武汉大学872线性代数2015年考研专业课真题
2015年考研数学(三)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C)若lim →∞=n n x a ,则331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3) 设(){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则(),d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)()()2cos 2sin 4204d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰ (B)()()2sin 2cos 420004d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰()f x ''()0f x ''=()y f x =()f x ''(C)()1012d ,d xxf x y y ⎰⎰(D) ()102d ,d xxf x y y ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A) 13n n n∞=∑ (B)1)n n ∞=+(C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D)1!n n n n∞=∑ 【答案】(C)【解析】A 为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；B，根据级数收敛准则，知收敛；C ，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D 为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选C. 1(,)0,02sin 4D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2(,),02cos 42D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2sin 2cos 4204(,)(cos ,sin )(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰11113lim lim 1333n n n nn n n n +→∞→∞++==<13nn n∞=∑3211)n n+P 11)n n ∞=+111(1)1(1)1ln ln ln n n n n n n n n ∞∞∞===-+-=+∑∑∑1(1)ln n n n ∞=-∑11ln n n ∞=∑1(1)1ln n n n ∞=-+∑11(1)!(1)!1(1)lim lim lim 1!!(1)1nn n n n n n nn n n n n n n n n en ++→∞→∞→∞+++⎛⎫===< ⎪++⎝⎭1!n n n n ∞=∑(5)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ） (6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++ 【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.又因为100001010Q P PC ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ）(7) 若,A B 为任意两个随机事件,则: ( )(A)()()()≤P AB P A P B (B)()()()≥P AB P A P B (C)()()()2+≤P A P B P AB (D) ()()()2+≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8) 设总体()~,,X B m θ12,,,n X X X 为来自该总体的简单随机样本,X 为样本均值,则()21n i i E X X =⎡⎤∑-=⎢⎥⎣⎦( ) (A) ()()11θθ--m n (B)()()11θθ--m n (C)()()()111θθ---m n (D)()1θθ-mn 【答案】(B)【解析】根据样本方差2211()1ni i S X X n ==--∑的性质2()()E S D X =，而()(1)D X m θθ=-，从而221[()](1)()(1)(1)ni i E X X n E S m n θθ=-=-=--∑，选(B) .二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln(cos )lim__________.x x x→= 【答案】 【解析】原极限(10)设函数()f x 连续，2()()d ,x x xf t t ϕ=⎰若(1)1,(1)5,ϕϕ'==则(1)________.f =【答案】【解析】因为连续，所以可导，所以；因为，所以12-2200ln(1cos 1)cos 11limlim 2x x x x x x →→+--===-2()f x ()x ϕ2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰(1)1ϕ=1(1)()1f t dt ϕ==⎰又因为，所以故(11)若函数(,)z z x y =由方程23e 1x y z xyz +++=确定，则(0,0)d _________.z=【答案】 【解析】当，时带入，得. 对求微分，得把，，代入上式，得所以 (12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处取得极值3，则()________.y x =【答案】【解析】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵，则行列式________.=B【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.(14)设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ，则(1)5ϕ'=1(1)()2(1)5f t dt f ϕ'=+=⎰(1)2f =1233dx dy --0x =0y =231x y z e xyz +++=0z =231x y z e xyz +++=2323()(23)()x y z x y z d e xyz e d x y z d xyz +++++=+++23(23)x y z e dx dy dz yzdx xzdy xydz ++=+++++0=0x =0y =0z =230dx dy dz ++=(0,0)1233dz dx dy =--2()2x x y x e e -=+20y y y '''+-=220λλ+-=2λ=-1λ=212()xx y x C eC e -=+()y x 0x =(0)3y =(0)0y '=11C =22C =2()2x x y x e e -=+{0}_________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)设函数3()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x c kx =+++==.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,23a b k --=-== 【解析】法一：因为，， 则有，， 可得：，所以，．法二： 由已知可得得由分母，得分子，求得233ln(1)()23x x x x o x +=-++33sin ()3!x x x o x =-+23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩300sin )1ln(lim )()(lim1kxxbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11lim kxx bx x b x ax ++++=→03lim 20=→kx x )cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a xc ；于是由分母，得分子，求得； 进一步，b 值代入原式，求得 (16)(本题满分10 分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰，其中222{(,)2,}.D x y x y y x =+≤≥ 【答案】245π-【解析】)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim223cos )1(sin )1(limkx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→06lim 0=→kx x ]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x 21-=b )()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim 0++-+--=→k xx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=.31-=k 2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx x dy =⎰12202)x x dx =⎰(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性(0)η>.(I) 证明定价模型为11MCP η=-； (II) 若该商品的成本函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为40Q P =-，试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略(II) .【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得. 当且仅当时，利润最大，又由于,所以,故当时，利润最大. (II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)(本题满分10 分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x 表达式.【答案】()84f x x=-12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰30P =()()()()L Q R Q C Q PQ C Q =-=-Q ()dL dP dP P Q C Q P Q MC dQ dQ dQ'=+-=+-0dL dQ =()L Q P dQ Q dP η=-⋅1dP PdQ Q η=-⋅11MCP η=-()22(40)MC C Q Q P '===-40P dQ PQ dP Pη=-⋅=-2(40)401P P P P-=--30P =【解析】曲线的切线方程为，切线与轴的交点为故面积为：. 故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,解得，又由于，带入可得，从而 (19)(本题满分 10分)（I ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明[()()]()()()();u x v x u x v x u x v x '''=+ （II ）设函数12(),(),,()n u x u x u x 可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.【答案】【解析】（I ）（II ）由题意得(20) (本题满分 11分)设矩阵101101a a a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A =，且3=A O .(I) 求a 的值；()()()000y f x f x x x '-=-x ()()000,0f x x f x ⎛⎫- ⎪ ⎪'⎝⎭()()200142f x S f x =='()f x ()()28f x f x '=()8f x x C -=+()0=2f 4C =-()84f x x=-12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()limh u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(II)若矩阵X 满足22--+=X XA AX AXA E ，其中E 为3阶单位矩阵，求X .【答案】3120,111211a X -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】(I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=-(II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E A E X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=--2011111112E A A -⎛⎫⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭MM M M M M 111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M 110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M 312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.