粒子出现的概率分布如果势阱不是无限深共22页文档
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
势阱中的粒子
由此解得最大值得位置为 例如
n = 1, N = 0 n = 2 , N = 0 , 1,
最大值位置 最大值位置
x= Hale Waihona Puke a 23 x= 1a,4a 4
n = 3 , N = 0 ,1, 2 , 最大值位置
3 x = 1 a , 6 a, 5 a, 6 6
可见，概率密度最大值的数目和量子数 相等 相等。 可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
T=
ψ3 (a)
A
2
2
≈e
−2 a 2m(U0 −E) h
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
三、谐振子
谐振子的势能为
薛定谔方程为
1 2 1 2 2 U = kx = mω x 2 2 2 d ψ 2m 1 2 2 + 2 (E − mω x )ψ = 0 2 dx h 2
例题2试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 例题 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的 位置。 位置。 解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 φn (n) = a sin2 nπ x a 2
n = 1,2,3,L
将上式对x求导一次， 将上式对 求导一次，并令它等于零 求导一次
d φn ( x ) dx
0 U(x) = ∞
0< x <a
x ≤ 0, x ≥ a
∞
∞
o
a
x
dU(x) 保守力与势能之间的关系： 保守力与势能之间的关系： F = − dx 在势阱边界处，粒子要受到无限大、 在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的 表明粒子不能越出势阱, 力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概 率为0 率为0。 势阱内的一维定态薛定谔方程为 薛定谔方程为： 势阱内的一维定态薛定谔方程为：
量子力学中的无限深势阱问题
量子力学中的无限深势阱问题量子力学是描述微观世界的物理学理论，它在解释和预测微观粒子行为方面具有重要的作用。
其中，无限深势阱问题是量子力学中的一个经典问题，它帮助我们理解波函数的性质以及粒子在势场中的行为。
无限深势阱问题是指一个粒子被限制在一个势能在某个区域内为无限大，在区域外为零的势场中运动。
这个问题可以用一维的情况来描述，假设势阱的宽度为L，那么势阱内的势能函数可以表示为：V(x) = 0, 0 < x < LV(x) = ∞, x < 0 或者 x > L在经典力学中，粒子在势场中的运动是由牛顿第二定律描述的，而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。
波函数是量子力学中的基本概念，它是一个复数函数，可以用来描述粒子的位置和动量。
对于无限深势阱问题，我们可以使用定态薛定谔方程来求解。
定态薛定谔方程可以表示为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)其中ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ψ(x)是粒子的波函数。
在势阱内部，势能V(x)为零，因此定态薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² = Eψ(x)这是一个简化的定态薛定谔方程，可以通过求解这个方程来得到粒子在势阱内部的波函数。
根据边界条件，当x=0或者x=L时，势能V(x)为无穷大，因此波函数必须为零。
这意味着在势阱的两个边界处，波函数的值为零。
根据上述条件，我们可以得到波函数的一般形式为：ψ(x) = A * sin(kx)其中A是归一化常数，k是波数，可以通过边界条件来确定。
当x=0时，波函数为零，因此有sin(0) = 0，这意味着kx = 0，即k = 0。
当x=L时，波函数为零，因此有sin(kL) = 0，这意味着kL = nπ，其中n是一个整数。
通过边界条件，我们可以得到k的取值为：k = nπ/L由于波函数必须是归一化的，我们可以通过归一化条件来确定归一化常数A。
量子力学习题集(NJU)
h ¯ k2
Note:
∫
∞
−∞
[ ( )] dx exp − α2 x2 + iβx + iγx2 =
(
π α2 + iγ
)1/2
−β 2 (α2 − iγ ) exp 4 (α4 + γ 2 )
[
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; V (x) = ∞, 其它情况. 求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。 参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为 ψ (x, y ) = 0. 在势井内部，定态薛定谔方程为 h ¯2 2 h ¯2 ∂2 ∂2 − ∇ ψ (x, y ) = − ( 2 + 2 )ψ (x, y ) = Eψ (x, y ). 2µ 2µ ∂x ∂y 这里，µ为粒子质量。做变量分离 ψ (x, y ) = f (x)g (y ), 我们有 其中，c > 0。 求解上面两个方程，我们有 f (x) = α eikx x + α e−ikx x , 1 2 g (y ) = β1 eiky y + β2 e−iky y ,
