电动力学第7讲21静电场的标势
第二章 静电场
一、静电场的标势
dz
ln( z z 2 R 2 )
40 z 2 R 2 40
由高斯定理得
E
2 0r
er
一、静电场的标势
(P ) (P0)
P0 E dl
P
R0 dr ln R0 ln R
R 20 r 20 R 20 R0
若取P0点为参考点，即规定 (P0 ) 0 ，则 (P ) ln R 20 R0
二、静电场的微分方程和边值关系
对于静电场来说，求电势分布时，可以解 满φ足 的微分方程，但是要把 唯φ一确定下来，还必须知
道初始条件和边界条件。
二、静电场的微分方程和边值关系 在均匀各向同性的线性电介质中，
D E, E
D ρ
(E ) ()
2 /
称为泊松(Poisson)方程.
三、静电场的总能量
W
1 2
dV
1 2
(D )dV
V (D)dV SD dS
W
1 2
dV
（1.14）
三、静电场的总能量
W
1 2
dV
（1.14）
值得说明的是： ① （1.14）式表明，能量只与存在电荷分布的空间
有关，但并不是只有电荷分布的区域才有能量。
三、静电场的总能量
W
1 2
V
dV
取导体为介质1，介质为介质2。
φ1 ＝常量（即导体为等势体）
2
2
n
二、静电场的微分方程和边值关系
常量
（1.11a）
n
（1.12a）
导体为介质1，介质为介质2，n 的方向由导体指向 介质。
三、静电场的总能量
W
1 2
2.1静电场的标势及其微分方程.
ˆ ( E E ) 0 n 2 1 ˆ ( D D ) n 2 1
由此，可导出电势所满足的边值关系：
结束
第二章∶静电场
任意两种介质分界面情况
在界面两边附近任取 h 2 两点P1和P2 ，它们与界面 h1 距离分别为h1和h2 ，则 P1 1
A
f
因而相距为
dl 两点的电势差为
d E dl
结束
第二章∶静电场
又
d dx dy dz dl x y z
所以
E
既：电场ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度是电势的负梯度。 讨论 空间某点电势无物理意义，只有两点的电势差才有 物理意义。电势差的意义为电场力将单位正电荷从P1 移到P2点所作功负值。
2、静电势的微分方程
(differential equation of electrostatic potential)
如果电荷周围有导体，那么物理机制为：
给定电荷分布 求空间一点 电场分布 感 应电荷分布 而场引起导体上 而感应电荷分布反过来引起
为简化问题，可把电荷和电场相互作用规律用 微分方程描写，而把周围导体或介质作为边界条件 处理。这样把求解静电场问题转化为解一定边界条 件下的微分方程问题。因是标量，求解的微分方 程比直接求解电场强度要简单。
第二章∶静电场
第二章
静电场
Electrostatic field
结束
第二章∶静电场
本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分 布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如 何求解电场。静电问题一般通过静电势求解。 静电场的特点
① H B 0 Jf 0 ② E, D, P, , 等均与时间无关。
015-2第2章 静电场-1-静电场的标势及其微分方程
₪静电场1.静电场的标势2.静电势的微分方程和边值关系3.静电场能量静电场2.1静电场的标势及其微分方程第2章₪静电场1.静电场的标势(２) 电标势的定义根据静电场无旋性，电场中任一闭合回路L 的环量等于零，C1、C 2是点a 到点b 的两条不同路径 1212d 0d d 0d d 功与路径无关L C C C C b a E l E l E l E l E l b a E dlC 1C 2a bL₪静电场1.静电场的标势(4) 电势参考点在有限的电荷分布于有限区域的情况下，可以选择无穷远处作为零电势参考点，则每一点的电势实际是该点与无穷远点的电势差，因而是有确定的物理意义的。
=PPP P E dl E dl1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取1.有限电荷分布于有限自由空间的情况，选取无穷远处作为零电势参考点；2.对于接地的带电体，选取地球或者接地处、或者接地的导体，作为零电势的参考点、或者参考面、或者参考体；QQ₪静电场₪静电场1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取3.对于电路而言，选取地线为零电势参考线；4.对于无限电荷分布于无限空间，根据题目条件选取参考点。
0地线火线零线拉线开关三孔插座₪静电场1.静电场的标势(6)电势与电场的关系PP E dl E 电势与电场可以由上面两个式子共同决定，相互制约的。
可以看出，只要确定电场分布或者电势的其中一个物理量，另外一个物理量就可以确定。
而且电场强度的方向是电势梯度方向（电势改变最快的方向）。
1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明1.引入电势的优点：如果知道电势，只需要通过计算梯度，即可求出电场强度矢量。
这说明电势和电场强度矢量所包含的信息量是一样的，但是电场强度矢量有三个分量，而电势只是一个标量，因此通过引入电势这个量，可以将矢量问题约化为标量问题。
₪静电场₪静电场1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明3.参考点的选择是任意的，选择不同的参考点电势会增加一个常数K ，K 是电场强度矢量在两个参考点之间的线积分。
静电场的标势及其微分方程
布的空间，更不能认为存储于电荷；
只是对于静电场，能量才可表为
W
1 2
dV
这表明电场能量与电荷分布有关 。
对于随时间变化的电场，磁场亦要激发电场，电场总能量 不能完全通过电荷分布来表示。
8
