2.5《充要条件》
高一数学备课系列课件充要条件
四种命题之间关系剖析
原命题与逆命题关系
原命题与否命题关系
原命题和逆命题的真假性没有必然联系， 即原命题为真时，逆命题不一定为真；原 命题为假时，逆命题也不一定为假。
原命题与否命题的真假性相反，即原命题 为真时，否命题为假；原命题为假时，否 命题为真。
原命题与逆否命题关系
逆命题与否命题关系
原命题与逆否命题的真假性相同，即原命 题为真时，逆否命题也为真；原命题为假 时，逆否命题也为假。
逆命题与否命题没有必然联系，即逆命题 为真时，否命题不一定为真；逆命题为假 时，否命题也不一定为假。
03
CATALOGUE
充分条件与必要条件判断方法
通过定义判断
充分条件定义
如果命题A的成立导致命题B的成 立，则称A是B的充分条件。
必要条件定义
如果命题B的成立必须依赖于命题 A的成立，则称A是B的必要条件。
排除法
通过排除明显错误的选 项，提高答题效率。
验证法
将选项代入题目进行验 证，判断是否符合题意
。
图形结合
利用图形辅助理解题意 ，找出正确答案。
填空题答题技巧
01
02
03
04
准确理解题意
明确题目所给条件和要求，避 免答非所问。
注意单位
留意题目中的单位，确保答案 与题目单位一致。
精确计算
对于需要计算的题目，要确保 计算过程准确，避免误差。
讨论更加深入和全面。
注意分类的完备性
03
在分类讨论时，需要注意分类的完备性，确保所有可能的情况
都被考虑到，避免出现遗漏或重复的情况。
数形结合思想在解题中应用
利用图形辅助理解题 意
通过绘制图形或图像，可以更加 直观地理解问题的本质和条件， 从而有助于找到问题的解决方案 。
充要条件什么意思
充要条件什么意思
充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
充要条件的意思
充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
如果有事物情况A，则必然有事物情况B;如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件 ( 简称：充要条件 )，反之亦然。
假设A是条件，B是结论
(1)由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充分必要条件(A=B)，或者说B的充分必要条件是A。
(2)由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件(A∈B)
(3)由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件(B∈A)
(4)由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件。
充分条件和必要条件的意思
充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A 为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集;若属于B的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B;如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。
高中数学关于充要条件的概念
高中数学关于充要条件的概念高二数学中学到的充要条件是证明题的一种常考类型，下面店铺的小编将为大家带来高中数学关于充要条件的概念的介绍，希望能够帮助到大家。
高中数学关于充要条件的概念介绍(1)先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p => q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。
这里由p => q，得出p为q的充分条件是容易理解的。
但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p => q”等价的逆否命题是“非q => 非p”。
它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。
这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。
(2)再看“充要条件”若有p =>q，同时q => p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。
简称为p是q的充要条件。
记作p<=>q回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。
“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。
也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。
(3)定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。
如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。
“仅当”表示“必要”。
(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。
高中数学数列的概念知识点1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1，。
充要条件 课件
且1a－>2a0<，0， 故方程有两个负根，符合题意． 综上所述：当 a≤1，方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根．
当 a＝0 时，方程为 2x＋1＝0 符合题意． 当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 应有一正一负根或两个负根．
思维突破：这是一道综合性较强的题目，解题关键是对函 数 f(x)＝ff12xx， ，ff11xx≤>f2f2xx ， 的理解及对指数函数和不等式性 质的掌握．注意：p1，p2 是常量．
自主解答：f(x)＝f1(x)恒成立⇔f1(x)≤f2(x)⇔3|x p1|≤2·3|x p2|⇔ 3|x p1||x p2|≤2⇔|x－p1|－|x－p2|≤log32.
