《推荐》高中数学同步导学(2017新课标)(统计与概率)专题五几何概型Word版含解析

1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel ，Scilab 等都可以产生随机数． 2．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________．3．概率计算公式在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝ ．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d 和整个区域D 的几何度量，然后代入公式即可求解． 【参考答案】【自主测试】1 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．56解：3a －1<0，即a <13，∴所求概率P ＝131＝13．故选A ．2 如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )A ．1－π4B ．π2－1C ．2－π2D ．π4解：由几何概型可知所求概率为P ＝1－12×π×122×1＝1－π4．故选A ．3 已知球O 是正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的内切球，则在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内任取一点M ，点M 在球O 内的概率是( ) A ．π4B ．π8C ．π6D ．π124 在区间上随机地取一个数x ，若x 满足||x ≤m 的概率为56，则m ＝____________．解：显然m >2，由几何概型得m －（－2）4－（－2）＝56，解得m ＝3．故填3．5 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为____________．解：∵S 阴影＝⎠⎛0 -1(x －x )d x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2232132x x 1＝16， S 正＝1，∴由几何概型可知所求概率P ＝S 阴影S 正＝16．故填16． 【典例】类型一 以长度为度量的几何概型例一 在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于该直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．【评析】①以线段长度为度量的几何概型概率计算公式：P (A )＝事件A 对应的线段长试验的全部结果对应的线段长．※②本题实际是著名的贝特朗悖论的解答之一，该“悖论”是说：在一半径为1的圆C 内任意作一弦，此弦长度大于该圆内接正三角形边长(3)的概率是多少？由于题中“任意作一弦”的提法不明确，与之对应的随机试验及基本事件也不同，从而产生不同的概率问题．除了本例给出的解答外，还有两种常见解答，而这三种解答结果各不相同，从而形成所谓的“悖论”．另外两种如下：(Ⅰ)以12为半径作圆C 的同心圆C 1(图1)，易证弦的中点M 落在圆C 1内的充要条件为弦长l >3，故所求概率等于二圆面积之比14；(Ⅱ)设弦AB 的一端固定于圆上，于是弦的另一端B 是“任意”的，考虑正三角形ADE (图2)，弦长l >3的充要条件为B 落在劣弧DE ︵上，故所求概率为劣弧DE ︵的弧长与圆周长之比13．有兴趣的同学可以翻阅相关资料，并不妨探究一下：这三种解答采用的都是何种等可能性的假定？变式 已知函数f (x )＝ln xx，导函数为'f (x )．在区间上任取一点x 0，则使得'f (x 0)>0的概率为____________．解：由已知得'f (x )＝1－ln x x 2，故'f (x )>0⇔1－ln xx2>0，解得0<x <e ，故由几何概型可得所求事件的概率为e －23－2＝e －2．故填e －2．类型二 以面积为度量的几何概型例二 (1)如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )．①求△APB 的面积大于14的概率；②求点P 到原点的距离小于1的概率．解：①如图，取线段BC ，AO 的中点E ，F ，连接EF ，则当点P 在线段EF 上时，S △APB ＝14，故满足条件的点P 所在的区域为矩形OFEC (阴影部分)．故所求概率为S 矩形OFEC S 正方形OABC ＝12．【评析】①以面积为度量的几何概型概率计算公式：P ＝事件A 构成区域的面积整个试验的全部结果构成区域的面积．②解此类问题的主要步骤为：列出条件组，画出图形，计算面积，再求概率．③多注意数形结合．(2)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【评析】①平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达约会地点的时间，y 轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x ，y )就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间．而能会面的时间由||x －y ≤15所对应的图中阴影部分表示．②本题的难点在于把实际问题转化为几何模型． 变式 (1)在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，求能输出数对(x ，y )的概率．解：由题意，设输出数对(x ，y )的概率为P ，也即x 2＋y 2≤12所表示的平面区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1所表示的平面区域面积的比． 如图所示，所求概率P ＝π×122×2＝π4．(2)甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率． 解：甲比乙早到4小时内乙须等待，甲比乙晚到2小时内甲须等待．