含指数项广义平方映射的分岔和吸引子
Feigenbaum映射的吸引子
２ １ ０ ０拄
高 师 理 科 学 刊
Ｊｕ ａ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ Ｈ ｇ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｎ ｏＳ Ｔ ｙ
ＶＤ． Ｏ Ｎｏ６ １３ ． ＮＯ ． ２ ０ Ｖ ０１
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摘 ：绍 一 ｐ Ｆｇｂｍ 射， 其 征 ｃ ） 概 ，过 明 制 射 ｌ） Ｐ 要 介 了 类 阶 ｅ ｎｕ 映 及 特 集 （ 的 念 通 证 限 映 ，（与 ｉ ａ ｅ ， ｃ ，
进位 系统拓扑共轭， 出ｆｃ ） 指 ，是极小的， （ 唯一遍历的且具有零拓扑熵． 对于一类 ２ Ｆｉ ｎａｍ 阶 ）所以 ｆ ） ｎ （） 厂 １， ｐ（ ＝２ｆ ｘ 对于所有的 ｎ 和每一个 ∈ － ，】 ≥０ 【１ｌ成立． 把
０ 代人式 ｆ ’ ） Ｚ ｆｘ 中即可得到所要证明的结果． （ ： ＂ （）
（ ）由于 ［ Ｐ （）Ｃ［１１ ，所 以 ，存在 收敛子列 （ Ｐ （）．不妨 设 ｍ， （ ＝ ２ ｆ ０ＪＥ ，】 一 ｆ ０｝ ｉ ｐ ０ 口，易知 ）
定义 ２ ｏ （， ） ｒ ｘ， 称作 ，的特征集 ，记为 ｃ ， ． ｂ （）
以 假 ∈ Ｊ表 间Ｊ的 度． 下总 设， Ｆ ，ｌｌ示区 ｉ 长 ｉ
引理 １ 假设 ｆ∈Ｆ ， 则
第4章洛伦兹方程与吸引子
洛伦兹的设想
60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorens)在气象部门工作。他把将大气对 流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
dz
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-bz
xy
dx dy dz 0 dt dt dt
x y z 0
x y b(r -1),z r -1
即洛伦兹方程有三个平衡点
若 r，1只存在一个平衡点 x 。y 此 z平衡0点是洛伦兹方程的不动点， 相应于贝纳尔德实验中液体的静止定态。
洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点
0 0 0 - (b l)
在 0< r <1 范围内，所有根 l<0 ，坐标原点是稳定的。
6.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性
当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是与 邻域螺旋线的吸引点，如图所示。 C1、C2 坐标为：
x
1,2
y 1,2
b (r - 1)
C1与 C2的稳定性
当 r 继续增加直到 r =13.962时，两个螺 旋线外径会接触合并一起。当特征方程
l3 ( b 1)l2 b ( r )l 2b (r -1) 0
非线性动力学中的混沌与吸引子
非线性动力学中的混沌与吸引子在物理学中，非线性动力学是研究非线性系统的科学，而混沌与吸引子则是非线性动力学中的两个重要概念。
混沌指的是一种看似无序，但实际上存在一定规律的运动状态，而吸引子则是一种吸引系统运动状态的力量。
混沌现象是非线性动力学中的一大难题，因为在非线性系统中，系统的状态可以随时间的推移而不断改变，因此预测系统的未来状态是非常困难的。
这就导致了许多自然现象的不可预测性，比如气象、流体力学、星系的运动等等。
不过，正因为这种不可预测性，混沌现象在现代科学中也具有一定的意义。
比如在混沌现象中，可以发现一些深层次的、看似无规律的规律，这种规律往往难以从线性动力学的角度去解释。
而吸引子则更加复杂，它是在一定条件下，吸引系统一类运动状态的特殊结构。
要理解吸引子，需要从动力系统的角度来看待问题。
在一个动力系统中，状态可以被描述为轨迹的运动。
如果系统的状态是有限的，那么轨迹最终会收敛于某个固定的点，这就是所谓的吸引点。
而如果系统的状态是无限的，那么轨迹最终会收敛于一个吸引集合，即吸引子。
吸引子可以是分形的，也可以是非分形的。
举一个经典的例子，洛伦兹吸引子。
洛伦兹是一个非线性系统，它由三个微分方程组成。
如果必要的参数被确定下来，洛伦兹系统就会进入混沌状态。
但是，不管初始状态如何，洛伦兹系统的运动轨迹最终都会收敛于一个形似蝴蝶翅膀的吸引子。
这个吸引子被称作洛伦兹吸引子，它具有分形结构，而且在三维空间中无论从哪个角度观察，都会呈现出相同的形态。
混沌与吸引子的研究对于理论物理和应用物理都非常重要。
在理论物理中，非线性动力学的研究可以拓展已有的物理理论，增加物理模型的适用范围。
比如在量子力学中，非线性动力学被用于研究量子纠缠现象，进而探究宏观物体的量子特性。
而在应用物理中，混沌现象和吸引子也有着重要的应用。
比如在通讯领域中，混沌电路被用于产生随机序列，以提高加密效果。
而在控制领域中，吸引子控制被用于控制复杂系统，比如利用混沌控制手段来控制心脏疾病等。
分岔与奇怪吸引子
1 2 1 / 2 l3 b l 1 ) [ ( 1 ) 4 r ] 1 , 2 2
在 0< r <1 范围内，所有根 l<0 ，坐标原点是稳定的。
2.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性
当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是与 邻域螺旋线的吸引点，如图所示。 C1、C2 坐标为：
其中xz与 xy 是非线性项，求导对无量纲时间 进行的:
2 D 2 T ( 1k2) t d
2.洛伦兹方程
洛伦兹方程的耗散性质
证明： 在x,y,z的三维相空间，取一个闭合曲面。曲面所包围的体积V 随时间的变 化与其中代表点的运动有如下关系：
d dV d d dV x y z dt V dx dy dz
1.流体中的不稳定性
瑞利数
1916年，英国学者瑞利对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘滞力间 的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数R (瑞利数) ：
ga T d3 R h D T
g-为重力加速度，a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数。 瑞利数 R与温度差成正比，温度差加大时R值增 加，有一临界值 RC，当 R 超过RC时，流体出现翻 动与对流，称为贝纳德不稳定性。临界值RC为：
r rc 时，这时将出现一次霍夫分岔，平衡点C1与C2发展成奇怪吸引子。
第四节
李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数 2. 埃侬映射与埃侬吸引子 3. 洛伦兹吸引子 4. 巴克尔变换与罗斯勒吸引子
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状 态。这是一个动力系统在t →∞时所呈现的与时 间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值 其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始 值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。 如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方 程有极限环吸引子，等等。 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它们的 特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说 对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差 别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子 毫无周期可言，即所谓混沌。
滚动轴承-转子系统的分岔分析与多吸引子共存
ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｗｈｅｎ Ｈｏｐｆ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎꎬ ｊｕｍｐ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｏｕｂｌｉｎｇ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｏｃｃｕｒ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｏｔａｔｉｎｇ
动力学ꎮ
第 ４４ 卷第 ３ 期
５５５
安慧宁等: 滚动轴承－转子系统的分岔分析与多吸引子共存
等 [７] 研究了滚动轴承平衡转子系统在不同轴承内的
间隙量、不同转速下系统的稳定性及其分岔特性和混
沌ꎮ 陈恩利等 [８] 建立了含滚动轴承支撑松动故障的
动力学模型ꎬ研究了系统分岔和混沌运动等复杂动力
学现象 及 变 化 规 律ꎮ 吕 运 等 [９] 建 立 了 滚 动 轴 承￣转
ｒｅｓｅａｒｃｈ ｒｅｓｕｌｔｓ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ｇｕｉｄａｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｐｅｅｄｓꎬ ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｂａｓｉｓ ｆｏｒ ｔｈｅ
ｓｍｏｏｔｈ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｌｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇ ｒｏｔｏｒ ｓｙｓｔｅｍ.
