8-01,一轮回扣,2018高考数学,直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程【考纲下载】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．3．掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①一个前提：直线l 与x 轴相交；一个基准：取x 轴作为基准；两个方向：x 轴正方向与直线l 向上的方向．②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.③倾斜角的取值范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan_θ.②计算公式：若由A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．两条直线平行、垂直与其斜率间的关系(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；②当不重合的两条直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1；②如果l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，1与l 2的关系为垂直．1．直线的倾斜角越大，斜率k 就越大，这种说法对吗？提示：这种说法不正确．因为k ＝tan θ⎝⎛⎭⎫θ≠π2.当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，θ越大，斜率k 就越大，同样θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时也是如此，但当θ∈(0，π)且θ≠π2就不是了． 2．在平面直角坐标系中，如果两条直线平行，则其斜率相等，正确吗？提示：不正确．还可能两条直线的斜率都不存在．3．在平面直角坐标系中，任何直线都有点斜式方程吗？提示：不是．当直线与x 轴垂直时，该直线的斜率不存在，它就没有点斜式方程．1．(教材习题改编)若直线x ＝2的倾斜角为α，则α( )A ．等于0B ．等于π4C ．等于π2D ．不存在 解析：选C 因为直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为π2. 2．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4解析：选A 由题意知，4－m m ＋2＝1，解得m ＝1. 3．直线y ＝kx ＋1过点⎝⎛⎭⎫1，32，则该直线的斜率为( ) A ．－12 B.12C ．2D ．－2 解析：选B 因为直线y ＝kx ＋1过点⎝⎛⎭⎫1，32，所以32＝k ＋1，即k ＝12. 4．过两点A(0,1)，B(－2,3)的直线方程为____________．解析：由两点式方程可得y －13－1＝x －0－2－0， 整理得x ＋y －1＝0.答案：x ＋y －1＝05．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴、y 轴上的截距相等，则a ＝________.解析：令x ＝0，则y ＝2＋a ，即在y 轴上的截距为2＋a ，同理在x 轴上的截距为2＋a a.所以2＋a ＝2＋a a，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或1[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[自主解答] (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ ≤π4或3π4≤ θ<π. (2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)【互动探究】若将P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解：∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)，∴k AP ＝1－02－(－1)＝13， k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3.【方法规律】斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率；(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．1．已知两点A (－3, 3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：选D 因为A (－3，3)，B (3，－1)，所以斜率k ＝－1－33－(－3)＝－33. 2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：选D 因为sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k ＝－1.而直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率k ＝－a b， 所以－a ＝－1，即a －b ＝0.[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0(2)(2014·新余模拟)已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为 ( )A ．0B ．2C ．4 D. 2[自主解答] (1)因为所求直线与直线x －2y －2＝0平行，所以设所求直线方程为x －2y ＋c ＝0，又因为该直线过点(1,0)，所以1－2×0＋c ＝0，即c ＝－1，因此，所求直线方程为x －2y －1＝0.(2)若b ＝2，两直线方程为y ＝－a 4x －1和x ＝3a，此时两直线相交但不垂直． 若b ＝－2，两直线方程为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直． 若b ≠±2，此时，两直线方程为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4. 因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，即ab 的最大值是2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．[答案] (1)A (2)B【方法规律】1．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝________.解析：因为两直线垂直，所以a (a ＋2)＋1＝0，解得a ＝－1.答案：－12．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a 的值为________．解析：显然当a ＝1时两直线不平行；当a ≠1时，k 1＝－a 2，k 2＝31－a，因为两条直线平行，所以k 1＝k 2，解得a ＝3或a ＝－2.经检验，a ＝－2时两直线重合，故a ＝3.答案：31．直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目．2．高考中对直线方程的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知两个独立条件，求直线方程；(2)已知直线方程，求直线的倾斜角、斜率；(3)已知直线方程，判断两直线的位置关系；(4)已知直线方程及其他条件，求参数值或范围．[例3] (1)(2014·铜川模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3(2)直线l 经过点P (3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．△OAB 的面积为12，则直线l 的方程是____________________________________________________________．[自主解答] (1)因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0，利用m2＋n 2表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m 2＋n 2的最小值为4.(2)法一：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)．则有3a ＋2b ＝1，且12ab ＝12. 解得a ＝6，b ＝4.所以所求直线l 的方程为x 6＋y 4＝1，即2x ＋3y －12＝0. 法二：设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，令x ＝0，得y ＝2－3k >0；令y ＝0，得x ＝3－2k>0. 所以S △OAB ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12，解得k ＝－23， 故所求直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0. [答案] (1)C (2)2x ＋3y －12＝0与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(2)求直线的倾斜角和斜率．直线Ax ＋By ＋C ＝0.若B ＝0，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；若B ≠0，则斜率k ＝－A B，然后再求倾斜角． (3)判断两条直线的位置关系．可由两直线的斜率以及在y 轴上的截距来判断两直线的位置关系．(4)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．1．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 如图所示，圆心坐标为C (1，0)，易知A (1,1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，则k AB ＝－2. 故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)．即2x ＋y －3＝0.2．