【答案】2314,5,101011a b P --⎛⎫ ⎪===- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(1) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b 023100123133010123123001123---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E C()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,00,0x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩,对X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数(I)求Y 的概率分布； (II)求()E Y .【答案】(I)12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =；(II)16E Y =().【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =为Y 的概率分布；(II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以1122168E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑， 2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()(). (23) (本题满分11 分)设总体X 的概率密度为,1,(,),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩110其他,其中θ为未知参数，12n X ,X ,,X 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量； (II)求θ的最大似然估计量. 【答案】(I)1121ni i X X X n θ==-=∑,；(II)12n X X X θ=min{,,,}.【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II)似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--.从而1ln ()d L nd θθθ=-，关于θ单调增加，所以12n X X X θ=min{,,,}为θ的最大似然估计量.。
2015考研数学二真题与答案解析
与直线
围成的平面区域，函数 在
D 上连续，则
(A)
(B)
(C)
(D) 【答案】 B
【解析】D 是第一象限中由曲线
与直线
变换，将
化为累次积分。
围成的平面区域，作极坐标
D 的极坐标表示为 因此
综上所述，本题正确答案是 B。 【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7)设矩阵 A=
2015 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8 小题,每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D。 【解析】题干中给出 4 个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
令
得
综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分
(14)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,-2,1，
,其中 E 为 3
阶单位矩阵，则行列式|B|=
【答案】 21
【解析】 A 的特征值为 2,-2,1,则 B 的特征值对应为 3,7,1
所以|B|=21
【考点】线性代数—行列式—行列式计算
【考点】高等数学—多元函数微分学—二元函数的无条件极值
(18)计算二重积分
,
其中 D= 【解析】
因为区域 D 关于 y 轴对称，所以
=0
原式=
=
=
令
,则
=
=
又
所以二重积分= 【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分的计算
历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)
历年考研数学一真题1987-20161987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分)(2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a(B )1a(C )1n a -(D )n a九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x bx x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα (B )12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中(A )必有一列元素全为0 (B )必有两列元素对应成比例(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D )任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) 七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ+=++=+++=+⎧⎪⎨⎪⎩有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A )1211212()2k k -+++ββααα(B )1211212()2k k ++-+ββααα(C )1211212()2k k -+++ββαββ(D )1211212()2k k ++-+ββαββ七、（本题满分6分） 设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分） 求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A )=ACB E (B )=CBA E (C )=BAC E (D )=BCA E 七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A )[]212-(B )201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C )102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D )011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A )6t =时P 的秩必为1 B )6t =时P 的秩必为2(C )6t ≠时P 的秩必为1 (D )6t ≠时P 的秩必为2 七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵. 八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A )12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B )12233441,,,----αααααααα线性无关 (C )12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D )12233441,,,++--αααααααα线性无关八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +- (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且1003100,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有 (A )12AP P =B(B )21AP P =B (C )12P P A =B(D )21P P A =B八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)四阶行列式1122334400000000a b a b a b b a 的值等于(A )12341234a a a a b b b b - (B )12341234a a a a b b b b +(C )12123434()()a a b b a a b b --(D )23231414()()a a b b a a b b --八、（本题满分6分）设,T A =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,T ξ是ξ的转置.证明 (1)2=A A 的充分条件是 1.T =ξξ (2)当1T =ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2, (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线 1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++= (其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是 (A )123,,ααα线性相关(B )123,,ααα线性无关(C )秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D )123,,ααα线性相关12,,αα线性无关七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T ==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量. 1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值. 2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆. (2)求1.-AB1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设矩阵 111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A )相交于一点 (B )重合(C )平行但不重合（D )异面 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分） 设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组k x =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0 证明:向量组1,,,k -αA αA α是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,220n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A )当m n >时,必有行列式||0≠AB (B )当m n >时,必有行列式||0=AB(C )当n m >时,必有行列式||0≠AB(D )当n m >时,必有行列式||0=AB十、(本题满分8分)设矩阵153,10a c b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T=--α求,,a b c 和0λ的值. 十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a= _____. