x068-2017-2018北京西城铁路二中高一上期中试卷 北师大版 数学word含解析

北京市铁路第二中学2017—2018学年度第一学期高一数学期中试卷本试卷共22题，满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）1．已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =（ ）．A ．{}3,5B ．{}3,4C ．{}2,3D ．{}0,2 【答案】C【解析】解： {}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，∴2M ∈，2N ∈，3M ∈，3N ∈，∴{}2,3M N =．故选C ．2．设集合{}2|10A x x =->，{}2|log 0B x x =>，则A B =（ ）．A ．{}|1x x >B ．{}|0x x >C ．{}|1x x <-D ．{|1x x <-或}1x > 【答案】A【解析】解：{}2|10A x x =->{|1x x =<-或}1x >，{}2|log 0B x x =>{}|1x x =>，∴{}|1A B x x =>．故选A ．3．函数()f x = ）．A ．(3,1]-B ．(3,0]-C ．(,3)(3,0]-∞--D ．(,3)(3,1]-∞-- 【答案】B【解析】解：()f x∴120x -≥且30x +>，得30x -<≤，∴()f x 定义域为(3,0]-．故选B ．4．已知函数2log (0)()3(0)x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，那么14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（ ）．A ．19 B ．9 C ．19- D ．9-【答案】A 【解析】解：104x =>， ∴22211log log 2244f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，20x =-<，21(2)39f --==， ∴11(2)49f f f ⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 故选A ．5．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数()1y f x =+的值域为（ ）．A ．[,]a bB ．[1,1]a b ++C ．[1,1]a b --D ．无法确定【答案】B【解析】解：()f x 的值域为[,]a b ，∴()[,]f x a b ∈，∴()1[1,1]f x a b +∈++．故选B ．6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数2y x bx c =++的图像经过(1,0)，，求证：这个二次函数的图像关于直线2x =对称”，根据已知消息，题中二次函数图像不具有的性质是（ ）．A ．在x 轴上的截线段长是2B ．与y 轴交于点(0,3)C ．顶点(2,2)-D ．过点(3,0)【答案】B【解析】解：A 、因为图像过点(1,0)，且对称轴是直线2x =，另一点对称点(3,0)，故A 正确； B 、由已知条件可求得函数的解析式为243y x x =-+，顶点坐标为(2,1)，故B 错误；C 、由22b-=，故4b =-，故C 正确； D 、243y x x =-+，0x =时，3y =，故函数与y 轴交点为(0,3)，故D 正确．故选B ．7．已知()x f e x =，则(5)f =（ ）．A ．5eB ．5︒C ．5log eD ．ln 5【答案】D【解析】解：()x f e x =，5x e =时，ln 5x =，∴(5)ln5f =．选D ．8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）．A ．4.25分钟B ．4.00分钟C ．3.75分钟D ．3.50分钟【答案】C 【解析】解：由图知，函数2p at bt c =++过(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)三点，代入可得：930.71640.82550.5a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：0.21.52a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，故20.2 1.52p t t =-+-，该二次函数开口朝下， 当 1.5 3.7520.4b t a -==-=-时，取得最大值． 故选C ．9．函数2413x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是（ ）．A ．[1,2]B ．[1,3]C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞ 【答案】D 【解析】解：2244133x x x x y --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∵13y x =在R 上单调递增，224y x x =-在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， ∴243x x y -+=在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．故选D ．10．已知函数()()(3)f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,4)-∞-B ．(4,0)-C ．[4,0)-D ．(4,)-+∞【答案】B【解析】解：由()220x g x =-<，得1x <，故对1x ≥时，()0g x <不成立，从而对任意1x ≥，()0f x <恒成立，因为()(3)0a x a x a ⋅-⋅++<，对任意1x ≥恒成立，如图所示，则必有0131a a a <⎧⎪<⎨⎪--<⎩，计算得出40a -<<．故选B ．二、填空题11．lg42lg5+=__________．【答案】2【解析】解：lg42lg5+2lg22lg5=+2(lg 2lg5)=+ 2lg10=2=．12．已知0a >，化简1153412a a a =__________．【答案】a 【解析】1153412a a a1514351310412a a a a a a ++====．13．请将三个数0.31.5-，0.11.5，1323⎛⎫ ⎪⎝⎭，按照从小到大的排序排列__________． 【答案】130.30.12 1.5 1.53-⎛⎫<< ⎪⎝⎭【解析】解：11133323 1.532--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵32x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，且10.30.13-<-<， ∴10.30.13333222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴130.30.12 1.5 1.53-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．14．方程223x x -=-的实数解的个数为__________．【答案】2【解析】解：由下图可知2x y -=与23y x =-有两个交点，∴223x x -=-有2个解．15．若一次函数()f x ax b =+有一个零点2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是__________．【答案】0和12- 【解析】解：∵()f x ax b =+有个零点是2，∴(2)20f a b =+=， ∴12a b =-， 又()()g x x bx a =-， ∴1=0x ，212a xb ==-．16．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，[1,2]x ∈与函数2y x =，[2,1]x ∈--即为“同族函数”，给出下面四个函数：①3x y =；②|3|y x =-；③23y x x =-+；④3log y x =．其中能够被用来构造“同族函数”的是__________．