【要点3】判断充要条件关系的主要方法有哪些？ 【剖析】判断充要条件关系的主要方法有三种： ①定义法：若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件； ②利用原命题和逆命题的等价性来确定“若 p，则 q”及 “若 q，则 p”的真假性； ③利用集合的包含关系：若 A⊆B，则 a∈A 是a∈B 的充 分条件，a∈B 是a∈A 的必要条件；若 A＝B，则 a∈A 是a∈B 的充要条件．
1－a≠0， Δ≥0， 思维突破：方程有两正根的充要条件是：x1＋x2>0， 解 x1·x2>0， 不等式组即可．
自主解答：方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0 有两个实根的充 要条件是
1－a≠0， a＋22＋161－a≥0
⇔aa≠ ≤12， 或a≥10，
即 a≥10 或 a≤2，且 a≠1.
充要条件
1．一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作：p⇔q.这 时 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，则 p 是 q 的 __充__分__必__要____条件，简称__充__要______条件．其中“⇔”叫做等 价符号．p⇔q 表示 p⇒q 且 q⇒p.
充要条件 课件
简称充要条件（sufficient and necessary condition）.
显然，如果p是q的充要条件， 那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果p ⇔ q， 那么p与q互为充要条件.
判一判
判断p是q的什么条件，并填空：
（1） p： x 是整数是 q：x是有理数的 充分不必要条件 ； （2） p： ac＝bc是 q：a＝b的 必要不充分条件 ； （3） p： x＝3 或x＝-3是 q：x2＝9 的 充要条件 ； （4） p：同位角相等是 q：两直线平行的 充要条件 ； （5） p：(x-2)(x-3)＝0 是 q：x-2＝0 的必要不充分条件 ．
比一比
你能举出一些p和q互为充要条件的例子吗？
探究点2 判断充分条件、必要条件的方法 【1】直接用定义判断
若 p q ，且q p ，则p是q的充分不必要条件；
若 p q ，且 p q ，则p是q的必要不充分条件；
若 p q ，且 p q ，则p是q的充要条件；
若 p q ，且 q p ，则p是q的既不充分也不必要
（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0； 充分不必要条件 （3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c； 充要条件 （4）p：两直线平行；
q：两直线的斜率相等. 既不充分也不必要条件
例 已知⊙O 的半径为r，圆心O到 直线l的距离为d.
求证 d = r是直线 l 与⊙O 相切的充要条件.
O
d
l
分析：
设：p：d=r，q：直线l与 O相切. 要证p是q的充要条件，只需分别 证明充分性（p q）和 必要性（q p）即可.
O
l PQ
证明：如图所示.
（1）充分性（p q）：
充要条件讲义
充要条件讲义
充要条件是数学中的一个重要概念，也应用于逻辑学和其他领域。
它指的是一个条件语句中的两个条件，互相依赖，并且同时满足时，该条件语句才成立。
下面将介绍充要条件的定义和应用。
充要条件的定义
设 A 和 B 是两个陈述，A -> B 是一个条件语句。
如果 A 是 B 的充分条件且 B 是 A 的必要条件，我们可以说 A <-> B 是一个充要条件。
要满足充要条件，必须同时满足两个条件：
1. 当 A 成立时，B 也一定成立；
2. 当 B 成立时，A 也一定成立。
这意味着 A 和 B 是相互依赖的，没有其中一个条件的成立，整个充要条件都不成立。
充要条件的应用
充要条件在数学推理和逻辑推理中有着重要的应用。
它能够帮
助我们推断出各种陈述之间的关系，并且在证明中起到关键作用。
充要条件的应用可以归纳如下：
1. 判定两个数（对象）是否等价。
如果两个数（对象）之间满
足充要条件，那么它们可以被视为等价的。
2. 在构建证明时，可以通过确定充要条件的成立来推断出结论。
3. 在逻辑推理中，可以使用充要条件来分析陈述之间的关系。
充要条件在数学和逻辑中具有广泛的应用，它可以帮助我们理
解和解决各种问题。
通过掌握充要条件的概念和应用，我们可以更
好地进行推理和分析。
以上是充要条件的讲义，希望对您有所帮助。
《充要条件》课件
结论
1. 充要条件在日常生活中的应用十分普遍。 2. 掌握充要条件，有助于提高逻辑推理和
分析能力。
通过混淆和对比的实例把握充分条件和必要条件的本质区别。
应用区别
充要条件区别，有助于您在实际问题中作出正确的分析。