b
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
2 2
4
h ¯ 2 π 2 n2 . 2ma2
于是， 1 ψ (x, 0) = √ [ψ1 (x) + eiϕ ψ2 (x)]. 2 (2) 1 h h ψ (x, t) = √ [ψ1 (x)e−iE1 t/¯ + eiϕ ψ2 (x)e−iE2 t/¯ ]. 2 |ψ (x, t)|2 = ψ ∗ (x, t)ψ (x, t) E1 − E2 1 2 2 (x) + ψ2 (x) + 2ψ1 (x)ψ2 (x) cos(ϕ + t)]. = [ψ1 2 h ¯ (3) ∫ ⟨x ˆ⟩ = 利用， ∫
27-2 无限深方势阱中的粒子
1( x)
O
E1
n1
1 2a a
O
a
27-2 无限深方势阱中的粒子
第二十七章 薛定谔方程
三
对应原理
在某些极限的条件下，量子规律可以 转化为经典规律 . 能量
En n
2
2 2
2ma
2
, (n 1,2,3,)
势阱中相邻能级之差
E En1 En (2n 1)
0
得
A 2 a
•本征函数
2 n n sin x a a
( n 1,2,3,)
27-2 无限深方势阱中的粒子
第二十七章 薛定谔方程
•本征函数
2 n n sin x a a
i En t
i Ent
( n 1,2,3,)
i En t
定态波函数（考虑到振动因子 (t ) e
2
(n 1,2,3,)
n E1
2
27-2 无限深方势阱中的粒子
第二十七章 薛定谔方程
质子的基态能量
E1
2
(n 1)
2 2
2m p a
2
3.3 10
13
(J)
质子的第一激发态能量 (n 2)
E2 2 E1 13.2 10
放出的能量
13
(J)
E E2 E1 9.9 10 (J) 6 6.19 10 (eV) 6.19(MeV)
2 2
2 ( x) 2 ( x ) E 2 ( x ) 2 2m x E
根据波函数有限的条件
E p
量子力学基础知识_图文
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的， 我们可以把电子的能级看作是连续的。 当a=10-10m时
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的， 这时电子能量的量子化就明显的表现出来。
加速电压U=102V 电子准直直径为0向弥散可以忽略，轨道有意义。 宏观现象中
可看成经典粒子，从而可使用轨道概念。
讨论
1) 从量子过渡到经典的物理条件 如粒子的活动线度>> h
如例2所示的电子在示波管中的运动， 这时将电子看做经典粒子。
2) 微观粒子的力学量的不确定性 意味着物理量与其不确定量的数量级相同， 即P与P量级相同，r与r量级相同， 如例1所示的原子中运动的电子。
看到“冬虫夏草”这 个名字，许多人都会感到 奇怪；冬天还是动物，怎 么夏天又变成了植物呢？ 自然界的变化，奥妙无穷 ，世界上就有这种一身兼 动物、植物的奇特生物。 冬天的形状完全是虫，夏 天的形状又象是草，所以 取了这么一个形象生动的 名字--冬虫夏草。
§22－4 薛定谔方程
1. 薛定谔方程的引入
例 估算一些物理量的量级: 估算 H 原子的轨道半径r;
H原子最稳定的半径 ——玻尔半径。
解 设H原子半径为r, 则电子活动范围 由不确定关系
假设核静止 按非相对论 ,电子能量为
代入
得
最稳定，即能量最低
得
Å
一张有趣的图片 少女还是老妇？ 两种图象不会同 时出现在你的视 觉中。
“冬虫夏草” -
是虫还是草 ？
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。
德布罗意公式
注意
1）若
则
若
则
2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测 量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性。
19-7-8波函数_薛定谔方程
( x )e
* 2
i Et
( x ) ( x ) | ( x ) |
要求波函数Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数 ( x )的模方。
建立关于振幅函数 ( x ) 的方程 ——振幅方程
振幅函数
( x ) Ψ 0e
2
i px x
i px x d ( x ) i i pxΨ 0e p x ( x ) dx
18
§19.8 一、
薛定谔方程应用举例 (一维问题) 一维无限深势阱
模型的建立：是微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题的简化模型。 例如： 金属中自由电子
U
受规则排列的晶格点阵作用 简 相互碰撞 (简化：交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 可解释金属导热、导电、顺磁性…...