性的研究得到人们极大的关注 [１] ꎮ 近年来ꎬ对于滚动
轴承系统的动力学特性研究已有很多成果ꎮ Ｔｉｗａｒｉ Ｍ
等 [２] 研究了不平衡力、 轴承游 隙、 ＶＣ 振 动 和 非 线 性
Ｈｅｒｔｚ 接触力 对 Ｊｅｆｆｃｏｔｔ 转 子 非 线 性 动 力 学 特 性 的 影
分岔问题及其计算方法
分岔问题及其计算方法分岔问题（Bifurcation problem）是指当连续系统参数变化时，系统的稳定状态和周期解的数量和性质发生变化的现象。
分岔问题广泛应用于物理、化学和生物等领域的研究中，例如流体力学中的流动分岔、生态学中的种群分布分岔等。
计算分岔问题的方法主要有两种：数值模拟和解析方法。
1、数值模拟方法：数值模拟方法通过数值计算的方式，模拟系统参数变化时的稳定状态和周期解的数量和性质。
其中，最常用的方法是迭代映射（Iterated Maps）和微分方程模拟（Differential Equation Simulation）。
迭代映射法基于离散时间步长的迭代计算，可以描述离散时间系统的动态行为。
例如，通过迭代方程x(n+1) = f(x(n), r)计算系统在参数r变化时的稳定状态和周期解。
微分方程模拟法则可以描述连续时间系统的动态行为。
例如，通过求解微分方程dx/dt = f(x, r)计算系统在参数r变化时的稳定状态和周期解。
2、解析方法：解析方法可以通过数学分析的方式，计算系统参数的分岔点和分岔类型。
其中，最常用的方法是平衡分析法（Equilibrium Analysis）和极限环分析法（Limit Cycle Analysis）。
平衡分析法通过求解系统的平衡点，确定系统参数的分岔点和分岔类型。
例如，通过求解方程f(x, r) = 0，计算系统在参数r变化时的平衡点。
极限环分析法通过求解系统的极限环方程，确定系统参数的分岔点和分岔类型。
例如，通过求解微分方程dx/dt = f(x, r)，计算系统在参数r变化时的极限环方程。
分岔问题是指连续系统参数变化时，系统的稳定状态和周期解的数量和性质发生变化的现象。
计算分岔问题的方法主要有数值模拟和解析方法，它们分别通过数值计算和数学分析的方式，计算系统参数的分岔点和分岔类型。
分岔与奇怪吸引子
2.洛伦兹方程
洛伦兹的设想
2.洛伦兹方程
洛伦兹的设想
60年代初，美国数学家洛伦兹 (E.Lorens)在气象部门工作。他把将大气对 流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。
2.洛伦兹方程
洛伦兹方程
洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程 和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著名 的洛伦兹方程。
对流翻动。
2.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性
稳定性证明：洛伦兹方程可写成行列式：
x r z y z y 0 x 1 x y x b z
对原点 x = y = z = 0 附近作线性化处理，即在原点附近有：
即洛伦兹方程有三个平衡点
若 r 1 ，只存在一个平衡点 x y z 0。此平衡点是洛伦兹方程的 不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止定态。 洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来稳定的平衡 点变为不平衡状态。
2.洛伦兹方程
原点的稳定性
r <1 时坐标原点 x y z 0 是稳定的不 动点，它是洛伦兹方程唯一吸引子，所有轨 线吸引到坐标的原点。 如 r > 1 ，于是分支出两个新的 平衡点 C1与 C2 。 说明在 r = 1 时 系统将发生一次分岔，跨越 r = 1 意 味着原点的吸引子丧失了稳定性， 出现了局部的不稳定性。 这时在坐标原点出现一维不稳定 的流形。这是一次叉式分岔。相应 于在贝纳德实验中流体从静态走向
0 0 x 0 x y r 1 0 0 y 0 z 0 0 b 0 z 0
分岔理论
chaos
chaos
μ <0 μ >0
(8-26) (8-27)
而对应本征值则为
λ = μ + 3x
2
如图8-14所示
chaos
chaos
图8-14 叉型分岔——亚临界情况
对于图8-12，令 μ < μ c 时，平衡态的一个 分支( x = 0) 是稳定的；然而当 μ = μ c 时，这一 支就变得不稳定了；一旦当 μ > μ c有新的平衡 分支解 ( x = ± μ ) 又变成稳定的了，这种情况 被称为超临界分岔。
chaos
chaos
Euler直杆弯曲满足下列非线性微分方程及边值 ⎧•• ⎪θ + μ sin θ = 0 ⎨• (8-1) • ⎪θ (0 ) = θ (1) = 0 ⎩ 方程(8-1)所表示的是一个本征值问题。当θ << 1 时，其对应的线性方程是
chaos
⎧•• ⎪θ + μθ = 0 ⎨• • ⎪θ (0 ) = θ (1) = 0 ⎩
∂f <0 ∂x
(8-13)
chaos
时平衡态稳定，而在
∂f >0 ∂x 时平衡态是不稳定的。
(8-14)
故对于
chaos
∂f =0 ∂x
(8-15)
正为由稳定变为不稳定的临界点。这个点 我们即称之为实分岔点。再考虑到在分岔点处 状态变量和参数的关系不唯一，进一步在实分 岔点还有 ∂f (8-16) =0
chaos
chaos
是不稳定点
chaos
图8-11 x ~ α (t ) 注意到在图中只有稳定解才是按顺序相连 的，如实线所示。而图上的虚线反映解在分支 点的邻域，状态可以发生突变。
7.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数
2. 菲根鲍姆常数
吸引子
3. 奇怪
奇怪吸引子
利用李雅普诺夫指数λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：
在一维映射中λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ，而且沿相空间的不同方向，其 λi (i =1,2,…)值一般也不同。
)
exp(00n n λ⋅⋅−≈−n y x y x
面积 。
r <1 时坐标原点是稳定的不动点，当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1与 C 2是稳定的焦点。
=24.7368） C 1与 C 2成了不稳定的焦点。
c r r >
奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。
但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。
是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？
如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。
巴克尔变换描写了这种变换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+<≤==++1212121021
1n n n n n n n x ay x ay y x x ，，
在平面的投影
c =2.6
c =3.5 c =4.1
c =4.18 c =4.21
c =4.6。
一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):634-641一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质孟凤娟,刘存才,张昶(江苏理工学院数理学院,江苏常州213001)摘要：本文旨在研究一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质.关于这类方程吸引子存在性已有很多结果,然而关于吸引子性质的研究不多,并且关于吸引子维数的估计已知结果都是有限维.本文证明了吸引子里多重平衡点的存在性,特别地,在一定条件下得到了吸引子维数随着参数的变化可以任意大.关键词：全局吸引子;平衡点;李亚普诺夫泛函;Plate方程中图分类号：O175AMS(2010)主题分类：35L05;35B41文献标识码：A文章编号：1001-9847(2022)03-0634-081.引言Plate方程作为一类重要的物理模型,其最早来源于工程力学.在连续介质力学中,板被定义为厚度非常小的平面结构,通过梁理论可以得出板方程对于平板力学的数学描述.在物理学上,关于板的理论有很多,例如:Mindlin-Reissner板、Kirchhoff薄板动力学、Reissner-Stein理论、Von Karman方程.研究板方程的目的主要是计算载荷板材承受的变形和压力,因此,研究板方程具有很强的物理意义和实际用途.Plate方程的数学研究起源于Woinowsky-Krieger在文[1]中所建立的弹性振动方程:∂2u ∂t2+EIϱ∂4u∂x4−(Hϱ+EA2ϱl∫l[∂u(ξ,t)∂ξ]2dξ)∂2u∂x2=0,其中E是Young模量,ϱ是杆的密度,A是横截面积,l是杆长,E是初始的轴向张力.这类问题的严格数学分析及解的整体存在性与渐近性的研究始于Ball在文[2]中关于弹性梁方程稳定性的讨论.关于Plate方程解的渐近行为的研究近年来受到广泛关注.如:在非线性项满足临界增长与f(u).u≥0时,Khanmamedov在文[3-4]中分别研究了带有弱阻尼αu t与内部阻尼a(x)u t的Plate方程在无界区域上全局吸引子的存在性,吸引子的正则性及分形维数的有限性.2009年,Kolbasin在文[5]中研究了带有位移依赖阻尼σ(u)u t的Plate方程在有界区域上吸引子的存在性.2013年,马巧珍等在文[6]中得到了带有强阻尼项∆u t的Plate方程指数吸引子的存在性.2014年,KANG在文[7]中研究了带有µ∆u t−∆u tt的非自治Plate方程分别在区间H2(Ω)×H1(Ω)与H4(Ω)×H3(Ω)中拉回吸引子存在性.最近,Khanmanedov在文[8]中研究了带有非局部非线性项f(∥∇u∥L2(R n))|u|p−2∆u的Plate方程在无界域上的渐近性.∗收稿日期：2021-08-12基金项目：国家自然科学基金(12026431,11701230,11801227,11801228);江苏高校“青蓝工程”资助作者简介：孟凤娟,女,汉族,山东人,教授,研究方向：非线性泛函分析.第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质635本文考虑具有p -Laplacian 算子的Plate 方程 u tt −∆u t +∆2u −div(|∇u |p −2∇u )+φ(u )=0,(x,t )∈Ω×R +,u =∆u =0,(x,t )∈∂Ω×R +,u (x,0)=u 0(x ),u t (x,0)=u 1(x ),x ∈Ω,(1.1)全局吸引子的性质,其中Ω⊂R N 是具有光滑边界∂Ω的有界区域.首先假设(H 1)当N ≥3时,2≤p ≤2N −2N −2,当N =1,2时,p ≥2;(H 2)φ(s )=|s |m −1s −β|s |γs ,其中,当N >4,m =N +2N −4,当N ≤4时,m >0,0<γ<m −1,a 0是正常数,β>β0充分大,β0将在引理3.3给出.具有p -Laplacian 算子的Plate 方程(1.1)作为弹塑性微观结构模型在物理和力学中具有广泛的应用.例如在空间维数N =1和N =2情况下,分别描述了弹塑性杆的纵向运动和反平面剪切变形[9].系统(1.1)解的存在性,解的渐近行为等性质得到广泛研究,如:当空间维数N =1时,方程(1.1)变为u tt −u xxt +u xxxx −(|u x |p −2u x )x +φ(u )=0.不考虑耗散作用的影响,结合低阶非线性项与小的高阶弥散微观结构项之间的相互作用,AN 和Peirce [9]在一维情形下研究了如下方程u tt +u xxxx =a (u 2x )x 的系列问题.陈国旺和杨志坚[10]研究了比上式更一般的方程初边值问题u tt −σ(u x )x +u xxxx =f,整体解的存在性以及有限时刻解爆破的充分条件.高维情形下,杨志坚等在文[11-12]中研究了如下方程u tt −div {σ(|∇u |2∇u )−λ∆u t +∆2u +h (u t )+g (u )=f (x )在h ≡0以及h =0情形下,非线性项g 次临界和临界情形下初值问题解的长时间行为,证明了对应无穷维动力系统全局吸引子的存在性,Hausdoff维数和分形维数的有限性.