使获利最大？解：先将题中的数据整理成下表，然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数.则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数S ＝3x ＋2y .作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数S ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋S 2，这是斜率为－32，随S 变化而变化的一组平行直线．S2是直线在y 轴上的截距． 由图知，使3x ＋2y 取得最大值的(x ，y )是直线2x ＋y ＝9与2x ＋3y ＝14的交点(3.25,2.50)， 此时S ＝3×3.25＋2×2.50＝14.75.∴生产A产品325吨，生产B产品250吨时，获利最大，且最大利润为1 475万元．。
2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第7章第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)续表名称意义目标函数关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y 线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A ．右上方 B.右下方 C ．左上方D ．左下方解析：选C .画出x －2y ＋6<0的图象如图所示，可知该区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C .点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)，所以S 阴＝S △ABC ＝12×4×2＝4.答案：4已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为________． 解析：依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2，4]，即y ＝－2x ＋9，x ∈[2，4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2，4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在[2，4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.答案：7已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，知y ＝－2x ＋z ，当目标函数过点(2，－1)时直线在y 轴上的截距最大，最大值为3.答案： 3二元一次不等式(组)表示的平面区域 [学生用书P111][典例引领](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A .32B.23 C .43D ．34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．(3)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A ⎝⎛⎭⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C .(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，所以S △ABD ＝S ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， 所以m ＝1或m ＝－3，又因为当m ＝－3时，不满足题意，应舍去， 所以m ＝1.(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)C (2)1 (3)(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法①“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．②当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．(2)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域．②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．[通关练习]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选C .(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C .2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面阴影区域．因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时， 52＝k 2＋43， 所以k ＝73.答案：73求目标函数的最值(高频考点) [学生用书P112]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，且常与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)求参数值或取值范围．[典例引领]角度一 求线性目标函数的最值(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以z min ＝－5.【答案】 －5角度二 求非线性目标函数的最值 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 【解】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域， 如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)， 所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)， 所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1，5]．1.保持本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．2．保持本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值． 解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12， 所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.角度三 求参数值或取值范围(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5 B.3 C ．－5或3D ．5或－3(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．【解析】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝a －12y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B .(2)画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.【答案】 (1)B (2)10(1)求目标函数的最值的三个步骤①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线．②平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置．③求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． (2)常见的三类目标函数 ①截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.表示点(x ，y )与(a ，b )的距离的平方． ③斜率型：形如z ＝y －bx －a.表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．[通关练习]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 若m ＝0， 则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m <0，则－1m >0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时， 有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上， 使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m ＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1. 答案：1线性规划的实际应用问题[学生用书P113][典例引领](2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放 时长(分钟)收视 人次(万) 甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【解】 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．[注意] 在实际应用问题中，变量x ，y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件，如在涉及以人数为变量的实际应用问题中，人数必须是自然数，在解题时不要忽略了这些隐含的制约条件．[通关练习]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件， 利润z ＝2 100x ＋900y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000求目标函数最值的方法(1)求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．(2)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(3)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 由目标函数求最值的方法求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[学生用书P293(单独成册)]1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B .根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0， 解得－7<a <24.2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－1 B.1 C ．3 D ．2解析：选C .如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z ＝3x －y 的几何意义是直线3x －y －z ＝0在y 轴上截距的相反数，故当直线在y 轴上截距取得最大值时，目标函数z 取得最小值．由图可知，目标函数对应直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，2x －y －2＝0，解得A (1，0)． 故z 的最小值为3×1－0＝3. 故选C .3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3] B.[－1，1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：选D .直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D .4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15 B.－9 C ．1D ．9解析：选A .法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A .法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2，(a <1)且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A .211 B.14 C .12D ．34解析：选B .在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1，1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－17．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案：58．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝y ＋2x －5的最大值为________．解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A (0，1)，B (1，0)，C (3，4)． 目标函数z ＝y ＋2x －5表示过点Q (5，－2)与点(x ，y )的直线的斜率，且点(x ，y )在△ABC 平面区域内．显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5＝－12.答案：－129.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0， 解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)． 10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A .13 B.23 C ．1D ．2解析：选D .由选项得m >0，作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0（m >0），3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2，4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m＝2.2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2，2]3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：214．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案：－1或25．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，求n 的值．解：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点． 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋nx －3y ≥0y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示． 设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－3.又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ， 解得n ＝103.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝103.6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料 肥料A B C 甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． (1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
高考数学第一轮知识点 第3课时 二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时复习课件 理
作出可行域如图，让目标函数表示的直线 2.5x＋4y＝z 在可行域上平移，由此可知 z ＝2.5x＋4y 在 B(4,3)处取得最小值． 因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和
3 个单位的晚餐，就可满足要求．
【变式训练】 3.某家具厂有方木料 90 m3，五合 板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生 产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生 产每个书橱需要方木料 0.2 m3、五合板 1 m2，出 售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利 润 120 元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
.D
恰为
AC
的中点，直线
y＝x＋2
将△
ABC 的面积平分．故选 A.
