静电场的标势及其微分方程

D d S 1E1 d S 2E2 d S 1
S1
S2
A a2
2 a2
2
A a2
2 a2
2
A1 2
Q
A
2
Q
1
2
E1
2
Q
1 2
r3
r
E2
2
Q
1 2
r3
r
1 2
D1r D2r
1E1r
1Q
2 1 2
2D2r
2Q
2 1 2
r
3
r
r
3r
18
§3 拉普拉斯方程 分离变量法
1 E0R cos
n
bn R n 1
Pn
cos
2
n
cnRnPn cos
23
➢ 在介质球表面处，电势满足
1 2
0
1
n
2
n
E0R0P1
n
bn R0n1
Pn
n
cn R0n Pn
0E0P1 0
n
(n 1)bn R0n2
Pn
n
ncn R0n1Pn
勒让德函数是相互正交独立的函数，所以对于不同的n 值，
dV
这表明电场能量与电荷分布有关 。
对于随时间变化的电场，磁场亦要激发电场，电场总能量 不能完全通过电荷分布来表示。
8
(
P)
(O)
P
E
dl
E0
r
O
设坐标原点O 的电势为零
(
P)
E0
r
均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零势点。
导线单位长度带有电荷为t, 在P 点
的电势为
(P)
dz
d
z R
5
电势的另一边值关系由电场法向分量边值关系得到，
n
D2
D1
n 2
E2
n
1E1
2n2 1n1
d
dl
ndn
n
n
2
2
n
1
1
n
j 为导体外表面附近的电势，法向由导体内指向导体外
const.
n
6
线性介质中静电场的总能量
1 r r
W
2
E
DdV
1 2
r D
dV
E0
球内电场比原电场弱。
26
2）介质球内的极化强度 介质球的总电偶极矩
P
e
0
E
(
0
)E
( 0 ) 20
3 0
E0
p
V
dp
V
PdV
4
3
R03P
电偶极矩激发电场的电势
e0E
p
R
4 0 R 3
(
0)E
( 0 ) 20
( 0 ) 20
R03 E0 R2
cos
4
0
R03
S 或者 ，则区域内电场唯一确定。
n S
1）在数学上矢量场的唯wk.baidu.com性定理：一个矢量场被它的散度、
旋度和边值条件唯一确定。
2）上述条件决定的静电势可以相差一个常数，它们对应同
一个电场。
12
(反证法 ) 假设存在两个不同的解 ,
满足方程和边界条件。令 ，在每个均匀分区内有
2
i
2
i
2 0
4
设P1和P2为介质界面两侧邻近两点
由于电场有限，两点的距离趋于零
这一关系与
n
E2 E1
0
等价
2 1 d E dl 1 2
在介质分界面处选择四个点，
P1与P2邻近，P1′与P2 ′邻近。 P1到P1‘的距离 △l 足够小，故
1 1 2 2
E1 l E2 l
Dl 取向具有任意性，故在界面两侧，电场强度切向分量相等。
R1
1
R
R2d
Q1
0
Q Q1
22
1
n
an R n
bn R n 1
Pn
cos
2
n
cn
R
n
dn R n 1
Pn
cos
(R R0 ) (R R0 )
➢ 极化电荷是有限的，对无穷远处的 电场无影响。所以，在无穷远处
1 E0R cos
aa1n
E0 0
n 1
➢ 在坐标原点，电势应有限， dn 0
14
i 2 dV 0 const. i Vi
电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。
第一类：给定导体表面上的
i
n
或 i
第二类：给定导体上的电荷 Qi
对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除， 即可证明电场被唯一确定。
对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大 区域表面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总 电荷给定。
r
R r
2
1
2
2
2
r
2
2R r2
r
R r
2R
当n =0 时，
2
2
2
0
当n 不为零时，
R0 A0 B0 ln r
0 C0 D0
Rv v
A r B r
C cos D
sin
在两均匀介质分区的分界面上
i j
, i j
i
n i
j
n
j
,
i
n
i
j
n j
i j
i
n
i
j
n
j
13
对第i 个均匀介质分区，运用高斯定理，有
i
dsi
i dvi
i 2 dvi
i2dvi
si
vi
vi
vi
i 2 dvi
i
dsi
vi
i 2 dvi
40 R2 z2
40
1
z2 R
ln R2 z2
4 0
9
积分结果是发散的。这是由于电势零点（无穷远处）选择不当 造成（电荷分布至无穷远），重新选择在面上距离导线R0 的P0 点为零点，仅考虑-M 到M 的有限导线，
(P) (P0 ) (P) () (P0 ) ()
ln z
M
R2 z2
如果在考察的空间内没有电荷分布，电势满足Laplase方程
2 0
它可以用分离变量法求解。在球坐标下
2
1 r2
r
r 2
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
其解为
R,
,
n,m
anm R n
bnm R n 1
Pnm
cos
cos
m
(n, m＝0,1, 2, ...)