综上,关于系统(1.1)全局吸引子的存在性已有很多文献讨论,但全局吸引子的几何结构的研究诸如吸引子维数的估计和指数吸引子尚鲜见.本文的主要目的是揭示当参数β足够大时系统(1.1)全局吸引子里平衡点的多重性.所运用的工具是临界点理论中的Z 2指标.系统(1.1)具有整体的Lyapunov 泛函并且由于φ(u )关于u 是奇的,所以该Lyapunov 泛函是偶的(见引理2.4).一般来讲,如果一个系统具有Lyapunov 泛函并且有全局吸引子,那么全局吸引子一定是平衡点集的不稳定流形的并.特别地,如果平衡点集是离散的,则全局吸引子可看成是所有平衡点不稳定流形的并,另一方面,系统的吸引子总是所有有界完全轨道的并,每个有界完全轨道是连接两个不同平衡点,而且每一个平衡点均由完全有界轨道连接它.所以,平衡点越多,吸引子的结构越复杂.因此,研究平衡点的多重性对揭示全局吸引子的结构有重要的意义.关于具有Lyapunov 泛函的偏微分方程全局吸引子结构的描述最早是Henry 在文[13]中给出,在该文中,作者以Chaffee-Infante 抛物方程为模型,用分歧理论的方法从平衡点之间轨道连接的角度给出了吸引子结构的详细描述.在文[14-15]中作者考虑了Chaffee-Infante 方程{u t −u xx =λ(u −u 3),u (0)=u (π)=0的分歧问题,其中λ≥0.并且证明了当n 2<λ<(n +1)2时该系统全局吸引子里有2n +1个不动点.通过文[14-15]的分析我们知道当0≤λ<1时原点是稳定的平衡点,但是,每当λ2穿过一个特征值,全局吸引子里将多出一对不稳定的平衡点.因而当λ充分大时,从原点出发将出现一系列的鞍结分叉从而可得到平衡点的对数也将无穷大.636应用数学2022另一方面,在文[16]中,作者利用Z2指标证明了方程−∆u=λf(u)在f是次临界增长并且是奇函数的假设下,当λ→∞时解的个数趋于无穷大.在文[17]中作者考虑了扰动问题−∆u=f(x,u)+ϵg(x,u)多重解的存在性并且利用Z2指标证明了对任意的自然数j,都存在ϵj>0使得对任意的0<ϵ≤ϵj都至少存在j个不同的解.受文[13-17]的启发,最近,钟承奎等在文[18]中结合临界点理论中的下降流思想和Z2指标理论来估算具有Lyapunov泛函的对称动力系统全局吸引子的两个不相交子集的Z2指标,其中Lyapunov泛函在其中一个子集上是正的,在另一个子集上是负的,进而得到全局吸引子里多重平衡点的存在性.作为该理论的应用,作者考虑了一类反应扩散方程全局吸引子里多重平衡点的存在性.Plate方程与反应扩散方程有着本质的区别,关于Plate方程全局吸引子中平衡点个数的估计的问题,至今还没有人进行研究,本文我们就运用[18]中的理论给出Plate方程在一定条件下平衡点的多重性以及一族吸引子分形维数随着参数的变化是任意大的.2.预备知识本节我们给出本文所需要的一些基本概念和结论,首先给出无穷维动力系统的相关定义和理论.定义2.1[19−20]假设算子族{S(t)}:X→X,t≥0,满足1)S(0)=Id(恒等变换);2)S(t)S(s)=S(t+s),∀t,s≥0;3)当t n→t并且在X中x n→x时,S(t n)x n→S(t)x,则称{S(t)}:X→X,t≥0是X上的C0半群.定义2.2[19−20]设X是完备的度量空间,{S(t)}t≥0是X上的连续半群,称{S(t)}t≥0是渐近紧的,如果对相空间X中的任何有界点列{x n}∞n=1以及t n→∞,{S(t n)x n}∞n=1有收敛子列.定义2.3[19−20]设X是完备的度量空间,{S(t)}t≥0是X上的连续半群,称X中的子集A是{S(t)}t≥0的全局吸引子,如果A满足1)(紧性)A是X中的一个紧集;2)(不变性)S(t)A=A,∀t≥0;3)(吸引性)对于X中的任何有界子集B,都有dist(S(t)B,A)→0(t→∞),其中dist(A,B)表inf y∈B dist(x,y).示Hausdorff半距离,定义为dist(A,B)=supx∈A引理2.1[19]设{S(t)}t≥0是完备度量空间X上的连续半群,则{S(t)}t≥0在X中存在全局吸引子当且仅当1){S(t)}t≥0在X中有有界吸收集;2){S(t)}t≥0在X上是渐近紧的.定义2.4[15,20]设H为Banach空间,{S(t)}t≥0是定义在H上的半群,X⊂H是它的一个正不变集,称Φ:X→R是{S(t)}t≥0定义在X上的Lyapunov泛函如果1)对任意给定的u0∈X,函数t→Φ(S(t)u0)关于时间t是非增的;2)存在τ>0,使得Φ(S(τ)u0)=Φ(u0),那么u0是半群S(t)的一个平衡点(不动点).称动力系统(X,S t)为梯度系统,若系统在整个相空间X上存在一个Lyapunov泛函.下面,我们给出系统(1.1)解的存在唯一性以及相应半群全局吸引子的存在性结果,详见文[11-12])等.引理2.2设(H1),(H2)成立,则对任何T>0及初值(u0,u1)∈(H2(Ω)∩H1(Ω))×L2(Ω),(Ω))×L2(Ω)).系统(1.1)的解存在并且唯一,(u,u t)∈C([0,T];(H2(Ω)∩H1第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质637对任给t ∈R 定义映射S (t ):(u 0,u 1)→(u (t ),u t (t )).(2.1)由引理2.2,易得{S (t )}t ≥0在能量相空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中是C 0-半群.引理2.3设(H 1),(H 2)成立,则对任何β,系统(1.1)所生成的半群{S (t )}t ≥0在空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中存在全局吸引子A β.对一个具有Lyapunov 泛函的奇连续半群,在全局吸引子具有对称结构的前提下,钟承奎等在[18]中借助于“原点是对应的Lyapunov 泛函的局部极小点”这一假设,估计了原点的吸引域边界的Z 2指标,进而对半群{S (t )}t ≥0在全局吸引子内平衡点的个数做了估算,具体结论如下:引理2.4[18]设X 是一个Banach 空间,{S (t )}t ≥0是X 上的一个C 0半群.假设{S (t )}t ≥0满足下列条件:(A 1)对任意的t ≥0,S (t )是奇的;(A 2)在X 上,{S (t )}t ≥0有一个全局吸引子A ;(A 3)在X 上,{S (t )}t ≥0有一个C 0Lyapunov 偶泛函F ;(A 4)存在B (0,ρ)(以0为中心,ρ为半径的球),对任意的u ∈B (0,ρ),t →∞都有S (t )u →0,并且F |∂B (0,ρ)≥α>F (0)=0,其中α是一个给定的正常数;(A 5)存在一个X 的n 维子空间X n 和一个正常数R (>ρ),使得F |X n ∩∂B (0,R )≤0.则有下列结论(i)半群{S (t )}t ≥0在A ∩F −1([α,∞))中至少有n 对不动点;(ii)半群{S (t )}t ≥0在A ∩F −1((−∞,0))中至少有n 对不动点.3.主要结果引理3.1设(H 1),(H 2)成立,对任何给定的β,由系统(1.1)诱导出的解半群是奇的,定理2.3中得到的全局吸引子A β是对称的.证对任何初值(u 0,u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),显然(−u 0,−u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω).设(u (t ),u t (t ))是系统(1.1)对应初值(u 0,u 1)的唯一的解.由于φ是奇函数,从而(−u (t ),−u t (t ))是系统(1.1)对应初值(−u 0,−u 1)的唯一解.因此,S (t )(−u 0,−u 1)=(−u (t ),−u t (t ))=−S (t )(u 0,u 1),从而S (t )是奇的.下面我们将验证A β的对称性.设B 0=B (0,R )={(u,u t )∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),∥(u,u t )∥(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)≤R }是半群S (t )的对称吸收集.假设(y,y t )∈A β,则存在一个序列{x n ,x nt }∞n =1⊂B 0及t n →∞(当n →∞时),使得在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)内S (t n )(x n ,x nt )→(y,y t ).因为半群S (t )是奇的,从而在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中有S (t n )(−x n ,−x nt )=−S (t n )(x n ,x nt )→(−y,−y t ).因此,A β是对称的.定义能量泛函F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,(3.1)其中Φ(u )=∫u 0φ(s )d s 是φ(u )的原函数.引理3.2由(3.1)所给出的泛函F (u,u t )是半群{S (t )}t ≥0在空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)上的Lyapunov 偶泛函.证设(u,u t )=S (t )(u 0,u 1)是系统(1.1)对应初值(u 0,u 1)的解.用u t 乘以(1.1)并在Ω上积分可得∥u t ∥2L 2(Ω)+d d t ∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x =0,即d d t F (S (t )(u 0,u 1))=−∥u t ∥2L 2(Ω).(3.2)638应用数学2022因而对每个给定的初值(u 0,u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),函数t →F (S (t )(u 0,u 1))是非增的.如果存在某个τ>0使得F (S (τ)(u,u t ))=F (u,u t ).从(3.2)可知,当0≤t ≤τ时S (t )(u,u t )=(u,u t ).因此F (S (nτ)(u,u t ))=F (S ((n −1)τ)S (τ)(u,u t ))=F (S ((n −1)τ)(u,u t )=···=F (u,u t ).重复上面的过程可得对任意的n ∈Z +,当0≤t ≤nτ时S (t )(u,u t )=(u,u t ).所以对任意的t ≥0,S (t )(u,u t )=(u,u t ).因此由(3.1)定义的F (u,u t )是算子半群的{S (t )}t ≥0的Lyapunov 泛函.结合(3.1)和(H 2)易知,F (u,u t )=F (−(u,u t )),即F 是偶的.引理3.3对任何自然数n ,存在X 的一n 维子空间X n 和一正常数R ,使得F |X n ∩∂B (0,R )≤0.证由假设(H 2),可得Φ(u )=∫u 0φ(s )d s =∫u 0(|s |m −1s −β|s |γs )d s =1m +1|u |m +1−βγ+2|u |γ+2,对任何自然数n,设X n 是(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)的一个n 维子空间,A n ={(u,u t )∈X n :∥∆u ∥L 2(Ω)+∥u t ∥L 2(Ω)=1},则A n 是空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω))的紧集,并且存在正常数δ使得inf (u,v )∈A n ∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)=δ.