充要条件在证明中的应用
直接证明
反证法
掌握直接证明时充要条件的应 用方法，帮助您轻松完成证明。
了解应用反证法时充要条件的 应用方法，对证明中应用反证 法有很好的指导作用。
数学归纳法
掌握数学归纳法时充要条件的 应用方法，帮助您更好地理解 证明和模型算法。
2 必要条件
通过实际问题，学习充分条件的定义和应 用。
通过实际问题，学习必要条件的定义和应 用。
举例：一个整数的平方是偶数，那么这个 整数一定是偶数。
举例：一个正整数是十位数，则其个位数 一定不是零。
充分条件与必要条件的区别
1
定义区别
深入剖析充分条件和必要条件的定义，更好地理解其区别及特征。
2
举例区别
《充要条件最新》PPT课 件
通过本次课程您将深入了解充要条件的定义和应用，让您在逻辑推理和证明 中游刃有余。
什么是充要条件？
定义
了解标准的充要条件定义，如何理解其本质及应 用。
充要条件是指，在某些条件下，某个条件恰当地 成立的必要条件是其恰当地成立的充分条件。
图示
通过实例图示，帮助您更好理解充要条件的定义 和特征。
举例：判断一个三角形是否为等腰三角形，充要 条件为两个角相等。
充要条件的性质
对称性
掌握充要条件对称性的概念 及应用，能更好地理解逻辑 推理。
传递性
更深入地探究充要条件传递 性的应用，帮助您更好的理 解证明。
《充要条件》示范课教案高中数学ppt
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汇报人：WPS
目录
教学目标 教学重点与难点 教学过程
教学内容 教学方法 教学评价
01
教学目标
理解充要条件的概念和意义；
掌握充要条件的判断方法；
理解充要条件在数学中的应用；
培养学生的逻辑思维和数学素养。
02
教学内容
充要条件的定义和性质；
充要条件的判断方法；
充要条件在数学中的应用；
充要条件的证明方法。
03
教学重点与难点
重点：掌握充要条件的判断方法和证明方法；
难点：理解充要条件的概念和意义，理解充要条件 在数学中的应用。
04
教学方法
讲授法；
案例分析法；
互动讨论法。
05
教学过程
导入新课：通过实例引入充要条件的概念和意义；
讲授新课：讲解充要条件的定义、性质、判断方法 和证明方法；
巩固练习：给出一些例子，让学生判断和证明；
归纳小结：总结本节课的内容。
06
教学评价
课堂表现：观察学生的课堂参与度和表现；
作业：布置一些相关题目，检验学生对充要条件的 掌握情况。
感谢观看
汇报人：WPS
充要条件 课件(29张)
解:(1)因为|x|=|y|时,x=±y,不一定有x3=y3,而x3=y3时一定有x=y,必
有|x|=|y|,
所以p是q的必要不充分条件.
数学
(2)p:△ABC中,AB>AC,q:△ABC中,∠C>∠B.
(3)p:A⊆B,q:A∪B=B;
(4)p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等.
(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;
(2)p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|;
(3)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根;
(4)p:|x-1|>2,q:x<-1.
其中p是q的充要条件的有(
)
(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组
数学
2
2
解析:对(1),ab=0 指其中至少有一个为零,而 a +b =0 指两个都为零,因此 q⇒p,
腰三角形”是“△ABC是正三角形”的充要条件,因此选C.
数学
2.命题“实数的平方是非负数”的逆命题是
.
解析:“实数的平方是非负数”可以写为“若一个数是实数,则它的平
方是非负数”,因此其逆命题是:若一个数的平方是非负数,则这个数
是实数.
答案:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数
数学
3.一次函数y=kx+b(k≠0)过原点的充要条件是
2
但 p
q,p 是 q 的必要不充分条件;对(2),|x+y|=|x|+|y|⇔(|x+y|) =(|x|+
2
2
2
2
2
|y|) ⇔x +2xy+y =x +2|xy|+y ⇔xy=|xy|⇔xy≥0,所以 p 是 q 的充要条件;对(3),
充要条件课件
类型一 断
充分条件、必要条件、充要条件的判
[例1] 在下列各题中，判断A是B的什么条件，并 说明理由．
(1)A：|p|≥2，p∈R，B：方程x2＋px＋p＋3＝0有 实根；
(2)A：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切， B：c2＝(a2＋b2)r2.