答案： A
【变式训练】 1.(2011·吉林延边州一模)若不
x－y＋5≥0，
等式组y≥a， 0≤x≤3
表示的平面区域是一
个三角形，则 a 的取值范围是( )
A．a＜5
B．a≥8
C．a＜5 或 a≥8
D．5≤a＜8
解析： 作出如图所示的可行域，要使该平面 区域表示三角形，需满足 5≤a＜8.
答案： D
求目标函数的最值 1．求目标函数的最值，必须先准确地作出线 性可行域再作出目标函数对应的直线，据题 意确定取得最优解的点，进而求出目标函数 的最值． 2．线性目标函数 z＝ax＋by 取最大值时的最 优解与 b 的正负有关，当 b>0 时，最优解是将 直线 ax＋by＝0 在 2y－1＝0
得 D(1,0)，
∴kCD＝0，kCA＝1212－＋01＝13，∴z 的范围是0，31；
(3)z＝
2020版高考数学一轮复习教案 第6章_第2节_二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)
第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域1．确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法把二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(＜0)表示为y ＞kx ＋b 或y ＜kx ＋b 的形式．若y ＞kx ＋b ，则平面区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方；若y ＜kx ＋b ，则平面区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．2．点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＜0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一． ( )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]3．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ [直线2x －3y ＋6＝0上方的点满足不等式y ＞23x ＋2，∴t ＞23×(－2)＋2，即t＞23.]4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________．1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)， 由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)， 由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.]5．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．3 [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值． 由图知A (3,0)，故z ma x ＝3＋0＝3.]1．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34C [由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.故选C.]2．若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7C [如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.]3．已知关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为________．12[直线kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，则A (2,2k ＋2)，B (2,0)，C (0,2)，由题意知12×2×(2k ＋2)＝3，解得k ＝12.]►考法1 求线性目标函数的最值【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件错误!则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．(2)(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．(1)6 (2)3 [(1)画出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x ＋2y ＝0并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点B (2,0)时，直线z ＝3x ＋2y 在y 轴上的截距最大，z 取得最大值，即当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0时，z ma x ＝3×2＋0＝6.(2)x ＋1≤y ≤2x 可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋1，y ≤2x ，其表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2y －x ，易知z ＝2y －x 在点A (1,2)处取得最小值，最小值为3.]►考法2 求非线性目标函数的最值【例2】实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．[解]由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率．因此yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z ma x 不存在)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， 所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2， 所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， 所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1,5]．[拓展探究] (1)保持本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．(2)保持本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．[解] (1)z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率，所以z 的取值范围是(－∞，0]．(2)z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1－1＋1|12＋(－1)22＝12，所以z ma x ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32. ►考法3 求参数的值【例3】(1)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋2≥y ，x －2≤2y ，x ＋y ≤2，若z ＝x －my (m ＞0)的最大值为4，则m ＝________.(2)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，其中m ＞0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝________.(1)3 (2)1 [(1)作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影区域所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x －2y －2＝0，得B (－2，－2)，同理可得A (2,0)，C (0,2)，因为z ＝x －my (m ＞0)，则y ＝1m x －1m z ，当1m ＞12，即0＜m ＜2时，z ＝x －my 在点A (2,0)处取得最大值2，不合题意，因此m ≥2，此时z ＝x －my 在点B (－2，－2)处取得最大值4.所以－2＋2m ＝4，解得m ＝3.(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，x ＋y 有最大值，此时x ＋y ＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9，2x －y －3＝0得A (4,5)，将A (4,5)代入x －my ＋1＝0得4－5m ＋1＝0，解得m ＝1.](1)(2019·长春模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0x －3≤0，，则z ＝x －2y 的最小值为________．(2)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，x －1≥0，则y －1x 的最小值为________．(3)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．(1)－5 (2)－32(3)5[(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.(2)作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1x 表示平面区域内的点与定点P (0,1)连线的斜率．由图知，点P 与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝⎛⎭⎪⎫y －1x min ＝k P A ＝－12－11－0＝－32.(3)画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5.由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5.]【例4】 (2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧ 70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z ma x ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]B [画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z ma x ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 故选B.