电动力学第7讲21静电场的标势

E dl 0
静电场的标势
• 设C1和C2为由P1点到P2点的两条不同路径。 • C1与−C2合成闭合回路，因此

C1
E dl
C2
E dl 0
C1
E dl E dl 0
C2
C1
E dl E dl
C2
静电场的标势
• 因此，电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的 功与具体路径无关,只和两端点有关。 • 把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所 作的功为
P

静电场的标势
• 已知点电荷Q激发的电场强度为
E
Q 4

0
r 3 r
1 4 Q r
• 其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向由 场点到无穷源点积分，把积分变数写为r'，得
(r )

r
4
r
0
Q
dr 2

0
静电场的标势
• 由电场的叠加性，多个电荷激发的电势φ 等于 每个电荷激发的电势的代数和。设有一组点电 荷Qi ，与场点P的距离为ri ，则这组点电荷激 发的电势为
《电动力学》第7讲
第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(1)
§ 2.1 静电场的标势
教学体系
第1章 真空中的Maxwell方程组 第 2章 电 磁 场 的 标 势 、 矢 势 和 电 磁 辐 射
§1.1 电 荷 与 电 场 §1.2 电 流 与 磁 场 §1.3 真 空 中 的 麦 克 斯 韦 方 程 组 §1.4 电 磁 场 的 能 量 和 动 量
g 0 (E B )
本讲主要内容
• 静电场的标势 • 静电势的微分方程 • 静电场能量
静电场的标势
• 在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏 方程组的电场部分为
E 0
E 0
静电场的标势
• 静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无 旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场， 和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。 • 无旋性的积分形式是电场沿任意闭合回路的环 量等于零，
Maxwell方程组
B E dl dS t l s E B dl 0 I 0 0 dS l t s Q Q dV E d S 0 V s B dS 0 I J d S S s
E
静电场的标势
• 只有势的差值才有物理意义。 • 在实际计算中，为了方便，常常选取某个参考 点，规定其上的电势为零，这样整个空间的电 势就单值地确定了。参考点的选取是任意的， 在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷 点作为参考点。令φ (∞)=0， 则
( P) E dl
§2.1 静 电 场 的 标 势 §2.2 静 电 势 的 多 极 展 开 §2.3 恒 稳 磁 场 的 矢 势 §2.4 讯 变 电 磁 场 的 矢 势 和 标 势 §2.5 谐 变 势 的 多 极 展 开 、 电 磁 辐 射
Maxwell方程组
B E t E B 0 J 0 0 t E 0 B0
静电势的微分方程
• 真空中Maxwell方程组中，静电场的方程为：
E 0 E / 0
• 引入： • 则有：
E
0
2
静电势的微分方程
E
0
2
• ρ为自由电荷密度。 • 上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松 （Poisson）方程。 • 给定边界条件就可以确定电势φ 的解。
( P)
i
4
Qi
r
0 i
静电场的标势
• 若电荷连续分布，电 荷密度为ρ ，设r为 由源点x' 到场点x的 距离，则场点x处的 电势为
1 ( x) 4

( x) dV r 0
静电场的标势
• 由上式，假如空间所有电荷分布都给定，电势 φ 就确定 ，因而电场 E 就完全确定。 • 但是实际情况往往不是所有电荷分布都能够预 先给定的。 • 例如，在某一给定电荷附近放着一个导体，则 导体表面上就会产生感应电荷分布，这个电荷 分布正是要从电场与电荷相互作用的规律求出 来，而不是预先给定的。
W E dl
P 1
P2
静电场的标势
• 这功的定义为P1点和P2点的电势差。 • 若电场对电荷作了正功，则电势φ 下降。 由此，
( P2 ) ( P 1 ) E dl E dl
P2 P 1
P 1
P2
静电场的标势
• 由定义，只有两点的电势差才有物理意 义，一点上的电势的绝对数值是没有物 理意义的。 • 因此，电场强度E等于电势φ 的负梯度
F qE qv B
• 这公式称为洛仑兹力公式。
场和电荷系统的能量守恒定律 的一般形式
• 能量守恒的积分形式是
S dσ d f vdV wdV , dt
• 相应的微分形式为
w S f v . t
电磁场能量密度和能流密度表示式
S dσ d f vdV wdV , dt
Lorentz 力密度公式
• 若电荷连续分布，其密度为ρ，则电荷系 统单位体积所承受的力密度f为
f E J B
• 洛仑兹把这结果推广为普遍情况下场对 电荷系统的作用力，因此上式称为洛仑 兹力密度公式。
Lorentz 力公式
• 对于带电粒子系统来说，若粒子电荷为q， 速度为υ，则J等于单位体积内qυ之和。 把电磁作用力公式应用到一个粒子上， 得到一个带电粒子受电磁场的作用力
Biblioteka Baidu S f v. t
S
1
0
E B,
1 1 2 2 w ( 0 E B ) 2 0
电磁场的动量密度和动量流密度 d V fdV dt V gdV S T dS g f T t 1 1 1 2 2 T 0 EE BB I ( 0 E B ) 0 2 0