2-1_静电势及其微分方程

2-9
Qf
二、静电势的微分方程和边值关系 静电势的微分方程和边值关系 1.电势满足的方程 电势满足的方程 电势 泊松方程 导出过程
ρ ∇ ϕ =− ε
2
适用于均 匀介质
r 2 ⇒ε∇⋅ E = −ε∇⋅ ∇ϕ = −ε∇ ϕ = ρ
拉普拉斯方程
2-10
r r D = εE,
r E = −∇ϕ
r ∇⋅ D = ρ
Q
P
a
A 2 ϕ = + B (r > 0) 满足 ∇ ϕ = 0 r
2-20
(r > a)
r r ∇⋅ ∇ϕ ∝ −∇⋅ 3 = 0 r
(r ≠ 0)
r → ∞,ϕ → 0
B≡0
A ϕ= r
∂ϕ Q = − ε0 dS = ε 0 dS = ∂r r=a a2
∫
∫
∂ϕ ∂ϕ A = =− 2 ∂n ∂r r ε 0 A4π a2 A
σf =0
σ p = ε0 (E2n − E1n )
电磁性质方程： 电磁性质方程： 静电平衡时的导体： 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体： ① 均匀各向同性线性介质 r r r r r 导体内 J = σE = 0 σ ≠ 0 （ ） P = χeε0 E = (ε − ε0 )E r r r r r r r r E, D, P, ρ,L= 0 (D = ε0 E + P) D = εE σ 外表面 E = En = , Et = 0 r ε0 ε ρP = −∇⋅ P = ( −1)ρ ε 电荷分布在表面上， 电荷分布在表面上，电 r r r σ P = −n ⋅ (P − P ) 场处处垂直于导体表面 2 1
注意：考虑了束缚电荷， 注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质
2-19
r ρp + ρ 决定。 决定。 用真空中的 ε 0 。这由 ∇⋅ E = ε
0
ε ，而
4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。 带电Q的导体球（半径为a 产生的电势。 电荷分布在有限区， 电荷分布在有限区，参 考点选在无穷远。 考点选在无穷远。根据 对称性， 对称性，导体产生的场 具有球对称性， 具有球对称性，电势也 应具有球对称性。 应具有球对称性。当考 虑较远处场时， 虑较远处场时，导体球 可视为点电荷。 可视为点电荷。
空间某点电势无物 理意义，两点间电 理意义，两点间电 势差才有意义 电势差为电场力将 单位正电荷从P移 单位正电荷从 移 到Q点所作功负值 点所作功负值
r r ϕQ −ϕP = −∫ E ⋅ dl
Q P
① 电场力作正功，电势下降 (ϕQ < ϕP ) 电场力作正功， 电场力作负功，电势上升 (ϕQ > ϕP ) 电场力作负功，
2-3
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
2-4
一、静电场的标势
1．静电势的引入
静电场标势 [简称电势]
的选择不唯一，相差一个常数， ① ϕ 的选择不唯一，相差一个常数，只要 r 知道 ϕ 即可确定 E ② 取负号是为了与电磁学讨论一致 ③
r ∇× E = 0
∇ ϕ =0
2
适用于无自 由电荷分布 的均匀介质 的均匀介质
2．静电势的边值关系
Q
(1) 两介质分界面
P Q
r r ϕQ −ϕP = −∫ E ⋅ dl
P
0
ϕP = ϕQ
ϕ2
S
Q
r n
ε2
ϕ1 S = ϕ2 S
2-11
ϕ1
P
ε1
∂ϕ2 ∂ϕ1 ε2 −ε1 = −σ ∂n S ∂n S
r r r n ⋅ (D2 − D1 ) = σ
2.1 静电势及其微分方程
2-1
静电场的基本特点： 静电场的基本特点 r r r r ① J ≡ 0 ② E, B, ρ, P 等均与时间无关
r r r 不考虑永久磁体（ ③不考虑永久磁体（ M ≡ 0 ） ④ B= H =0 r r r r 为唯一解） （∇× H = 0, ∇⋅ B = 0 ，H = B = 0 为唯一解）
ϕ |s = 常 数
σ ∂ϕ ε =− σ En = ε ∂n s
∂ϕ Q = σdS = ε dS S S ∂n
∫
∫
2-13
三．静电场的能量 1. 一般方程： 能量密度 一般方程：
仅讨论均匀介质
1r r w= E⋅ D 2
1 r r 总能量 W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞ 2. 若已知 ρ,ϕ总能量为 1 W= ρϕdV 2 V

r r Q ② 两点电势差与作功的路径无关 ( ∫ E ⋅ dl ≡ 0) L
2-6
●等势面：电势处处相等的曲面 等势面： 等势面
r r r 与等势面垂直， E 与等势面垂直，即 E ⊥ n
