静电场的标势及其微分方程
2-1_静电势及其微分方程
Qf
二、静电势的微分方程和边值关系 静电势的微分方程和边值关系 1.电势满足的方程 电势满足的方程 电势 泊松方程 导出过程
ρ ∇ ϕ =− ε
2
适用于均 匀介质
r 2 ⇒ε∇⋅ E = −ε∇⋅ ∇ϕ = −ε∇ ϕ = ρ
拉普拉斯方程
2-10
r r D = εE,
r E = −∇ϕ
r ∇⋅ D = ρ
Q
P
a
A 2 ϕ = + B (r > 0) 满足 ∇ ϕ = 0 r
2-20
(r > a)
r r ∇⋅ ∇ϕ ∝ −∇⋅ 3 = 0 r
(r ≠ 0)
r → ∞,ϕ → 0
B≡0
A ϕ= r
∂ϕ Q = − ε0 dS = ε 0 dS = ∂r r=a a2
∫
∫
∂ϕ ∂ϕ A = =− 2 ∂n ∂r r ε 0 A4π a2 A
σf =0
σ p = ε0 (E2n − E1n )
电磁性质方程： 电磁性质方程： 静电平衡时的导体： 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体： ① 均匀各向同性线性介质 r r r r r 导体内 J = σE = 0 σ ≠ 0 （ ） P = χeε0 E = (ε − ε0 )E r r r r r r r r E, D, P, ρ,L= 0 (D = ε0 E + P) D = εE σ 外表面 E = En = , Et = 0 r ε0 ε ρP = −∇⋅ P = ( −1)ρ ε 电荷分布在表面上， 电荷分布在表面上，电 r r r σ P = −n ⋅ (P − P ) 场处处垂直于导体表面 2 1
注意：考虑了束缚电荷， 注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质
第三章 静电场和稳恒磁场1
y
r′
q′
r
q x
( x, y , z ) x = 0 = 0
(1)
ε
z
q
2
O v n 1 2 ε
q
4πε ( x a ) + y 2 + z 2 4πε r 由对称性：a, 0, 0 ) , q ( a, 0, 0 ) , q′ = q : (
r = 3ε 0 E 0 c o s θ
r=a
由真空中电偶极矩 v 在真空中产生的电势
P
v v P r = 4π ε 0 r 3
P P cos θ = 4π ε 0 r 2
v P = 4π ε 0 E 0 a 3
例2.
P75
解：电势是球对称，则 b1 1 = a1 + (R > R3 ) R b2 2 = a2 + ( R 2 > R > R1 ) R 条件：
v δ (x) = 0
v
∫ δ ( x )dV = 1
v x≠0 v x = 0 ∈V
v v x δ x x′ 表示 ( ) v 与 x = 0 的 δ 函数定义相较，则有
v v δ ( x x′) = 0
v v
v 处于 x′点上的单位点电荷密度用函数
∫ δ ( x x′)dV = 1
v v x ≠ x′ v x′ ∈V
1） 2 3） σ ∴
R = R1
R3
2
R2 R1 1
= 1
R→ ∞
= 0， 2 ） 2 ,σ
R = R3 2
R = R2
= 1
R = R3
1
= ε0
1 R
= ε0
2 R
电动力学课件：2-1-静电势及其微分方程1
① 知的道选择即不可唯确一定，相E差一个常数，只要
② 取负号
③ 满足迭加原理
Q
E E1
E1 E2
1
E2
2
\ 1 2 (1 2 )
2、电势差
d dl E dl
空间某点电势无物 理意义，两点间电 势差才有意义
Q
P Q
E dl
P
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
1 1 r r 2l cos 2l cos
r r
r r
R 2 l 2 cos2
R2
(P) 2Ql cos 2QlRcos p R
4 0 R2
4 0 R3
4 0 R3
3. 42页例2 4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。
电荷分布在有限区，参
考点选在无穷远。根据
Q
P
对称性，导体产生的场
因为电荷分布在无穷区域，可选
R
空间任一点为参考点，为方便取
y
坐标原点电势
0 x
0 0 P
0
(P)
E
P
dl
E0
dl
P
E0
0
dl
E0
R
(P) 0 E0 R( 0 E0Z 0 E0Rcos )
2. 电偶极子产生的电势
解：电偶极子： 两个相距为
2l
的同量异号点电荷构成的
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
w
1
E
D
2
总能量
第二章 静电场
一、静电场的标势
dz
ln( z z 2 R 2 )
40 z 2 R 2 40
由高斯定理得
E
2 0r
er
一、静电场的标势
(P ) (P0)
P0 E dl
P
R0 dr ln R0 ln R
R 20 r 20 R 20 R0
若取P0点为参考点，即规定 (P0 ) 0 ，则 (P ) ln R 20 R0
二、静电场的微分方程和边值关系
对于静电场来说，求电势分布时，可以解 满φ足 的微分方程，但是要把 唯φ一确定下来，还必须知
道初始条件和边界条件。
二、静电场的微分方程和边值关系 在均匀各向同性的线性电介质中，
D E, E
D ρ
(E ) ()
2 /
称为泊松(Poisson)方程.