1
2
r
D
dV
1 2
r D
dV
1 2
r D
r dS
1 2
dV
W
1 2
dV
1 2
V
dV
上式还可以表为
W
1
8
V
dV
V
dV
xr
r
xr
7
1 2
不应视为电场的能量密度。 1
2
1
E
D
2
对于静电场，也不能认为电场能量只是存储于电荷分
布的空间，更不能认为存储于电荷；
只是对于静电场，能量才可表为
W
1 2
同，可以根据这一原理挑选出不同的矿物质。
27
无穷大尖劈具有平移不变性，根据几何特 征，选柱坐标是方便的。在尖劈以外
2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
Z 2
0
由于电势与Z
无关，
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
0
设 R(r)( )
r R
r
r
R r
1
2
2
0
r R
r
1
§1 静电场的标势及其微分方程
对于静电场
E
B
t
引入标势（标量函数）
E 0
E
E dl
dl
x
ex
y
ey
z
ez
dxex
dyey
dzez
dx dy dz d
x y z
2
对于空间中两点
P2
E
dl
P1
P2 P1
d
P2 P1
➢ 静电场电场强度的积分与路径无关，只取决于初末位置。 ➢ 标势就是电磁学中的静电势。
它们的系数应该相等。
比较P1的系数，
E0R0
b1 R02
c1R0
0
E01
0
2b1 R03
c1
b1
0 20
E0 R03
c1
3 0 20
E0
24
比较Pn (n不为1)的系数，
Rb0nn01(Rn0nR120)nbcnn nR0n1cn
bn
R0
c 2n1 n
bn
nR02n1 0 (n 1)
E1
A r3
r
➢ 这样的电场强度对应的 电势满足Poisson方程。
E2
A r3
r
➢这样的解在介质分界面处满足边值关系：
电场强度切向分量连续，电位移矢量法向
分量连续；导体表面是等势面。
17
只要满足导体球上带电量为Q 的条件，由唯一性定理，猜想的 电场就是要求的解。
作一包裹导体球的Gauss面，
cn
cn bn 0
所以
1
2
E0 R
cos
0 20
3 0 20
E0R cos
E0 R03 R2
cos
(R R0 ) (R R0 )
25
1）球内电场
E
2
eR
R
e
1 R
e
1
R sin
3 0 20
E0R cos
3 0 20
E0
cos
eR
3 0 20
E0
sin
e
i Si
i vi
对于上式左端积分，在分界面两边，有
dsi ds j
所以，在内部分界面上的积分为0， i dsi
dS
i si
S
第一种情形：给定外表面上电势
S S S 0
上式左端积分为零。
第二种情形：给定外表面处法向微商
0
n S n S n S
上式左端积分也为零。
设P0点为电势零点
(P) ln R
20 R0
ER
R
2 0 R
（利用了洛比 达法则）
由高斯定理可得相同结论。
11
§2 唯一性定理
静电学的基本问题：求满足边界条件的泊松方程的解。 在什么样的边界条件下，电场是唯一的？
考察系统：含有介质空间V 可分为若干个均匀区域Vi，其中区 域Vi 内充满电容率为ei 的均匀介质。 唯一性定理：给定区域内自由电荷分布，且给定边界面上
Q1
4 0 R1
b Q Q1
40 40
d Q1
4 0
Q1
R11
R31 R21
R31
Q
1
Q Q1
4 0 R
2
Q1
4 0
1 R
1 R1
(R R3) (R2 R R1)
现求解导体球上感应电荷，选择包裹导体球的球面为高斯面，
蜒 蜒 Q
0
R1
r E
r dS
R1
1
r dS
R1
1
R
dS