(P)(O)PE dlE 0r
O
设坐标原点O 的电势为零
(P)E 0r
均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零势点。
导线单位长度带有电荷为t, 在P 点
i si
S
第一种情形：给定外表面上电势
SSS0 上式左端积分为零。
第二种情形：给定外表面处法向微商
0 nS nS nS
上式左端积分也为零。
14
i 2 d V 0 c o n s t. i V i
电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。
第一类：给定导体表面上的
i
n
或 i
第二类：给定导体上的电荷 Q i
1
E0Rcos
n
bn Rn1
Pncos
2 n cnRnPncos
23
➢ 在介质球表面处，电势满足
1
2
0
1 n
2 n
E0R0P1n
0E0P10
Rb0nn1Pn n cnR0nPn
n
(n1)bn R0n2
Pn
n
nncR0n1Pn
勒让德函数是相互正交独立的函数，所以对于不同的n 值，
40
Mli mln11
1R/ M2 1R0 /M2
R2 R02
（利用了洛比 达法则）
R2 R
40
lnR02
20
ln R0
设P0点为电势零点
(P) ln R
第七章-静电场PPT课件
有一半径为 R ,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面
密度为 . 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点
处的电场强度. 解 由例3
y dq2πrdr
qx
E4π0(x2R2)32
dEx
dqx
4π0(x2r2)32
r (x2 R2)1/2
o
R
x
P
dEx
z dr qπR02
2021/7/24 28
7-1 静电场的描述
q1q2 r2
er
2021/7/24 9
7-1 静电场的描述
库仑力的叠加
q1
r1
q
q2
r2 rn
Fn
F2
F1
qn 由力的叠加原理得 q 所受合力:
2021/7/24 F F 1F 2F 3F n4π 10i n1q rii2 qe ri 10
7-1 静电场的描述
羊之间的战争：
开篇问题
电荷与电荷之间的作用力怎么实现？
Q
dE
P
dq
E dEdE
2021/7/24 16
7-1 静电场的描述
3、 解题思路及应 体 、面 和 线；
求电荷元电量：体dq= dV, 面dq= dS, 线dq= dl；
（3）确定电荷元的场
dE
1
40
dq r2 er
（4）求场强分量Ex、Ey
q
O
q
x
l0
电偶极子轴线中垂线上，电场强度与电偶极矩成
正20比21/7，/24 大小与场点到O点距离三次方成反比。 20
7-1 静电场的描述
例题2 均匀带电直线，长为 2l ，带电量 q ,求中垂线
上一点的电场强度。
静电场的标势及其微分方程
介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本 微分方程
7
讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
11
3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化 物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或 导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系 的电场。
1
解决静电问题的基本方程：
静电场的标势及其微分方程
于标势梯度的模长，即$F = |mathbf{nabla} varphi|$。
03
电场分布
通过求解拉普拉斯方程可以得到静电场的分布情况，进而得到电场中各
点的电场强度和电势。
03
静电场的微分方程
微分方程的推导
通过高斯定理和库仑定律推导 得到静电场的微分方程。
高斯定理表明，在静电场中， 穿过任意闭合曲面的电场线 数等于该闭合曲面所包围的
边界条件的物理意义
01
边界条件的物理意义在于限制静电场中电荷分布的可能性和标 势函数的取值范围。
02
Dirichlet边界条件限制了标势函数在边界上的取值，而
Neumann边界条件限制了电荷分布的允许范围。
这些限制条件对于确定静电场的分布和性质具有重要意义。
03
05
静电场的标势的应用
在电场力分析中的应用
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在推导过程中，利用了静电场的无源性和有界性，以及标势 函数的定义和性质。
边界条件的形式
边界条件的形式包括Dirichlet边界条 件和Neumann边界条件，分别表示 标势函数在边界上的值和法向导数的 值。
Dirichlet边界条件要求标势函数在边 界上取特定值，而Neumann边界条 件要求标势函数的法向导数在边界上 取特定值。
线性性
电场强度与产生电场的电荷量成正比，与距 离的平方成反比，满足线性关系。
环路定理
电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零， 说明静电场是无旋场。
02
静电场的标势
标势的定义
标势
在静电场中，如果一个标量函数$varphi(mathbf{r})$满足拉普拉斯方程 $nabla^2varphi = 0$，并且满足一定的边界条件，则称其为静电场的标势。
电动力学重点知识总结(期末复习必备)
电动力学重点知识总结(期末复习必备)静电场的基本方程可以用微分形式和积分形式表示。
微分形式为$\nabla\times\mathbf{E}=0$，积分形式为$\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}= -\int_S(\nabla\cdot\mathbf{E})dS=\frac{1}{\epsilon}\int_V\rho(\m athbf{x'})dV'$。