以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时须等待一段时间的充要条件为－2<y －x <4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A “有一艘船停靠泊位时须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得： P (A )＝242－12×222－12×202242＝67288． 故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是67288．类型三 以体积为度量的几何概型例三 在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离不大于a 的概率为( ) A ．22B ．22π C ．16D ．π6解：满足条件的点在以A 为球心，半径为a 的18球内，所以所求概率为P ＝18×43πa 3a 3＝π6．故选D ．【评析】①以体积为度量的几何概型概率计算公式：P ＝构成事件A 的区域的体积试验的全部结果构成的区域的体积；②对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算．变式 在边长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的内部随机取一点P ，则V P­ABCD ＞16的概率为( )A ．12 B ．13C ．16D ．118类型四 几何概型与平面区域的综合性问题例四 将长为l 的木棒随机折成3段，求3段能构成三角形的概率．解：记事件A ＝“3段能构成三角形”，x ，y 分别表示其中2段的长度，则第3段的长度为l －x －y ．则试验的全部结果可构成集合Ω＝{(x ，y )|0＜x ＜l ，0＜y ＜l ，0＜x ＋y ＜l }，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x ＋y ＞l －x －y ⇒x ＋y ＞l2，x ＋l －x －y ＞y ⇒y ＜l2，y ＋l －x －y ＞x ⇒x ＜l2．故所求结果构成集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|x ＋y ＞l 2，0＜y ＜l 2，0＜x ＜l 2． 由图可知，所求概率为 P (A )＝A 的面积Ω的面积＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22l 22＝14．【评析】对Ω和事件A 的描述和表达是解决问题的关键，利用隐含条件“两边之和大于第三边”建立不等式组，再利用线性规划知识解题．变式 在区间上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间(－1，1)上有且仅有一个零点的概率为________．由线性规划知识，在平面直角坐标系aOb 中画出这个不等式组所表示的可行域，如图，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在(－1，1)上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以正方形的面积，计算可得面积之比为78．故填78．类型五 随机模拟例五 一只海豚在水池中游弋，水面为长30 m ，宽20 m 的长方形，随机事件A 记为“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．(1)试设计一个能估算出事件A 发生的概率的算法； (2)求P (A )的准确值．这里几何区域D 所表示的范围为长方形：x ∈(－15，15)，y ∈(－10，10)，事件A 所表示的区域为图中的阴影部分d ：||x |－15|≤2，或||y |－10|≤2． 算法框图如下：(2)如图所示，所求概率为P (A )＝阴影部分的面积区域D 的面积＝30×20－26×1630×20＝2375．【评析】①简单说明：n 记录做了多少次试验，m 记录其中有多少次(x ，y )出现在阴影部分；rand()×30－15产生－15～15之间的随机数作为海豚嘴尖的横坐标，rand()×20－10产生－10～10之间的随机数y 作为海豚嘴尖的纵坐标；||||x －15≤2或||||y －10≤2判断(x ，y )是否落在阴影部分．②随机模拟的是计算机产生随机数，而算法的引入为模拟提供了可能，随着新课标注重应用的不断深入，此类问题会倍受关注．变式 甲盒中有红、黑、白皮笔记本各3本，乙盒中有黄、黑、白皮笔记本各2本，且所有笔记本的规格质地相同，从两盒中各取一本．(1)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算取出的两本是不同颜色笔记本的概率； (2)计算取出的两本是不同颜色笔记本的概率．(2)记从甲盒中任取一本笔记本，取出的是红色笔记本的概率为P甲红，依此类推，则有P甲红＝P 甲黑＝P 甲白＝P 乙黄＝P 乙黑＝P 乙白＝13．因此为了方便计算，我们不妨设甲盒中有红、黑、白三种颜色笔记本各一本，乙盒中有黄、黑、白三种颜色笔记本各一本．那么从两盒中各取一本的所有情形为(红，黄)，(红，黑)，(红，白)；(黑，黄)，(黑，黑)，(黑，白)；(白，黄)，(白，黑)，(白，白)，共9种．两本笔记本颜色相同的情形为(黑，黑)，(白，白)，共2种． 故所求概率为P ＝1－29＝79．【名师点睛】1．几何概型与古典概型的关系几何概型是古典概型的补充和推广，它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素，每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G 内随机而取的点的位置来确定；而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求，两种概率模型是高度统一的． 2．解决几何概型问题，注意把握好以下几点： (1)能正确区分古典概型与几何概型．例1：在区间上任意取一个整数x ，则x 不大于3的概率为________． 例2：在区间上任意取一个实数x ，则x 不大于3的概率为________．例1的基本事件总数为有限个11，不大于3的基本事件有4个，此为古典概型，故所求概率为411．例2的基本事件总数为无限个，属于几何概型，故所求概率为310． (2)准确分清几何概型中的测度．例3：在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，求∠CAM ＜30°的概率． 