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A )向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B )向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示(C )向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价 (D )矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A (2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A )合同且相似 (B )合同但不相似 (C )不合同但相似(D )不合同且不相似九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x . (1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分)设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设向量组I :12,,,r ααα可由向量组II :12,,,s βββ线性表示,则(A )当s r <时,向量组II 必线性相关 (B )当s r >时,向量组II 必线性相关 (C )当s r <时,向量组I 必线性相关 (D )当s r >时,向量组I 必线性相关 (5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题:① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是(A )①② (B )①③ (C )②④ (D )③④ 九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010 (B )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010 (D )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有(A )A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B )A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C )A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D )A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα, 如果1=A ,那么=B .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是 (A )01≠λ (B )02≠λ (C )01=λ (D )02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则 (A )交换*A 的第1列与第2列得*B (B )交换*A 的第1行与第2行得*B(C )交换*A 的第1列与第2列得*-B (D )交换*A 的第1行与第2行得*-B(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵2112⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(B )若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C )若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(D )若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则 (A )1-=C P AP (B )1-=C PAP (C )T =C P AP (D )T =C PAP(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解. (1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T =Q AQ A .2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是(A ),,122331---αααααα (B ),,122331+++αααααα (C )1223312,2,2---αααααα (D )1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A )合同,且相似 (B )合同,但不相似 (C )不合同,但相似 (D )既不合同,也不相似 二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(15)设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程 12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则(A )-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B )-E A 不可逆,+E A 可逆 (C )-E A 可逆,+E A 可逆 (D )-E A 可逆,+E A 不可逆二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 . (20)(本题满分11分)T T =+A ααββ,T α为α的转置,T β为β的转置.证明: (1)()2r ≤A . (2)若,αβ线性相关,则()2r <A .(21)(本题满分11分)设矩阵2221212n na a a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,现矩阵A 满足方程=AX B ,其中()1,,T n x x =X ,()1,0,,0=B , (1)求证()1n n a =+A .(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x .(3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,+++αααααα的过渡矩阵为(A )101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )120023103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (C )111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (D )111222111444111666⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A )**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B )**23O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C )**32O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D )**23O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为 . (20)(本题满分11分)设111111042--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ(1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.(21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵,若,=AB E 则(A )秩(),m =A 秩()m =B (B )秩(),m =A 秩()n =B (C )秩(),n =A 秩()m =B (D )秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于(A )1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (C )1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (D )1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .(20)(本题满分11分)设11010,1,111a λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解.(1)求,.a λ(2)求方程组=A x b 的通解.(21)(本题满分11分)设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为2212,y y +且Q的第三列为(.22T(1)求.A(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)5、设A 为3阶矩阵，把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第3行得到单位阵E ，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*******P ，则A =（ ）A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6、设)(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵。
2015年考研数学二真题及答案解析
阶单位矩阵，则行列式 | B| =
【答案】 21
【解析】 A 的特征值为 2,-2,1, 则 B 的特征值对应为 3,7,1
所以 | B| =21
【考点】线性代数—行列式—行列式计算
线性代数—矩阵—矩阵的特征值
三、解答题：
小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15) 设函数
,若 与 在
二、填空题： (
) 小题，每小题 4 分，共 24 分。
(9) 设
则
【答案】 48 【解析】由参数式求导法
再由复合函数求导法则得 =
,
综上所述，本题正确答案是 48。
【考点】高等数学 - 一元函数微分学 - 复合函数求导
(10) 函数 【答案】
在
处的 n 阶导数
【解析】
解法 1 用求函数乘积的 阶导数的莱布尼茨公式 在此处键入公式。
时是等价无穷小，
求
的值。
【解析】利用泰勒公式
当
时，
，则
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式
(16) 设 A>0， D是由曲线段
及直线
所
围成的平面区域， 【解析】
分别表示 D绕 轴与绕 轴旋转所成旋转体的体积。若
由 A>0 可得
，求 A 的值
= =
又
可得 A=
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用
D 的极坐标表示为
，
，
因此
与直线
围成的平面区域，作极坐
综上所述，本题正确答案是 B。 【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7) 设矩阵 A=
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．行列式=( )A．(ad—bc)2。
B．一(ad一bc)2。
C．a2d2一b2c2。
D．b2c2一a2d2。
正确答案：B解析：方法一：由行列式的展开定理按第一列展开=一ad(ad一bc)+bc(ad一bc)=一(ad一bc)2。
故选B。
方法二：利用拉普拉斯展开式，即=一(ad一bc)2。
2．设A为3阶矩阵，P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，使得P－1AP=，则A(α1+α2+α3)=( )A．α1+α2。
B．α2+2α3。
C．α2+α3。
D．α1+22。
正确答案：B解析：因为α1+α2+α3=(α1，α2，α3)(1，1，1)T=P(1，1，1)T，所以A(α1+α2+α3)=AP(1，1，1)T=PP－1AP(1，1，1)T=(α1，α2，α3)=α2+2α3。
3．设A，B均为二阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵。
若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：分块矩阵的行列式=(一1)2×2｜A｜｜B｜=2×3=6。
即分块矩阵可逆。
4．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=，若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)则QTAQ为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：Q=(α1+α2，α2，α3)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)E21(1)，即Q=PE21(1)。
QTAQ=[PE21(1)]TA[PE21(1)]=E21T(1)[PTAP]E21(1)5．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价。
B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价。
C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价。
线性代数历年考研真题.pdf
(A)当|A| = a ̸= 0时, |B| = a (B)当|A| = a ̸= 0时, |B| = −a
2
(C)当|A| ̸= 0时, |B| = 0
(D)当|A| = 0时, |B| = 0
8.【04数三】设n阶矩阵A的伴随矩阵A∗ ̸= O, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4是非齐次线性方程组Ax = b的互不
(B)若α1, α2, ..., αs线性相关, 则若对于任意一组不全为0的数k1, k2, ..., ks, 都有k1α1 + k2α2 +
... + ksαs = 0 (C)α1, α2, ..., αs线性无关的充要条件是其秩为s (D)α1, α2, ..., αs线性无关的充要条件是其中任意两个向量都线性无关 7.【04数三/四】设n阶矩阵A与B等价, 则( ).