[分析] A是条件，B是结论． 若A⇒B，则A是B的充分条件， 若B⇒A，则A是B的必要条件， 借助方程和不等式及解析几何的知识来判断．
类型二 充分、必要条件的传递性 [例2] 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条 件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ [分析] 解答此类题目最好根据题目叙述，画出关 系简图，进行解答．
[解] 根据题目叙述，画出p、q、r、s的结构简图 如图1所示．
[分析] (1)先分清条件和结论，然后证明充分性和 必要性．(2)本题中的条件是ac<0，结论是方程ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．(3)本题要借助于判别 式和根与系数的关系的相关知识来证明．
[解] 必要性：由于方程 ax2＋bx＋c＝0，有一 正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝ac<0，∴ac<0.
图1
(1)由图易知，s⇒r⇒q，且 q⇒s，∴s 是 q 的充 要条件．
(2)∵r⇒q，q⇒s⇒r，∴r 是 q 的充要条件．
(3)∵q⇒s⇒r⇒p，而 p⇒/ q，∴p 是 q 的必要不
充分条件．
类型三 充要条件的证明
[例3] 求证关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，(a≠0)有 一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[解] (1)先求必要条件： 当n＝1时，a1＝S1＝a＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1(a≠0，且a≠1)， ∵数列{an}为等比数列，∴公比为a，且a－1＝a＋ b. ∴b＝－1，即{an}是等比数列的必要条件是b＝－1.
充要条件
2.3充要条件明目标、知重点 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判断应该归结为判断命题的真假．充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．探究点一充要条件的判断思考已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数．请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？答p是q的充分条件，p是q的必要条件．小结p⇒q，故p是q的充分条件；又q⇒p，故p是q的必要条件．此时，我们说，p是q的充分必要条件．例1在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种)(1)p：λa＝0，q：λ＝0或a＝0；(其中，λ是实数，a是向量)(2)p：向量a＝(a1，a2)和b＝(b1，b2)平行，q：a1b2－a2b1＝0；(3)p：四边形是矩形，q：四边形是正方形；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．解(1)因为，λa＝0⇔λ＝0或a＝0，所以，p是q的充要条件．(2)因为，向量a＝(a1，a2)和b＝(b1，b2)平行⇔a1b2－a2b1＝0，所以，p是q的充要条件．(3)因为，四边形是正方形⇒四边形是矩形，但是“四边形是矩形”不能推出“四边形是正方形”，所以，p是q的必要不充分条件．(4)因为，“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p 是q 的既不充分又不必要条件． 反思与感悟 判断p 是q 的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．跟踪训练1 (1)a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( )A ．ab ＝0B ．ab >0C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>0 答案 D解析 a 2＋b 2>0，则a 、b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2>0.(2)x >2的一个必要不充分条件是__________；x ＋y >0的一个充分不必要条件是________________．答案 x >0 x >0且y >0(答案不惟一)(3)“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是___________________________________． 答案 a <－1解析 函数没有零点，即方程x 2－2x －a ＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a <0，解得a <－1.反之，若a <－1，则Δ<0，方程x 2－2x －a ＝0无实根，即函数没有零点．探究点二 有关充要条件的证明或求解思考 如何证明充要条件？答 分清充分性和必要性．例2 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2.证明 必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤14，(x 1＋x 2)－2>0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤14，－(2k －1)－2>0，k 2＋(2k －1)＋1>0，解得k <－2.充分性：当k <－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k >0.设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2.则(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝k 2＋2k －1＋1＝k (k ＋2)>0.又(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2＝－(2k －1)－2＝－2k －1>0，∴x 1－1>0，x 2－1>0.∴x 1>1，x 2>1.综上可知，方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根的充要条件为k <－2.反思与感悟 一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .跟踪训练2 求关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解 ①当a ＝0时，解得x ＝－1，满足条件；②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1a >0，－1a <0，Δ＝1－4a ≥0⇒0<a ≤14. 综上，若方程至少有一个负的实根，则a ≤14. 反之，若a ≤14，则方程至少有一个负的实根． 因此，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤14.1．“x 2>2013”是“x 2>2012”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由于“x 2>2013”时，一定有“x 2>2012”，反之不成立，所以“x 2>2013”是“x 2>2012”的充分不必要条件．2．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 {a n }为等比数列，a n ＝a 1·q n －1，由a 1<a 2<a 3，得a 1<a 1q <a 1q 2，即a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1，则数列{a n }为递增数列．反之也成立．3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1答案 A解析 当m ＝－2时，f (x )＝x 2－2x ＋1，其图像关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.4．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x .又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.[呈重点、现规律]1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①p 是q 的充要条件，则由p ⇒q 证的是充分性，由q ⇒p 证的是必要性；②p 的充要条件是q ，则p ⇒q 证的是必要性，由q ⇒p 证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．一、基础过关1．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当x ，y 均为奇数时，一定可以得到x ＋y 为偶数；但当x ＋y 为偶数时，不一定必有x ，y 均为奇数，也可能x ，y 均为偶数．2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a ＋b ＝0时，得a ＝－b ，所以a ∥b ，但若a ∥b ，不一定有a ＋b ＝0.3．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 不等式2x 2＋x －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12或x <－1， 故由x >12⇒2x 2＋x －1>0， 但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12，故选A. 4．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α答案 D解析 当满足A 、B 、C 三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D 符合．5．设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的________条件．答案 充要解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |.6．在△ABC 中，“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC →<0”的________条件．答案 必要不充分解析 当△ABC 为钝角三角形时，角A ，B ，C 中的任何一个角都有可能是钝角，不一定有AB →·AC →<0；但当AB →·AC →<0时，A 为钝角，△ABC 一定是钝角三角形．7．已知p ：ab ≠0，a ＋b ＝1；q ：ab ≠0，a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.求证：p 是q 的充要条件．证明 ①先证充分性成立．∵ab ≠0，a ＋b ＝1，∴b ＝1－a .∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.②再证必要性成立．∵ab≠0，∴a≠0且b≠0.∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0.∴(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0.∵a2－ab＋b2≠0，∴a＋b＝1.由①②知，p是q的充要条件．二、能力提升8．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以为x2<1的充分条件的所有序号为________．答案②③④解析由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．10．给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案 ①②③解析 ①否命题：若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，真命题； ②逆命题：若△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝CA ，真命题；③因为命题“若a >b >0，则3a >3b >0”是真命题，故其逆否命题为真；④逆命题：若mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1，假命题，因为⎩⎪⎨⎪⎧m >0，[－2(m ＋1)]2－4m (m －3)<0，得m ∈∅. 所以应填①②③.11．已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．答案 [0，12] 解析 由(x －a )(x －a －1)＜0得a ≤x ≤a ＋1，而p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，，得0≤a ≤12. 12．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根)∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0.∴方程一定有两不等实根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a<0，∴方程的两根异号． 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac <0)∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，设为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0， 综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.三、探究与拓展13．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，“xy≥0”是“等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立”的充要条件．。