2 *
• t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 • t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率－概率密度。
• t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
8
注意
1） 物质波的波函数不表示任何实在物理量的波动， 不描述介质中运动状态（相位）传播的过程。
20
得本问题中的薛定谔方程:
0<x<a
U
d 2m 2 E 0 2 dx
2
x 0, x a
d2 2m 2 E 0 2 dx
o
a
x
0
（粒子不能逸出势阱）
21
2. 由
求解波函数
d 2 2mE 0 2 2 dx
第三章 一维势场中的粒子 讲义 2
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
基态时，波函数无节点
Fang Jun
第11页
当粒子能量增加时，在|x|>a/2， ψ(x)的曲率减小。|x|<a/2时， ψ(x) 的振荡加快。在某个能量E处， ψ(x) 在|x|<a/2内经历一次振荡，并出现一 个节点，并且能与外面波函数光滑衔 接上，外面解不发散。此时出现第一 激发态，有一个节点。 继续下去，可以得出：只当粒子能量 取某些离散值的时候，相应的波函数 才满足束缚态边界条件。这些能量值
设粒子从左方射向势垒。如能量 E<V0 ， 则按经典力学，粒子必定要在x=0面被反 射回去。如 E>V0 ，则粒子将穿过势垒。 但从量子力学观点看，考虑到粒子的波动 性，此问题与波碰到一层厚度为a的介质 相似，有一部分波透过，一部分波被反射 回去。
因此，按波函数的统计解 释，无论粒子能量 E<V0 ， 或是E>V0，都有一定几率 穿透势垒，也有一定几率 被反射回去。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第25页
由于
尽管ψ’在x=0点不连续，但粒子流密度连续。
可见：从流密度的连续性不能得出Ψ′的连续性。 问题在于:流密度公式中含有互为复共轭的两项，尽管Ψ′不连续， 但两项相减后就抵消了。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第28页
B. 奇宇称态
波函数应表为
3.3.3
δ势与方势的关系，
Ψ′跃变条件
δ势常作为一种理想的短程作用来讨
第二章一维无限势阱模型
Hˆ(r) E(r)
E是不依赖r和t的常数
i df Ef
f (t) C exp[iEt / ]
dt
体系处于
(r,t)
(r)
exp[
iEt
/
]
所描写的状态时
能量有确定的值，称这种状态为定态
在分离变量过程中引入的常数 E 为粒子的能量
(r,t) (r) exp[iEt / ] 定态波函数
1 一维线性谐振子 如果粒子的势能具有如下形式 U (x) 1 m 2 x2
2
这样绕平衡位置做周期性振动的粒子称为一维线性谐振子
➢ 任何在平衡位置附近的微振动(三维振动)都可以分解成 几个独立的一维谐振子
➢ 固体中原子的振动可以用这种模型近似地研究
➢ 晶体中格点的振动、分子与分子间的互作用势、核子之 间的核力势等等都可近似为线性谐振子问题
• 在粒子能量E<<U0时的情况下，透射系数不为零经典理论无 法解释。
入射波＋反射波
U(x)
透射波
x
隧道效应的实质
1 隧道效应
• 粒子能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 • 类似一列火车通过隧道穿过山峰，这里不存在有形的山峰， 只存在一条无形的势垒曲线
2 原因
微观粒子具有波动、粒子二象性；波原则上可以透过不同物理 性质的两空间的界面，例如，光波的透射
1 0
由定态波函数的边界条件
x a
(U )
1(a) 2 (a),1(a) 2 (a)
4 薛定谔方程的解
首先，引入符号
定态薛氏方程化为
2mE 2
1/ 2
d 2(x) 2(x) 0
dx 2
它的解为
2 Asin x B cosx
大学物理 薛定谔方程
令: 根据波函数的连续性:
归一化后:
——能量量子化
1. 能量量子化和定态波函数
基态 n >1 激发态
E3 32 E1