(B)α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1
(C)α1 − 2α2, α2 − 2α3, α3 − 2α1 (D)α1 + 2α2, α2 + 2α3, α3 + 2α1
13.【07数一/二/三/四】设矩阵A
=
2 −1
−1 2
−1 −1
,
B
=
1 0
0 1
0 0
,
则A与B(
).
−1 −1 2
0 0 1
1 0 0
,
P2
=
1 0 0
0 0 1
0 1 0
0 0 0
,
其中A可逆,
则B−1
=
(
).
0001
0001
(A)A−1P1P2
(B)P1A−1P2
武汉大学2015年理论经济学真题
武汉大学2015年理论经济学真题
1.有一个表格，有两种咖啡的2012和2013年的价格和销量。
分别求出两种咖啡的需求价格弹性和线性需求曲线。
并分析哪种种咖啡的弹性要高一些？（因为价格是小数，所以只要估计弹性。
最好带计算器，当时我没带算的好惨。
）
2.效用函数U=FC,分别代表衣服和食物，价格分别为10和2，收入是50，求边际替代率。
并求当一种价格变小，另一种价格变大时，边际替代率变大还是变小？
3.一种操作系统技术好，价格低，但是消费没有升级这种系统。
他们发现附近商店的这种系统的复制品很少。
分析为什么消费者不升级这种系统？
4.电影院为什么把两种电影捆绑销售？搭售和捆绑销售的区别是什么？为什么有的企业会选择搭售？
5.这一题是求IS,LM曲线，并求均衡，很常规很简单。
6.一国面临经济衰退，如果用汇率贬值政策能阻止衰退吗？什么政策能使汇率贬值？其他国家会怎样做？什么时候这就成以邻为壑的情况了？
7.影响人均产出的因素？我国经济还能增长吗？用经济增长理论分析。
8.菲利普斯曲线为什么有长短之分？什么是滞涨？
（宏微观共9题，还有一题没想起来）
10.资本积累的影响因素？
11.经济危机的原因？
12.劳动生产率的影响因素？。
2015年考研数学(二)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2x.+∞⎰(B) 2ln d xx.x+∞⎰(C) 21d ln x.x x+∞⎰(D) 2d e xx x.+∞⎰【答案】(D) 【解析】()d 1e e xx x x x ,-=-+⎰则()()2222d 1e3e lim 1e 3e e x x x x x x x x .+∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰(2) 函数()20sin lim 1x tt t f x x →⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞内( ) (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】()220sin lim0sin lim 1ee 0t x t x tx x tt t f x ,x ,x →→⎛⎫=+==≠ ⎪⎝⎭故()f x 有可去间断点0x =.(3) 设函数()()1cos 00000x ,x f x ,x,x αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪≤⎩,若()f x '在0x =处连续则 ( ) (A) 0.αβ-> (B) 01.αβ<-≤ (C) 2.αβ-> (D) 02.αβ<-≤ 【答案】(A) 【解析】0x <时，()()()1000001cos10lim lim cos x x f x ,f ,x x f x .x xαβαβ++--+→→'='=-'==0x >时，()()()1111111cos1sin 11cos sin f x x x x x x x x .x xααβββααβββαβαβ-+---'=+--=+()f x '在0x =处连续，则()()1100lim cos 010x f f x .xαβα+--+→''===⇒-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x ,x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭则10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()f x ''的图形如图所示，则曲线()y f x =的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】观察图像，二阶导数有两次变号，则拐点个数为2个. (5) 设函数(),f u v 满足22y f x y,x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则11u v f u==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,0.2 (B) 10,.2 (C) 1,0.2- (D) 10,.2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uvx y v v==++，从而22y f x y,x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭变为()()2221111u v u uv f u,v v v v -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 则()()2221211u v f f u ,u v v v -∂∂==-∂+∂+，因而 111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.选（D ）.(6) 设D 是第一象限由曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)π13sin 2π142sin 2d (cos ,sin )d .f r r r r θθθθθ⎰⎰(B)π3π4d (cos ,sin )d .f r r r r θθθ⎰(C)π13sin 2π142sin 2d (cos ,sin )d .f r r r θθθθθ⎰⎰(D)π3π4d (cos ,sin )d .f r r r θθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为ππ43D (r,)r θθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以π3π4(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r θθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵22111112,.14a d a d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b =若集合{}12,,Ω=则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) a ,d .∉Ω∉Ω (B) a ,d .∉Ω∈Ω (C) a ,d .∈Ω∉Ω (D) a ,d .∈Ω∈Ω【答案】(D)【解析】()()()()()221111111112011114001212,a d a d ,ad a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A b由()()r r 3,,=<A A b 故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）.(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232.y y y -+ (B) 2221232.y y y +- (C) 2221232.y y y -- (D) 2221232.y y y ++【答案】(A)【解析】由=x Py ，故()T T T 2221232f y y y .===+-x Ax y P AP y且T 200010001.⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦P AP由已知可得:100001010⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Q P PC,故有()T T T 200010001,⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q AQ C P AP C所以()T T T 2221232f y y y .===-+x Ax y Q AQ y .选（A ）二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t,y t t =⎧⎨=+⎩则 212d d t yx ==【答案】48 【解析】()2222d d 33d 31d 1d d 1yy tt t x xt t +===++()()()()2222222222d 31121d d d 31121d 1d d d 1t t t y t t t t x x x tt ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+⎡⎤=+===+⎢⎥⎣⎦+221d 48d t y .x ==(10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)n f =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得()()()()()(2)2220(1)0222ln 2(1)ln 2.2n n n n x nx n n fCn n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()2d x x x f t t ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】 已知()()2d x x x f t t ϕ=⎰，求导得2220()()d 2()x x f t t x f x ϕ'=+⎰，故有1(1)()d 1,(1)12(1)5,f t t f ϕϕ=='=+=⎰则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x = .