这些方程反映了电荷激发电场及电场内部联系的规律性，物理图像是电荷是电场的源，静电场是有源无旋场。
静磁场的基本方程也可以用微分形式和积分形式表示。
微分形式为$\nabla\times\mathbf{B}=\mu\mathbf{J}$，积分形式为$\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu I$。
这些方程反映了静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合的规律性。
它的激发源仍然是运动的电荷。
需要注意的是，静电场可以单独存在，而稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有宏观静电场）。
电荷守恒实验定律表明了电荷的守恒性质，即$\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$。
稳恒电流的情况下，$\nabla\cdot\mathbf{J}=0$。
稳恒电流的情况下，$\nabla\cdot\mathbf{J}=n(\mathbf{J}_s-\mathbf{J})$。
真空中的麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是$\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$，$\nabla\times\mathbf{B}=\mu\mathbf{J}+\mu\epsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$，$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon}$，$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$。
静电场之电势能和电势
第3课时静电场之电势能和电势【知能准备】1．静电力做功的特点：不论q在电场中由什么路径从A点移动到B点，静电力做的功都是的．静电力做的功与电荷的位置和位置有关，与电荷经过的路径．2．电势能：电荷在中具有的势能叫做电势能，用字母表示，单位. 电势能是相对的与重力势能相似，与参考位置的选取有关．3．静电力做功与电势能的关系(1) 静电力做的功电势能改变量的多少，公式W AB＝．(2) 电荷在某点的电势能，等于静电力把它从该点移动到位置时所做的功．4．电势：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的，叫做这一点的电势，用φ表示，定义式：φ＝，在国际单位制中，电势的单位是伏特(V)，1 V＝1 J／C；电势是标量，只有大小，没有方向．5．电场线与电势：电场线指向电势的方向．6．等势面：电场中电势的各点构成的面叫做等势面．电场线跟等势面．【同步导学】1．电势能⑴由电荷在电场中的位置所决定的势能叫电势能．电荷在电场中受到电场力的作用，在电场中某两点间移动电荷时，电场力做功，电荷的电势能就会改变，若电场力做正功，电荷的电势能就减少；若电场力做负功(或电荷克服电场力做功)，电荷的电势能就增加．电场力对电荷做功的多少等于电荷电势能的变化量，所以电场力的功是电荷电势能变化的量度．跟重力对物体做功与物体重力势能变化的关系相似．⑵若规定电荷在B点的电势能为零，即EPB ＝0，则EPA＝WAB．即电荷在某点的电势能，等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功．①上述关系既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场．既适用于正电荷，也适用于负电荷．②电荷在电场中某点的电势能的大小与零电势能点的选取有关，但电荷在某两点之间的电势能之差与零电势能点的选取无关．③通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能规定为零．④静电力做的功只能决定电势能的变化量，而不能决定电荷的电势能数值．例1 下列说法中正确的是( )A．无论是正电荷还是负电荷，从电场中某点移到无穷远处时，电场力做的正功越多，电荷在该点的电势能就越大B．无论是正还是负电荷，从电场中某点移到无穷远处时，电场力做的正功越少，电荷在该点的电势能越大C．无论是正还是负电荷，从无穷远处移到电场中某点时，克服电场力做功越多，电荷在该点的电势能越大D．无论是正电荷还是负电荷，从无穷远处移到电场中某点时，电场力做功越多，电荷在该点的电势能越大2．电势（1）电势的相对性．电势是相对的，根据公式，只有先确定了某点的电势为零以后，才能确定电场中其他点的电势．电场中某点的电势跟零电势位置的选择有关．在理论研究中，对不是无限大的带电体产生的电场，选择无限远处为零电势；在处理实际问题中，又常取大地为零电势．（2）电势的固有性．电势φ是表示电场能量属性的一个物理量，电场中某点处φ的大小是由电场本身的条件决定的，与在该点处是否放着试探电荷、电荷的电性、电荷量均无关，这和许多用比值定义的物理量相同，如前面学过的电场强E ＝F/q．(3) 电势是标量．电势是只有大小、没有方向的物理量，在规定了零电势后，电场中各点的电势可以是正值，也可以是负值．正值表示该点电势高于零电势；负值表示该点电势低于零电势．显然，电势的正、负符号只表示大小，不表示方向．当规定无限远处为零电势后，正电荷产生的电场中各点的电势为正值，负电荷产生的电场中各点的电势为负值．且越靠近正电荷的地方电势越高，越靠近负电荷的地方电势越低．例2 如果把q＝1.0×108-C的电荷从无穷远移到电场中的A点，需要克服电场力做功W=1.2×104-J，那么(1) q在A 点的电势能和A点的电势各是多少? (2) q未移入电场前A点的电势是多少?