2-1 静电场的标势及其微分方程
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z + z2 + R2 τ ln ϕ(P) −ϕ(P ) = lim 0 2 M →∞ 4 πε0 z + z2 + R0
M
−M
1+ 1+ R2 / M 2 −1+ 1+ R2 / M 2 τ 0 = lim ln 2 M→∞ 4 πε0 1+ 1+ R0 / M2 −1+ 1+ R2 / M2
2 τ τ R0 R = ln 2 = − ln 4πε0 R 2πε0 R0
均匀带电的无限长直导线电荷线密度为 ，求电势。 例2 均匀带电的无限长直导线电荷线密度为τ，求电势。 若选P 点为参考点， 若选 0点为参考点，规定 ϕ(R0 ) = 0 ， 则
τ R ϕ(R) = − ln 2πε0 R0
z +R
2
2
则 ϕ(P) = ∫ ∞ −
∞
τdz
4πε0 z2 + R2
∞ τ ϕ(P) = ln( z + z2 + R2 ) −∞ 4πε0
积分结果无穷大，无穷大的出现是由于电荷不是分 积分结果无穷大， 布于有限区域内。 布于有限区域内。
均匀带电的无限长直导线电荷线密度为 ，求电势。 例2 均匀带电的无限长直导线电荷线密度为τ，求电势。 计算两点P和 的电势差可以不出现无穷大。 计算两点 和P0的电势差可以不出现无穷大。设P0点与导 线的垂直距离为R 点和P 线的垂直距离为 0，则P点和 0点的电势差为 点和
§2.1 静电场的标势及其微分方程
静电场的能量 线性介质中静电场的总能量为
1 r r W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞ r r 由 E = −∇ϕ 和 ∇⋅ D = ρ 得 r r r r r E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇⋅ (ϕD) +ϕ∇⋅ D r = −∇⋅ (ϕD) + ρϕ r 1 1 所以 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇⋅ (ϕD)dV 2 ∞ 2 ∞
§2.1 静电场的标势及其微分方程
r 1 1 静电场的能量 W = ∫∞ ρϕdV − 2 ∫∞ ∇⋅ (ϕD)dV 2
式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面积分： 式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面积分：
∫
所以
∞
r r r ∇⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD⋅ dS = 0
∞
1 1 W = ∫ ρϕdV = ∫ ρϕdV 2 ∞ 2V
τ R 的负梯度得： 的负梯度得： ln 取 ϕ(R) = − 2πε0 R0
∂ϕ τ ER = − = ∂R 2πε0R
Eθ = Ez = 0
τ 所以 E = R 2 2πε0R
求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量 例3 求带电量 、半径为 的导体球的静电场总能量 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上， 解：整个导体为等势体 导体球的电荷分布于球面上， 静电场总能量 W =
1 1 ∫∞ ρϕdV = 2 ∫V ρϕdV 2
球面上的电势为 ϕa = 因此静电场总能量为
Q 4πε0a
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕa 2V 2
W= Q2 8πε0a
求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量 例3 求带电量 、半径为 的导体球的静电场总能量
1 r r 静电场总能量 W = ∫∞E ⋅ DdV 2 因为球内电场为零， 因为球内电场为零，故只须对球外积分
导体表面上的边值关系 导体有它的特殊性，在导体表面上的边值关系有它特点： 导体有它的特殊性，在导体表面上的边值关系有它特点： 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； ① 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 导体内部电场为零； ② 导体内部电场为零； 导体表面上电场必沿法线方向， ③ 导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面 为等势面，整个导体的电势相等。 为等势面，整个导体的电势相等。 设导体表面所带电荷面密度为σ， 设导体表面所带电荷面密度为 ，设它外面的介质 电容率为ε， 电容率为 ，导体表面的边界条件为 ∂ϕ ϕ =常量 ε = −σ ∂n
P
静电场的标势与电场强度的关系 静电势的微分方程 静电势的边值关系
r E = −∇ϕ
ρ ∇ ϕ =− ε
2
n×(E2 − E1) = 0 1 n⋅ (D2 − D ) = σ