高中数学充要条件知识点总结
稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊高中数学里的充要条件，这可是个挺重要的知识点哟！啥是充要条件呢？简单说就是如果能从 A 推出 B，又能从 B 推出 A，那 A 和 B 之间的关系就是充要条件啦。
比如说，一个三角形是等边三角形，那它的三个角一定都相等；反过来，如果一个三角形的三个角都相等，那它肯定是等边三角形。
这里边等边三角形和三个角相等就是充要条件。
充要条件在解题的时候可有用啦！有时候题目会让咱们判断两个条件之间是不是充要的，这就得仔细分析啦。
像判断函数的奇偶性，就会用到充要条件的知识。
如果一个函数满足 f(x) = f(x) ，那它就是偶函数；反过来，如果一个函数是偶函数，那一定满足 f(x) = f(x) ，这就是充要条件哟。
还有不等式的证明里，也常常会出现充要条件的影子。
总之呀，充要条件这个知识点虽然有点绕，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就一定能掌握好哒！加油哦小伙伴们！稿子二嗨喽，同学们！今天咱们一起唠唠高中数学的充要条件哈。
充要条件呢，就像是一对好兄弟，谁也离不开谁。
比如说，直线垂直于平面的充要条件是直线垂直于平面内的两条相交直线。
再举个例子，两个三角形全等的充要条件是它们的三条边和三个角都对应相等。
是不是还挺好理解的？在做题的时候，一定要分清楚啥是充分条件，啥是必要条件，啥又是充要条件。
可别弄混了哟！有的题目会故意设陷阱，就看咱们能不能识破啦。
比如说，给咱们一个条件，让咱们判断是不是能推出另一个条件，这时候就得小心谨慎。
还有哦，充要条件在方程、几何这些地方都经常出现。
像判断两个圆的位置关系，也会用到相关的充要条件呢。
充要条件 课件
类型 2 充分不必要条件、必要不充分条件的应用(互 动探究)
[典例 2] 已知条件 p：A＝{x|Байду номын сангаас2－(a＋1)x＋a≤0}， 条件 q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}．
(1)当 a 为何值时，p 是 q 的充分不必要条件？ (2)当 a 为何值时，p 是 q 的必要不充分条件？ (3)当 a 为何值时，p 是 q 的充要条件．
解：因为 A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0|＝{x|(x－1)(x－ a)≤0}，B＝{x|x2－3x＋2≤0}＝[1，2]．
(1)因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A B，而当 a＝1 时，A＝{1}，显然成立，当 a>1，A＝[1，a]，需 1<a<2， 综上可知 1≤a<2 时，p 是 q 的充分不必要条件．
综上可知：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和 一负根的充要条件是 ac＜0.(12 分)
归纳升华 1．有关充要条件的证明问题，证明时要分两个环节： 一是证充分性，二是证必要性．要搞清它的叙述格式，避 免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充 分性证． 2．证明充要条件问题，若直接证明困难，则可先根 据命题之间的关系进行等价转换，再加以证明．
类型 3 充要条件的证明(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)求证：一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0 有一正根和一负根的充要条件是 ac＜0. 审题指导：解答本题可先确定 p 和 q，然后再分充分 性(由 ac＜0 推证方程有一正根和一负根)和必要性(由方 程有一正根和一负根推证 ac＜0)进行证明．
类型 1 充要条件的判断(自主研析)
[典例 1] 下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？ (1)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (2)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c； (3)p：x＞5，q：x＞10； (4)p：a＞b，q：a2＞b2.
充要条件概念讲解
充要条件概念讲解
充要条件是逻辑学中的重要概念，它描述的是一个事件（即“结论”）和达成这个事件所需要的一个条件（即“前提”）之间的关系。
如果存在一个事件Q，当且仅当某个条件P存在时发生，则称P是Q的充要条件。
简单来说，充要条件意味着一个条件既是另一个条件的必要也是充分条件。
在逻辑上，如果P是Q的充要条件，那么Q也是P的充要条件。
这意味着没有P就没有Q，没有Q就没有P。
例如，如果一个三角形是等边三角形，那么它的每个角都是60度。
在这种情况下，“每个角都是60度”是“三角形是等边三角形”的充要条件，因为如果一个三角形的每个角都是60度，那么它一定是等边三角形，反之亦然。
此外，根据充分必要条件的定义，如果P是Q的充要条件，那么非P就是非Q的充要条件。
例如，如果“一个人是健康的”是“他能长寿”的充要条件，那么“一个人不是健康的”就是“他不能长寿”的充要条件。
以上内容仅供参考，如需更专业的解释，可查阅逻辑学相关书籍或咨询逻辑学专业人士。
充要条件ppt课件
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
(3)： > 0，：�� > 0， > 0；
(4)： = 1是一元二次方程 2 + + = 0的一个根，： + + = 0( ≠ 0).
解： (2)， (4)
由(1)(2)可得，d = r是直线l与⊙ O相切的充要条件.
练习巩固
练习1.已知.(多选)下列各题中，p是q的充要条件的有( ).