例3在静电场中，下列说法正确的是（）A．电场强度处处为零的区域内，电势也一定处处为零B．电场强度处处相同的区域内，电势也一定处处相同C．电场强度的方向总是跟等势面垂直的D．沿着电场强度的方向，电势总是不断降低的3．等势面(1) 等势面：电场中电势相等的点构成的面叫等势面．(2) 几种典型电场的等势面如图所示．①点电荷电场中的等势面：以点电荷为球心的一簇球面．②等量异种点电荷电场中的等势面：是两簇对称曲面．③等量同种点电荷电场中的等势面：是两簇对称曲面．④匀强电场中的等势面是垂直于电场线的一簇平面（图略）．⑤形状不规则的带电导体附近的电场线及等势面．提示：①带方向的线段表示电场线，无方向的线表示等势面．②图中的等势“面”画成了线，即以“线”代“面”．4．等势面的特点(1) 等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直．假设电场线与等势面不垂直，则场强E 在等势面上就有一个分量存在，在同一等势面上的两点就会产生电势差，出现了一个矛盾的结论，故等势面一定与电场线垂直．(2) 电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，两个不同的等势面永远不会相交．(3) 两个等势面间的电势差是相等的，但在非匀强电场中．两个等势面间的距离并不恒定，场强大的地方．两等势面间的距离小，场强小的地方，两个等势面间的距离大，如图所示．(4) 在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功． 因为电场强度E 与等势面垂直，即电场力总与运动方向垂直，故在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功．若某一电荷q 由等势面A 点经过任意路径移动到同一等势面上B 点，整个过程电场力做功为零，但分段来看，电场力可能先做正功，后做负功，也可能先做负功，后做正功．5．电势高低的判断方法：电场线指向电势降低的方向(1) 电场线法：顺着电场线的方向电势越来越低．(2) 由电势和电势能的关系来判断：先由电场力做功情况判断电势能的变化，再由电势和电势能之间的关系判断电势的升降情况．需记住的是：对正电荷，电势越高电势能越大，电势越低电势能越小；对负电荷，电势越高电势能越小，电势越低电势能越大．(3) 根据电场的场源电荷来判断．在正电荷产生的电场中，离它越近电势越高；在负电荷产生的电场中，情况恰好相反．例4 图中a 、b 为竖直向上的电场线上的两点，一带电质点在a 点由静止释放，沿电场线向上运动，到b 点恰好速度为零，下列说法中正确的是 （ ）A ．带电质点在a 、b 两点所受的电场力都是竖直向上的B ．a 点的电势比b 点的电势高C ．带电质点在a 点的电势能比在b 点的电势能小D ．a 点的电场强度比b 点的电场强度大 6．等量同种点电荷和等量异种点电荷连线上和中垂线上电势的变化规律等量正点电荷连线上中点的电势最低，中垂线上中点的电势却为最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．等量负点电荷的电势分布是：连线上是中点电势最高．中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧电势越来越高．连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．等量异种点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，中垂线是一等势线，若沿中垂线移动电荷至无穷远，电场力不做功，因此若取无穷远处电势为零，则中垂线上各点的电势也为零．因此从中垂线上某点不沿中垂线移动电荷到无穷远，电场力做功仍为零．例5 图中a 、b 和c 表示点电荷的电场中的三个等势面．它们的电势分别为U 、U 32和U 41．一带电粒子从等势面a 上某处由静止释放后，仅受电场力作用而运动，已知它经过等势面b 时的速率为v ，则它经过等势面c 时的速率为__________．例6 如图所示，虚线a 、b 和c 是某电场中的三个等势面，它们的电势为U a 、U b 、U c ，其中U a >U b >U c ．一带正电的粒子射入电场中，其运动轨迹如实线KLMN 所示，由图可知A ．粒子从K 到L 的过程中，电场力做负功b aB ．粒子从L 到M 的过程中，电场力做负功C ．粒子从K 到L 的过程中，电势能增加D ．粒子从L 到M 的过程中，动能减少【同步检测】1．电场中有A 、B 两点，把电荷从A 点移到B 点的过程中，电场力对电荷做正功，则 （ ）A ．电荷的电势能减少B ．电荷的电势能增加C ．A 点的场强比B 点的场强大D ．A 点的场强比B 点的场强小2．如图所示，A 、B 是同一条电场线上的两点，下列说法正确的是 ( )A ．正电荷在A 点具有的电势能大于在B 点具有的电势能B ．正电荷在B 点具有的电势能大于在A 点具有的电势能C ．负电荷在A 点具有的电势能大于在B 点具有的电势能D ．负电荷在B 点具有的电势能大于在A 点具有的电势能3．外力克服电场力对电荷做功时 ( )A ．电荷的运动动能一定增大B ．电荷的运动动能一定减小C ．电荷一定从电势能大处移到电势能小处D ．电荷可能从电势能小处移到电势能大处4．关于电势的高低，下列说法正确的是 （ ）A ．沿电场线方向电势逐渐降低B ．电势降低的方向一定是电场线的方向C ．正电荷在只受电场力作用下，一定向电势低的地方运动D ．负电荷在只受电场力的作用下，由静止释放，一定向电势高的地方运动5．如图所示，在场强为E 的匀强电场中有相距为L 的A 、B 两点，连线AB 与电场线的夹角为θ，将一电荷量为q 的正电荷从A 点移到B 点，若沿直线AB 移动该电荷，电场力做的功W 1＝__________；若沿路径ACB 移动该电荷，电场力做的功W 2＝__________；若沿曲线ADB 移动该电荷，电场力做功W 3＝__________．