E2 22 E1 E1
0 波函数 a x
2.粒子在势阱内出现概率密度分布
经典观点： 粒子在0到 a 范围内出现概率处处相等。
量子观点： Ψ (x) 2 2 sin 2(n x)
sin n 1
4
n (2k 1)
4
2
n = 2，6，10，··· 等量子态。
§27.3 势垒穿透*
1. “半无限深方势阱”中的粒子。势阱的势能函数：
势能函数
∞
U ( x ) = ∞ x < 0 （Ⅰ区 ） U
U ( x ) = 0 0≤ x ≤ a （Ⅱ区） U ( x ) = U0 x > a （Ⅲ区） Uo
x < 0 区域∵U (x) = ∞
Ｅ
0 < x < a 区域∵ U (x) = 0 0
令
ax
x > a 区域∵ U (x) =U0
令:
根据波函数的连续、有界条件则D=0。
粒 子 的 波 函 数 和 概 率 密 度
0
2.势垒穿透
经典理论： 1.E >U0的粒子， 能越过。
2.E <U0的粒子，不能越过。 量子理论：
1.E > U0 的粒子，也存在被 弹回的概率 —— 反射波。
2.E < U0 的粒子，也可能 越过势垒到达另一区—— 隧道效应。
U U0 势
垒
Oa
隧道效应
3.越过势垒的概率与下式成正比：
扫描隧道显微镜(STM)
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题在量子力学中，无限深方势阱问题是一个简化理想化的问题。
无限正方形势阱是有限大小的正方形势阱。
井内电势为0，井外电势无穷大。
在阱中，粒子可以不受任何力地自由移动。
但是阱壁无限高，粒子完全被约束在阱里。
通过 schr\ddot{o}dinger 方程的解答，明确地呈现出某些量子行为，这些量子行为与实验的结果相符合，然而，与经典力学的理论预测有很大的冲突。
特别令人注目的是，这些量子行为是自然地从边界条件产生的，而非人为勉强添加产生的。
这解答干净利落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；无限深方势阱问题的粒子的量子行为包括：1.能量的量子化:粒子量子态的本征函数，伴随的能量不是任意的，而只是离散能级谱中的一个能级。
2.基态能量:一个粒子允许的最小能级，称为基态能量，不为零。
3.节点:与经典力学相反，薛定谔方程预言了节点的存在。
这意味着在陷阱的某个地方，发现粒子的概率为零。
这个问题再简单，也能因为能完整分析其薛定谔方程，而导致对量子力学更深入的理解。
其实这个问题也很重要。
无限深正方形势阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统，例如直的极细纳米线中导电电子的量子行为。
为了简化问题，本文从一维问题出发，讨论了粒子只在一维空间中运动的问题。
一个粒子束缚于一维无限深方势阱内，阱宽为 l 。
势阱内位势为0，势阱外位势为无限大。
粒子只能移动于束缚的方向（ x 方向）。
一维无限深方势阱的本征函数 \psi_{n} 于本征值 e_{n} 分别为\psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{n\pi x}{l})e_{n}=\frac{n^2 h^2}{8ml^2}其中， n 是正值的整数， h 是普朗克常数， m 是粒子质量。
一维不含时薛定谔方程可以表达为-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+v(x)\psi(x)= e\psi(x)其中， \psi(x) 是复值的、不含时的波函数， v(x) 是跟位置有关的位势， e 是正值的能量。
量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
| n |2 dx 1
A2 a sin2 nπ xdx A2 a 1 (1 cos 2n x)dx A2 a 1
0
a
02
a
2
因此
可见：波函数的归一化常数与能级的级
A 2 / a 次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。
波函 数为
n (x)
2 sin nπ x aa
概率密 度为
|
n (x)
E
0(0
≤
x
≤