ϕ1 = ϕ2 n从1指向 指向2! 从 指向 ∂ϕ1 ∂ϕ2 ε1 ∂n −ε2 ∂n = σ
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1 r r W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
Q2 W = ∫ E2dV = = ∫ r2drdΩ 2 ∞ 2 (4πε0r2 )2 Q2 ∞ 1 Q2 = ∫a r2 dr = 8πε0a 8πε0
ε0
ε0
r r ， 若选ϕ0=0，则有 ϕ = −E0 ⋅ x
§2.1 静电场的标势及其微分方程
均匀带电的无限长直导线电荷线密度为τ，求电势。 例2 均匀带电的无限长直导线电荷线密度为 ，求电势。 如图，设场点P到导线的垂直距离 如图，设场点 到导线的垂直距离 解： 为R，电荷元 ，电荷元τdz, 到P点的距离为 点的距离为
第二章 静电场
本章内容： 本章内容： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 本章研究的主要问题： 本章研究的主要问题： 在给定的自由电荷分布以及周围空间介质 和导体分布的情况下，求解静电场。 和导体分布的情况下，求解静电场。
本章具体内容： 本章具体内容：
1. 引入标势及其微分方程和边值关系 2. 唯一性定理 3. 分离变量法 4. 镜像法 5. 格林函数法 6. 电多级矩
§2.1 静电场的标势及其微分方程 r P2 r 静电场的标势的引入 ϕ(P ) −ϕ(P ) = −∫ E ⋅ dl 2 1 P 1 r ∞ r ϕ(P) = ∫ E ⋅ dl 静电场的标势
积分区域V为 的区域。 积分区域 为ρ≠0的区Βιβλιοθήκη Baidu。 的区域
注意： 注意： (1) 上式只能用于计算静电场的总能量。 上式只能用于计算静电场的总能量。 1 (2) ρϕ不是能量密度。 不是能量密度。 2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
求均匀电场E 的电势。 例1 求均匀电场 0的电势。 解：均匀电场每一点强度 0相同，其电场线为平行直线。 均匀电场每一点强度E 相同，其电场线为平行直线。 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为φ0，那么 任一点P处的电势为 任一点 处的电势为 r r P r P r ϕ(P) = ϕ0 − ∫ E0 ⋅ dl = ϕ0 − E0 ⋅ ∫ dl 0 0 r r = ϕ0 − E0 ⋅ x x为P点位矢。均匀电场可看作由无穷大平行板电容器产 为 点位矢 点位矢。 生，其电荷分布不在有限区域内，不能选无穷远电势为零 其电荷分布不在有限区域内，
M
−M
1+ 1+ R2 / M 2 −1+ 1+ R2 / M 2 τ 0 = lim ln 2 M→∞ 4 πε0 1+ 1+ R0 / M2 −1+ 1+ R2 / M2
2 τ τ R0 R = ln 2 = − ln 4πε0 R 2πε0 R0
均匀带电的无限长直导线电荷线密度为 ，求电势。 例2 均匀带电的无限长直导线电荷线密度为τ，求电势。 若选P 点为参考点， 若选 0点为参考点，规定 ϕ(R0 ) = 0 ， 则
τ R ϕ(R) = − ln 2πε0 R0
z +R
2
2
则 ϕ(P) = ∫ ∞ −
∞
τdz
4πε0 z2 + R2
∞ τ ϕ(P) = ln( z + z2 + R2 ) −∞ 4πε0
积分结果无穷大，无穷大的出现是由于电荷不是分 积分结果无穷大， 布于有限区域内。 布于有限区域内。
均匀带电的无限长直导线电荷线密度为 ，求电势。 例2 均匀带电的无限长直导线电荷线密度为τ，求电势。 计算两点P和 的电势差可以不出现无穷大。 计算两点 和P0的电势差可以不出现无穷大。设P0点与导 线的垂直距离为R 点和P 线的垂直距离为 0，则P点和 0点的电势差为 点和
§2.1 静电场的标势及其微分方程
静电场的能量 线性介质中静电场的总能量为
1 r r W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞ r r 由 E = −∇ϕ 和 ∇⋅ D = ρ 得 r r r r r E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇⋅ (ϕD) +ϕ∇⋅ D r = −∇⋅ (ϕD) + ρϕ r 1 1 所以 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇⋅ (ϕD)dV 2 ∞ 2 ∞
§2.1 静电场的标势及其微分方程
r 1 1 静电场的能量 W = ∫∞ ρϕdV − 2 ∫∞ ∇⋅ (ϕD)dV 2
式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面积分： 式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面积分：
∫
所以
∞
r r r ∇⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD⋅ dS = 0