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3B [二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.平移直线x ＋ay ＝0，可知在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12处，z 取得最值，因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5，但a ＝－5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a ＝3，故选B.]3．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．9 [画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，并平移，当平移后的直线经过点B 时，z 取得最大值．联立，得⎩⎨⎧x －2y ＋3＝0，x －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝4，所以B (5,4)，故z ma x ＝5＋4＝9.]4．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________．3 [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y ＝－3x ，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点(2,3)时，z ＝x ＋13y 取得最大值，即z ma x ＝2＋13×3＝3.]。
2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：35 二元一次不等式组与简单的线性规划 Word版含解析
考点测试35 二元一次不等式组与简单的线性规划高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决一、基础小题1．不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案 C解析 由y (x ＋y －2)≥0，得⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎨⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项．2．已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a的取值范围是( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) 答案 B解析 (－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，所以－7＜a ＜24．故选B ．3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3B ．52 C ．2 D ．22 答案 C解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0，1)，B (1，0)，C (2，3)，故|AB |＝2，|AC |＝22，所以其面积为12×|AB |×|AC |＝2．4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0，则3x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6 答案 C解析 作不等式组的可行域，如图：令z ＝3x ＋2y ，则y ＝－32x ＋z 2表示一系列平行于y ＝－32x 的直线，并且z2表示该直线的纵截距．显然，把直线y ＝－32x 平移至点A 处，z 最大．由⎩⎨⎧x －y ＝0，3x ＋y －4＝0得A (1，1)．所以z max ＝3x ＋2y ＝3＋2＝5．故选C ．5．已知点(a ，b )是平面区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥－1内的任意一点，则3a －b 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0 答案 B解析 根据题意可知(a ，b )在如图阴影中，设z ＝3a －b ．则b ＝3a －z ，所以－z 可以理解为y ＝3x ＋t 中的纵截距t ．因而当y ＝3x ＋t 过点(0，2)时，t 最大为2．即－z 最大为2，所以z 最小为－2．6．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x －y ≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝x ＋3y 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，3]C ．[3，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 D解析 作不等式组表示的平面区域，如图．平移直线x ＋3y ＝0到点A 时，z 取得最小值，由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y －1＝0，解得点A 12，12，所以z min ＝12＋32＝2，无最大值．故选D ．7．在如图所示的平面区域内有A (5，3)，B (1，1)，C (1，5)三点，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的值是( )A ．23B ．12 C ．2 D ．32 答案 B解析 由题意知，当z ＝ax ＋y 与直线AC 重合时最优解有无穷多个．因为k AC ＝－12，所以－a ＝－12，即a ＝12．故选B ．8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y －7≤0，x ≥1，y ≥1，则|y －x |的最大值是( )A ．2 2B ．322 C ．4 D ．3 答案 D解析画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A (1，2)，B (4，1)，当直线z ＝x －y 过点A 时z min ＝－1，过点B 时z max ＝3，则－1≤x －y ≤3，则|y －x |≤3．9．不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 由不等式2x ＋y <6，得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1，2，3，此时整点有(1，1)，(1，2)，(1，3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2，1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4．故选C ．10．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2．5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )A ．11280元B ．12480元C ．10280元D ．11480元 答案 B解析 设租用的卡车和农用车分别为x 辆和y 辆，运完全部黄瓜支出的运费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10，0≤y ≤20，8x ＋2.5y ≥100，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝960x ＋360y ，此不等式组表示的可行域是△ABC (其中A (10，8)，B (10，20)，C (6．25，20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．当直线l ：z ＝960x ＋360y 经过点A (10，8)时，运费最低，且其最低运费z min ＝960×10＋360×8＝12480(元)，选B ．11．设不等式组⎩⎨⎧3x ＋y ≥10，x ＋3y ≤6表示的平面区域为D ，若在区域D 上存在函数y ＝log a x (a >1)的图象上的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(1，3)C ．[3，＋∞)D ．(1，3]答案 C解析 作不等式组⎩⎨⎧3x ＋y ≥10，x ＋3y ≤6表示的平面区域D ，如图中阴影部分所示．由⎩⎨⎧3x ＋y ＝10，x ＋3y ＝6，解得点A (3，1)． 由a >1，对数函数的图象经过可行域，此时满足log a 3≤1，解得a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞)，故选C ．12．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．答案 92解析目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2，2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2，2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92． 二、高考小题13．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45 答案 C解析 由变量x ，y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)． 作出基本直线l 0：3x ＋5y ＝0，平移直线l 0，当直线经过点A (2，3)时，z 取最大值，即z max ＝3×2＋5×3＝21．故选C ．14．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案 9解析 不等式组表示的可行域是以A (5，4)，B (1，2)，C (5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z ＝x ＋y 的最大值在顶点A 处取得，即当x ＝5，y ＝4时，z max ＝9．15．