由此可知电荷在电场中移动时，电场力做功的特点是_________________________________．6．下列关于电场性质的说法，正确的是 ( )A ．电场强度大的地方，电场线一定密，电势也一定高B ．电场强度大的地方，电场线一定密，但电势不一定高C ．电场强度为零的地方，电势一定为零D ．电势为零的地方，电场强度一定为零7．关于电势与电势能的说法，正确的是 ( )A ．电荷在电势越高的地方，电势能也越大B ．电荷在电势越高的地方，它的电荷量越大，所具有的电势能也越大C ．在正点电荷的电场中任一点，正电荷所具有的电势能一定大于负电荷所具有的电势能D ．在负点电荷的电场中任一点，正电荷所具有的电势能一定小于负电荷所具有的电势能8．某电场的电场线如图1—4—10所示，电场中有A 、B 、C 三点，已知一个负电荷从A 点移到B 点时，电场力做正功．(1) 在图中用箭头标出电场线的方向；并大致画出过A 、B 、C 三点的等势线．(2) 在A 、B 、C 三点中，场强最大的点是_________，电势最高的点是_________．9．如图1—4—11所示，在场强E ＝104N/C 的水平匀强电场中，有一根长l ＝15 cm 的细线，一端固定在O 点，另一端系一个质量m ＝3 g ，带电荷量q ＝2×10－6C的小球，当细线处于水平位置时，小球从静止开始释放，则小球到达最低达最低图1—4—10图1—4—11图1—4—12点B 时的速度是多大?10．如图1—4—12所示，长木板AB 放在水平面上，其上表面粗糙下表面光滑，今有一质量为m ，带电荷量为-q 的小物块C 从A 端以某一初速度起向右滑动，当电场强度方向向下时，C 恰好到达B 端，当电场强度方向向上时，C 恰好到达AB 中点，求电场强度E 的大小．【综合评价】1．在电场中，已知A 点的电势高于B 点的电势，那么 ( )A ．把负电荷从A 点移到B 点，电场力做负功 B ．把负电荷从A 点移到B 点，电场力做正功C ．把正电荷从B 点移到A 点，电场力做负功D ．把正电荷从B 点移到A 点，电场力做正功2．如图所示，Q 是带正电的点电荷，P 和P 为其电场中的两点．若E 1、E 2为P 1、P 2两点的电场强度的大小，φ1、φ2为P 1、P 2两点的电势，则 ( )A ．E 1 > E 2，φ1>φ2B ．E 1 > E 2，φ1<φ2C ．E 1< E 2，φ1>φ2D ．E 1< E 2，φ1<φ23．如图所示的电场线，可判定 ( )A ．该电场一定是匀强电场B ．A 点的电势一定低于B 点电势C ．负电荷放在B 点的电势能比放在A 点的电势能大D ．负电荷放在B 点所受电场力方向向右4．图为某个电场中的部分电场线，如A 、B 两点的场强分别记为E A 、E B ，电势分别记为ϕA 、ϕB ，则A ．E A > EB 、ϕA > ϕB B ．E A < E B 、ϕA > ϕBC ．E A <E B 、ϕA <ϕBD ．E A > E B 、ϕA <ϕB 5．有两个完全相同的金属球A 、B ，如图，B 球固定在绝缘地板上，A 球在离B 球为H 的正上方由静止释放下落，与B 球发生对心碰后回跳的高为h ．设碰撞中无动能损失，空气阻力不计A ．若A 、B 球带等量同种电荷，则h>H B ．若A 、B 球带等量同种电荷，则h=HC ．若A 、B 球带等量异种电荷，则h>HD ．若A 、B 球带等量异种电荷，则h=H6．下列说法中，正确的是 ( )A ．沿着电场线的方向场强一定越来越弱B ．沿着电场线的方向电势—定越来越低C ．匀强电场中，各点的场强一定大小相等，方向相同D ．匀强电场中各点的电势一定相等7．关于电场中电荷的电势能的大小，下列说法正确的是 ( )A ．在电场强度越大的地方，电荷的电势能也越大B ．正电荷沿电场线移动，电势能总增大C ．负电荷沿电场线移动，电势能一定增大D ．电荷沿电场线移动，电势能一定减小8．如图所示，P 、Q 是两个电荷量相等的正点电荷，它们连线的中点是O ，A 、B 是中垂线上的两点，OA<OB ，用A E 、B E 、A ϕ、B ϕ分别表示A 、B 两点的场强和电势，则 ( )A ．A E 一定大于B E ，A ϕ一定大于B ϕ B ．A E 不一定大于B E ，A ϕ一定大于B ϕC ．A E 一定大于B E ，A ϕ不一定大于B ϕD ．AE 不一定大于B E ，A ϕ不一定大于B ϕ9．电场中某点A 的电势为10V ，另一点B 的电势为-5V ，将一电荷量为Q = -2⨯10-9C 的电荷从A 点移到B 点时，电场力做的功为多少？这个功是正功还是负功？10．将带电荷量为1×108-C 的电荷，从无限远处移到电场中的A 点，要克服电场力做功1×106-J ．问：(1) 电荷的电势能是增加还是减小? 电荷在A 点具有多少电势能?(2) A 点的电势是多少?(3) 若电场力可以把带电荷量为2×108-C 的电荷从无限远处移到电场中的A 点，说明电荷带正电还是带负电? 电场力做了多少功? (取无限远处为电势零点)11．如图所示，一个质量为m 、带有电荷-q 的小物体，可以在水平轨道ox 上运动，o 端有一与轨道垂直的固定墙．轨道处于匀强电场中，场强大小为E ，方向沿ox 轴正方向，小物体以速度0v 从0x 点沿ox 轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f 作用，且qE f <.设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电荷量保持不变，求它在停止运动前所通过的总路程．。
1静电场标势及微分方程
第二章 静电场带电体系：电荷静止，所激发的电场不随时间变化；给定自由电荷的分布以及周围空间介质或者导体的分布，运用电磁场理论求解这样的带电体系的电场。
