大学物理学上下册习题答案

x
D v2 u 2 u
x 取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为
t D Dv u sin u v 2 u 2
习题二
1.12 如题 1.12 图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为 D ，速率为 v ，一艘速 率为 u v 的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时
刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为 x
D v2 u 2 ；快艇截 u
住这条船所需的时间为 t
击。略去空气阻力， (1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程； (2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程； (3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？ 解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为 v1 v v0 ，而 x v1t ， y 0.5 gt 消去时间参数 t ，得到轨迹方程为：
v t

b b dv a0 t dv ， v a0t t 2 2 0 0
再利用 dx vdt ，并取积分[设 t 0 时 x0 0 ]得
x0
dx vdt ， x 2 a t
0
x
t
1
2

0
b 3 t 6
1.4 一质点从位矢为 r (0) 4 j 的位置以初速度 v (0) 4i 开始运动， 其加速度与时间的关系 为 a (3t )i 2 j .所有的长度以米计，时间以秒计.求： （1）经过多长时间质点到达 x 轴； （2）到达 x 轴时的位置。 解：
dv dv 0 各代表什么运动？ 0和 dt dt
(6) 设质点的运动方程为： x x t ， y y t ，在计算质点的速度和加速度时，有人先求 出r
x 2 y 2 ，然后根据
v dr dt
及
a
d 2r dt 2
2 2
而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
dr dv (8t ) j k ， a 8j dt dt
2 (2) 令 r (t ) xi yj zk ，与所给条件比较可知 x 1 ， y 4t ， z t




所以轨迹方程为： x 1, y 4 z 2 。 1.7 已知质点作直线运动，其速度为 v 3t t (ms ) ，求质点在 0 ~ 4s 时间内的路程。


v1 10i km / h ， v2 15 j km / h
根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为
v v1 v2 (10i 15 j )km / h
15 v 10 2 15 2 18.1km / h ， arctg 56.31 10 即在乙船上看，甲船速度为 18.1km / h ，方向为东偏北 56.31 同理，在甲船上看，乙船速度为 18.1km / h ，方向为西偏南 56.31 。 1.11 有一水平飞行的飞机，速率为 v0 ，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度 v 向前射
2
y
gx 2 （若以竖直向下为 y 轴正方向，则负号去掉，下同） 2(v v0 ) 2
gx 2 2v 2
(2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为 v ，同上可得轨迹方程为 y
(3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用 x 代替 x ， y 代替 y ，可得 y
gx 2 . 2v 2
Dv u v2 u 2
Y
。
v
D
u x

港口
X
习题 1.12 图 证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为
x2 x u cos t x1 vt 和 y2 u sin t y1 D
拦截条件为：
x1 x 2 y1 y 2
最初 2 s 内的平均速度为： vave
x 0 0(m / s) t 2
t 时刻的瞬时速度为： v(t )
dx 4 4t dt
2 s 末的瞬时速度为： v(2) 4 4 2 4m / s
v v(3) v(1) 8 0 4m / s 2 t 2 2 dv d (4 4t ) (3) 3s 末的瞬时加速度为： a 4(m / s 2 ) 。 dt dt
所以
即
cos t v t x u t D us i n
x
D v u cos ， u sin
x 取最大值的条件为： dx / d 0 ，由此得到 cos u / v ，相应地 sin 1 (u / v)2 。
因此 x 的最大值为
t 3 v (t ) v (0) a (t )dt 4 t 2 i (2t ) j 0 2 t 1 r (t ) r (0) v t dt 4t t 3 i 4 t 2 j 0 2
（1） 当 4 t 0 ，即 t 2s 时，到达 x 轴。
dx dy v dt dt
2
2
及
d 2x d 2 y a 2 2 dt dt
你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系 是否也是线性的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此 其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？ (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大， an 、 at 、 a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？ 如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 1.2 一质点沿 x 轴运动，坐标与时间的变化关系为 x 4t 2t 2 ，式中 x, t 分别以 m 、 s 为单 位，试计算：(1)在最初 2 s 内的位移、平均速度和 2 s 末的瞬时速度；(2) 1s 末到 3s 末的平均 加速度；(3) 3s 末的瞬时加速度。 解： (1) 最初 2 s 内的位移为为： x x(2) x(0) 0 0 0(m / s)
由此给出
v 2 v A x ， A 0 x0
2 2
2
2
1.6 一质点的运动方程为 r (t ) i 4t j tk ，式中 r ， t 分别以 m 、 s 为单位。试求：
2




(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。 解：(1) 速度和加速度分别为： v
习题一
1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相 等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什 么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一 定保持不变？ (5) r 和 r 有区别吗？ v 和 v 有区别吗？
(2) 1s 末到 3s 末的平均加速度为： aave 1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为 a0 ，质点出发后，每经过 时间，加速度 均匀增加 b 。求经过 t 时间后，质点的速度和位移。 解: 由题意知，加速度和时间的关系为
b a a0 t
利用 dv adt ，并取积分得
两边求微分，则有
2x
船速为
dx dr 2r dt dt dx r dr dt x dt
v
按题意
dr v0 (负号表示绳随时间 t 缩短)，所以船速为 dt
v
x 2 h2 v0 x
负号表明船速与 x 轴正向反向，船速与 x 有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可 得船的加速度为
而 t 3 s 时， v 0 ， v v 。因而质点在 0 ~ 4s 时间内的路程为
s v dt vdt (v)dt 3t t 2 dt 3t t 2 dt
0 0 3 0 3
4
3
4
3
4
1 3 1 1 3 t 2 t 3 t 2 t 3 6 (m) 。 3 0 2 3 3 3 2
3
4
1.8 在离船的高度为 h 的岸边， 一人以恒定的速率 v0 收绳， 求当船头与岸的水平距离为 x 时， 船的速度和加速度。 解: 建立坐标系如题 1.8 图所示，船沿 X 轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方 程，由图题 1.8，可得出
O
X
r
h
v0
x
Y
习题 1.8 图
x 2 r 2 h2
2
（2）
t 2s 时到达 x 轴的位矢为 ： r (2) 12i
即质点到达 x 轴时的位置为 x 12m, y 0 。
1.5 一质点沿 x 轴运动，其加速度与坐标的关系为 a x ，式中 为常数，设 t 0 时刻
2
的质点坐标为 x 0 、速度为 v 0 ，求质点的速度与坐标的关系。
at 24rt 24 0.1 2 4.8(m s 2 )
(2) 要使总加速度与半径成 45 角，必须有 an at ，即 144rt 4 24rt 解得 t 3 1/ 6 ，此时 2 4t 3 2.67 rad 1.10 甲乙两船，甲以 10km / h 的速度向东行驶，乙以 15km / h 的速度向南行驶。问坐在乙船 上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？ 解：以地球为参照系，设 i 、 j 分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为