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________． 答案 6解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋12z ，画出直线y ＝－32x ，将其上下移动，结合z2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎨⎧x －2y －2＝0，y ＝0，解得B (2，0)，此时z max ＝3×2＋0＝6．16．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y的最大值是________．答案 3解析 作出可行域如图阴影部分．由图可知目标函数在直线x －2y ＋4＝0与x ＝2的交点(2，3)处取得最大值3．17．(2018·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．答案 －2 8解析 由约束条件得可行域是以A (1，1)，B (2，2)，C (4，－2)为顶点的三角形区域(含边界)，如图．当直线y ＝－13x ＋z3过点C (4，－2)时，z ＝x ＋3y 取得最小值－2，过点B (2，2)时，z ＝x ＋3y 取得最大值8．18．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． 答案 3解析 由x ＋1≤y ≤2x 作出可行域，如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，则y ＝12x ＋12z ，当直线y ＝12x ＋12z 过A (1，2)时，z 取得最小值3．三、模拟小题19．(2018·山西太原模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．53，5 B ．[0，5]C ．53，5D ．－53，5 答案 D解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是－53，5．20．(2018·南昌一模)设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A ．12，2B ．12，43C ．12，2D ．43，2 答案 C解析 作不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：由⎩⎨⎧ x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (1，2)，由⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得B (2，1)，平面区域M 即为图中阴影部分△ABC ，直线y ＝kx 经过区域M 内的点A 时，k ＝2，直线y ＝kx 经过区域M 内的点B 时，k ＝12，故12≤k ≤2，故选C ．21．(2018·长沙统考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋3y ≤4，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2 D ．－12 答案 A解析作不等式组表示的平面区域如图．当直线l ：y ＝－ax ＋z 经过△AOB 区域时，l 在y 轴上的最大截距为4，则点B (2，0)为最优解，所以z ＝2a ＝4，即a ＝2，故选A ．22．(2018·太原模拟)已知不等式ax －2by ≤2在平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}上恒成立，则动点P (a ，b )所形成平面区域的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 答案 A解析 作平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}，如图1所示．该平面区域表示正方形ABCD 内部(含边界)．令z ＝ax －2by ，因为ax －2by ≤2恒成立，则函数z ＝ax －2by 在该平面区域要求的条件下，z max ＝2恒成立．当直线ax －2by －z ＝0过点A (－1，1)或B (1，1)或C (1，－1)或D (－1，－1)时，有⎩⎨⎧－a －2b ≤2，a －2b ≤2，a ＋2b ≤2，－a ＋2b ≤2，再作该不等式组表示的可行域，即菱形EFGH 内部(含边界)．如图2所示．其中H (－2，0)，F (2，0)，E (0，1)，G (0，－1)，所以动点P (a ，b )所形成平面区域的面积为12×4×2＝4．故选A ．23．(2018·湖北八市联考)已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，2x －y ≥m .若z ＝x ＋2y 有最大值4，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．1 答案 B解析 可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界)，如图阴影部分所示．依题意，有直线y ＝－12x ＋z 2的纵截距z2有最大值2，则结合图形可知需满足直线2x －y ＝m 过点(0，2)，从而m ＝2×0－2＝－2，故选B ．24．(2018·河北石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( )A ．－1B ．－52＋17 C ．13 D ．－75 答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意知14πr 2＝π，解得r ＝2．z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3，2)的连线的斜率，由图可知当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min ＝1－125＝－75．故选D ．25．(2018·河北石家庄质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3≤0，x ＋y ≥3，y －2≤0，则y ＋1x 的最大值为________．答案 3解析 题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域，则y ＋1x 表示可行域内点P (x ，y )与B (0，－1)的连线的斜率，由图知，当P 位于A (1，2)时，y ＋1x 取得最大值2＋11＝3．26．(2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两个工种，已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元，该厂每个月木工最多完成8000个工作时，漆工最多完成1300个工作时，根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．答案 2100000解析 依题意，设每个月生产x 把椅子、y 张桌子，那么利润t ＝1500x ＋2000y ．其中x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N *，4x ＋8y ≤8000，2x ＋y ≤1300，可行域如图中阴影部分所示，对于不同的t 值，t ＝1500x ＋2000y 表示一组斜率为－34的平行线，且t 越大，相应的直线位置越高；t 越小，相应的直线位置越低．依题意，要求t 的最大值，需把直线t ＝1500x ＋2000y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，显然当直线通过点B 时，处在这组平行线的最高位置，此时t 取最大值．由⎩⎨⎧4x ＋8y ＝8000，2x ＋y ＝1300，得点B (200，900)，从而t max ＝1500×200＋2000×900＝2100000(元)，即生产200把椅子、900张桌子可获得最大利润2100000元．一、高考大题1．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y ．考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线．z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎨⎧ 7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．二、模拟大题2．(2018·广东佛山月考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3，4)取最小值－2，过C (1，0)取最大值1．∴z 的最大值为1，最小值为－2．(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2．故所求a 的取值范围是(－4，2)．3．(2018·福建泉州质检)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示． 结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3，8]． (2)由图形及不等式组知⎩⎨⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．。
届高考数学一轮复习讲义课件：二元一次不等式与简单的线性规划问题(共59张PPT)
1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系 中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域．我们把 直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画 不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直 线，则把边界直线画成实线． (2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致 可分为以下四种情况(如图所示)．
点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取 得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后) 通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直 线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个 .