设RA n ={R (u,u t ):(u,u t )∈A n },则对R (u,u t )∈RA n ,利用H¨o lder 不等式和Sobolev 嵌入H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L m +1(Ω)及H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L γ+2(Ω)可得F (R (u,u t ))=∫Ω{12R 2(|∆u |2+|u t |2)+1p R p |∇u |p +1m +1R m +1|u |m +1−βγ+2R γ+2|u |γ+2}d x ≤12R 2+CR m +1−βγ+2R γ+2δ,对固定的R,取β0=1δ(R −r +CR m −r −1)(γ+2),则当β≥β0时,F (R (u,u t ))≤0.(3.3)引理3.4设(H 1),(H 2)成立,对每个给定的β,A β为系统(1.1)的全局吸引子,由(3.1)所定义的F 是半群{S (t )}t ≥0在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中的Lyapunov 泛函.则存在原点的一个邻域B (0,ρ),(ρ<R )使得(i)对任意的(u,u t )∈B (0,ρ),当t →∞时,S (t )(u,u t )→0,(ii)F |∂B (0,ρ)≥α>F (0,0)=0,其中α是一个固定的正常数.证由Sobolev 嵌入H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L 2n N −4(Ω) →L m +1N −4(Ω)及H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L γ+2(Ω),可得F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,≥12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+C ∥u ∥m +1L m +1(Ω)−βγ+2∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)≥12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+C ∥u ∥m +1L m +1(Ω)−βγ+2C ∥∆u ∥γ+2L 2(Ω).(3.4)由于γ>0,γ+2>2,当∥∆u ∥L 2(Ω)充分小时,∥∆u ∥γ+2L 2(Ω)可由∥∆u ∥2L 2(Ω)控制.上式意味着存在0<ρ1<R 使得当(u,u t )∈B (0,ρ1)={(u,u t )∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),∥(u,u t )∥(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)≤ρ1}时,F |∂B (0,ρ1)≥α1>F (0,0)=0,(3.5)其中,α1是一个给定的正常数.下面我们将验证当ρ<ρ1及α2<α1成立时,F |B (0,ρ)<α2.F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质639≤12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+1p ∥∇u ∥p L p (Ω)+C ∥∆u ∥m +1L 2(Ω)−βγ+2∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)≤12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+1p∥∇u ∥p L p (Ω)+C ∥∆u ∥m +1L 2(Ω),由上述不等式可知当(u,u t )∈B (0,ρ),ρ→0时F (u,u t )→0,从而存在某个ρ<ρ1使得F |B (0,ρ)<α2.(3.6)由(3.4),我们还可知存在某个α>0使得F |∂B (0,ρ)≥α>F (0,0)=0.(3.7)由引理3.2知F 是一个Lyapunov 泛函,则F (S (t )(u 0,u 1))关于时间t 是递减的,结合(3.5),(3.6)可得,对任给t ≥0,F |S (t )B (0,ρ)<α2.(3.8)因此对任给t ≥0,S (t )B (0,ρ)⊂B (0,ρ1).(3.9)否则,存在某个t 0及(u 0,u 1)∈B (0,ρ)使得S (t 0)(u 0,u 1)∈X \B (0,ρ1).根据S (t )的连续性,存在t 1满足0<t 1≤t 0并且S (t 1)(u 0,u 1)∈∂B (0,ρ1).因为F |∂B (0,ρ1)≥α1,可得F (S (t 1)ϕ0)≥α1,与(3.8)矛盾.因此,对任何(u 0,u 1)∈B (0,ρ)及t ≥0,S (t )(u 0,u 1)∈B (0,ρ1).下面我们将验证对任何初值(u 0,u 1)∈B (0,ρ1),算子半群只有原点是平衡点.即∀(u 0,u 1)∈B (0,ρ),S (t )(u 0,u 1)=(u 0,u 1)⇒(u 0,u 1)=0.(3.10)由于算子半群的平衡点对应于系统稳态方程的解,即{u 1=0,∆2u 0−div(|∇u 0|p −2∇u 0)+φ(u 0)=0.因而要验证(3.10)成立,只需证明∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )dx =0⇒u =0.由(H 1),(H 2)可得∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )d x ≥∫Ω(|∆u |2d x +∥∇u ∥pL p (Ω)−Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x ≥C (∫Ω|u |2n N −4d x )N −4N −Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x≥C ∫Ω|u |(γ+2)d x )2γ+2d x −Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x.(3.11)注意2γ+2<1并且γ+2<m +1,Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x 可以被C ∫Ω|u |(γ+2)d x )2γ+2d x 和C ∫Ω|u |m +1d x 控制,结合(3.9),我们可选择适当的ρ,使得对任何S (t )(u 0,u 1)=(u,u t )=(0,0),∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )d x >0成立.因此我们已证明对任给(u,u t )∈B (0,ρ1)\(0,0),S (t )(u,u t )=(u,u t ).根据(3.5),(3.6)和(3.10),我们可以得到对任给(u 0,u 1)∈B (0,ρ),当t →∞时,S (t )(u 0,u 1)→0.(3.12)由引理2.3可知系统(1.1)存在全局吸引子,再根据引理2.1可知{S (t )}t ≥0是渐近紧的.因此,对任给初值(u 0,u 1)∈B (0,ρ)及t n →∞,{S (t n )ϕ0}有一个收敛子列,即当t n k →∞时S (t n k )(u 0,u 1)→(u ′0,u ′1).(3.13)640应用数学2022要证(3.12),只需证明(u′0,u′1)=0.由Lyapunov泛函的定义(定义2.4)可得F(S(t)(u′,u′1))≤F((u′,u′1)),∀t>0.(3.14)我们断言对某个τ>0F(S(τ)(u′0,u′1))=F((u′,u′1)).(3.15)下面将用反证法来验证(3.15).若(3.15)不成立,则对任给t>0,F(S(t)(u′0,u′1))<F((u′,u′1)).(3.16)从而当ε>0充分小时,存在t′>0满足F(S(t′0)(u′,u′1))<F((u′,u′1))−ε.(3.17)根据(3.13),可得当t nk→∞时S(t nk+t′)(u0,u1)→S(t′)(u′,u′1).(3.18)根据F的连续性和(3.18),可得当t nk→∞时F(S(t nk +t′)(u0,u1))→F(S(t′)(u′,u′1)),(3.19)并且由(3.13)可得当t nk→∞时F(S(t nk+t′)(u0,u1))→F((u′,u′1)).(3.20)结合(3.19)和(3.20),我们有F(S(t′0)(u′,u′1))=F((u′,u′1)),这与(3.17)矛盾.因此(3.15)成立.由Lyapunov泛函的定义,(u′0,u′1)是S(t)的不动点,即对任给∀t>0,S(t)(u′,u′1)=(u′,u′1).结合(3.5)(3.6)和(3.10),我们有(u′0,u′1)=0,即(3.12)成立.结合(3.7)和(3.12),引理3.4得以证明.由引理3.1-3.4可知,由引理2.2生成的算子半群(2.1)满足引理2.4的所有条件,根据引理2.4可得:定理3.1假设(H1),(H2)成立,对每个给定的β,Aβ是(1.1)的全局吸引子,由(3.1)定义的F是算子半群{S(t)}t≥0在空间(H2(Ω)∩H1(Ω))×L2(Ω)中的Lyapunov泛函.则对任意自然数n,存在β充分大使得{S(t)}t≥0在Aβ∩F−1([α,∞))内至少有n对不同的不动点,并且在Aβ∩F−1((−∞,0))内至少有n对不同的不动点.在文[9]中,我们知道任何一个分形维数为n的紧集与R2n+1之间都存在一个一一的线性奇的H¨o lder连续映射.类似于文[30]中推论1.1,由引理3.1-3.4及引理2.4可得如下推论:推论3.1假设(H1),(H2)成立,对任何给定的β,Aβ是系统(1.1)全局吸引子.则我们有下列结论:limβ→∞dim Aβ=∞.参考文献：[1]WOINOWSKY K.The efect of an axial force on the vibration of hinged bars[J].J.Appl.Mech.,1950,17:35-36.[2]BALL J.Stability theory for an extensible beam[J].J.Differential Equations,1973,14:399-41.[3]KHANMAMEDOV A.Existence of a global attractor for the plate equation with a critical exponentin an unbounded 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一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究
￥ 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６—１ ０— ０ ７ （ ２ ０ １ ６ Ｋ Ｔ Ｓ Ｃ Ｘ ０ ７ ６ ）
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ６ ９ ８ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｃ ｎ ３ ６—１ ３ ４ ６ ／ ｃ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ６ ． ０ ０ ８ 基金项 目：国 家 自然 科 学 基 金 项 目（ １ １ ６ ２ ６ ０ ６ ８） ； 广 东 省 自然 科 学 基 金项 目（ ２ ０ １ ５ Ａ ０ ３ ０ ３ １ ｏ ４ ２பைடு நூலகம்４ ）； 广 东 省 普通 高校 特 色 创 新 项 目
１ 引言
Ｅ ．Ｎ．Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 在 研究 气象 模 型 时 ，在一类 确 定性 系统 中发 现 了类 似 于 随机 的动力 学 现 象 ， 即混 动 行 为 ， 并于 １ ９ ６ ３年提 出 了首个 混 沌数 理 模 型 ， Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系 统 … ． 由于 混 沌 行 为 的 特 殊 性 ， 自从 Ｌ ｏｒ ｅ ｎ ｚ系统 被 提 出 以 后， 大量 来 自于不 同领 域 的数学 家 、 物理 学家 及工 程 师们便 对 混沌 的起 源 、 混沌 系统 的特 征 与分 岔行 为 、 通 向 混沌 的路 径等 各个 方 面 ， 都 展开 了深 入地 研究 Ｉ ４ ． 超混沌 ， 作 为 另一种 复 杂动 力学 行 为 ， 它 比混 沌行 为具 有 更强 的 复杂性 以及 更 强 的应用 潜力 ． 由于在 自治 常微 分方 程 系统 中要 产生 超混 沌行 为 ， 必须要 求 系统 维数 至 少为 四维 ， 因此 ， 对 四维超 混沌 系统 的研 究 ， 尤 其 是对 四维 Ｌ ｏｒ ｅ ｎ ｚ 型超 混沌 系 统 的研 究 ， 将显 得尤 为 重要 ．