三、静电场的总能量
W
1 2
dV
1 2
(D )dV
V (D)dV SD dS
W
1 2
dV
（1.14）
三、静电场的总能量
W
1 2
dV
（1.14）
值得说明的是： ① （1.14）式表明，能量只与存在电荷分布的空间
有关，但并不是只有电荷分布的区域才有能量。
三、静电场的总能量
W
1 2
V
dV
取导体为介质1，介质为介质2。
φ1 ＝常量（即导体为等势体）
2
2
n
二、静电场的微分方程和边值关系
常量
（1.11a）
n
（1.12a）
导体为介质1，介质为介质2，n 的方向由导体指向 介质。
三、静电场的总能量
W
1 2
电动力学标势微分方)
C1
E dl E dl 0
C2
C1
E dl E dl
C2
电荷由P1点移至P2点时电场 对它所作的功与路径无关， 只和两端点有关。
5
相距为dl的两点的电势差
d E dl
由于
d dx dy dz dl x y z
因此，电场强度E等于电势φ的负梯度
E
当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已 知电势φ时，通过求梯度就可以求得电场强度。
6Leabharlann E 0 0
E
d E dl
(P)
P
E dl
( P2 ) ( P1 )
13
式中右边第二项散度体积分化为面积分
r 0 (D)dV D dS
所以
1 W dV 2
14
例 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。
解
方法之一: 按电荷分布
整个导体为等势
1 1 W dV Q a 2 2
16
1 2 E P1 P2 0
1 2
2 1 2 1 n n
11
法向电场不连续
理解：导体的静电平衡（电荷不动）
1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 2、导体内部电场为零； 3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面，整个导体的电势相等。 设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容 率为ε，导体表面的边界条件为
( x)
( x)dV 40 r
9
二、静电势的微分方程和边值关系
2.1静电场的标势及其微分方程.
ˆ ( E E ) 0 n 2 1 ˆ ( D D ) n 2 1
由此，可导出电势所满足的边值关系：
结束
第二章∶静电场
任意两种介质分界面情况
在界面两边附近任取 h 2 两点P1和P2 ，它们与界面 h1 距离分别为h1和h2 ，则 P1 1
A
f
因而相距为
dl 两点的电势差为
d E dl
结束
第二章∶静电场
又
d dx dy dz dl x y z
所以
E
既：电场ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度是电势的负梯度。 讨论 空间某点电势无物理意义，只有两点的电势差才有 物理意义。电势差的意义为电场力将单位正电荷从P1 移到P2点所作功负值。
2、静电势的微分方程
(differential equation of electrostatic potential)
如果电荷周围有导体，那么物理机制为：
给定电荷分布 求空间一点 电场分布 感 应电荷分布 而场引起导体上 而感应电荷分布反过来引起
为简化问题，可把电荷和电场相互作用规律用 微分方程描写，而把周围导体或介质作为边界条件 处理。这样把求解静电场问题转化为解一定边界条 件下的微分方程问题。因是标量，求解的微分方 程比直接求解电场强度要简单。
第二章∶静电场
第二章
静电场
Electrostatic field
结束
第二章∶静电场
本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分 布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如 何求解电场。静电问题一般通过静电势求解。 静电场的特点
① H B 0 Jf 0 ② E, D, P, , 等均与时间无关。
静电场的标势及其微分方程
布的空间，更不能认为存储于电荷；
只是对于静电场，能量才可表为
W
1 2
dV
这表明电场能量与电荷分布有关 。
对于随时间变化的电场，磁场亦要激发电场，电场总能量 不能完全通过电荷分布来表示。
8
(P)(O)PE dlE 0r
O
设坐标原点O 的电势为零
(P)E 0r
均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零势点。
导线单位长度带有电荷为t, 在P 点
i si