变式迁移 2
设 z＝2y－2x＋4，式中 x、y 满足条件00≤≤xy≤ ≤21， ， 2y－x≥1.
2．简单的线性规划问题 (1)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是： ①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中的任意一条直线 l. ②平移：将直线 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出 目标函数的最值． (2)关于线性规划的几点说明： ①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多． ②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标 函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界 上达到．
所以，原不等式组表示的区域如图所示．
题型二 线性目标函数的最值问题
例 2.已知 x，y 满足条件
35xx＋ ＋83yy＋ －16≤ 5≥00，， 2x－5y＋10≥0，
则 z＝x－y 的取值范围是________．
解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，
高中数学 第三章 不等式 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域课件 新人教B版必修5
界)，且 A(1，1)，B(0，4)，C0，43，直线 y＝a(x＋1)恒过点 P(－1，0)，且斜率为 a，
由斜率公式可知 kAP＝12，
kBP＝4. 若直线 y＝a(x＋1)与区域 D 有公共点，
数形结合可得12≤a≤4. 【答案】 (1)(－∞，2)∪(5，＋∞)
(2)12，4
1.若点 P(a2，a)不在不等式 x＋2y＋1≤0 表示的 平面区域内，则 a 的取值范围是________． 解析：因为点 P(a2，a)不在不等式 x＋2y＋1≤0 表示的平面区 域内， 所以 a2＋2a＋1>0，即(a＋1)2>0，解得 a≠－1. 所以 a 的取值范围是{a∈R|a≠－1}． 答案：{a∈R|a≠－1}
2．不等式(x－y)(x＋2y－2)≥0 表示的平面区域的大致图形是 ()
解析：选 B.原不等式等价于xx－ ＋y2≥y－0， 2≥0 或xx－ ＋y2≤y－0， 2≤0. 故原不等式表示的区域由这两个不等式组表示的区域组成．
3.平面直角坐标系中，不等式组23xx＋ －23yy－ ＋14≥ ≥00， ，表示的平面区 x≤2
(1)画二元一次不等式组表示平面区域的一般步骤
(2)求平面区域面积的方法 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根 据区域的形状求面积． ①若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解． ②若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分 成几个规则图形求解．
1.不等式组xx－ ＋yy≤ ≤00，表示的平面区域是(
1．二元一次不等式的概念 (1)二元一次不等式是指含有_两__个___未知数，且未知数的最高次 数为一次的不等式． (2)一般形式为 Ax＋By＋C>0 或 Ax＋By＋C<0.其中 A2＋B2≠ 0.