（写出所有符合条件的序号）【答案】②③【解析】解：由题知“同族函数”应具备对称性，①、3x y =单调递增，不对称，错误；②、|3|y x =-关于3x =对称，可用来构造“同族函数”；③、23y x x =-+关于32x =对称，可用来构造“同族函数”； ④、3log y x =在(0,)+∞上单调递增，不对称，错误．故选②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数2()log (2)a f x x x =--，其中0a >且1a ≠．（1）若2a =，求满足()2f x >的x 集合．（2）若924f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求a 的取值范围． 【答案】（1）{|2x x <-或}3x >．（21a <<． 【解析】解：（1）2a =，22()log (2)f x x x =--，()2f x >时，222log (2)log 4x x -->， ∴224x x -->，即260x x -->，得{|2x x <-或}3x >．（2）981913log 2log 2416416a a f ⎛⎫⎛⎫=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1a >时，213log 2log 16a a a >=，∴21316a >，得1a <，矛盾，舍去， 01a <<，213log 2log 16a a a >=， ∴21316a <，1a <<，1a <<．18．（本小题满分12分）已知二次函数2()2232f x kx x k =---，[5,5]x ∈-．（1）当1k =时，求函数()f x 的最大值和最小值．（2）求实数k 的取值范围，使()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数．【答案】（1）55；（2）112-．【解析】解：（1）1k =时，2()225f x x x =--，()f x 对称轴为12x =， ∴()f x 在15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴max ()(5)22510555f x f =-=⨯+-=，min 11111()1562222f x f -⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭． （2）∵()f x 关于12x k=对称， ∴要使()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数， 则必有152k -≤或152k≥， 计算得出1010k -<≤或1010k <≤， 即实数k 的取值范围是11,00,1010⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．19．设常数0a ≥，函数2()2x x a f x a+=-，当a 取何值时，函数()y f x =为奇函数或偶函数？并说明理由．【答案】见解析．【解析】解：若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-对任意x 均成立，所以2222x x x x a a a a--++=--， 整理可得(22)0x x a -⋅-=，∵22x x --不恒为0，∴0a =，此时()1f x =，x ∈R ，满足条件，若()f x 为奇函数，则()()f x f x =-对任意x 均成立，所以2222x x x x a a a a--++=--， 整理可得210a -=，所以1a =±，∵0a >，∴1a =，此时21()21x x f x +=-，0x ≠，满足条件， 综上，0a =时，()f x 是偶函数，1a =时，()f x 是奇函数．20．（本小题满分12分）已知函数2()2(,*)f x ax x c a c =++∈N ，满足①(1)5f =；②6(2)11f <<．（1）求a ，c 的值．（2）设()()23|1|g x f x x x =--+-，求()g x 的最小值．【答案】（1）1，2；（2）14-． 【解析】解：（1）(1)25f a c =++=，(2)44(6,11)f a c =++∈，又523c a a =--=-，∴443a a ++-37(6,11)a =+∈， ∴1433a -<<， 又*a ∈N ，∴1a =，2c =．（2）2()22f x x x =++，∴()()23111g x f x x x =--+-22223111x x x x =++--+-1111x x 2=+--，1x ≥时，2()2g x x x =+-，此时()g x 在[1,]+∞上单调递增，∴min ()(1)1120g x g ==+-=，1x <时，2()g x x x =-，()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， ∴min 1111()2424g x g ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，又104-<， ∴min 11()24g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．21．（本小题满分12分）某市居民自来水收费标准如下，每户每月用水不超过4吨时每吨为1.8元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x (吨)． （1）求y 关于x 的函数关系式．（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【答案】（1）20.8,[0,1]527.87,1,353214,,3x x y x x x x ⎧⎪∈⎪⎪⎡⎤=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫-∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩． （2）7.5吨，23元；4.5吨，11.7吨．【解析】解：（1）根据题意知，0x ≥，令55x =，得1x =，令35x =，得53x =， 则当01x ≤≤时，(53) 2.620.8y x x x =+⨯=， 当513x <≤时， 5 2.6(55)43 2.6y x x =⨯+-⨯+⨯27.87x =-， 当53x >时， (55) 2.6(5355)4y x x =+⨯++--⨯3214x =-， 即得20.8,[0,1]527.87,1,353214,,3x x y x x x x ⎧⎪∈⎪⎪⎡⎤=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫-∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩． （2）因为()y f x =在各段区间上均单调增，当[0,1]x ∈时，(1)20.834.7y f =<≤， 当51,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，539.334.73y f ⎛⎫≈> ⎪⎝⎭≤， 令27.8734.7x -=，得 1.5x =，所以甲户用水量为57.5x =吨，付费15 2.6 2.5423S =⨯+⨯=元，乙户用水量为3 4.5x =吨，付费2 4.5 2.611.7S =⨯=元．22．（本小题满分12分）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A 由全体二元有序实数组组成，在A 上定义一个运算，记为⊙，对于A 中的任意两个元素 (,)a b α=，(,)c d β，规定：α⊙(,)ad bc bd ac β=+-．（1）计算：(2,3)⊙(1,4)-．（2）请用数学符号语言表述运算⊙ 满足交换律和结合律，并任选其一证明． （3）A 中是否存在唯一确定的元素I 满足：对于任意A α∈，都有α⊙I I =⊙αα= 成立，若存在，请求出元素I ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(5,14)；（2）存在；(0,1)．【解析】解：（1）(2,3)(1,4)⊗-(83,122)=-+(5,14)=．（2）设元素(,)I x y =，(,)a b α=，则(,)I d bx ay by ax ⊗=+-，∵I d d ⊗=，∴bx ay a by ax b+=⎧⎨-=⎩恒成立， ∴01x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,1)I =满足条件．。