∞
1 1 W = ∫ ρϕdV = ∫ ρϕdV 2 ∞ 2V
τ R 的负梯度得： 的负梯度得： ln 取 ϕ(R) = − 2πε0 R0
∂ϕ τ ER = − = ∂R 2πε0R
Eθ = Ez = 0
τ 所以 E = R 2 2πε0R
求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量 例3 求带电量 、半径为 的导体球的静电场总能量 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上， 解：整个导体为等势体 导体球的电荷分布于球面上， 静电场总能量 W =
1 1 ∫∞ ρϕdV = 2 ∫V ρϕdV 2
球面上的电势为 ϕa = 因此静电场总能量为
Q 4πε0a
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕa 2V 2
W= Q2 8πε0a
求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量 例3 求带电量 、半径为 的导体球的静电场总能量
1 r r 静电场总能量 W = ∫∞E ⋅ DdV 2 因为球内电场为零， 因为球内电场为零，故只须对球外积分
导体表面上的边值关系 导体有它的特殊性，在导体表面上的边值关系有它特点： 导体有它的特殊性，在导体表面上的边值关系有它特点： 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； ① 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 导体内部电场为零； ② 导体内部电场为零； 导体表面上电场必沿法线方向， ③ 导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面 为等势面，整个导体的电势相等。 为等势面，整个导体的电势相等。 设导体表面所带电荷面密度为σ， 设导体表面所带电荷面密度为 ，设它外面的介质 电容率为ε， 电容率为 ，导体表面的边界条件为 ∂ϕ ϕ =常量 ε = −σ ∂n
P
静电场的标势与电场强度的关系 静电势的微分方程 静电势的边值关系
r E = −∇ϕ
ρ ∇ ϕ =− ε
2
n×(E2 − E1) = 0 1 n⋅ (D2 − D ) = σ
ϕ1 = ϕ2 n从1指向 指向2! 从 指向 ∂ϕ1 ∂ϕ2 ε1 ∂n −ε2 ∂n = σ
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1 r r W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
Q2 W = ∫ E2dV = = ∫ r2drdΩ 2 ∞ 2 (4πε0r2 )2 Q2 ∞ 1 Q2 = ∫a r2 dr = 8πε0a 8πε0
ε0
ε0
r r ， 若选ϕ0=0，则有 ϕ = −E0 ⋅ x
§2.1 静电场的标势及其微分方程
均匀带电的无限长直导线电荷线密度为τ，求电势。 例2 均匀带电的无限长直导线电荷线密度为 ，求电势。 如图，设场点P到导线的垂直距离 如图，设场点 到导线的垂直距离 解： 为R，电荷元 ，电荷元τdz, 到P点的距离为 点的距离为
第二章 静电场
本章内容： 本章内容： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 本章研究的主要问题： 本章研究的主要问题： 在给定的自由电荷分布以及周围空间介质 和导体分布的情况下，求解静电场。 和导体分布的情况下，求解静电场。
本章具体内容： 本章具体内容：
1. 引入标势及其微分方程和边值关系 2. 唯一性定理 3. 分离变量法 4. 镜像法 5. 格林函数法 6. 电多级矩
§2.1 静电场的标势及其微分方程 r P2 r 静电场的标势的引入 ϕ(P ) −ϕ(P ) = −∫ E ⋅ dl 2 1 P 1 r ∞ r ϕ(P) = ∫ E ⋅ dl 静电场的标势
积分区域V为 的区域。 积分区域 为ρ≠0的区Βιβλιοθήκη Baidu。 的区域
注意： 注意： (1) 上式只能用于计算静电场的总能量。 上式只能用于计算静电场的总能量。 1 (2) ρϕ不是能量密度。 不是能量密度。 2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
求均匀电场E 的电势。 例1 求均匀电场 0的电势。 解：均匀电场每一点强度 0相同，其电场线为平行直线。 均匀电场每一点强度E 相同，其电场线为平行直线。 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为φ0，那么 任一点P处的电势为 任一点 处的电势为 r r P r P r ϕ(P) = ϕ0 − ∫ E0 ⋅ dl = ϕ0 − E0 ⋅ ∫ dl 0 0 r r = ϕ0 − E0 ⋅ x x为P点位矢。均匀电场可看作由无穷大平行板电容器产 为 点位矢 点位矢。 生，其电荷分布不在有限区域内，不能选无穷远电势为零 其电荷分布不在有限区域内，