一类非经典反应扩散方程的指数吸引子
一类非经典反应扩散方程的指数吸引子
几何平均分散理论下的指数吸引子
（一）定义
指数吸引子是结合几何平均分散理论，用非经典反应扩散方程来解释
亚微米纳米动力学过程的数学建模。
它表示一种时变的概念，即在特
定的区域，当时间推移，给定的吸引子及其相应的参数，其核的强度
也能不断增强，从而达到指数级增强。
（二）几何平均分散理论
几何平均分散理论是一种微观动力学理论。
它定义了由几何平均分散
作用在分子活动体上所产生的非经典反应扩散系统。
该理论认为，一
个系统的反应动力，既受到分子给定的相互作用，也受到本源的非经
典影响，表现为非经典行为。
非经典反应扩散的作用，能够产生非线
性效应，如量子振荡、双極及超短信号等，这些理论也成为“指数吸引子”的基础。
（三）指数吸引子的应用
指数吸引子有着广泛的应用。
它可以用于模拟流体流动、热物理计算、传输过程等等。
例如，它可以用来模拟流体流动，其结果比经典模型
更接近实际情况。
在热物理计算中，它能够模拟准确的温度场和速度场，以改善热物理计算的精度和精确度。
此外，它也可以用来模拟传
输过程，模拟不同系统中的信号传输。
（四）指数吸引子的优点
指数吸引子的最大优点是，它能够提供更加准确的模拟结果，比常规
的经典反应扩散方程更具有准确性。
此外，由于几何平均分散的作用，它还能够提供更为强大的信号传输能力，以及更精确的模拟效果，这
对于解决技术问题有着重要的意义。
此外，由于它引入了本源端传递
与量子振荡，使得指数吸引子可以用来解决不同的问题，比如量子力学、量子计算和量子通信等。
应用数学中的吸引子理论
应用数学中的吸引子理论在应用数学中，吸引子理论是一个重要的理论。
该理论通过数学模型和计算机模拟等方式，研究非线性系统的演化规律和稳定状态，探讨系统的演化和长期行为。
由于非线性系统具有非常复杂的演化规律，因此吸引子理论在大量的交叉科学领域如物理、化学、工程等中发挥着重要作用。
1. 吸引子理论的提出吸引子理论是由斯特莱恩于1960年代提出的。
斯特莱恩的研究对象是气象预报方程，这些方程是非线性的、参量复杂的，因此十分难以预测。
但是斯特莱恩通过数学模型研究发现这些方程具有某种内在的稳定性机制，即对于给定的初始条件，大尺度的天气系统始终被吸引到一些特定的状态上，这些状态就是吸引子。
吸引子理论的提出，使得对于非线性系统的控制和应用起到了重要的推动作用。
在此之后，吸引子理论逐渐成为非线性系统研究的核心内容之一。
2. 吸引子的特征吸引子的最大特征就是它具有吸引力。
在非线性系统中，存在着许多的稳态或分岔，而吸引子则是那些在长时间演化中具有稳定性且具有一定吸引力的状态。
多数情况下，系统只会在存在吸引子的区域内运动。
吸引子的形态多种多样，比较常见的有点吸引子、环吸引子、方波吸引子等。
根据演化规律，在某些特定区域内，系统会首选止于吸引子的形态，从而表现出一定的规律性。
3. 应用数学中的吸引子应用数学中，吸引子在很多领域中都发挥着重要作用。
例如在动力学中，吸引子理论可以用来研究、控制和预测动力学系统中的演化规律。
在信号处理中，吸引子理论可以作为一种分析工具，用于研究和处理信号的长期行为。
在混沌控制中，吸引子理论可以帮助人们掌握混沌系统的特性，开发出有效的控制算法。
吸引子理论在工程领域中也具有广泛应用。
例如在控制系统中，吸引子理论可以用于控制系统的优化设计，提高系统的稳定性和控制能力。
在电路设计中，吸引子理论可以用于进行参数设计和优化，提高电路的性能和稳定性。
在材料科学中，吸引子理论可以用于研究材料的物理性质和长期行为，优化材料的性能和应用。
吸引子和吸引域 -回复
吸引子和吸引域-回复吸引子和吸引域是动力系统理论中重要的概念，可以用于描述和分析一般非线性系统的稳定性和吸引性质。
在本文中，我们将深入探讨吸引子和吸引域的定义、性质以及其在实际应用中的意义。
一、吸引子的定义和性质吸引子是指在动力系统中，某个区域中的轨道或者点集在时间推移下趋于稳定的一个或多个点。
换句话说，吸引子可以看做是系统的一个稳定状态，所有接近该状态的轨迹或点都最终趋于该状态。
1. 定义：设X为相空间，f为X上的映射，给定一个共轭不变集A（即对f连续，且满足f(A)=A），如果存在一个邻域U，对任意x∈U,以及对于∀ε＞0，存在一个时刻N, 使得当n>N时f^n(x)∈Uε, 其中f^n(x)表示把x迭代n次后的结果，那么A就是系统的一个吸引子。
2. 存在性：根据Pontryagin的吸引定理，如果动力系统是紧致的，那么系统必然存在至少一个吸引子。
此外，如果系统是混沌的，那么很可能存在无穷多个吸引子。
3. 吸引性质：吸引子有两个基本性质，一是遍历性，即所有从吸引子开始的轨迹最终都在吸引子附近，没有轨迹可以永远离开吸引子。
二是局部压缩性，即吸引子的邻域可以无限缩小，使得吸引子本身对应了系统的吸引性质。
二、吸引域的定义和性质吸引域是指动力系统中的一个区域，其中的点根据系统的特点和初始条件，最终都会被吸引至特定吸引子中，从而构成吸引子的稳定吸引范围。
1. 定义：给定一个吸引子A，它的吸引域定义为D(A)={x f^n(x)→A，n →∞}，即所有能被A吸引的点的集合。
2. 表现形式：吸引域可以是一个封闭的区域，形状可以是点、线、面、体等等，也可以是一个无穷的或无界的集合。
3. 稳定性：吸引域的稳定性取决于吸引子的稳定性。
如果吸引子是稳定的，则吸引域也是稳定的；反之，如果吸引子是不稳定的，则吸引域也是不稳定的。
三、吸引子和吸引域在实际应用中的意义吸引子和吸引域的概念在许多领域有着广泛的应用，尤其在系统建模、天气预报、生物学、经济学和社会科学等领域中有着重要的作用。
吸引子 吸引域-概述说明以及解释
吸引子吸引域-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在这个世界上，各种各样的系统都存在着自己的动态演化过程。
其中一种非常重要的动力学概念就是吸引子和吸引域。
吸引子代表了系统在稳定状态下的固定点或者周期轨道，而吸引域则表示了系统在初始条件一定范围内的趋向于吸引子的区域。
在本文中，我们将深入探讨吸引子和吸引域的定义、作用以及它们之间的关系。
我们将会分析吸引子和吸引域在复杂系统中的重要性，并且探讨它们在各个领域的应用。
通过对吸引子和吸引域的深入理解，我们可以更好地把握复杂系统的稳定性和演化规律，为我们未来的研究提供重要的指导和启示。
通过本文的阐述，我们希望读者能够加深对吸引子和吸引域的认识，了解它们在系统动力学中的重要性，为进一步的研究和实践奠定坚实的基础。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下所示：文章结构部分将详细介绍整篇文章的布局和内容安排。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分将概述吸引子和吸引域的概念，说明文章的目的和意义。
正文部分将分为三个子部分：吸引子的定义和作用、吸引域的概念和重要性以及吸引子与吸引域之间的关系。
每个子部分将详细探讨相关概念和理论，并提供实例和案例分析。
结论部分将对整篇文章进行总结，强调吸引子和吸引域在各个领域的重要性，并探讨未来的发展方向。
最后得出结论，对整篇文章进行总结和回顾，并展望未来的研究方向。
1.3 目的：本文的主要目的是介绍和探讨吸引子和吸引域在动力系统中的重要性和作用。
通过对吸引子和吸引域的定义和概念进行详细解释，希望读者能够更加深入地理解这两个概念在动力系统理论中的意义。
另外，本文还旨在探讨吸引子和吸引域之间的关系，以及它们在实际应用中的应用价值。
通过对吸引子和吸引域的分析和讨论，希望能够帮助读者更好地理解动力系统的稳定性和演化规律，为相关领域的研究和实践提供参考和指导。
2.正文2.1 吸引子的定义和作用吸引子是在动力系统理论中的一个重要概念，它指的是一个系统中具有稳定性质的状态点或状态集合。
二章分岔与奇怪吸引子-PPT精选文档
t时
4.霍夫型分岔
范德玻耳方程分岔
2 d x dx 2 2 x 1 x 0 2 dt dt
对于平衡点 I1 邻域有:
I ( t ) I exp( t ) 0
I0 是初始对 I1 的偏离小量。作用量I 随时间指数增长, I1是不稳定解, 为不 稳定焦点。 对于平衡点 I2 邻域有:
1. 切分岔
数学模型
利用方程： 由
dx x 2 dt
得平衡点 dx / dt 0 x0 (a)当μ＜0时,解 x0 为虚数，因此不存在奇点， (b)当μ＞0时出现两个奇点, x0 ， 说明上述方程的解在 x0=0 处发生了分裂。 μ＞0 两个奇点的稳定性 在解 x0 附近取一点，计算它与平衡点距离随 时间变化。设距离： x x0 d dx 2 随时间变化： ( x ) 0
4 霍夫型分岔
数学模型
dx 2 2 y x [ ( x y )] dt dy x y[ (x2 y2 )] dt
引入极坐标
x2 y2
x cos y sin
求导
d ( 2 ) 代入原方程 dt d 令正弦余弦系数相等 1 dt
忽略高 阶量
dt dt
d 2x 0 dt
1. 切分岔
解的稳定性与相流
解 d ( t ) exp( 2 x t ) 2x 0 0 0 dt 0 ，此解是稳定的，是稳定的结点。 ，当 t 时， ，解是不稳定的，它是鞍点。 ，当 t 时，
x 是不稳定的； 0
x 0的轴线是不稳定的， 0
第二章分岔与奇怪吸引子
第二章 分岔与奇怪吸引子第一节 第一节 简单数学分岔分岔的本义是一种力学状态在临界点处发生的转变、分开或一分为二。
分岔是一种非常普遍的自然现象。
一根受力作用的弹性压杆可以形象地演示出一类分岔现象。
常识告诉我们，在力P 的作用下，如图2-1a 所示，当压力超过弹性压杆的临界负荷P c 后，杆会出现弯曲，这时扰度s 为压力P 的函数。
在以P —s 为坐标的平面上，如图2-1b 所示，当压力P ＜P c 时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当压力P ＞P c 时，杆的平衡状态就转变成三种：保持直线（OC 方向）、偏向+s 或-s 方向，因此P c 是这个力学体系不同平衡状态的分岔点。
然而三种平衡状态有稳定的与不稳定的之分。
其中保持直线状态是不稳定的，稍有扰动，平衡状态便会偏向+s 或-s 状态。
另两种平衡状态是稳定的，在这两种状态中，扰度s 随压力P 的增加而沿曲线OA 或OB 增加。
图2-1 一根弹性压杆的分岔在数学上，分岔就是研究非线性微分方程当某一参数变化时，其解发生突变的临界点附近的行为。
当上述现象用数学方程来描述时，力学现象的分岔就成为数学分岔。
由于许多重要的物理现象在数学上都可以某类微分方程来描述，因此数学分岔在分析复杂的非线性动力学中具有重要意义。
上一章我们在展示单摆运动中看到，当驱动力F 增加到某—临界值后它由规则运动进入到随机运动状态。
它是通过怎样的路迳进入混沌的？显然仅对几个特殊参数采用数值计算还无法讲清这样的问题。
为了更具体地掌握一个非线性系统如何从规则运动进入混沌，必需对临界值附近所发生的现象作更细致更深入的研究。
上一章我们在分析杜芬方程的解时知道，方程的解在参数0=κ处发生了所谓叉式分岔，一个在0<κ时的稳定解在0>κ时分裂为两个稳定解与一个不稳定解。
不同的非线性方程应有不同的突变行为，它们有那些类型呢？本节就是从力学系统的几个简单数学模型讨论几种常见的典型数学分岔。
一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究