.p: a ≠ 0，q: y = ax 2 + bx + c为二次函数
.p: x < 0，y < 0，q: xy > 0
.p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直平分
证明：假设：方程ax 2 + bx + c = 0有一个根是1，：a + b + c = 0.
证明p ⇒ q，即证明必要性：
∵x = 1是方程ax 2 + bx + c = 0的根，
∴a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = 0，即a + b + c = 0.
再证明q ⇒ p，即证明充分性：
由a + b + c = 0，得c = −a − b.
2
. ≥ 0
【答案】
. < 0或 > 2
. ∈ {－1,3,5}
1
2
. ≤ － 或 ≥ 3
练习巩固
练习2.已知p: 1 ≤ x ≤ a(a ≥ 1)，q: 1 ≤ x ≤ 2.
(1)当a为何值时，p是q的充要条件？
解：(1)∵p是q的充要条件，
充要条件教材
充要条件教材
充要条件是数学中一个重要的概念，在逻辑学和集合论中也有应用。
它是一种逻辑关系，用来描述一个事件或命题是否必须在另一个事件或命题发生之前发生。
1. 充要条件的定义
充要条件是指一个事物或命题必然发生的必要条件，同时也是该事物或命题发生的充分条件。
用符号表示为"如果且仅如果"，即可以写成"p⇔q"。
2. 充要条件的例子
以下是一些充要条件的例子：
2.1. 数学例子
- 如果一个自然数是偶数，那么它能被2整除（充要条件）。
- 如果一个三角形的三条边长满足三角不等式，那么它是一个
可行的三角形（充要条件）。
2.2. 逻辑学例子
- 如果一个命题为真，则其否定为假，如果一个命题为假，则
其否定为真（充要条件）。
2.3. 集合论例子
- 如果一个元素属于某个集合，那么它满足该集合的定义条件（充要条件）。
3. 充要条件的应用
充要条件在数学证明、逻辑推理和问题解决中都有广泛的应用。
通过确定充要条件，我们可以更好地理解问题的本质和逻辑关系，
从而提供更有效的解决方法。
4. 总结
充要条件是一个重要的数学概念，用来描述事件或命题之间的必要性和充分性关系。
它在数学、逻辑学和集合论中都有重要的应用。
通过熟练掌握充要条件的概念和应用，我们可以提高问题解决的效率和准确性。
充要条件总结
充要条件总结
充要条件，也被称为充分必要条件，是逻辑和数学中的一个重要概念。
它描述的是一种特定的关系，即某一事件或状态的出现，只有在另一个事件或状态同样出现的情况下才会发生。
如果一个条件是另一个条件的充要条件，那么满足这个条件既是事件发生的必要条件，也是充分条件。
充要条件的特性使得它成为一种强大的工具，可以用来理解、分析和解释各种复杂的现象和过程。
例如，在数学中，我们可以使用充要条件来理解函数的单调性、可导性等性质。
在物理学中，我们可以使用充要条件来描述物体的运动状态和力的关系。
在逻辑命题中，充要条件的概念尤为重要。
一个逻辑命题的前件和后件之间的关系，可以通过充要条件来描述。
例如，如果我们说“如果下雨，那么地面会湿润”，那么“下雨”就是“地面湿润”的充分条件，“地面湿润”就是“下雨”的必要条件。
总的来说，充要条件是一种强大的工具，可以帮助我们理解和解释各种现象和过程。
它是逻辑和数学中的重要概念，也是我们理解和分析现实世界的重要工具。
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探 究
某班级有50名学生,其中团员有35名.甲同学 要当选团支部书记,必须具备什么条件?
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1. 充分条件、必要条件
一般地 , 若命题“如果 p, 那么 q ”是正确的 , 即 p⇒q, 那 么我们就说p是q的充分条件,或q是p的必要条件.
例如,命题“如果x=1,那么x2=1”是正确的,即
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作 业
必做 选做
课本第68页 第1、2题
练习册§2.5 充要条件
预习
§3.1 不等式的基本性质
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再 见
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(2)p：m为无理数;q：m为实数.
(3)p：A∪B=A； q：B⊆A. .