§1 静电场的标势及其微分方程 1、 静电场的标势——静电势 麦克斯韦方程0 , ,=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇=⋅∇B tD J H tB E Dρ静电条件：()00==∂∂J t 物理量 将静电条件代入麦克斯韦方程得到00=⋅∇=⨯∇=⋅∇=⨯∇B H D Eρ✧ 在静电条件下，电场和磁场相互独立，可以分开求解；✧ 静电场是无旋场；自由电荷分布是D的源。
解决静电问题的基本方程： 微分方程0 =⨯∇=⋅∇E D ρ +边界条件f D D n σ=-⋅1221+介质的电磁性质方程静电势的定义：静电场的无旋性是静电场的一个重要的特征，其积分形式为0d =⋅⎰l E L——（1.3）“电场沿任一闭合回路的线积分等于零。
”将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功⎰⋅21d P P l E将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功与具体的路径无关，只与起点和终点有关。
0d =⋅⎰l E L0d d 21=⋅+⋅⎰⎰-C C l E l E0d d 21=⋅-⋅⎰⎰C C l E l E⎰⎰⋅=⋅21d d C C l E l E利用这一特点，引入电势的概念，是空间位置的标量函数（标势）； 定义两点间的电势差为⎰⋅-=-21d )()(12P P l E P Pϕϕ ——（1.4）推论：如果电场对（单位）正电荷做正功，则电势降低；只有两点的电势差才具有物理意义； 如果知道空间的电场的分布，则可以计算空间任意两点间的电势差；实际的计算中为了方便，常选取某个参考点，规定该点的电势为零，这样整个空间里的电势就有一个确定的值。
如果电荷分布在有限的空间里，则可以取无穷远处的电势为零，即()0=∞ϕ这样空间P 点的电势为()⎰∞⋅=Pl E P d ϕ相距为ld 的两点的电势的增量为l E dd ⋅-=ϕ式中()lz y x z y x zzy y x x z y x y y xd de d e d e e e e d d d d ⋅∇=++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕϕϕϕϕ从而得到，ϕ-∇=E——（1.5）如果知道了空间电势的分布情况，则可采用上式计算电场强度的分布。
静电场的标势和微分方程正式版
静电场的标势和微分方程正式版文档资料可直接使用，可编辑，欢迎下载静电场的标势和微分方程1、静电场的微分方程：静电现象满足以下两个条件：即 ①电荷静止不动；②场量不随时间变化。
故， 把静电条件代入Maxwell's equations 中去，即得静电场满足的方程：2、静电场的标势根据电场方程0=⨯∇E （即E的无旋性），可引入一个标势ϕ。
0)( ; 0=∂∂==物理量tj νρ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇=⨯∇ρD E0ϕ-∇=Eερϕ-=∇2一、库仑定律的应用1.（10海淀）使两个完全相同的金属小球（均可视为点电荷）分别带上-3Q 和+5Q 的电荷后，将它们固定在相距为a 的两点，它们之间库仑力的大小为F 1。
现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a 的两点，它们之间库仑力的大小为F 2。
则F 1与F 2之比为（ ）A ．2：1B ．4：1C ．16：1D ．60：12.（10宣武）如图所示，三个完全相同的金属小球a 、b 、c 位于等边三角形的三个顶点上。
a 带负电，b 和c 带正电， a 所带电量大小比b 的要大。
已知c 受到a 和b 的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，那么它应是 A. F 1 B.F 2 C.F 3 D.F 4二、表征电场性质几个物理量的理解与应用（电场强度、电势）3.（08海淀）如图1所示，在a 、b 两点上放置两个点电荷，它们的电荷量分别为q 1、q 2，MN 是连接两点的直线，P 是直线上的一点，下列哪种情况下P 点的场强可能为零（ ） A. q 1、q 2都是正电荷，且q 1>q 2 B. q 1是正电荷，q 2是负电荷，且q 1<∣q 2∣ C. q 1是负电荷，q 2是正电荷，且∣q 1∣>q 2D. q 1、q 2都是负电荷，且∣q 1∣<∣q 2∣4.（10朝阳）15如图所示，+Q 1、-Q 2是两个点电荷，P 是这两个点电荷连线中垂线上的一点。
静电场-电势
2 、求一均匀带电球面的电势。已知：q , R 。 1. r ≤ R
8
(球内任意一点)
R 8
= r E . d l = r E 内. d l + R E 外. d l
= 0 +
8
q
+ + + + +
q 4 πε
o r
2
R
dr
+ + + +
R
+
=
E
场强 分布曲线 R
1 ∝ r2
O
r
V
电势 分布曲线。
1 ∝r R
O
r
3.平行板电容器两板间的电势差
解：平行板电容器内部的场强为
两板间的电势差
s E 0
s s
E
d
E dl
E Edl
dl dl
[ 例1 ] 已知一点电荷的电势为： q =4 πε o r
求：任一点的场强。
解： E = Er =
V r
q 1 ( r 2 )= = 4πε o 4πε o r 2
q
[ 例2 ] 已知均匀带电圆环轴线上任一
点的电势,求轴线上任一点的场强。 解：已知带电圆环轴线上任一点的电势为： q q = =4 2 2 1 2 πε o r 4πε o ( x + R ) E = Ex = q 4πε
r qo
a
E
qo q qo q 1 1 Aab dr 2 ra 4 r 4 r r o o a b
2-1 静电场的标势及其微分方程
第二章 静电场