【答案】2e2e xx -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==-所以微分方程的通解为：212e e x x y C C -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22e e.xxy -=+(13)若函数(),Z z x y =由方程23e 1x y zxyz +++=确定，则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3e )e ,x y z x y z zxy yz x++++∂+=--∂ 2323(3e )2e .x y z x y z zxy xz y++++∂+=--∂ 将（0,0,0）点值代入即有(0,0)(0,0)12,.33z z xy∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121d |d d d 2d .333z x y x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2=-+B A A E ，其中E 为3阶单位阵，则行列式=B . 【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1,-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121.=⨯⨯=B .三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+，由等价无穷小的定义得()()()()()302333330234330ln 1sin 1lim236lim 1236lim x x x x a x bx xkx x x x x a x o x bx x o x kx a a b a x b x x x o x .kx→→→+++=⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭=可得10,1,10,,2211,.33a a a b b a k k ⎧⎧⎪⎪+==-⎪⎪⎪⎪-=⇒=-⎨⎨⎪⎪⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩方法二：由等价无穷小的定义得()()320ln 1sin 1lim1sin cos 1lim 3x x x a x bx xkx ab x bx x x kx →→+++=++++=洛必法达则 因为分子的极限为0，则1a =-，继续使用洛必达法则得()212cos sin 1lim16x b x bx x x ,kx→--+-+=分子的极限为0，12b =-，再次使用洛必达法则得 ()22sin sin cos 111lim1633x b x b x bx xx k .kk →----+=-=⇒=- 故111,,.23a b k =-=-=- (16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段πsin (0)2y A x x =≤≤及直线0y =，π2x =所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得πππ22222222101cos 2ππ()d π(sin )d πd ,24x A V f x x A x x Ax -====⎰⎰⎰ππ22202π()d 2πd cos 2π.V xf x x A x x A ==-=⎰⎰由题,V V 21=求得8A .π= (17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足2(,)2(1)e ,(,0)(1)e ,(0,)2,x x xyx f x y y f x x f y y y '''=+=+=+求 (,)f x y 的极值.【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】(,)2(1)e xxyf x y y ''=+两边对y 积分，得 221(,)2()e ()(2)e (),2x x x f x y y y x y y x φφ'=++=++故(,0)()(1)e x x f x x x φ'==+， 求得()e (1)x x x φ=+，故2(,)(2)e e (1)x x x f x y y y x '=+++，两边关于x 积分，得22222(,)(2)e e (1)d (2)e (1)de (2)e (1)e e d (2)e (1)e e C (2)e e C,x x x xx x x x x x x x f x y y y x xy y x y y x x y y x y y x =+++=+++=+++-=+++-+=+++⎰⎰⎰ 由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C所以2(,)(2)e e .xxf x y y y x =++令2(2)e e e 0,(22)e 0,x x xx xy f y y x f y '⎧=+++=⎪⎨'=+=⎪⎩求得⎩⎨⎧-==10y x . 又2(2)e 2e e ,2(1)e ,2e ,x x x xxx xyx yyf y y x f y f ''=+++''=+''=当1,0-==y x 时，(0,1)1,B (0,1)0,(0,1)2,xxxy yy A f f C f ''''''=-==-==-= 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y xy y x =+≤≥【答案】π245- 【解析】221201220π122400ππ2224200()d d d d 2d d 2)d 22222sin 2cos d 5522π22sin 2d sin d .5545DDxx t u t x x y x y x x y x yx x xx x t t t t t u u =+====--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21x f x t t =+⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值. 而11224112241()2,f t t t tt t t =+=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰在1(,1)2故11220,t t -<⎰⎰从而有1()0.2f <2221111lim()lim[],lim()lim[]lim[],xxx xx x xxx x xf x t tf x t t t t→-∞→-∞→+∞→+∞→+∞=+=+∞=+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim,xx xt==+∞所以lim()xf x→+∞=+∞.所以函数()f x在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2.(20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C︒的物体在20C︒的恒温介质中冷却，30min 后该物体降至30C︒，若要将该物体的温度继续降至21C︒，还需冷却多长时间？【答案】30min【解析】设t时刻物体温度为()x t，比例常数为(0)k>，介质温度为m,则d()dxk x mt=--，从而()e.ktx t C m-=+(0)120,20x m==，所以100C=，即()100e20.ktx t-=+又1()30,2x=所以2ln10k=，所以11()20.100tx t-=+当21x=时，t=１，所以还需要冷却30min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x在区间[]+a∞，上具有2阶导数，()0f a=，()0f x'>，()0f x''>，设b a>，曲线()y f x=在点()(),b f b处的切线与x轴的交点是()x，，证明0a x b<<.【证明】根据题意得点(,())b f b处的切线方程为()()()y f b f b x b'-=-令0y=，得()()f bx bf b=-'因为(x)0f'>所以(x)f单调递增，又因为(a)0f=，所以(b)0f>.又因为()0f b'>，所以(),()f bx b bf b=-<'又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间(),a b 上应用拉格朗日中值定理有 ()()()(),,f b f a f a b b aξξ-'=∈-所以0()()()()()().()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为()0f x ''>所以(x)f '单调递增，所以()()f b f ξ''>. 所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证. (22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a a a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 且3=A O . ()I 求a 的值；()II 若矩阵X 满足22--+=X XA AX AXA E ，E 为3阶单位阵，求X .