S
第一种情形：给定外表面上电势
SSS0 上式左端积分为零。
第二种情形：给定外表面处法向微商
0 nS nS nS
上式左端积分也为零。
14
i 2 d V 0 c o n s t. i V i
电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。
第一类：给定导体表面上的
i
n
或 i
第二类：给定导体上的电荷 Q i
1
E0Rcos
n
bn Rn1
Pncos
2 n cnRnPncos
23
➢ 在介质球表面处，电势满足
1
2
0
1 n
2 n
E0R0P1n
0E0P10
Rb0nn1Pn n cnR0nPn
n
(n1)bn R0n2
Pn
n
nncR0n1Pn
勒让德函数是相互正交独立的函数，所以对于不同的n 值，
40
Mli mln11
1R/ M2 1R0 /M2
R2 R02
（利用了洛比 达法则）
R2 R
40
lnR02
20
ln R0
设P0点为电势零点
(P) ln R
静电场的标势及其微分方程
介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本 微分方程
7
讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
11
3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化 物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或 导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系 的电场。
1
解决静电问题的基本方程：
第1节标势及其方程
（1）
2
（2） 代入（1）式：
2 0 称为泊松方程，在 时： 0
称为拉普拉斯方程。
得到了两种求静电势的方法
2
( x1 ' , x2 ' , x3 ' )
2 ( P2 ) 1 ( P 1 )
P 1 P 1
E dl
P 令： 且在界面两侧场量有限 1P 2 0
则有：
P 1
P 1
E dl 0
2 ( P2 ) 1 ( P 1)
在边界面上同一点两侧电势相等。或， 在交界面两侧电势连续。
证明：电场强度的边值关系
1 2
对均匀介质有 D E E n D n E n ( )n
n n ( D2 D1 ) f
代入 即得
D2n D1 f
2 1 2 1 n n
令：
1 4 0
1
( x1 ' , x2 ' , x3 ' )
r
v
dV '
在均匀无限大介质中（介电常数为 ）
4
( x1 ' , x2 ' , x3 '示
( x1 ' , x2 ' , x3 ' )r 1 E dV ' 3 4 0 v r f (r ' ) P (r ' ) r 1 E dV ' 3 4 0 v r ( x1 ' , x2 ' , x3 ' )r 1 E dV ' 3 4 v r
1第二章-静电场
1 R2d
2 R2d Q
RR3 R
RR2 R
0
由这些边界条件得 a 0，b Q Q1 ，
c Q1 ，d Q1
40 40
4 0 R1
4 0
其中
Q1
R11
R31 R21
R31
Q
利用这些值，得电势的解
若问题具有球对称性
a b
R
2. 柱坐标一般用于二维问题
二维问题的解：
( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( Anrn Bnrn )(Cn cos n Dn sin n )
n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
而 d dl dx dy dz
x y z
所以 E
由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都
给定，则电场强度和电势均可求出。但实际情况
往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须
求电荷与电场相互作用的微分方程。
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 泊松（Poisson)方程
) cos
m
n,m
(cnm R n
dnm R n 1
)Pnm (cos ) sin
m
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为
n
(an Rn
bn R n 1
)Pn
(cos
)
其中 P0 cos 1， P1cos cos，
2.1静电场的标势及其微分方程
总结静电场的能量表达式 1. 一般方程： 能量密度
1 w ED 2