本章内容： 本章内容： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 本章研究的主要问题： 本章研究的主要问题： 在给定的自由电荷分布以及周围空间介质 和导体分布的情况下，求解静电场。 和导体分布的情况下，求解静电场。
积分区域V为 的区域。 积分区域 为ρ≠0的区域。 的区域
注意： 注意： (1) 上式只能用于计算静电场的总能量。 上式只能用于计算静电场的总能量。 1 (2) ρϕ不是能量密度。 不是能量密度。 2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
求均匀电场E 的电势。 例1 求均匀电场 0的电势。 解：均匀电场每一点强度 0相同，其电场线为平行直线。 均匀电场每一点强度E 相同，其电场线为平行直线。 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为φ0，那么 任一点P处的电势为 任一点 处的电势为 r r P r P r ϕ(P) = ϕ0 − ∫ E0 ⋅ dl = ϕ0 − E0 ⋅ ∫ dl 0 0 r r = ϕ0 − E0 ⋅ x x为P点位矢。均匀电场可看作由无穷大平行板电容器产 为 点位矢 点位矢。 生，其电荷分布不在有限区域内，不能选无穷远电势为零 其电荷分布不在有限区域内，
τ R 的负梯度得： 的负梯度得： ln 取 ϕ(R) = − 2πε0 R0
∂ϕ τ ER = − = ∂R 2πε0R
Eθ = Ez = 0
《电动力学》第7讲
静电势的微分方程
• 可以验证，电势
ϕ ( x) =
∫ 4πε。
1
ρ ( x ′)
r
dV ′
• 是泊松（Poisson）方程
• 的一个特解。 • 在各种边界条件下泊松方程的解法将在第四章 讨论。
ρ ∇ ϕ =− ε0
2
静电势的微分方程
• 在静电问题上中，常常有一些导体存在，由于导体的 特殊性质，在导体表面上的边值关系有它的特点。 • 导体内部有自由电子，在电场作用下这些电子就会运 动。因此，在静电情况下，导体内部电场必须为零， 而且导体表面上的电场亦不能有切向分量，否则电子 将沿表面运动。即整个导体必须是一个等电势体。 • 导体内部没有电场的必要条件是导体内部不带电，导 体所带电荷只能分布于表面上。
§2.1 静 电 电 电 电 电 §2.2 静 电 电 电 静 静 静 静 §2.3 恒 恒 电 电 电 矢 电 §2.4 讯 讯 电 电 电 电 矢 电 矢 电 电 §2.5 谐 讯 电 电 静 静 静 静 、 电 电 矢 矢
Maxwell方程组
∂B ∇× E = − ∂t ∂E ∇ × B = µ 0 J + µ 0 ε 0 ∂t ρ ∇i E = ε0 ∇ iB = 0
E ⋅ dl = 0 ∫
静电场的标势
• 设C1和C2为由P1点到P2点的两条不同路径。 • C1与−C2合成闭合回路，因此
∫ ∫ ∫
C1
E ⋅ dl + ∫
− C2
E ⋅ dl = 0
C1
E ⋅ dl − ∫ E ⋅ d l = 0
C2
C1
E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl
C2
静电场的标势
静电场
1Q (1
2
)a
2
，
2
D2r
2Q 2 (1 2 )a2
问：为什么内球面上面电荷分布不对称，而场强却能保持球对称？
补充题：平行板电容器充满电容率为的均匀介质，介质中
均匀分布着体密度为的电荷，两板间距为d，电势差为U
，
0
现有三人计算出电容器中的电势分布为： d
1
S
n
S
，以及每个导体的电势i
（第一类问题的唯一性定理）或给定每个
Si
导体上的总电荷Qi
（第二类问
Si
题
的
唯
一
性定
理
）
，
则V
中的电场
有
唯一的解。
证明：(第一类)采取反证法，假定解不唯一，有二不同
的解，然后证明二 解相等。
设1，2都是解，则有： 21 2 2
在电磁学和电磁场理论书籍中，常常把
1
2
Q 边值关系叫边界条件，但二者一般情况
1
2 S
下是不同的。边值关系反映的是在所研 究区域内场方程在分界面上的体现；边
界条件反映的是区域边界外的电荷对区
域内的影响。
静电场的能量
在均匀各向同性线性介质中，静电场的能量为
W
1 2
E D dV
静电场的特点
① J 0
② E, B, , P 等均与时间无关
③不考虑永久磁体（M 0） ④ B H 0
（ H 0, B 0 ，H B 0 为唯一解）
2.1静电场的标势
现代物理导论I
例 3、 求带电量为 Q 、 半径为 a 的导体球的静电场总能量。
解：导体球的电荷分布于表面，整个导体为等势体，运用
1 公式 W dV 最方便， 球面上电势 a Q / 4 0 a 2 1 1 Q2 W dV Q 2 2 8 0 a 1 也可以用 W E DdV 计算，球内电场为零，只需 2
ij
Sij
现代物理导论I
唯一性定理：设区域 V 内给定自由电荷分布 (r ) ，在 V 的边界上给定： （1） 电势 或
（2） 电势的法线方向偏导数 。 n S
则 V 内的电场唯一的确定。
也就是说，在 V 内存在唯一的解，它在每个区域满 足泊松方程，在两区域界面满足边值关系，并在 V 的边 界 S 上满足给定的 或 / n 。
n
1 n
S
S 1 S 2 S 0
考虑积分：
S
i dS ( i )dV
Vi
Si
i dS
S
S
2 n
0
S
( i 2 i () 2 ) dV
Vi
现代物理导论I
i
Si
i dS i ()2 dV
Vi
i
Vi
2 由于： ( ) 0 ，故 0 i () dV 0 i
2
即在 V 内， 1 2 常数，得证。
现代物理导论I
均匀介质中有导体（证明见书本） S 第一类边界条件：给定每个导体上的电势 以及外边界的电势或电场。 我们可以把导体去掉，其边界看成外边界， 则同前面的唯一性定理。
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( P)
