2-1 静电场的标势及其微分方程

τ R 的负梯度得： 的负梯度得： ln 取 ϕ(R) = − 2πε0 R0
∂ϕ τ ER = − = ∂R 2πε0R
Eθ = Ez = 0
τ 所以 E = R 2 2πε0R
求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量 例3 求带电量 、半径为 的导体球的静电场总能量 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上， 解：整个导体为等势体 导体球的电荷分布于球面上， 静电场总能量 W =
1 1 ∫∞ ρϕdV = 2 ∫V ρϕdV 2
球面上的电势为 ϕa = 因此静电场总能量为
Q 4πε0a
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕa 2V 2
W= Q2 8πε0a
求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量 例3 求带电量 、半径为 的导体球的静电场总能量
1 r r 静电场总能量 W = ∫∞E ⋅ DdV 2 因为球内电场为零， 因为球内电场为零，故只须对球外积分
1 r r W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
Q2 W = ∫ E2dV = = ∫ r2drdΩ 2 ∞ 2 (4πε0r2 )2 Q2 ∞ 1 Q2 = ∫a r2 dr = 8πε0积分区域V为 的区域。 积分区域 为ρ≠0的区域。 的区域
注意： 注意： (1) 上式只能用于计算静电场的总能量。 上式只能用于计算静电场的总能量。 1 (2) ρϕ不是能量密度。 不是能量密度。 2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
求均匀电场E 的电势。 例1 求均匀电场 0的电势。 解：均匀电场每一点强度 0相同，其电场线为平行直线。 均匀电场每一点强度E 相同，其电场线为平行直线。 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为φ0，那么 任一点P处的电势为 任一点 处的电势为 r r P r P r ϕ(P) = ϕ0 − ∫ E0 ⋅ dl = ϕ0 − E0 ⋅ ∫ dl 0 0 r r = ϕ0 − E0 ⋅ x x为P点位矢。均匀电场可看作由无穷大平行板电容器产 为 点位矢 点位矢。 生，其电荷分布不在有限区域内，不能选无穷远电势为零 其电荷分布不在有限区域内，
第二章 静电场
本章内容： 本章内容： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 本章研究的主要问题： 本章研究的主要问题： 在给定的自由电荷分布以及周围空间介质 和导体分布的情况下，求解静电场。 和导体分布的情况下，求解静电场。
§2.1 静电场的标势及其微分方程
r 1 1 静电场的能量 W = ∫∞ ρϕdV − 2 ∫∞ ∇⋅ (ϕD)dV 2
式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面积分： 式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面积分：
∫
所以
∞
r r r ∇⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD⋅ dS = 0
∞
1 1 W = ∫ ρϕdV = ∫ ρϕdV 2 ∞ 2V
2 τ τ R0 R = ln 2 = − ln 4πε0 R 2πε0 R0
均匀带电的无限长直导线电荷线密度为 ，求电势。 例2 均匀带电的无限长直导线电荷线密度为τ，求电势。 若选P 点为参考点， 若选 0点为参考点，规定 ϕ(R0 ) = 0 ， 则
τ R ϕ(R) = − ln 2πε0 R0
z +R
2
2
则 ϕ(P) = ∫ ∞ −
∞
τdz
4πε0 z2 + R2
∞ τ ϕ(P) = ln( z + z2 + R2 ) −∞ 4πε0
积分结果无穷大，无穷大的出现是由于电荷不是分 积分结果无穷大， 布于有限区域内。 布于有限区域内。
均匀带电的无限长直导线电荷线密度为 ，求电势。 例2 均匀带电的无限长直导线电荷线密度为τ，求电势。 计算两点P和 的电势差可以不出现无穷大。 计算两点 和P0的电势差可以不出现无穷大。设P0点与导 线的垂直距离为R 点和P 线的垂直距离为 0，则P点和 0点的电势差为 点和
r r ， 若选ϕ0=0，则有 ϕ = −E0 ⋅ x
§2.1 静电场的标势及其微分方程
均匀带电的无限长直导线电荷线密度为τ，求电势。 例2 均匀带电的无限长直导线电荷线密度为 ，求电势。 如图，设场点P到导线的垂直距离 如图，设场点 到导线的垂直距离 解： 为R，电荷元 ，电荷元τdz, 到P点的距离为 点的距离为
z + z2 + R2 τ ln ϕ(P) −ϕ(P ) = lim 0 2 M →∞ 4 πε0 z + z2 + R0
M
−M
1+ 1+ R2 / M 2 −1+ 1+ R2 / M 2 τ 0 = lim ln 2 M→∞ 4 πε0 1+ 1+ R0 / M2 −1+ 1+ R2 / M2
本章具体内容： 本章具体内容：
1. 引入标势及其微分方程和边值关系 2. 唯一性定理 3. 分离变量法 4. 镜像法 5. 格林函数法 6. 电多级矩
§2.1 静电场的标势及其微分方程 r P2 r 静电场的标势的引入 ϕ(P ) −ϕ(P ) = −∫ E ⋅ dl 2 1 P 1 r ∞ r ϕ(P) = ∫ E ⋅ dl 静电场的标势
§2.1 静电场的标势及其微分方程
静电场的能量 线性介质中静电场的总能量为
1 r r W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞ r r 由 E = −∇ϕ 和 ∇⋅ D = ρ 得 r r r r r E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇⋅ (ϕD) +ϕ∇⋅ D r = −∇⋅ (ϕD) + ρϕ r 1 1 所以 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇⋅ (ϕD)dV 2 ∞ 2 ∞
导体表面上的边值关系 导体有它的特殊性，在导体表面上的边值关系有它特点： 导体有它的特殊性，在导体表面上的边值关系有它特点： 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； ① 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 导体内部电场为零； ② 导体内部电场为零； 导体表面上电场必沿法线方向， ③ 导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面 为等势面，整个导体的电势相等。 为等势面，整个导体的电势相等。 设导体表面所带电荷面密度为σ， 设导体表面所带电荷面密度为 ，设它外面的介质 电容率为ε， 电容率为 ，导体表面的边界条件为 ∂ϕ ϕ =常量 ε = −σ ∂n
P
静电场的标势与电场强度的关系 静电势的微分方程 静电势的边值关系
r E = −∇ϕ
ρ ∇ ϕ =− ε
2
n×(E2 − E1) = 0 1 n⋅ (D2 − D ) = σ
ϕ1 = ϕ2 n从1指向 指向2! 从 指向 ∂ϕ1 ∂ϕ2 ε1 ∂n −ε2 ∂n = σ
§2.1 静电场的标势及其微分方程