1 总能量 W E DdV 2 2. 若已知 , 总能量为 1 W dV 2 V
1 不是能量密度 2
由 E 和 D 得 E D D (D) D (D)
因此 即
1 1 W d (D)d 2 2
1 1 W d D ds 2 2 s
例题
0
0 P 0 ( P) E dl E0 dl E0 dl E0 R
0 P P 0
( P) 0 E0 R( 0 E0 Z 0 E0 R cos )
2. 电偶极子产生的电势
Q P
P
Q
0
所以 即
P Q
1 S 2
S
此式可以代替
（2）另一边值关系
由于
结合 E
n ( D2 D1 )
D E
2 2 n
因此，在两种不同介质的 分界面上，电势满足的
S
1 1 n
S
关系为
2 S 1 S 2 1 1 2 n S n
Q P
Q
Pபைடு நூலகம்
E dl
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
② 两点电势差与作功的路径无关 ( E dl 0) L
3. 电势零点的选择 （1）电荷分布在有限区域， 通常选无穷远为电势 参考点 0 (Q )
电动力学第二章
u()abln
§3拉普拉斯方程——分离变量法 例2：电容率为 的介质球置 于匀强外场 中，求电势 解： 设：球半径为 ，球外为真空， 该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外场 方 向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。 以原点为电势0点， 为球外势， 为球内势能
1
写出通解 通解为
上给定
（i）电势 S
或
（ii）电势的法向导数
n S
若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电
势或导体上的电荷。
则V内的电场唯一地确定。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 例如：① 电容器内部的电场是由作为电极的两个
导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。
当带电体为一点电荷
静电场标势 静电势的微分方程
a.边界条件
由边界条件
导体的静电条件归结为：
①导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 上。
②导体内部电场为零。
③导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表 面为等势面，整个导体的电势相等。
§1 静电场的标势及其微分方程 1。静电场标势 2。静电势的微分方程
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题 在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想 在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个 或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或 介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在 所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在 的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或 者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时 候必须保证原有的场方程，边界条件不变
1静电场标势及微分方程
第二章 静电场带电体系：电荷静止，所激发的电场不随时间变化；给定自由电荷的分布以及周围空间介质或者导体的分布，运用电磁场理论求解这样的带电体系的电场。
§1 静电场的标势及其微分方程 1、 静电场的标势——静电势 麦克斯韦方程0 , ,=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇=⋅∇B tD J H tB E Dρ静电条件：()00==∂∂J t 物理量 将静电条件代入麦克斯韦方程得到00=⋅∇=⨯∇=⋅∇=⨯∇B H D Eρ✧ 在静电条件下，电场和磁场相互独立，可以分开求解；✧ 静电场是无旋场；自由电荷分布是D的源。
解决静电问题的基本方程： 微分方程0 =⨯∇=⋅∇E D ρ +边界条件f D D n σ=-⋅1221+介质的电磁性质方程静电势的定义：静电场的无旋性是静电场的一个重要的特征，其积分形式为0d =⋅⎰l E L——（1.3）“电场沿任一闭合回路的线积分等于零。