i
4
Qi
r
0 i
静电场的标势
• 若电荷连续分布，电 荷密度为ρ ，设r为 由源点x' 到场点x的 距离，则场点x处的 电势为
1 ( x) 4
( x) dV r 0
静电场的标势
• 由上式，假如空间所有电荷分布都给定，电势 φ 就确定 ，因而电场 E 就完全确定。 • 但是实际情况往往不是所有电荷分布都能够预 先给定的。 • 例如，在某一给定电荷附近放着一个导体，则 导体表面上就会产生感应电荷分布，这个电荷 分布正是要从电场与电荷相互作用的规律求出 来，而不是预先给定的。
《电动力学》第7讲
第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(1)
§ 2.1 静电场的标势
教学体系
第1章 真空中的Maxwell方程组 第 2章 电 磁 场 的 标 势 、 矢 势 和 电 磁 辐 射
§1.1 电 荷 与 电 场 §1.2 电 流 与 磁 场 §1.3 真 空 中 的 麦 克 斯 韦 方 程 组 §1.4 电 磁 场 的 能 量 和 动 量
W E dl
P 1
P2
静电场的标势
• 这功的定义为P1点和P2点的电势差。 • 若电场对电荷作了正功，则电势φ 下降。 由此，
( P2 ) ( P 1 ) E dl E dl
P2 P 1
P 1
P2
静电场的标势
• 由定义，只有两点的电势差才有物理意 义，一点上的电势的绝对数值是没有物 理意义的。 • 因此，电场强度E等于电势φ 的负梯度
P
静电场的标势
• 已知点电荷Q激发的电场强度为
E
Q 4
0
r 3 r
1 4 Q r
• 其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向由 场点到无穷源点积分，把积分变数写为r'，得
(r )
r
4
r
0
Q
dr 2
0
静电场的标势
• 由电场的叠加性，多个电荷激发的电势φ 等于 每个电荷激发的电势的代数和。设有一组点电 荷Qi ，与场点P的距离为ri ，则这组点电荷激 发的电势为
g 0 (E B )
本讲主要内容
• 静电场的标势 • 静电势的微分方程 • 静电场能量
静电场的标势
• 在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏 方程组的电场部分为
E 0
E 0
静电场的标势
• 静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无 旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场， 和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。 • 无旋性的积分形式是电场沿任意闭合回路的环 量等于零，
Lorentz 力密度公式
• 若电荷连续分布，其密度为ρ，则电荷系 统单位体积所承受的力密度f为
f E J B
• 洛仑兹把这结果推广为普遍情况下场对 电荷系统的作用力，因此上式称为洛仑 兹力密度公式。
Lorentz 力公式
• 对于带电粒子系统来说，若粒子电荷为q， 速度为υ，则J等于单位体积内qυ之和。 把电磁作用力公式应用到一个粒子上， 得到一个带电粒子受电磁场的作用力
E
静电场的标势
• 只有势的差值才有物理意义。 • 在实际计算中，为了方便，常常选取某个参考 点，规定其上的电势为零，这样整个空间的电 势就单值地确定了。参考点的选取是任意的， 在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷 点作为参考点。令φ (∞)=0， 则
( P) E dl
w S f v. t
S
1
0
E B,
1 1 2 2 w ( 0 E B ) 2 0
电磁场的动量密度和动量流密度 d V fdV dt V gdV S T dS g f T t 1 1 1 2 2 T 0 EE BB I ( 0 E B ) 0 2 0
F qE qv B
• 这公式称为洛仑兹力公式。
场和电荷系统的能量守恒定律 的一般形式
• 能量守恒的积分形式是
S dσ d f vdV wdV , dt
• 相应的微分形式为
w S f v . t
电磁场能量密度和能流密度表示式
S dσ d f vdV wdV , dt
静电势的微分方程
• 真空中Maxwell方程组中，静电场的方程为：
E 0 E / 0
• 引入： • 则有：
E
0
2
静电势的微分方程
E
0
2
• ρ为自由电荷密度。 • 上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松 （Poisson）方程。 • 给定边界条件就可以确定电势φ 的解。
Maxwell方程组
B E dl dS t l s E B dl 0 I 0 0 dS l t s Q Q dV E d S 0 V s B dS 0 I J d S S s
E dl 0
静电场的标势
• 设C1和C2为由P1点到P2点的两条不同路径。 • C1与−C2合成闭合回路，因此 C1E dl
C2
E dl 0
C1
E dl E dl 0
C2
C1
E dl E dl
C2
静电场的标势
• 因此，电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的 功与具体路径无关,只和两端点有关。 • 把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所 作的功为
§2.1 静 电 场 的 标 势 §2.2 静 电 势 的 多 极 展 开 §2.3 恒 稳 磁 场 的 矢 势 §2.4 讯 变 电 磁 场 的 矢 势 和 标 势 §2.5 谐 变 势 的 多 极 展 开 、 电 磁 辐 射
Maxwell方程组
B E t E B 0 J 0 0 t E 0 B0