高考数学一轮复习 课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理 北师大版-北师大版高
课时规X练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内,则m的取值X围是()A.m≥1B.m≤1C.m<1D.m>12.(2018某某某某舒城中学仿真(三),3)若x,y满足则z=x+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.13.(2018某某阳春一中模拟,4)若实数x,y满足不等式组则z=x2+y2的取值X围是()A.,2B.[0,2]C.D.[0,]4.(2018某某某某高三质监(二),6)已知动点M(x,y)满足线性条件定点N(3,1),则直线MN斜率的最大值为()A.1B.2C.3D.45.(2018某某某某沂水一中三模,11)已知实数x,y满足的取值X围为()A.-3,B.-3,C.-3,D.-6.(2018某某某某四模,6)已知实数x,y满足的取值X围是()A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+∞)D.,+∞7.(2018某某某某联考,9)已知实数x,y满足:若目标函数z=ax+y(其中a为常数)仅在处取得最大值,则a的取值X围是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.{-1,1}8.(2018某某某某联考)已知实数x,y满足且(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,则实数k的最小值是.9.(2018某某某某质检,15)若直线ax+y=0将平面区域Ω=划分成面积为1∶2的两部分,则实数a的值等于.10.(2018某某红河一模,14)已知则z=2x-y的取值X围是.11.(2018海淀区二模,13)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表:A小区B小区往返车费3元 5元服务老人的人数5人 3人根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有人.综合提升组12.(2018某某某某二模,6)已知点P(m,n)在不等式组表示的平面区域内,则实数m 的取值X围是()A.[-5,5]B.[-5,-5]C.[-5,1]D.[-5,1]13.(2018某某某某测试八,5)已知f(x)=x2+ax+b,0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,则z=(a+1)2+(b+1)2的最小值为()A. B. C. D.114.(2018某某某某一模,7)已知不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为()A.4B.8C.16D.3215.(2018某某某某一联,14)已知平面区域Ω:夹在两条斜率为-2的平行直线之间,则这两条平行直线间的最短距离为.创新应用组16.(2018某某一模,7)设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)不经过区域D上的点,则r的取值X围为()A.(0,)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(0,)D.[]17.(2018某某某某调研,10)若x,y满足|x-1|+2|y+1|≤2,则M=2x2+y2-2x的最小值为()A.-2B.C.4D.-参考答案课时规X练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D由2m+3-5>0,得m>1.2.B作出题设约束条件可行域,如图△ABC内部(含边界),作直线l:x+2y=0,把直线l向上平移,z增加,当l过点B(3,2)时,z=3+2×2=7为最大值.故选B.3.B绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数表示坐标原点到可行域内点的距离的平方,则目标函数在点(0,0)处取得最小值:z min=02+02=0,目标函数在点A(1,1)处取得最大值:z max=12+12=2,故x2+y2的取值X围是[0,2].故选B.4.C画出线性条件表示的可行域,由可得M(2,-2),由可行域可知当M 取(2,-2)时,直线MN的斜率最大值为=3,故选C.5.A先作出不等式组对应的可行域,如图所示,解方程组得A,2,=表示可行域内的点(x,y)到原点的直线的斜率,所以当点在A点时,斜率最大==,没有最小值,无限接近直线3x+y-6=0的斜率-3,所以的取值X围为-3,.故选A.6.D的几何意义为可行域内的点到原点的距离,画出可行域,根据几何图像中的距离,结合点到直线的距离公式,即可求出X围.根据题意作出可行域:此区域为开放区域,所以距离可以无限大,由图像可知最近距离为原点到直线x+y-1=0的距离,所以由点到直线距离公式可得:最短距离d==.故选D.7.A构造二次函数f(t)=t2-t,由函数的单调性可知,f(x)≤f(y),得到自变量离轴越远函数值越大,故≤-y,且0≤y≤,得到可行域为如图所示,直线斜率为-a,由图像可得到-1<-a<1即-1<a<1.故选A.8.4画出表示的可行域,如图,直线(k-1)x-y+k-2=0过定点(-1,-1),若(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,可行域在直线下面,当直线过(0,2)时,k-1有最小值=3,k最小值为4,故答案为4.9.或- 绘制不等式组表示的平面区域如图所示,由题意可知,该平面区域的面积:S=×OB×AC=×1×2=1,直线ax+y=0的斜率为k=-a,当a<0时,如图所示,联立方程组:可得D,,此时S△OCD=×1×=,解得a=,由对称性可知,a=-也满足题意.综上可得:实数a的值等于或-.10.[-6,2]由z=2x-y⇒y=2x-z,则z表示直线y=2x+b在y轴上截距的相反数.如图,易知当直线过点A时直线在y轴上的截距最小为-2,z取最大值为2;当直线过点B时直线在y轴上的截距最大为6,z取最小值为-6.所以,z=2x-y的取值X围是[-6,2].11.35设A,B两小区参加活动同学的人数分别为x,y,受到服务的老人人数为z,则z=5x+3y,且作出可行域,如图平移直线z=5x+3y,由图可知,当直线z=5x+3y过点M(4,5)时,z最大,∴当x=4,y=5时,z取得最大值为35,即接受服务的老人最多有35人,故答案为35.12.C作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由解得A(1,7),且点B(-5,0),又因为点P(m,n)在不等式组所表示的平面区域内,所以实数m的取值X围是[-5,1],故选C.13.B因为0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,所以作可行域,则z=(a+1)2+(b+1)2,其几何意义是可行域内点到定点A(-1,-1)距离的平方,其最小值为A到直线x+y+1=0距离的平方,即z min=2=,选B.14.A令z=ax-2by.