”将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功⎰⋅21d P P l E将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功与具体的路径无关，只与起点和终点有关。
0d =⋅⎰l E L0d d 21=⋅+⋅⎰⎰-C C l E l E0d d 21=⋅-⋅⎰⎰C C l E l E⎰⎰⋅=⋅21d d C C l E l E利用这一特点，引入电势的概念，是空间位置的标量函数（标势）； 定义两点间的电势差为⎰⋅-=-21d )()(12P P l E P Pϕϕ ——（1.4）推论：如果电场对（单位）正电荷做正功，则电势降低；只有两点的电势差才具有物理意义； 如果知道空间的电场的分布，则可以计算空间任意两点间的电势差；实际的计算中为了方便，常选取某个参考点，规定该点的电势为零，这样整个空间里的电势就有一个确定的值。
如果电荷分布在有限的空间里，则可以取无穷远处的电势为零，即()0=∞ϕ这样空间P 点的电势为()⎰∞⋅=Pl E P d ϕ相距为ld 的两点的电势的增量为l E dd ⋅-=ϕ式中()lz y x z y x zzy y x x z y x y y xd de d e d e e e e d d d d ⋅∇=++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕϕϕϕϕ从而得到，ϕ-∇=E——（1.5）如果知道了空间电势的分布情况，则可采用上式计算电场强度的分布。
3.1 静电势及其微分方程
静 势 静电势及其微分方程 微 方程汪 毅本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法本章难点： 本章难点电多极矩法、格林函数法静电势静电场遵循的方程：∇⋅ D = ρ ∇× E = 0表明静电场是无旋场，是保守力场，静电场的源为 自由电荷。
自由电荷 矢量场无旋，可以表示为任意标量的梯度静电场标势 [简称电势] 简称电势∇× E = 0ϕE = −∇ϕ静电势静电场安培环路定理：∫LE ⋅ dl = 0静电场力做功与路径无关只与两端点有关，定义P1 和P2两点间的电势差为 两点间的电势差为：ϕ ( P2 ) − ϕ ( P ) = − ∫ E ⋅ dl 1P 1P2实际计算中将无穷远处定义为电势的零点： 实际计算中将无穷远处定义为电势的零点ϕ ( P) = ∫P无穷远处E ⋅ dl静电势相距为dl的两点的电势差为：∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = − E ⋅ dl = dx + dy + y dz = ∇ϕ ⋅ dl ∂x ∂y ∂zE = −∇ϕ① ϕ 的选择不唯一，相差一个常数，只要知道 ϕ 即可确定E ② 取负号是为了与电磁学讨论一致 ③ ϕ 满足叠加原理电荷分布在有限区的静电势∞ Qdr ′ Qr ′ Q ⋅ dl = ∫ = a.点电荷: ϕ = ∫P 3 2 P 4πε r ′ 4πε 0 r ′ 4πε 0 r 0 n Qi b.电荷组: b 电荷组: ϕ = ∑ i =1 4πε 0 ri ∞c.无限大均匀线性介质中点电荷: 无限大均匀线性介质中点电荷ϕ=QQP Qf + QP Qf ϕf = ϕP = ϕ = ϕf +ϕP = = 4πε 0 r 4πε 0r 4πε0r 4πε rQfd.连续分布电荷: d 连续分布电荷:4πε rϕ=∫Vρ ( x′)dV ′ 4πε 0 r静电势的微分方程D = ε E,E =−∇ϕ ∇∇⋅D = ρ2⇒ ε∇⋅ E = −ε∇⋅∇ϕ = −ε∇ ϕ = ρρ 泊松方程： ∇ ϕ = − 松方程 ε 2 拉普拉斯方程： 拉普拉斯方程 ∇ ϕ = 02适用于均匀线性介质求解静电势ϕ仅需要一个偏微分方程，求解E却需 求解静电势 仅需要 个偏微分方程 求解E却需 要知道其散度和旋度。
ch2-1 静电场的标势及其微分方程
P
P
P
(0
1)
n (P2 P1 )
② 静电平衡时的导体：
导体内 J E 0（ 0）
E, D, P, , 0
外表面
E
En
,
Et 0
电荷分布在表面上，电场处 处垂直于导体表面
(2) 静电势
E 0
静电场标势
[简称电势]
E
① 的选择不唯一，相差一个常数，只要
知道 即可确定
① 电场力作正功，电势下降 电场力作负功，电势上升
② 两点电势差与作功的路径无关
(Q P ) (Q P )
( LE dl 0)
等势面：电势处处相等的曲面
E 与等势面垂直，即