ห้องสมุดไป่ตู้
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3.设p是q的充要条件 ,r是 q的充分而不必要条件 , 则p是r的( ) A.充分而不必要条件 C. 充要条件 件
.
B.必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条
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归纳小结
1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要
.
的三个角相等.
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解 (1)命题“如果a=b,那么|a|=|b|”是正确的,所以“如 果p,那么q”是真命题,即p⇒q,因此p是q的充分条件,q是p 的必要条件. (2)命题“如果三角形的三条边相等,那么三角形的三
. 个角相等”是正确的 ,所以“如果p,那么q”是真命题,即
p⇒q,因此p是q的充分条件,q是p的必要条件.
条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包括两种 可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件. 2.关于充要条件的命题，一般分充分性和必要性两个方面 进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就 是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是 求结论成立的充要条件. 在判断p是q的什么条件时，要“正 逆互推，注意特例”.
. x=1⇒x2=1,因此 ,“x=1”是“x2=1”的充分条件；“x2=1”
是“x=1”的必要条件.
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例 题
例1 用“充分条件”或“必要条件”填空：
(1)由于命题“如果a是有理数,那么a是实数”是
正确的,因此“a是有理数”是“a是实数”的______, “a是实数”是“a是有理数”的______. (2)由于命题“梯形一组对边平行”是正确的,因
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思考交流
根据例2中两组条件,判断命题“如果
q,那么p”是否是真命题.若是真命题,请
指出p是q的什么条件,q是p的什么条件.
.
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巩固知识 练 习
1.用“充分条件”或“必要条件”填空： (1)由于命题“如果x>5,那么x>3”是正确的,因此“x>5”是 “x>3”的______,“x>3”是“x>5”的______. (2)由于命题“正方形是平行四边形”是正确的,因此“四边
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问题解决
已知p是q的充分而不必要条件,q 是s的充要
条件,试问：p是s的什么条件?
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巩固知识
练 习
1.用符号“⇒”“⇐”或“⇔”填空： (1)x>0且y>0 _____xy>0； (2)ab=0_____ a=0； (3)x2=4 _____x=±2.
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2.下列各组条件中,p是q的什么条件? (1)p：四边形四边相等;q：四边形为正方形.
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探 究
“两直线平行”是“内错角相等”的什么条件?
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2. 充要条件
一般地, 若 p既是 q 的充分条件 ,又是 q 的必要条件 , 我们 就说p是q的充分必要条件 , 简称充要条件 ,也称 p与q 是等价 的,或称p等价于q,记作p⇔q.
. 例如,“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相
形是平行四边形” 是“四边形是正方形”的______,“四边
形是正方形”是“四边形是平行四边形”的______.
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2. 下列各组条件中,“如果 p, 那么q”是否是真命题 ?
若是真命题,请指出p是q的什么条件 ,q是p的什么条件. (1)p：a=2,b=3；q：a+b=5. (2)p：x-1=0；q：x2-1=0. (3)p：a和 b都是偶数；q：a+b是偶数. . (4)p：x是2的倍数；q：x是6的倍数.
. 此“四边形一组对边平行”是“四边形是梯形”的
______,“四边形是梯形”是“四边形一组对边平行”
的______. 解 (1)充分条件,必要条件；(2)必要条件,充分条件.
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例2 根据下列各组条件,判断命题“如果p,
那么q”是否是真命题 . 若是真命题 , 请指出 p
是q的什么条件,q是p的什么条件. (1)p：a=b；q：|a|=|b|. (2)p ：三角形的三条边相等； q ：三角形
等”的充要条件.
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例 题
例3 下列各组条件中,p是q的什么条件?
(1)p：x-2=0；q：(x-2)(x-3)=0.
(2)p：a=b；q：a-b=0. (3)p：x>3；q：x>5. (4)p ：△ ABC 中,∠C= 90 °； q ：△ ABC 中,a2+b2=c2.
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解 (1) p⇒q,但q⇒p,故p是q的充分而不必要条件； (2) p⇒q,且q⇒p,故p是q的充要条件； (3) p⇒q,但q⇒p,故p是q的必要而不充分条件； (4) p . ⇒q,且q⇒p,故p是q的充要条件.