(2013·广东高考)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A 因为所求直线与y ＝x ＋1垂直，所以可设直线方程x ＋y ＋c ＝0.又因为该直线与圆x 2＋y 2＝1相切．所以|0＋0＋c |12＋12＝|c |2＝1，∴c ＝±2， 又因为切点在第一象限，所以c ＝－ 2.即切线方程为x ＋y －2＝0.3．(2014·辽宁六校联考)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．解析：当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为1，两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k 4－k＝k －3，解得k ＝3或k ＝5，但必须满足截距不相等，经检验，知k ＝3或k ＝5时两直线的截距都不相等，故k ＝3或k ＝5.答案：3或5—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．(2)3个注意点(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．易误警示(十二)求直线方程的易误点[典例] (2014·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________________________________________________________________________． [解题指导] 可利用待定系数法设直线的方程为截距式，但要考虑截距式不能表示过原点的直线．[解析] (1)当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵点P (－2,3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0，∴a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.(2)当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有3＝－2k ，即k ＝－32， 此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0. 综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0.[答案] x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0[名师点评] 1.因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x ＋2y ＝0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解．2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有：(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用两点式方程时忽视与x 轴垂直的情况及与y 轴垂直的情况．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为____________________．解析：(1)当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；(2)当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0[全盘巩固]1．(2014·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 2．(2014·延安模拟)如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π 解析：选B 由题意可设f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a ＞0)，即函数切线的斜率为k ＝f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥ 3，所以π3≤α<π2. 3. 如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：选D 从图中观察可知：k 2>0，k 3>0，k 1<0.又因为l 2、l 3的倾斜角α2，α3都是锐角，且α2>α3，所以k 2>k 3.因此，k 2>k 3>k 1.4．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，3B.⎝⎛⎭⎫12，3C.⎝⎛⎭⎫12，－3D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：选D 因为直线2x －my ＋1－3m ＝0可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令y ＋3＝0，得2x ＋1＝0，即y ＝－3，x ＝－12，因此直线2x －my ＋1－3m ＝0恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3. 5．直线l 1：x ＋3y －7＝0，l 2：kx －y －2＝0与x 轴的正半轴及y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k 的值为( )A ．－3B ．3C ．1D ．2解析：选B 依题意可知l 1⊥l 2，又因为直线l 1的斜率为－13，l 2的斜率为k ，所以－k 3＝－1，解得k ＝3.6．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )A B C D解析：选B 直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0的斜率k 1＝－a ，在y 轴上的截距为－b ；直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的斜率k 2＝－b ，在y 轴上的截距为－a .在选项A 中l 2的斜率－b <0，而l 1在y 轴上截距－b >0，所以A 不正确．同理可排除C 、D.7．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是____________．解析：因为直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，所以k ＝tan α＝sin αcos α＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ＋2，即x －3y ＋6＝0. 答案：x －3y ＋6＝08．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．解析：依题意得AB 的方程为x 3＋y 4＝1.当x >0，y >0时，1＝x 3＋y 4≥2 xy 12＝ xy 3，即xy ≤3当且仅当x ＝32，y ＝2时取等号，故xy 的最大值为3. 答案：39．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 共线，则实数m ＝________. 解析：k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， ∴m －312－2＝－1，解得m ＝92. 答案：9210．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵直线l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，解得a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y 5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k .∴3－2k＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. 11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0.即a ＝2，方程为3x ＋y ＝0.当直线不过原点，即a ≠2时，截距存在且均不为0，则a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，若直线不过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，∴a ≤－1. 即实数a 的取值范围是(－∞，－1]．12．如图所示，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2. 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.[冲击名校]1．(2014·太原模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( ) A ．36 B ．45 C ．50 D ．55解析：选B 由a n ＝1n (n ＋1)，可知a n ＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，即n ＝9. ∴直线方程为x 10＋y 9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)， ∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45. 2．如图，平面直角坐标系内的正六边形ABCDEF 的中心在原点，边长为a ，AB 平行于x 轴，直线l ：y ＝kx ＋t (k 为常数)与正六边形交于M ，N 两点，记△OMN 的面积为S ，则关于函数S＝f(t)的奇偶性的判断正确的是()A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与k有关解析：选B设点M关于原点的对称点为M′，点N关于原点的对称点为N′，易知点M′，N′在正六边形的边上．当直线l在某一个确定的位置时，对应有一个t值，那么易得直线M′N′的斜率仍为k，对应的直线M′N′在y轴上的截距为－t，显然△OMN的面积等于△OM′N′的面积，因此函数S＝f(t)一定是偶函数.。