E
n
均匀场电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
点电荷电场 线与等势面
参考点
• 电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点。
求解出发点：静电场的标势 求解方法：①分离变量法; ②镜像法；③格林函数法
求解依据：唯一性定理 其它内容：电多极矩
本章主要内容
静电场的标势及其微分方程 唯一性定理 拉普拉斯方程，分离变量法 镜象法 格林函数法 电多极矩
§2.1 静电场的标势及其微分方程
Scalar potential and differential equation for electrostatic field
2
能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能
量是以密度 w 的1 E形 D式 在空间连续分布，
场强大的地方能量也大2；
（4）W
1 2
d
中的 是由电荷分布
激发的
电势；
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内 没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决 定。
015-2第2章 静电场-1-静电场的标势及其微分方程
₪静电场1.静电场的标势2.静电势的微分方程和边值关系3.静电场能量静电场2.1静电场的标势及其微分方程第2章₪静电场1.静电场的标势(２) 电标势的定义根据静电场无旋性，电场中任一闭合回路L 的环量等于零，C1、C 2是点a 到点b 的两条不同路径 1212d 0d d 0d d 功与路径无关L C C C C b a E l E l E l E l E l b a E dlC 1C 2a bL₪静电场1.静电场的标势(4) 电势参考点在有限的电荷分布于有限区域的情况下，可以选择无穷远处作为零电势参考点，则每一点的电势实际是该点与无穷远点的电势差，因而是有确定的物理意义的。
=PPP P E dl E dl1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取1.有限电荷分布于有限自由空间的情况，选取无穷远处作为零电势参考点；2.对于接地的带电体，选取地球或者接地处、或者接地的导体，作为零电势的参考点、或者参考面、或者参考体；QQ₪静电场₪静电场1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取3.对于电路而言，选取地线为零电势参考线；4.对于无限电荷分布于无限空间，根据题目条件选取参考点。
0地线火线零线拉线开关三孔插座₪静电场1.静电场的标势(6)电势与电场的关系PP E dl E 电势与电场可以由上面两个式子共同决定，相互制约的。
可以看出，只要确定电场分布或者电势的其中一个物理量，另外一个物理量就可以确定。
而且电场强度的方向是电势梯度方向（电势改变最快的方向）。
1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明1.引入电势的优点：如果知道电势，只需要通过计算梯度，即可求出电场强度矢量。
这说明电势和电场强度矢量所包含的信息量是一样的，但是电场强度矢量有三个分量，而电势只是一个标量，因此通过引入电势这个量，可以将矢量问题约化为标量问题。
₪静电场₪静电场1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明3.参考点的选择是任意的，选择不同的参考点电势会增加一个常数K ，K 是电场强度矢量在两个参考点之间的线积分。
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2
2 n
S
1
1 n
S
（n
由
28
1→2）
证明：（a）1 S 2 S
Q
P
Q E dl
P
P→Q
积分为零，所以 P
Q
即1
S
2
。
S
由nΒιβλιοθήκη （b） 2 2 n
S
(D2 D1 )
1
1 n
D2n
S
D1n
（ 为自由面电荷分布） 2 E2n 1E1n
∵ En
n
∴2
P
Q f QP 4 0r
Qf 4r
(QP
(0
1)Q f )
（4）连续电荷分布所产生的电势 (P)
(x)dV
，
V 40r
x
选取无穷远处为零电势参考点。
r
P
x
43m1m“-”J520Gm01m24“492k-Z(1)g2L3-”3060@k%3-g“/1”7mD2%BJ/Tg0d1-ZP318¬-A_2"o70)Xc0?y258z6n”217 NE)
O 在实际问题中，电荷分布与电场是一对矛盾体，相互