【解析】()I323110111100.011a a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=-A O A()II 由题意知()()()()()()()()()222211122212,A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=--X XA AX AXA E X E A X E AEE A X E A E X E A E A E A E A X E A A2011111,112-⎡⎤⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦E A A011100111010111010011100112001112001111010111010011100011100021011001211110201100010111010001211001----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥→-→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦312111.211-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故312111.211-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦X (23) (本题满分11分)设矩阵02313312a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 相似于矩阵12000031b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B =. ()I 求,a b 的值；()II 求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】()I ()()tr tr 311~a b ,⇒=⇒+=++A B A B0231201330012031b,a --=⇒--=-A B 则有14235a b ,a ,a b ,b .-=-=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ ()II 思路一：由()I 知023133.124-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A由于矩阵A 相似于矩阵B ，所以()()215,λλλλ-=-=--E A E B故A 的特征值为1231, 5.λλλ===当121λλ==时，由方程组()-=0E A x ，得线性无关的特征向量T T 12(2,1,0);(3,0,1),==-ξξ当35λ=时，由方程组(5)-=0E A x ，得线性无关的特征向量T 3(1,1,1).=--ξ令123231(,,)101,011--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ξξξ则 111.5-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P APP 为所求可逆矩阵.思路二：023100123133010123124001123---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=+--=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E C,[]12311231123.1231---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)-=0E C x 的基础解系为T T 12(2,1,0);(3,0,1),==-ξξ 5λ=时(4)-=0E C x 的基础解系为T 3(1,1,1).=--ξA 的特征值1:1,1,5.A C λλ=+令123231(,,)101,011--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ξξξ则 111.5-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P APP 为所求可逆矩阵.。
2015年考研数学二真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A)∫√x 2(B)∫lnx x +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫x e x +∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x2=2√x|2+∞=+∞； ∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞； ∫1xlnx +∞2dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫x e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则 (A)α−β>1 (B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时，lim x→0x α−1cos 1x β=0， lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0， 因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
(武汉大学数学学院)第二学期线性代数D期末试题及答案(A卷)
0 0 1
3、设
A
1
1
1
，
x
为实数，试讨论
x
为何值时，矩阵
A
可与对角阵相似？（15
分）
x2 0 0
一、计算下列各题：
09
线性代数 D（即工科 36 学时）参考解答：
0
1、解：由 －1 －2 －1 ＝9 0，及 R（1,2 ,3） 3 ，则知1,2 ,3 即为一极大无关组。 061
1 0 1 1 0 1
而当 3
1 时，由
A
E
＝
1
2
1
1
2
1 ， R A E 2 ，
1 0 1 0 0 0
1
则由
1
0 2
1 1
x1 x2
0
恰给出
A
的一个特征向量。
0 0 0 x3
用 1 乘以（＊）式，然后与（＊＊）式相减得
k3(3 1 )3 o ，
注意 3 1 0 ，有 k3 0 。再由（＊）式得 k11 k22 o ，由于1 和2 线性无关，则 k1 k2 0 ，
于是
即1,2 ,3 线性无关。 0
k1 k2 k3 0 ， 1
武汉大学数学与统计学院
2005－2006 学年第二学期《线性代数》 （A 卷）
学院
专业
学号
姓名
注：1.本试题供线性代数 D（即工科 36 学时）使用；
2.所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰(2)函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x 在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤(4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数(u v)f ，满足22(,)yf x y x y x +=-，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12(6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰(7)．设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设2231arctan ,3t x t d ydx y t t==⎧=⎨=+⎩则 （10）函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f=（11）设函数()f x 连续，20()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =（12）设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
2015年考研数学二真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2 (B)∫lnxx+∞2dx(C)∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe +∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x2=2√x|2+∞=+∞；∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe x+∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=e lim t→0x 2t(1+sin tx−1)=ex limt→0sint t=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos 1x β=0，lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x +∞2=2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫x e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx =2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αxα−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1xβ,x >0，0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析戴又发一、选择题 共8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1） 下列反常积分收敛的是（ ）（A ）dx x⎰+∞21（B ）dx x x ⎰+∞2ln （C ）dx x x ⎰+∞2ln 1 （D ）dx e x x ⎰+∞2 【解析】22222331lim 3)1(lim lim --+∞→--+∞→+∞→+∞=+-=++-==⎰⎰e e e e t e dx e x dx ex t t t t t x t x ． 故选D ．（2）函数tx t x t x f 2sin 1lim )(⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→ 在),(+∞-∞内 （ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点【解析】ttx t x t tx t x t x t x f sin sin sin 1lim sin 1lim )(2⨯+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=，当0≠x 时，由e x t tx t =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→sin sin 1lim ，x ttx t =+∞→sin lim，得x e x f =)(， 故函数在),(+∞-∞内有可去间断点，故选B ．