∵不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,∴函数z=ax-2by在可行域要求的条件下,z max=2恒成立,画出平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1},如图所示:当直线ax-2by-z=0过点(1,1)或点(1,-1)或(-1,1)或(-1,-1)时,有:点P(a,b)形成的图形是图中的菱形MNTS.∴所求的面积S=2××4×1=4,故选A.15.画出可行域如下图所示,由图可知,两平行线最短距离为点A(0,2)到直线2x+y-5=0的距离,即d==.16.A作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1,1),N(2,2),P(1,3).∵圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)表示以C(-1,0)为圆心,半径为r的圆,∴由图可得,当半径满足r<CM或r>CP时,圆C不经过区域D上的点,∵CM==,CP==,∴当0<r<或r>时,圆C不经过区域D上的点,故选A.17.D令t=x,+2|y+1|≤2,作出可行域,如图所示.A(,0),B(-,-1),M=t2+y2-t=t-2+y2-表示可行域上的动点到定点,0的距离的平方,然后减去,故其最小值为定点,0到直线AB的距离的平方减去.AB:y=t-,定点,0到直线AB的距离:=,∴M=t2+y2-t=t-2+y2-≥-=-,故选D.。
高考数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理
(2)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图①，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确；
对于选项 B，当 m＝－1 时图②，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不 符合题意，故 B 不正确；
第十六页，共44页。
(3)
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时， 只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个整点．
答案：(1)A (2)B (3)－1
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线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的
双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何
等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新
颖别致，且主要有以下几个命题角度：
角度一：转化为截距(形如：z＝ax＋by)
[典题 2]
(1)设 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋7≤1≤0，0， 3x－y－5≥0，
解方程组xx＝－3y＋，5＝0， 得 A 点的坐标为(3,8)，代入 z＝(x＋ 1)2＋y2，得 zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
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(2)法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所 示．z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y5－4|· 5，即其几何含义为阴影区域内的 点到直线 x＋2y－4＝0 的距离的 5倍．
则 z＝2x－y
的最大值为( )
A．10
B．8
C．3
D．2
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x＋y－2≤0， (2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－2y＋1≤0，
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2
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A．4 C．5
B．1 D ．无穷大
2x＋ y－ 6≤０， 解析： 不等式组 x＋ y－ 3≥０， 表示的平面区域如图所示 (阴
y≤２
影部分 )，△ ABC 的面积即为所求．求出点 A， B， C 的坐标分别为
(1,2) ， (2,2)， (3,0)，则△ ABC 的面积为
S＝
1× 2
(2－
1)×
第三节 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题
简单的线性规划 (1) 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． (2) 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． (3) 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
知识点一 区域
二元一次不等式 (组 )表示的平面
x＝ 2，
得
所以 B(2,1)， zmin＝ 2× 2＋ 3× 1＝ 7，在点 A 处目标函
y＝1，
数取到最大值，解方程组
故选 A. 答案： A
x－ y＝－ 1，
x＝ 4，
得
所以 A(4,5)， zmax＝ 2× 4＋3× 5＝ 23，
2x－ y＝ 3，
y＝ 5，
4．已知点 P(x， y)满足 目标函数 z＝x＋ay(a<0) 的最大值和最小值之和为 0，则 a的值为 ( )
解析：画出不等式组
x＋ y≥３， x－ y≥－ 1， 2x－ y≤３，
表示的平面区域如图中阴
影部分所示，由目标函数
z＝ 2x＋3y 得
y＝－
2 3x＋
z3，平移直线
y
x＋ y≥３， x－ y≥－ 1， 2x－ y≤３，
＝－
2 3x
知在点
B 处目标函数取到最小值，
解方程组
x＋ y＝ 3， 2x－y＝ 3，
－
23＋
2 3m
＝
1 3(
m＋
1)
2＝
43，所以
m＝ 1
或 m＝－ 3(舍去 )，故选 B. 答案： B
x≥１，
3．设集合 A＝
，
y≥１，
，B＝ {( x，y)|3x－ y－ 11＝ 0} ，则 A∩B中
2x＋ y≤ 10
元素的个数为 ( ) A．0 C．2 解析： 由题意作出集合
B．1 D ．无数 A 表示的平面区域如图中阴影部分所示，在同一直角坐标系中
不等式 Ax＋ By＋ C>0 Ax＋ By＋ C≥ 0
不等式组
表示区域
直线 Ax＋ By＋ C＝ 0某一侧的
不包括 边界直线
所有点组成的 平面区域
包括 边界直线
各个不等式所表示平面区域
的公共部分
易误提醒 画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为
ax
＋by＋ c>0( a>0) ．
2＝1.