一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究陈玉明【摘要】针对一类广义的Lorenz-Stenflo四维超混沌系统,基于中心流形及Hopf 分岔相关理论,研究了该系统在原点平衡点处发生的Hopf分岔行为,得到了系统在Hopf分岔点的特性,包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等,并借助数值模拟验证了理论分析的正确性.除此之外,借助数值模拟,发现该系统在某些特定参数下存在不同吸引子之间的共存现象,比如超混沌吸引子与周期吸引子共存,混沌吸引子与周期吸引子共存.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】6页(P43-48)【关键词】Lorenz型系统;超混沌;Hopf分岔;吸引子共存【作者】陈玉明【作者单位】广东技术师范学院数学与系统科学学院,广州510665【正文语种】中文【中图分类】O415.5;O19·基础数学·E. N. Lorenz在研究气象模型时, 在一类确定性系统中发现了类似于随机的动力学现象，即混动行为，并于1963年提出了首个混沌数理模型，Lorenz系统[1].由于混沌行为的特殊性，自从Lorenz系统被提出以后，大量来自于不同领域的数学家、物理学家及工程师们便对混沌的起源、混沌系统的特征与分岔行为、通向混沌的路径等各个方面，都展开了深入地研究[2-4].超混沌，作为另一种复杂动力学行为，它比混沌行为具有更强的复杂性以及更强的应用潜力.由于在自治常微分方程系统中要产生超混沌行为，必须要求系统维数至少为四维，因此，对四维超混沌系统的研究，尤其是对四维Lorenz型超混沌系统的研究，将显得尤为重要.在对混沌系统的研究中，系统分岔行为的研究是非常重要的一部分.随着系统平衡点稳定性的改变，即发生局部分岔行为，系统的局部动力学行为也会随之改变，甚至会引发系统全局动力学行为的变化.Hopf分岔是系统局部分岔中非常基本而又至关重要的一种，随着Hopf分岔的发生，将伴随着系统极限环的产生或者消失.在三维混沌系统的研究中，文献[5]研究了统一Lorenz型系统的Hopf分岔行为，该系统包含了Lorenz，Chen，Lu及Yang等大量的经典三维混沌系统，在此基础上，进一步对退化Hopf分岔的分析，该文献还发现了一种可通向混沌的路径.在四维超混沌系统的研究中，文献[6-8]分别研究了一类四维超混沌系统的Hopf分岔行为，得到了系统在Hopf分岔点的特性，包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等.混沌及超混沌系统的复杂性主要来源于混沌及超混沌吸引子的存在.一般情形下，相空间中只存在一个稳定的吸引子，除了其它吸引子(都为不稳定)本身外，从相空间中其它点出发的轨线都将趋向于那唯一的一个稳定的吸引子.然而一些研究者最近发现了很多特殊的系统[9-10]，在这些系统中存在着各种不同稳定吸引子的共存现象，这使得系统的相空间变得异常复杂，尤其是这些不同稳定吸引子的吸引盆的边界.在1996年，Stenflo沿着Lorenz模型的方向，提出了描述大气扰动的一个简单模型，其被称为Lorenz-Stenflo系统[11].该系统考虑了地球的旋转，黏度效应及热扩散效应等因素，该系统的方程为其中参数a是普朗特数，c是广义的雷利参数，及是地球旋转的角频率，κ是热耗散系数.基于上述的Lorenz-Stenflo系统，通过将该系统的参数可选取范围进行推广，本文考虑了如下的广义Lorenz-Stenflo系统其中参数满足a>0，b>0，cdrs≠0.当系统参数选取a=22.5，b=1.91，c=29.45，d=-2.86，r=0.23及s=9.64时，系统(1)具有超混沌吸引子，该吸引子所对应的Lyapunov指数为λLE1=0.1217,λLE2=0.0264,λLE3=0.0001,λLE4=-27.6416.该超混沌吸引子在空间的投影相图如图1所示.当系统参数满足(ar+s)(ar(c+d)+ds)≤0时，系统(1)只具有唯一平衡点E0(0,0,0,0).而当(ar+s)(ar(c+d)+ds)>0时，系统(1)除了具有原点平衡点E0之外，还将具有另外两个关于z轴对称的非原点平衡点其中w±=±.另外，当系统参数b=0时，系统(1)则存在一条平衡点直线，即z轴.针对四维广义Lorenz-Stenflo超混沌系统(1)，本文将研究该系统原点平衡点E0处发生的Hopf分岔行为，以及在某些特定参数下，研究系统不同吸引子之间的共存现象.针对一般的n维自治常微分方程系统(n>2)，下面首先介绍一下第一Lyapunov系数l1的计算方法.考虑如下的微分方程系统其中f(X,η)为Rn×Rs中的C∞类函数.假设系统(2)在参数条件η=η0之下具有平衡点X=X0，并且总是将变量X-X0记为进一步地，在参数条件η=η0之下，系统(2)可以被重写为其中‖‖4),以及并且对任意的i=1,2,…n，都有如下展开式成立其中的记号Bi以及Ci分别是向量函数B以及C的第i个分量.假设系统(3)在其原点平衡点处的Jacobian矩阵A，具有一对具有非零虚部的纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，并且Jacobian矩阵A在该平衡点处的其它特征值都具有非零实部.令Tc为Jacobian矩阵A对应于特征值λ1,2的特征向量所张成的广义特征空间.令向量p,q∈Cn满足下列条件值得注意的是，空间Tc中的任意向量Y均可以表示成为其中v=<p,Y>∈C.为了能够通过变量v以及来将与特征值λ1,2=±iω0有关的这个二维中心流形参数化表示，特考虑如下这个形式上的嵌入其中系数ujk∈Cn，并且满足将表达式(6)代入系统(2)中，可得求解由等式(7)中项的系数所确定的线性方程组，可得复向量uij的表达式.因此，在二维中心流形上通过使用复变量v，系统(7)可以表示成如下形式:其中G21∈C.第一Lyapunov系数l1被定义为其中在如下的定理中，对系统(1)在平衡点E0处所发生的Hopf分岔进行了研究.定理1 令(a+r)(ad(c+d)+acr+d2r)<0，以及并且假设MN≠0成立，则当参数s穿过临界值s0= 时，系统(1)在平衡点E0处发生Hopf分岔.在临界参数值附近，系统还有如下的动力学性质:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的稳定周期轨;证明令X=(x,y,z,w)∈R4，η=(a,b,c,d,r,s)∈R6以及f(X,η)=(a(y-x)+sw,cx+dy-xz,-bz+xy,-x-rw),则系统(1)可被改写成系统(2).系统(1)在平衡点E0处的特征方程为假设方程(12)具有一对纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，即如下等式成立，-a(c+d)r-ds-(a-d+r)=0,-ω0(a(c+d-r)+dr-s+)=0,在参数条件s=s0之下，系统(1)在平衡点E0处的Jacobian矩阵为其所对应的特征值为λ1=iω0,λ2=-iω0,λ3=d-a-r,λ4=-b.经过繁琐地计算过程，可得如下的两个特征向量:其中G=-ac(r+iω0)2+(d-iω0)2(ω0-ir)2.向量p,q满足条件(5)，即由计算公式(4)，可得基于公式(13)，(14)及(15)，通过直接而繁琐地计算，可得B(q,q)=(0,0,2c(d-iω0)(-ir+ω0)2,0)T，S3=d(4d-b)++2i(b-d)ω0,S4=4d2+br++2i(b+r)ω0,S5=ar++s0+2i(a+r)ω0,S6=-+b(d-2iω0)+2id(2id+ω0),S7=-3ac+ad-4d2+-2i(a-d)ω0.再次使用公式(14)，(15)以及(16)，可计算得〈p,B(q,-u11)〉=,将上述三个等式代入(8)式中，可计算得第一Lyapunov系数为l1(s0)=Re[〈p,C(q,q,)〉-2〈p,B(q,-u11)〉+〈p,B(,u20)〉]=,当MN≠0时，有l1(s0)≠0，从而有平衡点E0处Hopf分岔的非退化条件成立.进一步,将验证平衡点E0处Hopf分岔的横截条件也成立.平衡点E0处的特征方程如(12)所示，即P(λ)=(b+λ)(ε0+ε1λ+ε2λ2+λ3)=0,其中ε0=-acr-adr-ds, ε1=-ac-ad+ar-dr+s, ε2=a-d+r.当参数s在临界值s0附近时，假设特征方程(12)具有特征值λ1,2=α±iβ，λ3=γ以及λ4=-b，其中α,β及γ为系统参数的实函数.将这些特征值代入方程(12)中，并且整理与α相关的部分，可得由于α|s=s0=0，将(17)式对参数s求偏导数，可得又由于从而，当a+r>0时，则有|s=s0<0，Hopf分岔的横截性条件成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为不稳定及稳定的.否则，当a+r<0时，则有|s=s0>0，Hopf分岔的横截性条件依然成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为稳定及不稳定的.综上所述，系统(1)限制在由平衡点E0的复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中时，具有如下的动力学行为:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的稳定周期轨;为了验证定理1中关于系统(1)平衡点E0处Hopf分岔理论结果的正确性，特给出了如下基于四阶Runge-Kutta方法的数值仿真结果.选择参数a=3,b=3,c=6.1,d=-3,r=1，根据定理1，可得s0=3.45，ω0=0.387 298>0及l1(s0)=-5.933 71<0，这意味着系统(1)在平衡点E0处的Hopf分岔能够产生出稳定的周期轨.由于a+r>0，当s<s0时，Hopf分岔产生稳定周期解，如图2(a)所示; 而当s>s0时，平衡点E0为稳定焦点，如图2(b)所示.选取恰当的系统参数，通过详细的数值分析，可发现系统(1)存在多种吸引子共存的现象，即同组参数条件下，系统(1)满足不同初始条件的解有可能呈现出完全不同的动力学行为.具体可包括超混沌吸引子与周期吸引子的共存，混沌吸引子与周期吸引子共存等.固定参数a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64，对初始条件(51,-28,-96,76)，系统(1)的解将会收敛于一个周期解，其在y-z-w空间的投影如图3(a)所示，该周期吸引子所对应的Lyapunov指数为在同一组参数下，对于初始条件(42,-22,46,77)，系统(1)的解则收敛于一个超混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图3(b)所示，该超混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中存在着超混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图3(c)所示.在同一组参数下，对于初始条件(-57,-22,-6,-59)，系统(1)的解则收敛于一个混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图4(b)所示，该混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=12.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中则存在着混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图4(c)所示.【相关文献】[1] E.N. Lorenz. Deterministic non-periodic flow[J].J. Stmos. Sci.,1963,20:130-141.[2] M.W. Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos[M].New York: Elsevier Academic Press,2007.[3] L.P. Shilnikov, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev, et al. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics[M].Singapore:World Scientific,2001.[4] S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Second Edit[M].New York:Springer-Verlag,1990.[5] Q. Yang, Y. Chen. Complex dynamics in the unified Lorenz-type systems[J].Int. J. Bifurcat. Chaos,2014,24:1450055(30 pages).[6] Y. Chen, Q. Yang. Dynamics of a hyperchaotic Lorenz-type system[J].Nonlinear Dynam,2014,77:569-581.[7] 陈玉明.基于Lorenz型系统的四维超混沌系统的复杂动力学研究[D].广州:华南理工大学,2014.[8] 刘永建,程俊芳.四维超混沌Lorenz系统的Hopf分岔. 河南大学学报[J].2013,43(1):11-16.[9] Y. Chen, Q. Yang. A new Lorenz-type hyperchaotic system with a curve of equilibria[J].Math. Comput. Simulat.,2015,112:40-55.[10] Z. Wei. Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria[J].Phys. Lett. A,2011,376:102-108.[11] L. Stenflo. Generalized Lorenz equations for acoustic-gravity waves in the atmosphere[J].Phys. Scr.,1996,53:83-84.。
