【高考调研】高中数学选修2-2课件：1-7 定积分的简单应用2

0
1
＝t－13t3 |10＋13t3－t |12＝2. 2秒末所在的位置
x1＝x0＋2v(t)dt＝1＋2(1－t2)dt
0
0
＝1＋t－t33
2 |0
＝1＋2－83＝13.
答：它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝13.
例2 一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝ t2－4t＋3(m/s)运动，求： (1)在t＝4 s时的位置； (2)在t＝4 s时运动的路程．
s＝01(t2－4t＋3)dt＋13t2－4t＋3dt＋34(t2－4t＋3)dt
＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋4(t2－4t＋3)dt
0
1
3
＝4(m)，
即在t＝4 s时运动的路程为4 m.
探究2 因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积 分，而路程是位移的绝对值之和，因此需判断在[0,4]上，哪些时 间段的位移为负．
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝4
(8t－2t2)dt－6
(8t－2t2)dt
0
4
＝(4t2－23t3)|40－(4t2－23t3)|64＝1238.
当 t＝6 时，点 P 的位移为
6
(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|60＝0.
【解析】 (1)在时刻t＝4 s时该点的位置为 4(t2－4t＋3)dt＝(13t3－2t2＋3t) |04＝43(m)，
0
即在t＝4 s时该点距出发点43 m. (2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，在区间[1,3]上， v(t)≤0， 所以在t＝4 s时的路程为
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位 移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
【思路分析】 (1) 解不等式vt>0或vt<0 → 确定积分区间
→ 求t＝6时的路程以及位移
(2)
求定积分t
vtdt
→
令t
vtdt＝0求t
0
0
【解析】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
a
②物体在变力F(x)的作用下，沿力F方向由x＝a运动到x＝ b(a<b)时所做的功W＝bF(x)dx.
a
当力F的方向与运动方向夹角为θ角时，所做的功为W＝
b
a
F(x)cosθdx.
课时学案
题型一 求变速直线运动的路程、位移
例1 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－ 2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求
.
－bv(t)dt
(2)若v(t)≤0(a≤t≤b)，则s＝
a
；s′＝
bv(t)dt
a
.
(3)在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0，则s＝
cv(t)dt－bv(t)dt
a
c
bv(t)dt
；s′＝
a
.
1．在理解定积分的基础上理解下面两点：
答：①物体以v＝v(t)做变速直线运动时，在t＝a到t＝b(a<b) 时间内经过的路程s＝bv(t)dt.
题型二 求变力作功问题
例3
一物体在变力F(x)＝
36 x2
(N)作用下沿坐标平面内x轴正
方向由x＝8处运动到x＝18处，求力F(x)做的功．
【解析】 如图，阴影部分的面积即F(x)所做的功．
∵S＝∫1883x62 dx＝－36x－1|
18 8
＝(－36·18－1)－(－36·8－1)
＝(－2)－(－92)＝52，
0
(2)依题意t
(8t－2t2)dt＝0，即4t2－23t3＝0，
0
解得t＝0或t＝6.
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，
t＝6是所求的值．
探究1 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程s和位移s′情况如下：
(1)若v(t)≥0，则s＝bav(t)dt；s′＝bav(t)dt. (2)若v(t)≤0，则s＝－bav(t)dt；s′＝bav(t)dt. (3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0， 则s＝cav(t)dt－bcv(t)dt，s′＝bav(t)dt. 所以求路程时要事先求得速度的正负区间．
第一章 导数及其应用
1.7 定积分的简单应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
课时学案 课后巩固 课时作业
要点1 路程、位移计算公式
路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的
路程s和位移s′分别为 (1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，则s＝
bv(t)dt
a
；s′＝
bv(t)dt
a
思考题2 A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站， 电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s，到C点速度 达24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车， 经t s后，速度为(24－1.2t) m/s，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离； (2)B、D间的距离； (3)电车从A站到B站所需的时间．
【解题提示】 做变速运动的物体所经过的路程s，等于其
速度函数v＝v(t)，v(t)≥0在时间区间[a，b]上的积分，即s＝
b
a
v(t)dt.需根据题意写出函数v＝v(t)，确定时间区间，用定 s，由1.2t1＝24，得t1＝ 20(s)． ∴AC＝∫2001.2tdt＝0.6t2| 200＝240(m)． (2)设从D→B经过t2 s，由24－1.2t2＝0， 得t2＝20(s)． ∴DB＝∫200(24－1.2t)dt＝24t－0.6t2| 200＝240(m)． (3)CD＝7 200－2×240＝6 720(m)． 从C到D的时间为t3＝6 27420＝280(s)． 于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．
思考题1 变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始 位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．
【解析】 当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)<0.
所以前2秒钟内所走的路程
s＝1v(t)dt＋2[－v(t)]dt
0
1
＝1(1－t2)dt＋2(t2－1)dt