制约 (x) 一般无法预先知道。有导体时静电场产生的物理
过程：给定
0 (x)
E0
作用于导体→
自由电子移动
→ 0 (x) 变化为 (x)
→
平衡后为 E 。
若导体不带电，在静电场中也会出现感应电荷，但导体上总电量仍然为零。
二、静电势的微分方程和边值关系
S 3 1
或当 和导体上 Q 已知，V 内场唯一确定。
n S
在介质分界面上，i
Sij
j
静电场的标势和微分方程正式版
静电场的标势和微分方程正式版文档资料可直接使用，可编辑，欢迎下载静电场的标势和微分方程1、静电场的微分方程：静电现象满足以下两个条件：即 ①电荷静止不动；②场量不随时间变化。
故， 把静电条件代入Maxwell's equations 中去，即得静电场满足的方程：2、静电场的标势根据电场方程0=⨯∇E （即E的无旋性），可引入一个标势ϕ。
0)( ; 0=∂∂==物理量tj νρ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇=⨯∇ρD E0ϕ-∇=Eερϕ-=∇2一、库仑定律的应用1.（10海淀）使两个完全相同的金属小球（均可视为点电荷）分别带上-3Q 和+5Q 的电荷后，将它们固定在相距为a 的两点，它们之间库仑力的大小为F 1。
现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a 的两点，它们之间库仑力的大小为F 2。
则F 1与F 2之比为（ ）A ．2：1B ．4：1C ．16：1D ．60：12.（10宣武）如图所示，三个完全相同的金属小球a 、b 、c 位于等边三角形的三个顶点上。
a 带负电，b 和c 带正电， a 所带电量大小比b 的要大。
已知c 受到a 和b 的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，那么它应是 A. F 1 B.F 2 C.F 3 D.F 4二、表征电场性质几个物理量的理解与应用（电场强度、电势）3.（08海淀）如图1所示，在a 、b 两点上放置两个点电荷，它们的电荷量分别为q 1、q 2，MN 是连接两点的直线，P 是直线上的一点，下列哪种情况下P 点的场强可能为零（ ） A. q 1、q 2都是正电荷，且q 1>q 2 B. q 1是正电荷，q 2是负电荷，且q 1<∣q 2∣ C. q 1是负电荷，q 2是正电荷，且∣q 1∣>q 2D. q 1、q 2都是负电荷，且∣q 1∣<∣q 2∣4.（10朝阳）15如图所示，+Q 1、-Q 2是两个点电荷，P 是这两个点电荷连线中垂线上的一点。
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cn
cn bn 0
所以
1
2
E0 R
cos
0 20
3 0 20
E0R cos
E0 R03 R2
cos
(R R0 ) (R R0 )
25
1）球内电场
E
2
eR
R
e
1 R
e
1
R sin
3 0 20
E0R cos
3 0 20
E0
cos
eR
3 0 20
E0
sin
e
15
对于第i个导体，选择包裹该导体的 封闭曲面为高斯面，
Si
E dSi
Qi
Si
dSi
Qi
dS Qi
Si n
法线方向由导体内指向外。
（反证法）设有两个不同电势均满足Poisson方程，令
2 0
Ñ 对于每个导体
Si
dS
n
dS
Qi
Qi
Ñ Si n
dS 0
Si n
1
§1 静电场的标势及其微分方程
对于静电场
E
B
t
引入标势（标量函数）
E 0
E
E dl
dl
x
ex
y
ey
z
ez
dxex
dyey
dzez
dx dy dz d
x y z
2
对于空间中两点
P2
E
dl
P1
P2 P1
d
P2 P1
➢ 静电场电场强度的积分与路径无关，只取决于初末位置。 ➢ 标势就是电磁学中的静电势。
10
对于无穷长的导线
(P)
(P0 )
4 0
lim
M
ln
1 1
1 R / M 2 1
1 R0 / M 2 1
1 R / M 2 1 R0 / M 2
4 0
lim
M
ln
1 1
1 R / M 2 1 R0 / M 2
R2 R02
4 0
ln
R2 R02
2 0
ln
R R0
40 R2 z2
40
1
z2 R
ln R2 z2
4 0
9
积分结果是发散的。这是由于电势零点（无穷远处）选择不当 造成（电荷分布至无穷远），重新选择在面上距离导线R0 的P0 点为零点，仅考虑-M 到M 的有限导线，
(P) (P0 ) (P) () (P0 ) ()
ln z
M
R2 z2
2 R1 0
2 R2
1 R3
c d 0
R1 d
b
c a
R2
R3
选择包含球壳的面为高斯面（有两个球面）
