用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线的斜率之积等于

用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线

的斜率之积等于

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

用几何方法证明“坐标平面内，两直线互相垂直时，它们的斜率的

乘积等于-1”

证明：如图，直线y

1=k

1

x和直线y

2

=k

2

x互相垂直，

过直线y

1=k

1

x上任意一点A做AC⊥x轴于点C，

在直线y

2=k

2

x上取一点B使OB=OA，过B点做BD⊥x轴于点D，

则∠ACO=∠BDO=90°，

又∵∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∵∠ACO=90°，

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

∴△AOC≌△BOD（AAS），

设OC=a，则BD=OC=a，AC=OD=k

1

a，∵点B在第二象限，

∴点B的坐标是（-k

1

a，a），

把点B坐标代入直线y

2=k

2

x，

得：a=k 2×（-k 1a ），

∴k 1k 2=-1.

应用举例：

如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a 、b 满足

()()042

2=-++a b a .若点C 坐标为（-1,0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交PB 于点P ，试求点

P 坐标.

解：由()()042

2

=-++a b a 易得：a=4，b= -4，

∴点B 坐标为（0，-4），

∵点C 坐标为（-1,0），

∴线段BC 的解析式为y=-4x-4，

∵AH ⊥BC ，

∴线段AH 的斜率为

4

1， 因为点A 坐标为（4，0），

易得线段AH 的解析式为14

1

-=

x y ， 所以点P 的坐标为（0，-1）.

当然，该题利用全等三角形的知识解决起来会更简便一些。这留给同学们自己来解答.