（3）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,1cos )(x x xx x f α)0,0(>>βα，若)(x f '在0=x 处连续，则（ ） （A ）1>-βα （B ）10≤-<βα （C ）2>-βα （D ）20≤-<βα 【解析】显然0<x 时0)(='x f ，当0>x 时111sin 1cos)(---⋅+='ββαβαβαx xx x x x f ββαβαβαxx x x 1sin 1cos11---+=，由0,0>>βα，)(x f '在0=x 处连续，有01,01>-->-βαα， 所以1>-βα，故选A ．（4）设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，其2阶导数)(x f ''的图形如右图所示，则曲线)(x f y =的拐点个数为（ ）（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】若函数)(x f 的2阶导数存在，那么使函数2的阶导数)(x f ''为零，且三阶导数不为零的点是函数)(x f 的拐点，当2阶导数不存在时，只要在某点处的2阶导数改变符号，该点就是拐点，显然)(x f y =的拐点个数为2，故选C ． （5）设函数),(v u f 满足22),(y x xy y x f -=+，则11==∂∂v u uf 与11==∂∂v u vf 依次是（ ）（A ）21，0 （B ）0，21 （C ）21-，0 （D ）0，21-【解析】记 x y v y x u =+=, ，得v uvy v u x +=+=1,1，于是22)1()1(),(),(v uv v u v u f x y y x f +-+==+，所以222)1(2)1(2v uv v u u f +-+=∂∂，011=∂∂==v u uf ；3222232)1(2)1(2)1(2v v u v vu v u v f +++-+-=∂∂，2141214111-=+--=∂∂==v u uf，故选Ｄ．（6）设D 是第一象限中的曲线14,12==xy xy 与直线x y x y 3,==围成的平面区域，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Ddxdy y x f ),(（ ）（A ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（B ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（C ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d（D ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d【解析】记 θθsin ,cos r y r x ==，区域D 可表示为，θθ2sin 212sin 1≤≤r ，34πθπ≤≤，θrdrd dxdy =，于是 ⎰⎰=Ddxdy y x f ),(⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d ，故选Ｂ．(7)设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24121111a a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21d d b ，若集合{}2,1=Ω，则线性方程组b Ax =有无穷多解的充分必要条件为（ ）（A ）Ω∉Ω∉d a , （B ）Ω∈Ω∉d a , （C ）Ω∉Ω∈d a , （D ）Ω∈Ω∈d a ,【解析】由方程组b Ax =有无穷多解，得3)()(<=A r A r ， 而当0)12)(2)(1(=---=a a A 时，2,1==a a ，当1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000101011111030101011111411211111222d d d d d d d A 3)(<A r ，所以1=d 或2=d ．当2=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000111011111330111011114412211111222d d d d d d d A 3)(<r ，所以1=d 或2=d ．故选Ｄ．（8）设二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+，其中),,(321e e e P =，若),,(231e e e Q -=，则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为（ ）（A ）2322212y y y +- （B ）2322212y y y -+ （C ）2322212y y y -- （D ）2322212y y y ++ 【解析】设二次型对应的矩阵为A ，由),,(321x x x f 经正交变换PY X =化为标准型2322212y y y -+，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AP P ，其中),,(321e e e P =，又因为),,(231e e e Q -=，于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AQ Q ， 所以),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为2322212y y y +-．故选Ａ．二、填空题：9~14每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．（9）设⎩⎨⎧+==33arctan t t y t x ，则==122t dx y d ．【解析】233t dt dy += ，211t dt dx +=， 363)1)(33(2422++=++=t t t t dx dy ，22232322)1(12)1)((12111212)(t t t t t t t t dt dx dt dx dy d dxy d +=++=++==． 所以==122t dx y d 48．（10）函数x x x f 2)(2⋅=在0=x 处的n 阶导数为=)0()(n f .【解析】因为)2ln 2(22ln 222)(22x x x x x f x x x +=⋅+⋅='，0)0(='f ；))2(ln 2ln 42(22ln )2ln 2(2)2ln 22(2)(222x x x x x x f x x x ++=+++=''，222)0(0=⋅=''=x x f ；2ln ))2(ln 2ln 42(2))2(ln 22ln 4(2)(222x x x x f x x ++++='''))2(l n )2(l n 62ln 6(2322x x x ++=，2ln 62ln 62)0(0=⋅='''=x xf ； 2ln ))2(ln )2(ln 62ln 6(2))2(ln 2)2(ln 6(2)(32232)4(x x x x f x x ++++=))2(ln ))2(ln 8)2(ln 12(24232x x x ++=，202)4()2(ln 12)2(ln 122)0(=⋅==x x f ；202)()2)(ln 1()2)(ln 1(2)0(-=--=-⋅=n x n x n n n n n f ．（11）设函数)(x f 连续，由方程⎰=2)()(x dt t xf x ϕ，若5)1(,1)1(='=ϕϕ，则=)1(f ． 【解析】由⎰⎰==22)()()(x x dt t f x dt t xf x ϕ，得)(2)()(202x f x x dt t f x x ⋅⋅+='⎰ϕ，又5)1(2)()1(1=+='⎰f dt t f ϕ，1)()1(10==⎰dt t f ϕ，所以2)1(=f ．（12）设函数)(x y y =是微分方程02=-'+''y y y 的解，且在0=x 处)(x y 取得极值3，则=)(x y ．【解析】由022=-+λλ，得2,1-==λλ，于是微分方程的特解为x x e C e C y 221-+=，由022)0(21221=-=-='-C C eC e C y xx，3)0(21=+=C C y ，得1,221==C C ，所以x x e e x y 22)(-+=．(13)若函数),(y x z z =由方程132=+++xyz e z y x 确定，则=)0,0(dz．【解析】由dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=， 方程132=+++xyz e z y x 两边对x 求导，0)31(32=+∂∂+∂∂+++yz xzxy x z e z y x ， 代入0,0==y 得310-=∂∂=x xz；方程132=+++xyz e z y x 两边对y 求导，0)32(32=+∂∂+∂∂+++xz yzxy y z e z y x ， 代入0,0==y 得32-=∂∂=y yz；所以dy dx dz3231)0,0(--=．(14)设三阶矩阵A 的特征值为1,2,2-，E A A B +-=2,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式=B ．【解析】由矩阵A 的特征值为1,2,2-， 且E A A B +-=2,可知矩阵B 的特征值为1,7,3，所以21=B ．三、解答题：15～23小题，共94分。