E dS
2
R2
dS
1
R3
dS
R2
2
R
dS
R3
1
R
dS
2 R2d 1 R2d Q
R2 R
R3 R
0
21
无穷远处电势为零， a 0
a 0
c
E0
这正好是球外电势中的第二项。
实际运用：静电选矿
矿石粉碎为小颗粒，每个颗粒电偶极矩
p
( 0 ) 20
4 0 R03 E0
在外场中，电偶极子所受力为
F
q(E2
E1 )
ql
(E2
l
E1 )
ql
(
E2
l
E1 )
p E l
p(E
el
)
电偶极矩与电容率有关，不同矿物质所受外电场的作用力不
16
对于扣除导体的空间体积
r
Ñ dS
dV
2
dV
2dV
2 dV
V
V
V
V
导体表面电势是常数， const （不能写为零）
Si
() dS dS
dS 0
Si
Si Si
n Si Si
在区域外表面， 0。所以， Se
()2 dV 0 0 电场唯一确定。
V'
Ex. 可以猜想，电场强度
ln z
4 0
M 40
ln z 40 z
M
R2 z2
R02 z 2 M
M
R02 z 2 M
ln M R2 M 2 M R2 M 2 40 M R02 M 2 M R02 M 2
1 1 R / M 2 1 1 R / M 2
ln
40 1 1 R0 / M 2 1 1 R0 / M 2
E0
球内电场比原电场弱。
26
2）介质球内的极化强度 介质球的总电偶极矩
P
e
0
E
(
0
)E
( 0 ) 20
3 0
E0
p
V
dp
V
PdV
4
3
R03P
电偶极矩激发电场的电势
e0E
p
R
4 0 R 3
(
0)E
( 0 ) 20
( 0 ) 20
R03 E0 R2
cos
4
0
R03
i Si
i vi
对于上式左端积分，在分界面两边，有
dsi ds j
所以，在内部分界面上的积分为0， i dsi
dS
i si
S
第一种情形：给定外表面上电势
S S S 0
上式左端积分为零。
第二种情形：给定外表面处法向微商
0
n S n S n S
上式左端积分也为零。
它们的系数应该相等。
比较P1的系数，
E0R0
b1 R02
c1R0
0
E01
0
2b1 R03
c1
b1
0 20
E0 R03
c1
3 0 20
E0
24
比较Pn (n不为1)的系数，
Rb0nn01(Rn0nR120)nbcnn nR0n1cn
bn
R0
c 2n1 n
bn
nR02n1 0 (n 1)
5
电势的另一边值关系由电场法向分量边值关系得到，
n
D2
D1
n 2
E2
n
1E1
2n2 1n1
d
dl
ndn
n
n
2
2
n
1
1
n
j 为导体外表面附近的电势，法向由导体内指向导体外
const.
n
6
线性介质中静电场的总能量
1 r r
W
2
E
DdV
1 2
r D
dV
3 0 20
E0 (cos
eR
sin
e )
如右图所示，
eR ez cos ex sin e ez sin ex cos
cos eR ez cos2 ex sin cos
sin
e
ez sin
2
ex sin
cos
cos eR sin e ez
E
3 0 20
E0ez
3 0 20
E1
A r3
r
➢ 这样的电场强度对应的 电势满足Poisson方程。
E2
A r3
r
➢这样的解在介质分界面处满足边值关系：
电场强度切向分量连续，电位移矢量法向
分量连续；导体表面是等势面。
17
只要满足导体球上带电量为Q 的条件，由唯一性定理，猜想的 电场就是要求的解。
作一包裹导体球的Gauss面，
D d S 1E1 d S 2E2 d S 1
S1
S2
A a2
2 a2
2
A a2
2 a2
2
A1 2
Q
A
2
Q
1
2
E1
2
Q
1 2
r3
r
E2
2
Q
1 2
r3
r
1 2
D1r D2r
1E1r
1Q
2 1 2
2D2r
2Q
2 1 2
r
3
r
r
3r
18
§3 拉普拉斯方程 分离变量法
在两均匀介质分区的分界面上
i j
, i j
i
n i
j
n
j
,
i
n
i
j
n j
i j
i
n
i
j
n
j
13
对第i 个均匀介质分区，运用高斯定理，有
i
dsi
i dvi
i 2 dvi
i2dvi
si
vi
vi
vi
i 2 dvi
i
dsi
vi
i 2 dvi
Q1
4 0 R1
b Q Q1
40 40
d Q1
4 0
Q1
R11
R31 R21
R31
Q
1
Q Q1
4 0 R
2
Q1
4 0
1 R
1 R1
(R R3) (R2 R R1)
现求解导体球上感应电荷，选择包裹导体球的球面为高斯面，
蜒 蜒 Q
0
R1
r E
r dS
R1
1
r dS
R1
1
R
dS
P2
(cos
)
1 2
(3 cos 2