a)
设 k
2mE / h
方程可 简化为ຫໍສະໝຸດ d2dx2k 20
O
x a
其通解为ψ(x) = Asinkx + Bcoskx， 波函数为ψ(x) = Asinkx。
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
量子数n也是波腹的个数， 波腹之间有n - 1个波节。
粒子的波函数的模方就是概 率密度，其高度表示能级。
在两壁处，概率密度恒为零， 表示此处不会出现粒子。
当量子数n = 1时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数n = 2时，有两 个地方出现粒子的概率密度最大。
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
所以定态波函数ψ(x) = 0 (x > a，x < 0)。
粒子在阱内定戊波函 数的薛定谔方程为
h2 2m
一维定态问题无限深方势阱
u(x)
2
=
2
sin 2
nπ
a a
0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
概率分布不均匀，存在概率为零的节点。 但：概率分布不随时间变化！
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(3) 束缚在势阱中的粒子的能量是量子化的
=E
E=n
π2 2
2ma2
n2 ,
平均值
∫ = E
+∞
ψ
−∞
*
(r
,
t
)
−
2
2m
∇2
+V
(r,t) ψ
(r , t )dτ
总能能算符：
Hˆ
=−
2
∇2
+V
(r,t)
pˆ 2 =
+V (r,t)
2m
2m
称为粒子的哈密顿算符。
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
含时薛定谔方程：
i
∂ψ
∂t
=
−
2
2m
∇2
+ V (r,t) ψ
(1) 粒子的位置 r
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
2
∇2 2m
+ V (r,t)ψ
第17讲 一维无限深方势阱中的粒子
近代物理第五周学习内容第17讲一维无限深方势阱中的粒子第18讲一维方势垒势垒贯穿第19讲简谐振子第20讲氢原子第21讲电子自旋)()()()(r E r r U r mψψψ=+∇-222定态薛定谔方程2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇定态薛定谔方程的应用定态条件：U = U (x ，y ，z )不随时间变化。
(1) 一维自由运动微观粒子 U = 0(2) 一维无限深势阱中粒子 (3) 谐振子 22222x m kx x U ω==)((4) 氢原子rer U 02π4ε-=)(⎩⎨⎧≥≤∞<<=a x x ax x U 0 0 0，)(结论一维无限深方势阱中粒子氢原子 (1) 能量量子化谐振子 )( 2 1 0 21，，，=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n h n E n ν)()( 3 2 1 eV 6.132，，，=-=n nE n )( 3 2 1 2π2222，，，==n n maE n一维无限深方势阱中粒子谐振子氢原子E a xE 1 n = 1 4E 1 n = 29E 1n = 30 E n (eV )r-13.6-3.4 -1.5 E 0E 4 E 3 E 1 E 2 ωE2ω (2) 能级分布图(3)一维无限深方势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。
λn n=a2(4)能级跃迁从基态跃迁到激发态时，所需能量称为激发能。
第17讲一维无限深方势阱中的粒子[Q5.17.1] (1) 质量为 m 的粒子处在宽度为 L 的一维无限深势阱中，它的解为定态波函数，试应用薛定谔方程，求该粒子在这势阱中的能量表达式。
(2) 当该粒子在势阱中处在基态时，试求发现粒子处在 x = L /4 到 x = L /2 之间的概率 P 。