n,m
Cnm
R
n
dnm R n 1
Pnm
cos
sin m
Pnm cos 为缔合勒让德（Legendre）函数。
静电场问题变为根据边值关系确定式中待定系数的问题。
19
轴对称情形：
R,
n
an
Rn
bn R n 1
Pn
cos
Pn cos 为Legendre函数。
P0 (cos ) 1 P1(cos ) cos
ln z
4 0
M 40
ln z 40 z
M
R2 z2
R02 z 2 M
M
R02 z 2 M
ln M R2 M 2 M R2 M 2 40 M R02 M 2 M R02 M 2
1 1 R / M 2 1 1 R / M 2
ln
40 1 1 R0 / M 2 1 1 R0 / M 2
P2
(cos
)
1 2
(3 cos 2
1)
P3 (cos
)
1 2
(5cos2
3 cos
)
...........................
20
由于系统具有球对称性，所以电势
应该与q 无关，有n =0
1
a
b R
(R R3)
2
c
d R
(R2 R R1)
内部导体球接地， 导体壳是个等势体，
15
对于第i个导体，选择包裹该导体的 封闭曲面为高斯面，
Si
E dSi
Qi
Si
dSi
Qi
dS Qi
Si n
法线方向由导体内指向外。
（反证法）设有两个不同电势均满足Poisson方程，令
2 0
Ñ 对于每个导体
Si
dS
n
dS
Qi
Qi
Ñ Si n
dS 0
Si n
16
对于扣除导体的空间体积
r
Ñ dS
dV
2
dV
2dV
2 dV
V
V
V
V
导体表面电势是常数， const （不能写为零）
Si
() dS dS
dS 0
Si
Si Si
n Si Si
在区域外表面， 0。所以， Se
()2 dV 0 0 电场唯一确定。
V'
Ex. 可以猜想，电场强度
10
对于无穷长的导线
(P)
(P0 )
4 0
lim
M
ln
1 1
1 R / M 2 1
1 R0 / M 2 1
1 R / M 2 1 R0 / M 2
4 0
lim
M
ln
1 1
1 R / M 2 1 R0 / M 2
R2 R02
4 0
ln
R2 R02
2 0
ln
R R0
某点电势值与参照点的选择有关，常选无穷远处电势为0， P 点的电势为
P
P
E
dl
3
➢ 对于单个点电荷系统：
P Q
4 0 r
➢ 对于多个点电荷系统：
P Qi
i 40ri
➢
对于电荷连续分布的带电体
：P
x'dV
4 0 r
'
对线性均匀介质
D E
E
2 1
这称为Poisson方程。
2 R1 0
2 R2
1 R3
c d 0
R1 d
b
c a
R2
R3
选择包含球壳的面为高斯面（有两个球面）
E dS
2
R2
dS
1
R3
dS
R2
2
R
dS
R3
1
R
dS
2 R2d 1 R2d Q
R2 R
R3 R
0
21
无穷远处电势为零， a 0
a 0
c
E0
这正好是球外电势中的第二项。
实际运用：静电选矿
矿石粉碎为小颗粒，每个颗粒电偶极矩
p
( 0 ) 20
4 0 R03 E0
在外场中，电偶极子所受力为
F
q(E2
E1 )
ql
(E2
l
E1 )
ql
(
E2
l
E1 )
p E l
p(E
el
)
电偶极矩与电容率有关，不同矿物质所受外电场的作用力不
3 0 20
E0 (cos
eR
sin
e )
如右图所示，
eR ez cos ex sin e ez sin ex cos
cos eR ez cos2 ex sin cos
sin
e
ez sin
2
ex sin
cos
cos eR sin e ez
E
3 0 20
E0ez
3 0 20