均匀场电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
2-7
点电荷电场 线与等势面
参考点 （1）电荷分布在有限区域， 电荷分布在有限区域， 电荷分布在有限区域 通常选无穷远为电势 参考点 ϕ∞ = 0 (Q →∞)
a2
A=
Q 4πε0
ϕ=
Q 4πε0r
(r > a)
Q 4πε0a r (r ≤ a)
(r > a)
ϕ内 = ϕ表面 =
Q
r E = −∇ϕ =
2-21
Qr ∇r = 2 4πε0r 4πε0 r 3
此题也可用高斯定理（积分形式）求解。 此题也可用高斯定理（积分形式）求解。
⇒ D2n − D1n = σ
ε2 E2n − ε1E1n = σ
∂ϕ En = − ∂n
r r D=ε E
2-12
（2）导体表面上的边值关系 由于导体表面为等势面， 由于导体表面为等势面 ， 因此在导体表 面上电势为一常数。 面上电势为一常数 。 将介质情况下的边 值关系用到介质与导体的分界面上， 值关系用到介质与导体的分界面上 ， 并 考虑导体内部电场为零， 考虑导体内部电场为零 ， 则可以得到第 二个边值关系。 二个边值关系。
0
θR
r E0
y
r r 0 r r P r r r ϕ0 −ϕ(P) = −∫ E ⋅ dl = −E0 ⋅ ∫ dl = E0 ⋅ ∫ dl = E0 ⋅ R
r r ϕ(P) = ϕ0 − E0 ⋅ R(= ϕ0 − E0Z = ϕ0 − E0 Rcosθ )
2-16
P
P
0
2. 电偶极子产生的电势 z
∫
∫
γ
S
1 W = ∫ ρϕdV 2 ∞
2-15
该公式只适合于静电场情况。 该公式只适合于静电场情况。 能量不仅分布在电荷区， 能量不仅分布在电荷区，而 且存在于整个场中。 且存在于整个场中。
r 1.求均匀电场 1.求均匀电场 E0 的电势
四、例题
z P
解：均匀电场可看作由两无限 大平行板组成的电容器产生的 电场。 电场。因为电荷分布在无穷区 可选空间任一点为参考点， 域，可选空间任一点为参考点， x ϕ = ϕ0 为方便取坐标原点电势
∫
1 ρϕ 不是能量密度 2
2-14
导出过程： 导出过程： r r r r r r E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇⋅ (ϕD) + ϕ∇⋅ D = ρϕ − ∇⋅ (ϕD) r 1 1 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇ ⋅ (ϕD)dV 2 ∞ 2 ∞ r r r 1 1 2 ϕ∝ D∝ 2 dS ∝ r ∇⋅ (ϕD)dV = ϕD⋅ dS S r r r r 1 r r ϕD⋅ dS ∝ γ → ∞ ∫ ϕD⋅ dS → 0
ϕ
r E = −∇ϕ
ϕ 满足迭加原理
2-5
r r r E = E1 + E2 = −∇ϕ Q r r E2 = −∇ϕ2 E1 = −∇ϕ1 ∇ϕ = ∇ϕ + ∇ϕ = ∇(ϕ + ϕ ) ∴ 1 2 1 2
2、电势差
r r r dϕ = ∇ϕ ⋅ dl = −E ⋅ dl
2-8
（2）电荷组
ϕ(P) = ∑
i= 1
n
4 0r πε i
Q i
（3）无限大均匀线性介质中点电荷 ）
Q ϕ= 4 r πε
Q 产生的电势
ϕf =
点电荷在均匀介质中 的空间电势分布（ 的空间电势分布（Q 为自由电荷） 为自由电荷）
ε0 4πε0r (QP = ( −1)Qf ) QP ε ϕP = QP产生的电势 4 0r πε Qf + QP Qf ϕ = ϕ f + ϕP = = 4 0r πε 4 r πε r ρ(x′)dV ′ （4）连续分布电荷 ϕ(P) = ∫ 4πε r V 0
x − y 平面为等势面（Z = 0的平面）。 平面为等势面（ 的平面）。 的平面
2-18
若电偶极子放在均匀介质 无限大介质）： 中（无限大介质）：
ϕ=
r r P⋅ R 4π R3 ε
(l << R)
均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电 荷附近， 荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与 束缚偶极子产生的势的迭加， 束缚电荷， 束缚偶极子产生的势的迭加，设 Qp 为束缚电荷，
r r ε0 r r ε0 Qp = −(1− )Q Pp = 2QPl ez = 2Ql ez ( −1)P ε ε r r r r r r r r Pp ⋅ R ε0 P⋅ R P⋅ R P⋅ R ϕ= [1+ ( −1)] = + = 3 3 3 4πε0R 4πε0R 4πε0R ε 4πε R3
求近似值： 近似值：
r = R + l − 2Rl cosθ