例4：在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在∠CAB 内作射线交线段BC 于点M ，求∠CAM ＜30°的概率．例3中的测度定性为线段长度，当∠CAM 0＝30°，CM 0＝33AC ＝33CB ．满足条件的点M 等可能的分布在线段CM 0上，故所求概率等于CM 0CB ＝33．例4中的测度定性为角度，过点A 作射线与线段CB 相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB 内，∠CAB ＝45°．所以所求概率等于∠CAM 0∠CAB ＝30°45°＝23．(3)科学设计变量，数形结合解决问题．例5：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟的概率．例6：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率． 例5是《必修3》P 136的例题，此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为1060＝16．例6容易犯解例5形成的定势思维的错误，得到错误答案560＝112．原因在于没有认清题中的变量，本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取内的任意时刻，故所求概率需用到面积型几何概型，由|x －y |≤5结合线性规划知识可解，故所求概率为602－552602＝23144．通过这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积(或体积)型测度．在画好几何图形后，利用数形结合思想解题．3．几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决． 【针对训练】1．在区间上随机取一个数x ，则事件“sin x ≥12”发生的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．23解：sin x ≥12，又x ∈，∴π6≤x ≤56π．∴所求概率P ＝5π6－π6π－0＝23．故选D ．2．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是()A ．12B ．9C ．8D ．6解：正方形面积为36，阴影部分面积为200800×36＝9．故选B ．3．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的上底面ABCD 内有一点Q ，则在该正方体内任取的一点M 落在四棱锥Q ­A 1B 1C 1D 1内的概率是( ) A ．12 B ．13C ．14D ．23解：由体积比为1∶3知B 正确，故选B ．4．如图所示，设M 是半径为R 的圆周上的一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长超过2R 的概率为( )A ．15B ．14C ．13D ．12解：在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC ＝2R ，当点N 不在半圆弧CMD ︵上时，MN >2R ，故所求的概率P (A )＝πR 2πR ＝12．故选D ． 5．已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间．则∀x ∈，f (x )≥0的概率是( ) A ．13B ．12C ．23D ．34解：当x ＝0时，k ∈，当x ∈(0，1]时，只要kx ＋1≥0，即k ≥－1x ，而x ∈(0，1]⇒－1x∈(－∞，－1]，故k ≥－1．从而k ∈．综上，k ∈符合题意．因此所求概率为1－（－1）1－（－2）＝23．故选C ．6．在区间上随机取一个数x ，使得||x ＋1－||x －2≥1成立的概率为____________．7．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB＝____________．解：如图，设CD ＝4，根据对称性，由题中条件知，P 的活动范围为2，即CP ∈(1，3)． 当CP ＝3时，BP ＝4，解得BC ＝42－32＝7．∴AD ∶AB ＝7∶4，故填74． 8．向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于S 2的概率为多少？解：∵S △PBC ＜12S △ABC ，∴h ′＜h2(其中h ′为△PBC 中BC 边上的高，h 为△ABC 中BC 边上的高)，设DE 为△ABC 的中位线(如图)，则梯形BCED 中(阴影部分)的点满足要求，∴所求概率P ＝S 梯形BCED S △ABC＝34． 9．正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 内部的点．设“V P －ABC ≥14V ”的事件为X ，求概率P (X )．10．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )．求以x ，y ，1为边长能构成锐角三角形的概率．解：首先由x ＋y >1得构成三角形的点P 在△ABC 内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α＝x 2＋y 2－122xy＞0，x 2＋y 2＞1，即点P 在以原点为圆心，1为半径的圆外．∴点P 在边AB ，BC 及圆弧AC 围成的区域内．∴其概率为：12－π4×1212＝1－π4． 11.已知平面区域D 1＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧2＜||,2＜||),(y x y x ， D 2＝{(x ，y )|kx －y ＋2<0}．在区域D 1内随机选取一点M ，若点M 恰好取自区域D 2的概率为p ，且0<p ≤18，则k 的取值范围是__________．解：如图所示，平面区域D 1是边长等于4的正方形内部的点，其面积为16，直线kx －y ＋2＝0恒过定点P (0，2)．由于原点必在区域D 2外，而图中每个阴影三角形的面积与大正方形面积之比均为18，故当k >0时，k ∈(0，1]；当k <0时， k ∈．故填．。