答案： B
2． (2018 · 高
考
重
庆
卷
)若不等式组
表示的平面区域为三角形，且其面积等于
4，则 m的值为 (
)
3
A ．－ 3
B．1
4
C.3
D ．3
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则
m>－ 1.
x＋ y－ 2≤０， x＋ 2y－ 2≥０， x－ y＋ 2m≥０，
必备方法 确定二元一次不等式表示平面区域的方法：
二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点 点来进行判定， 满足不等式的则平面区域在测试点所在直线的同一侧，
(x0 ， y0)作为测试 反之在直线的另一侧．
[ 自测练习 ]
x－ 3y＋6≥０，
1．不等式组
表示的平面区域是 ( )
x－ y＋2<0 ，
作出集合 B 表示的直线，观察图形可知，两集合的交集为一条线段，故
A∩ B 中的元素有无
数个．
答案： D
解析： x－ 3y＋ 6≥ 0 表示直线 x－3y＋ 6＝ 0 及右下方部分， x－ y＋ 2<0 表示直线 x－y＋ 2
＝0 左上方部分． 故不等式组表示的平面区域为选项 答案： B
B 所示部分．
x≥０， 2．不等式组 x＋ 3y ≥４， 所表示的平面区域的面积等于 ( )
3x＋ y≤４
3
2
A. 2
x≥１， y≤１， x－ y－ 1≤０，
3 A ．－ 2 C．－ 1
B ．－ 2 1
D ．－ 2
解析 ：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
A(1,0)，B(2,1)，C(1,1)，当 z＝ x
＋ay 过点 A， B， C 时， z 的值分别为 1,2＋ a,1＋ a.∵ a<0，∴ zmin＝ 1
x＋ y－ 2＝0， 由
x－ y＋ 2m＝ 0
x ＝ 1－ m，
x＋ 2y－ 2＝ 0，
解得
即 A(1－m,1＋m)．由
y ＝ 1＋ m，
x－ y＋2m＝ 0，
解得
x＝
23－
4 3m，
y＝
23＋
2 3m，
即
B
23－
4 3m，
23＋
2 3m
.
因为
S△
ABC
＝
S△ADC
－
S△
BDC
＝
1 2(2
＋
2
m)
＋
＋a.
①当 2＋ a>1，即 a>－ 1 时， zmax＝ 2＋ a，∴ 2＋ a＋ 1＋ a＝0， a
＝－
3 2(
舍去
)；
②当 2＋ a≤ 1，即 a≤－ 1 时，zmax＝1，∴ 1＋ 1＋ a＝0，a＝－ 2，
符合条件，故选 B.
答案： B
考点一 二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 |
2x＋y－ 6≤０， 1． (2018 ·济南模拟 )不等式组 x＋ y－ 3≥０， 表示的平面区域的面积为 ( )
B.3
4
3
C.3
D.4
解析 ：平面区域如图所示．
x＋ 3y＝ 4，
解
得 A(1,1) ，
3x＋ y＝ 4
易得
B(0,4)， C
0，
4 3
，
|BC|＝
4－
43＝8 3.∴源自S△ABC＝1× 2
8 3
×
1
＝
4 3.
答案： C
知识点二 线性规划中的基本概念
名称 约束条件 线性约束
条件
意义 由变量 x， y组成的不等式 (组 )
易误提醒 线性规划问题中的最优解不一定是唯一的， 即可行域内使目标函数取得最 值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
[ 自测练习 ]
3．已知变量 x， y满足约束条件
则目标函数 z＝ 2x＋ 3y的取值范围为 ( A ． [7,23] C．[7,8]
) B ． [8,23] D ．[7,25]
由 x， y的一次不等式 (或方程 )组成的不等式 (组 )
目标函数
关于 x， y的函数解析式，如 z＝ 2x＋ 3y等
线性目标 函数
可行解 可行域 最优解 线性规划
问题
关于 x， y的一次解析式
满足线性约束条件的解 (x， y) 所有可行解组成的集合
使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题