7.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数
2. 菲根鲍姆常数
吸引子
3. 奇怪
奇怪吸引子
利用李雅普诺夫指数λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：
在一维映射中λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ，而且沿相空间的不同方向，其 λi (i =1,2,…)值一般也不同。
)
exp(00n n λ⋅⋅−≈−n y x y x
面积 。
r <1 时坐标原点是稳定的不动点，当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1与 C 2是稳定的焦点。
=24.7368） C 1与 C 2成了不稳定的焦点。
c r r >
奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。
但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。
是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？
如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。
巴克尔变换描写了这种变换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+<≤==++1212121021
1n n n n n n n x ay x ay y x x ，，
在平面的投影
c =2.6
c =3.5 c =4.1
c =4.18 c =4.21
c =4.6。
吸引子 吸引域
吸引子吸引域全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：吸引子和吸引域是数学中的重要概念，它们描述了动力系统中的一些重要性质。
吸引子是指系统在无限时间演化过程中，某种稳定状态或轨道会吸引其他轨道到它附近，形成一个稳定的结构。
而吸引域则是描述了系统的初始状态属于哪些状态空间内的点，可以被吸引到某个吸引子附近。
在动力系统中，吸引子可以有多种形式，比如平衡点、周期轨道、混沌吸引子等。
平衡点是指系统在平衡时的状态，当系统处于平衡点附近时，它会回到平衡点，形成一个稳定的结构。
周期轨道是指系统在周期性变化的轨道上运动，当系统处于周期轨道附近时，它会根据周期轨道的周期性变化而变化。
混沌吸引子是指系统在混沌状态下的稳定结构，当系统处于混沌吸引子附近时，它会受到混沌结构的影响，表现出复杂的行为。
在动力系统的演变过程中，吸引子的稳定性对系统的性质有很大的影响。
如果吸引子是稳定的，那么系统就会趋向于这个稳定状态，表现出较为简单的行为。
反之，如果吸引子是不稳定的，那么系统就会表现出复杂的行为，甚至会出现混沌状态。
吸引域描述了系统中的吸引子的影响范围，即描述了系统中的哪些初始状态能被吸引到某个吸引子附近。
通常，吸引域可以通过数学方法推导出来，从而分析系统的性质。
在实际应用中，吸引域的研究对系统的控制和优化起着重要的作用。
吸引子和吸引域是动力系统中重要的概念，它们描述了系统中稳定结构和初始状态的影响。
通过对吸引子和吸引域的研究，可以深入理解系统的动态特性，从而更好地控制和优化系统的行为。
【2000字】第二篇示例：吸引子与吸引域是一种在动力系统和混沌理论中常见的概念。
吸引子是在相空间中特定的几何结构，描述了系统在长时间演化后会收敛到的稳定状态，而吸引域则是描述了系统中所有初始条件演化后会收敛到同一个吸引子的区域。
在动力系统中，吸引子和吸引域是研究系统演化行为和稳定性的重要工具。
吸引子是一种在相空间中围绕某个稳定状态的轨迹集合。
它可以是一个点、一条线、一个环或者更加复杂的几何结构。
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含指数项广义平方映射的分岔和吸引子包伯成1)2) 康祝圣3) 许建平4) 胡 文1)1)(南京理工大学电子工程系,南京 210094)2)(江苏技术师范学院电气信息工程学院,常州 213001)3)(电子科技大学电子工程学院,成都 610054)4)(西南交通大学电气工程学院,成都 610031)(2008年1月21日收到;2008年2月12日收到修改稿)由平方映射延伸构造出了一类含指数项的广义平方映射,并由一维映射通过一次耦合项得到了二维映射.利用一参数分岔图、二参数动力学行为分布图、映射迭代曲线和吸引子相图等方法对这类广义平方映射进行了分析和仿真.研究结果表明:一维广义平方映射分布在一个单位区域内的,有着与单峰平方映射相类似的非线性动力学现象;而二维广义平方映射则存在Hopf分岔和锁频等现象,有着复杂多变、形状奇异的极限环和混沌吸引子.关键词:广义平方映射,分岔,迭代曲线,吸引子PACC:05451 引言分岔和混沌等非线性现象广泛存在于电子学、物理学、化学、生物学以及技术科学、社会科学等各个领域[1,2].混沌及其混沌控制在电子系统、保密通信、数据加密、故障诊断等众多领域中得到了广泛的应用[3].近年来,Hayes和Corron等人通过加载随机信号,从线性系统中获得了反时间的混沌信号[4,5],说明了混沌不仅是非线性动力学系统所特有的现象.自从Logistic映射、H non映射和Lorenz方程等提出以来,人们不断发现新的混沌系统[6 10],或者从已有的映射和方程等作延伸构造出新的混沌系统[11 13],在对这些系统深入研究的基础上,建立相应的理论体系[14 16],并不断发现新的非线性物理现象[17,18].平方映射与Logistic映射互为拓扑共轭,是非线性映射分岔和混沌现象的理论研究和应用实践的通用范例[12,13,18].本文重点研究一类含指数项的广义平方映射的动力学特征.首先构造含指数项的广义平方映射,其一维映射可以从平方映射中直接延伸出来,而二维映射则由一维广义平方映射通过一次耦合项得到.然后对它们非线性动力学现象进行详细的分析讨论和数值仿真,给出二维广义平分映射所具有的复杂多变、形状奇异的极限环和混沌吸引子的仿真结果.2 一维广义平方映射从平方映射x n+1=b[1-x2n](1)出发,我们首先定义本文提出的含指数项的一维广义平方映射x n+1=f(x n)=b[exp(ax2n)-x2n];a[5,+!],b[-1,1],x(0)[-1,1],(2)式中有两个控制参数a和b.显然,当a=0时,(2)式变成(1)式,即平方映射是上述定义的一维广义平方映射的特例.换句话说,一维广义平方映射应具有平方映射的所有特征,而它是否表现出其他新的特征将是本节讨论的重点.2 1 函数曲线特征和不动点由(2)式可求出f∀(x)=-2bx[a exp(-ax2)+1],(3)故此映射的临界点x为0.当x=0时,在b[-1, 0)区间内,(2)式具有极小值b;在b(0,1]区间内, (2)式具有极大值b;若设b[-1,1],则满足f: [-1,1]#[-1,1].图1(a)为b=1时,a=5,10,50,500对应的函第58卷第3期2009年3月1000 3290 2009 58(03) 1420 12物 理 学 报AC TA PHYSIC A SINICAVol.58,No.3,March,20092009Chin.Phys.Soc.数曲线;图1(b)为a =10时,b =1,0 7,0 4,-0 4,-0 7,-1对应的函数曲线.可见曲线的结构与上述分析的结果相符.从图1中可以看出,当a ∃5,x 渐近%1边界时,广义平方映射函数的指数项部分迅速衰减并无限趋近0.在b (-1,1)区间内,广义平方映射有一个不动点(与对角线的交点),随着参数b 的变化,不动点历经稳定点和不稳定点之间变化.当b 接近%1边界时,广义平方映射将产生另一个新的不动点.参数a 越大,广义平方映射不动点转变成不稳定点时参数b 离中心0点的距离越短,即b 的绝对值越小,致使映射出现第一次倍周期分岔位置离中心0点距离越小.图1 (a)b =1时,a =5,10,50,500对应的函数曲线;(b)a =10时,b =1,0 7,0 4,-0 4,-0 7,-1对应的函数曲线图2 广义平方映射的分岔图和Lyapunov 指数当b =%1时,映射方程在x =%1边界附近各产生一个不动点,分别是b =1时x &-1;b =-1时x &1.该不动点的斜率为f ∀(%1)&2>1,是不稳定的不动点,映射在这里发生了奇变发散,因此,当a ∃5时,b =%1是广义平方映射的迭代边界,即广义平方映射将分布在一个单位区域内.2 2 不动点的演变与倍周期分岔图2给出了广义平方映射在a =10时的分岔图和对应的Lyapunov 指数谱.当a =10时,在b (-1,1)区间内广义平方映射有一个交点不动点.由于分岔具有奇对称性,下面将讨论b [0,1)区间内不动点的演变情况.当b =0 317时,一次迭代曲线在x =0 2附近与对角线交点处斜率为-1,即特征值在b =0 317附近将越出-1的边界,不动点转变成一个不稳定点,映射出现了第一次倍周期分岔,产生了周期2运行轨道.在二次迭代映射曲线上,该不动点是图3(a)中的一个切点A ,随着参数b 增加,此切点分裂成三个交点,其中有二个交点为稳定点,产生了两条稳定轨道,有一个交点为不稳定点,产生了一条不能观察到的不稳定轨道.在b =0 545附近,如图3(b)14213期包伯成等:含指数项广义平方映射的分岔和吸引子所示的A 和C 稳定点斜率逐渐变化成-1,随着参数b 增加,其特征值穿过-1边界,导致A 和C 稳定点转变成两个不稳定点,产生了第二次倍周期分岔,即周期4分岔.图3(b)中A 和C 两个交点在图3(c)四次迭代曲线上是两个切点,切点将分裂成四个稳定点和两个不稳定点.图3(d)为b =0 596附近的八次迭代曲线图,从图中可以看到参数b 增加到0 596附近时,原先的四个稳定点都趋向了临界点,表现在图3(d)中转变成了四个切点,遍历了周期2分岔和周期4分岔一样的历程.同时可以看出,不动点的稳定区域将变得越来越窄,可以计算出映射出现倍周期分岔时所对应参数值b n (n =1,2,∋)序列间隔比的极限为∀=lim n #!b n -b n -1b n +1-b n=4 4706,(4)(4)式给出的 ∀与Feigenbaum 常数 =4 66920∋十分接近,说明广义平方映射与单峰平方映射和Logistic 映射等所决定的系统具有一些共同规律,即在通向混沌道路的一系列倍周期分岔过程中,在参数空间中都表现出自相似性.图3 不动点演变的映射迭代曲线图 (a)和(b)为二次迭代曲线,(c)为四次迭代曲线,(d)为八次迭代曲线,(a),(c)和(d)分别对应于出现周期2,4,8附近的二、四、八次迭代曲线2 3 切分岔和周期窗的形成图2所示的分岔图在b [0,1)区间内是典型的正分岔情形,在混沌区域内出现了一个较大的周期3窗口和较小的周期5窗口,其局部分岔图如图4(a)和(b)所示,周期窗中周期3和周期5轨道遍历相似的倍周期分岔后通向了混沌道路,并在窗口结束位置发生混沌危机,引起混沌状态的突变,由密致的窄带突然变为较稀疏的一个宽带.混沌危机的出现是由于不稳定周期轨道与次级混沌带相遇引起混沌带中的轨道充斥于各轨道之间.观察图4(a),当参数b 增大到0 7442附近时,广义平方映射产生了切分岔,引发了阵发混沌,出现了周期3窗口.