Lxn A x πsin =)(ψ解：(1) 由定态薛定谔方程 将 代入，整理后可得 Lxn A x πsin=)(ψLxn EA L x n A L n m πsin πsinπ222=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ψψE xm =-222d d 2 22π2⎪⎭⎫ ⎝⎛=L n m E解：(2) 由归一化条件 所求概率为1d πsin 022=⎰⎪⎭⎫⎝⎛Lx L x n A 得LA 2=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=242d πsin 2L L x L x LP π2141+=41.0=[Q5.17.2] 设有一电子在宽为 0.20 nm 的一维无限深的方势阱中。
一维无限深势阱内粒子的动量概率分布
一维无限深势阱内粒子的动量概率分布
，
马尔科夫显示处形状在单维无限深势阱内粒子的动量分布经历严格拟合，这种
情况中粒子主要由1个或2个谱线构成，由于不同参数选择，可以得出不同时间尺度上粒子扩散情况，比如过冷状态下的低和高温梯度；另外，模拟单维无限深势阱内粒子的动量概率分布，也可以获得动量的散射函数。
模拟常数的参数可以使用拉格朗日分布函数方程以及离散散射函数这两种方式，它们使得计算可以进行，但从通常意义上，第一种方法更方便。
在这两种方法中，有可能会得到不同的散射函数和概率分布，这可以使用数值方法进行估计。
另外，研究表明，当动量深度势阱的单维半宽小于某一阈值时，动量分布可以
用高斯函数拟合，使粒子近似地分布在固定的状态下。
而当半宽大于阈值时，动量概率的分布便不会改变，可以看出，半宽对粒子的分布影响比较大，因为可以用半宽来调节动量分布。
另一方面，根据实验结果，在动量深度势阱内，动量概率分布与拉格朗日标准分布函数的偏度具有正相关性。
总之，单维无限深势阱内粒子的动量概率分布是一个复杂的问题，表征困难度
较高。
它的实验和数值模拟的过程均相当复杂，并且与参数调节有关，其计算过程也很复杂。
不过，通过所有的模拟实验可以探究单维无限深势阱内粒子的动量分布。
大学物理教程12.4 一维无限深势阱中的粒子
解 由波函数可知，粒子处在宽度为L的势阱中，将波 函数代入薛定谔方程
（1）当n=1时，对应基态的能量为 E1 2 2mL 25 E5 5 E1 2 2mL
2
第12章 量子力学基础
2
当n=5时为第4激发态，对应的能量为
2
12.4 一维无限深势阱中的粒子
（2）波函数的模平方即粒子的几率密度为
12.4 一维无限深势阱中的粒子
步骤： 确定粒子的哈密顿量；
在全空间写出粒子的能量本征方程； 利用波函数的自然条件确定确定能量本征值 和波函数。
处理的问题：
势阱中的粒子——粒子被束缚在某势场中；
势垒对粒子的散射——自由粒子入射到某势 场中。
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
0
V=0
∞
L
该方程的解只能是： x
e ( x) 0
（2）
无限深方势阱
波函数在阱壁上的连续条件、本征能量
i (0) e (0) 0 i ( L) e ( L) 0
（3） （4）
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
Φi ( x) C sin(kx ) i (0) e (0) 0
( x)dx
( x) dx 1
2
( x) dx 1
2
C
2 L
定态波函数为
2 nπ sin x, ( x) L L 0,
第12章 量子力学基础
0xL 0 x, x L
12.4 一维无限深势阱中的粒子
定态问题
2
4) 能级图 En就是无限深势阱中运动粒子能量本征值，能 量只有取分离的值时，方程才有解。在物理上 En 称为能级。 粒子取不同的量子数 n ,得出粒子的能级图 激发态能量
h 2 2 En n n E1 2 8ma
基态能量
2
h E1 2 8ma
2
2.波函数 对应于能量本征值En
nπ ,波函数 n ( x) A sin x a
a
n ( x) 是属于En的本征函数，称能量本征态
由归一化条件
2 a 2 A sin 0
dx dx 1
2 * 0
nπ xdx 1 a
2 A a
n ( x )
2 nx sin( ) a a
0 xa
在势阱外,粒子出现的概率为零.