2015年考研数学(二)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dxx x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x ααβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ，则11u v fu==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C) 1,02- (D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)y f x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+， 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,)43D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩ 则 212t d y dx ==【答案】48【解析】 2222333(1)11dy dy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】 已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有1(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x = .【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B = .【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===， 可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203c o s )1(s i n )1(lim kx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ； 进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π=dx x xf ⎰=22)(2V ππA x d x A -πππ2c o s 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)xx f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求 (,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=， 故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ， 求得)1()(+=x e x x ϕ，故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++='，两边关于x 积分，得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2⎰+++=xxde x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y xxx )1()2(2 C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2， x xye yf )1(2+=''，xyy e f 2=''， 当1,0-==y x 时，(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π-【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21Xf x =+⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而112241()2f =+=-⎰⎰⎰1224=--⎰⎰⎰在1(,1)2故0-<从而有1()02f <1lim ()lim[]x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim x x x ==+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30C ︒，若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间？ 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则()dxk x m dt=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =，所以11()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =，得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E AE X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪⎪⎝⎭P AP文档内容由金程考研网整理发布。
[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9.doc
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[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9.doc[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (11)设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为（A）α1，α3．（B）α1，α2．（C）α1，α2，α3．（D）α2，α3，α4．2 (15)设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为3 (05分)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是（A）λ1≠0（B）λ2≠0（C）λ1=0（D）λ2=0二、填空题4 (01)设方程组有无穷多个解，则a=______．5 (02)矩阵A=的非零特征值是______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6 (97)λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．7 (98)已知α1=[1，4，0，2]T，α2=[2，7，1，3]T，α3=[0，1，-1，a]T，β=[3，10，6，4]，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并写出此表示式．8 (00)设A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置．求解方程2B2A2x=A4x+B4x+y9 (01)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα1，β4=α1+tα1．讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX=0的一个基础解系．10 (02)已知矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．11 (03)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．12 (04)设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．13 (05)已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b．c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．14 (06)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(2)求a，b的值及方程组的通解．15 (07)设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a-1 ②有公共解，求a 的值及所有公共解．16 (08)设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)a n；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．17 (09)设(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，Aξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关.18 (10)没A=已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．19 (12)设A=(Ⅰ)计算行列式｜A｜；(Ⅱ)当实数n为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．20 (13)设A=，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.21 (14)设A=，E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．22 (16)设矩阵A=，且方程组Ax=β无解．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求方程组A T Ax=A Tβ的通解．23 (17)设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2，(Ⅰ)证明r(A)=2；(Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．24 (18)已知a是常数，且矩阵A=可经初等列变换化为矩阵B=(1)求a；(2)求满足AP=B的可逆矩阵P．25 (03)若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使Pr-1AP=Λ．26 (04)设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求n的值，并讨论A是否可相似对角化．27 (06)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q T AQ=A．28 (07)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A 的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵b．。
武汉大学《线性代数》历年真题及答案
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