图4(c)给出了b =0 7442附近的三次映射迭代曲线,三次迭代曲线与对角线刚好相切,产生了三个切点A ,B ,C 和一个不稳定的交点D ,这三个切点就形成三条稳定的周期轨道和三条不稳定轨道,三条不能观察到的不稳定轨道在窗口结束处与次级混沌带相遇,从而引起混沌危机.图4(d)则是b =0 6776附近的五次映射迭代曲线,与对角线相切时产生了五个切点A ,B ,C ,D ,E 和一个不稳定的交点H ,五个切点不动点就形成五条稳定的周期轨道和五条不稳定的轨道.1422物 理 学 报58卷图4 (a)周期3窗;(b)周期5窗;(c)三次迭代曲线;(d)五次迭代曲线图5 (a)广义平方映射动力学行为分布图;(b)局部图2 4 动力学行为分布二参数a 和b 同时变化时,在初值x (0) [-1,1]内,广义平方映射的动力学行为分布如图5所示.图5是根据周期数的大小使用相应的黑白灰度将该映射点在二参数平面中绘出,图5(a)的x 坐标是线性尺度,y 坐标是指数尺度;而图5(b)的x 和y 坐标都是线性尺度.图中白色区域代表周期1,黑色区域代表混沌,周期数越大则灰度越深.可以看出,大周期数和混沌区域主要集中在参数b 左右两侧区间内,在此区间内还夹杂着小周期数区域,说明在混沌区域内存在周期窗口.从图中还可以看出,随参数a 指数值增大,大周期区域逐渐向参数b 的中心0点靠拢.在分布图上取水平直线,就可以得到不同参数a 下参数b 在[-1,1]范围内变化时映射的分岔图,如图6所示.从图6中可以看出,广义平方映射具有与单峰平方映射和Logistic 映射相类似的非线性动力学现象,随着参数的变化,出现了倍周期分岔、混沌、切分岔、阵发混沌、周期窗等现象.同时可以看出,14233期包伯成等:含指数项广义平方映射的分岔和吸引子a 值越大,出现第一次分岔位置越趋向中心0点.观察图6,我们发现,当参数a 增大时,出现的Feigenbaum 倍周期分岔过程受到了一定的破坏.图6(a)出现倍周期分岔所对应的b 值分别为0 1517,0 4764,0 4997,序列间隔比为 a =13 9356;图6(b)出现倍周期分岔所对应的b 值分别为0 0492,0 331,0 3771,序列间隔比为 b =6 1345.计算结果与Feigenbaum 常数相差较大,表明在大参数a 时,映射的分岔行为没有严格遍历Feigenbaum 倍周期分岔过程.图6 在不同参数a 下b 变化时的分岔图:(a)a =50;(b)a =5003 二维广义平方映射3 1 映射构造及其动力学行为通过一次耦合项,构造以下二维广义平方映射x n +1=b 1[exp(-ax 2n)-x 2n]+ry n ,y n +1=b 2[exp(-ay 2n)-y 2n]+rx n ,(5)二维广义平方映射的动力学行为是由控制参数r ,a ,b 1,b 2决定.选取参数在r [-1,1],b 1=b 2=b [-1,1]的区间内同时变化,二维广义平方映射的动力学行为分布图如图7所示.图7(a),(c)和(d)为初值[x 0,y 0]=[0,0 1]时,参数a =10,100,1000时的分布图;图7(b)则为初值[x 0,y 0]=[0,0]时,参数a =10时的分布图.从图7中可以看到,二维广义平方映射在不同参数a 和初值下,其动力学行为分布变化较大.图7(a)中大周期数和混沌区域主要集中在参数r =0 4附近上下两个区间内,从下面的分析得知,在参数r =0 4上区间内,二维广义平方映射在出现周期2分岔后经由Hopf 分岔通往混沌;而下区间内,则是先由倍周期分岔通往混沌,然后经切分岔产生周期窗口,并在其内发生Hopf 分岔再进入混沌.图7(c)和7(d)逐步把两个混沌区域连成了一片.3 2 分岔图及其分析当a =10,初值[x 0,y 0]=[0,0 1]时,图8分别给出了r =0 5,r =0 7,r =-0 4,b 1=b 2=b [-1,1]时,变量y 的全局和局部分岔图.从图8可以看到,二维映射b 1=b 2=b 时,分岔图具有一定的奇对称性,因此我们只讨论b [0,1)区间内系统行为的演变情况.当r =0 5时,在图8(a )和(b)中,在b [0,0 16]区间内,系统趋于一个不动点,增加参数b ,在b =0 16附近发生了倍周期分岔,出现了周期2运行轨道;在b =0 387附近周期2轨道发生Hopf 分岔,系统将会在相平面上出现围绕着原有周期2点的两个极限环;进一步增加b ,相平面会出现奇异吸引子.当r =0 7时,在图8(c)和(d)中,在b =0 089附近系统发生了周期2分岔;在b =0 306附近周期2轨道失稳,系统发生了Hopf 分岔.当r =-0 4时,在图8(e)和(f)中,系统出现的分岔现象较上面两种情况复杂.在b =0 229附近系统发生了周期2分岔,接着在b =0 425,b =0 481和b =0 492附近依次发生了周期4、周期8和周期16分岔,直至出现混沌.在b =0 564附近系统发生切分岔,产生了周期2窗口.在b [0 557,0 665]周期2窗区间内,系统出现了以周期5为起始的和以1424物 理 学 报58卷图7 二维广义平方映射动力学行为分布图 (a)a=10,[x,y0]=[0,0 1];(b)a=10,[x0,y0]=[0,0];(c)a=100,[x0, y0]=[0,0 1];(d)a=1000,[x0,y0]=[0,0 1]两个平行周期3为起始的吸引子共存现象.在b= 0 659附近系统发生了Hopf分岔,相平面将出现两个极限环.在b=0 690附近系统又发生切分岔,产生了周期3窗口,周期3窗口内的周期轨道随着参数b增加,在b=0 717附近系统发生周期2分岔,并在b=0 733附近发生Hopf分岔,相平面将出现六个极限环;然后在b=0 747附近系统出现混沌危机,三个混沌窄带变成了一个混沌宽带.图9给出了另外一组不同参数值下,选取某一分岔参数变化时变量x的分岔图.3 3 极限环和混沌吸引子图10给出了不同参数值下二维广义平方映射的吸引子,从图中可见奇异吸引子是一种始终限于有限区域且轨道永不重复的、形态复杂的运动.它所具有的精细结构在所有尺度上都存在,甚至在无穷长时间极限下,吸引子也不会在相平面内形成一个实体(说明:在图10,图11和图12中,横轴是x坐标,纵轴是y坐标,一组不同的三个参数值分别对应于每行的三个相图,第一行为图(a),第二行为图(b),依次类推).观察图10(a),(b)和(c),并结合对图8(a)和(b)分岔图的分析,可知(5)式所描述的系统最初出现在相平面上是一个周期1点,然后周期2分岔后出现了周期2点,周期2点失稳发生Hopf分岔后,相平面上出现了两个极限环,随参数b增加,两个极限环增大变形,形成了奇异的极限环吸引子,并逐步转变成了奇异的混沌吸引子.图10中的吸引子具有很好的对称性,这与文献[13]中给出的下述定理的结论一致.定理 令z n=x n+i y n,记z*n=y n+i x n,则式(5)可表示为z n+1=f(z n),由它构造吸引子,有[f k(z n)]*=f k(z*n) (k=1,2,∋,N),(6) N为迭代次数.该定理说明(5)式的吸引子在b1=b2=b时关于y=x对称.图11和图12给出了二维广义平方映射控制参数r,a,b1,b2在其他取值时的奇异吸引子.在图11和图12中,可以观察到二维广义平方映射具有复杂多样的极限环和混沌吸引子,并且随控制参数值的14253期包伯成等:含指数项广义平方映射的分岔和吸引子图8 二维广义平方映射的分岔图 (a)r=0 5全局图;(b)r=0 5局部图;(c)r=0 7全局图;(d)r=0 7局部图;(e)r= -0 4全局图;(f)r=-0 4局部图变化,系统从环面过渡到混沌,或者两个环面相遇时,具有锁频现象并出现复杂的准周期运动.而在一维广义平方映射中,未进入混沌区时,不会出现这种现象.另外,从图11(d)和(e)容易观察到,当参数b1,b2不一致时,二维广义平方映射的吸引子不具有对称性.在上述两条通向混沌的道路上,我们观察到了二维广义平方映射的周期倍化现象,同时也观察了形态不一的极限环和混沌的奇异吸引子.这说明由(5)式所描述的系统可按倍周期分岔和Hopf分岔走向混沌.1426物 理 学 报58卷图9 另外一组二维广义平方映射的分岔图 (a)a=10,b1=b2=0 5;(b)a=10,b1=b2=0 6;(c)a=10,b1= 0 6,b2=0 3;(d)a=100,r=0 54 结论本文构造了含指数项的一维和二维广义平方映射,采用一参数分岔图、二参数动力学行为分布图、映射迭代曲线和吸引子相图等方法,对这类广义平方映射进行了全面深入的研究.含指数项广义平方映射有着一般映射所不同的分岔现象和奇异吸引子,具体表现在:1 在确定的控制参数区间内,一维广义平方映射分布在一个单位区域内,有着与单峰平方映射相类似的非线性动力学现象.但在大参数a时,映射的分岔行为没有严格遍历Feigenbaum倍周期分岔过程.2 二维广义平方映射存在Hopf分岔和锁频等现象,其吸引子在b1=b2=b时关于y=x对称,极限环和混沌吸引子呈现出了十分复杂的但丰富多变的图案.限于篇幅,本文没有对广义平方映射进行较详细的定量分析,只给出了部分仿真结果.广义平方映射的复动力学现象如何?具有什么样的M J集?其映射的分形尚待进一步研究.14273期包伯成等:含指数项广义平方映射的分岔和吸引子图10 二维广义平方映射的吸引子 (a)r =0 5时,b =0 40,b =0 45,b =0 46;(b)r =0 5时,b =0 47,b =0 485,b =0 49;(c)r =0 5时,b =0 5,b =0 55,b =0 65;(d)r =0 7时,b =0 45,b =0 52,b =0 54;(e)r =-0 4时,b =0 55,b =0 745,b =0 751428物 理 学 报58卷图11 二维广义平方映射参数 =10的奇异吸引子 (a)b1=b2=0 5时,r=0 35,r=0 37,r=0 43;(b)b1=b2=0 5时,r =0 45,r=0 55,r=0 75;(c)b1=b2=0 6时,r=-0 55,r=-0 54,r=-0 03;(d)b1=0 6,b2=0 3时,r=-0 4, r=0 31,r=0 35;(e)b1=0 6,b2=0 3时,r=0 45,r=0 6,r=0 714293期包伯成等:含指数项广义平方映射的分岔和吸引子图12 二维广义平方映射其他参数值下的奇异吸引子 (a)r =0 5,a =100时,b =0 42,b =0 5,b =0 68;(b)r =0 7,a =100时,b =0 37,b =0 5,b =0 55;(c)a =1000时,r =0 7,b =0 38,b =0 5和r =0 8,b =0 5;(d)a =10000时,r =0 5,b =0 55和r =0 7,b =0 45,b =0 55;(e)r =-0 8,a =1000时,b =-0 25,b =0 45,b =0 851430物 理 学 报58卷[1]Sajid I,Masood A,Suhail A Q 2007Int .Journal o f Elect rical ,Computer ,and Syste ms Enginee ring 1166[2]Donato C,Giuseppe G 2006Nonline ar Dynamic s 44251[3]Lin F Y,Liu J M 2004IEEE J .Quantum Elec tron .40815[4]Hayes S T 2005J .Phys .Con f .Series 23215[5]Corron N J,Hayes S T,Pethel S D,Blakely J N 2006Phys .Re v .Lett .97024101[6]Zhou T,Chen G,Yang Q 2004Chaos ,Solitons and Frac tals 19985[7]Cai G L,Tan Z M,Zhou W H,Tu W T 2007Acta Phys .Sin .566230(in Chinese)[蔡国梁、谭振梅、周维怀、涂文桃2007物理学报566230][8]Yu W P,Wei X P 2006Acta Phys .Sin .553969(in Chinese)[于万波、魏小鹏2006物理学报553969][9]Yu S M 2008Acta Phys .Sin .573374(i n Chinese)[禹思敏2008物理学报573374][10]Bao B C,Li C B,Xu J P,Liu Z 2008Chin .Phys .174022[11]El wakil A S,Ozoguz S,Kennedy M P 2002IEEE Trans .Circ uits Syst . 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