n ( x ) 0
n
n4
2
n3
n2
n 1
x0
a2
a
5) 波函数和几率密度图像
n ( x )
n4
2 n sin x a a
n
2 2 nπ n ( x) sin x a a
2n21来自E1n3n2n 1 x0
a2
9 E1
4 E1
a
x0
a2
a
E1
6）有限深势阱，粒子出现的概率分布 如果势阱不是无限 深，粒子的能量又低于 势璧，粒子在阱外不远 处出现的概率不为零。 经典理论无法解 释，实验得到证实。
n ( x )
2
0
a
例 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的 最大值的位置。 解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为 2 2 2 nπ n ( x) sin x n 1,2,3... a a 将上式对x求导一次，并令它等于零
高校化工专业课件第25章量子力学基础(分析化学)
解： 电子横向位置的不确定量
x
2mx
1.051034 J s 29.111031 kg1104 m
0.58 m s
x 0.01cm
eU 1 mv2 2
v 6107 m / s
n E E 以，经典物理可以看作是量子物理中量子数 n
时的极限情况。
n
n
一维无限深势阱
例题： 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的位置。
高校化工专业课件第25章量子力学基 础(分析化学)
§25-1 德布罗意假设 波-粒二象性
1. 德布罗意假设
德布罗意在光的波粒二象性的启发下，提出了实物粒子（如电子、质子等）也 具有波-粒二象性的假设。
E mc2 h
p mv h
——德布罗意公式
与实物粒子相联系的波 —— 德布罗意波(物质波)
1927年德国物理学家海森伯（W.Heisenberg）根据量子力学 推出微观粒子在位置与动量两者不确定量间的关系
在某一方向(如x方向)粒子的位置不确定量x和该方向上的动量的不确定量 px有
xpx / 2 h 1.051034 J s
2
二. 简单推导 x
电子束v x
电子的单缝衍射
px
p
2
——概率密度
表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。
3. 波函数的归一化条件 粒子在任意时刻在整个空间出现的概率等于1
2dV 1
——波函数的归一化条件 4. 波函数的标准条件
单值, 有限, 连续, 归一化
三. 薛定锷方程
量子力学3.2一维方势阱
sin kx(奇宇称态) 或 cos kx (偶宇称态)形式。
1、偶宇称态
2 (x) ~ cos kx
| x | a 2
1(x) A1e x
2 (x) B2 cos kx
3 (x) C2e x
xa 2
a x a
2
2
xa 2
由于这里内外解 (x)和 '(x)在 | x | a 处是连续的，
2a
0
x a x a
n 当 为偶数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有奇宇称。 n 当 为奇数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有偶宇称。
本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： U (x) U (x) 而导致的。
由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：
1 sin n (x a),
a 2a
0
x a x a
En
n222 2(2a ) 2
n222 8a 2
( n 1,2,3,...)
1 sin n x a 2a
n
(x)
1 cos n x a 2a
0
n 2,4,6 n 1,3,5,
x a x a x a
或表示 为
n(
x
)
1 a
sin n ( x a )
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
2、奇宇称态
2 (x) ~ sin kx
| x | a 2
与上类似，由连续条件可得：
k cot(ka / 2)
cot
与（2）式联立，可确定
参数 和，从而确定能
量本征值。如右图。
2
2
一维无限深势阱粒子能量的平均值
一维无限深势阱粒子能量的平均值下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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