第一章-命题逻辑1
离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
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1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
离散数学第⼀章命题逻辑知识点总结数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟⼀的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟⼀确定的也不是命题。
简单命题(原⼦命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按⼀定规则复合⽽成的命题简单命题符号化⽤⼩写英⽂字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表⽰简单命题⽤“1”表⽰真，⽤“0”表⽰假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“?”定义设p为命题，复合命题“⾮p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作?p. 符号?称作否定联结词，并规定?p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为⼆命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既⽤功⼜聪明.(2) 王晓不仅聪明，⽽且⽤功.(3) 王晓虽然聪明，但不⽤功.(4) 张辉与王丽都是三好⽣.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓⽤功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧?q.令r : 张辉是三好学⽣，s :王丽是三好学⽣(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句⼦是⼀个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为⼆命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) ⼩元元只能拿⼀个苹果或⼀个梨.(5) 王晓红⽣于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.⽽ (4), (5) 为排斥或.令t :⼩元元拿⼀个苹果，u:⼩元元拿⼀个梨，则 (4) 符号化为 (t∧?u) ∨(?t∧u).令v :王晓红⽣于1975年,w:王晓红⽣于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧?w)∨(?v∧w), ⼜可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“?”定义设p,q为⼆命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p?q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. ?称作蕴涵联结词，并规定，p?q为假当且仅当p 为真q 为假.p?q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除⾮q, 才p 或除⾮q, 否则⾮p.当p 为假时，p?q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“?”定义设p，q为⼆命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p?q. ?称作等价联结词.并规定p?q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p?q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p?q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),?, ù, ú, ?, ?同级按从左到右的顺序进⾏以上给出了5个联结词：?, ù, ú, ?, ?，组成⼀个联结词集合{?, ù, ú, ?, ?}，联结词的优先顺序为：?, ù, ú, ?, ?; 如果出现的联结词同级，⼜⽆括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进⾏括号中的运算.注意: 本书中使⽤的括号全为园括号.命题常项命题变项1.2 命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (?A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(AùB), (AúB), (A?B), (A?B)也是合式公式?(4) 只有有限次地应⽤(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语⾔与对象语⾔, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下⾯情况之⼀：(a) A=?B, B是n层公式；(b) A=BùC, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=BúC, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B?C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B?C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层?p 1层pq 2层(pq)r 3层((?pùq) ?r)?(?rús) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定⼀组真值称为对A的⼀个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值a=a1a2…a n之间不加标点符号，a i=0或1. A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值a1a2…a n是指p1=a1, p2=a2, …, p n=a nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值a1a2a3…是指p=a1,q=a2 , r=a3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q?p) ùq?p的真值表例 B = ? (?púq) ùq的真值表例C= (púq) ??r的真值表命题的分类重⾔式⽭盾式可满⾜式定义设A为⼀个命题公式(1) 若A⽆成假赋值，则称A为重⾔式(也称永真式)(2) 若A⽆成真赋值，则称A为⽭盾式(也称永假式)(3) 若A不是⽭盾式，则称A为可满⾜式注意：重⾔式是可满⾜式，但反之不真.上例中A为重⾔式，B为⽭盾式，C为可满⾜式A= (q?p)ùq?p，B =?(?púq)ùq，C= (púq)??r1.3 等值演算等值式定义若等价式A?B是重⾔式，则称A与B等值，记作A?B，并称A?B是等值式说明：定义中，A,B,?均为元语⾔符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p?q) ? ((?púq)ú (?rùr))中，r为左边公式的哑元.⽤真值表可验证两个公式是否等值请验证：p?(q?r) ? (pùq) ?rp?(q?r) (p?q) ?r基本等值式双重否定律 : ??A?A等幂律：AúA?A, AùA?A交换律: AúB?BúA, AùB?BùA结合律: (AúB)úC?Aú(BúC)(AùB)ùC?Aù(BùC)分配律: Aú(BùC)?(AúB)ù(AúC)Aù(BúC)? (AùB)ú(AùC)德·摩根律: ?(AúB)??Aù?B (AùB)AúB吸收律: Aú(AùB)?A, Aù(AúB)?A零律: Aú1?1, Aù0?0同⼀律: Aú0?A, Aù1?A排中律: Aú?A?1⽭盾律: Aù?A?0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A?B, 则F(B)?F(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：⾃反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应⽤举例——证明两个公式等值例1 证明p?(q?r) ? (pùq)?r证p?(q?r)pú(?qúr) （蕴涵等值式，置换规则）(púq)úr（结合律，置换规则）(pùq)úr（德×摩根律，置换规则）(pùq) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做⼀遍）因为每⼀步都⽤置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应⽤举例——证明两个公式不等值例2 证明: p?(q?r) (p?q) ?r⽤等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到⼀个赋值使⼀个成真,另⼀个成假.⽅法⼀真值表法（⾃⼰证）⽅法⼆观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.⽅法三⽤等值演算先化简两个公式，再观察.应⽤举例——判断公式类型例3 ⽤等值演算法判断下列公式的类型(1) qù?(p?q)解qù?(p?q)qù(púq) （蕴涵等值式）qù(pùq) （德×摩根律）pù(qùq) （交换律，结合律）pù0 （⽭盾律）0 （零律）由最后⼀步可知，该式为⽭盾式.(2) (p?q)?(?q??p)解 (p?q)?(?q??p)(púq)(qúp) （蕴涵等值式）(púq)(púq) （交换律）1由最后⼀步可知，该式为重⾔式.问：最后⼀步为什么等值于1？(3) ((pùq)ú(pù?q))ùr)解 ((pùq)ú(pù?q))ùr)(pù(qúq))ùr（分配律）pù1ùr（排中律）pùr（同⼀律）这不是⽭盾式，也不是重⾔式，⽽是⾮重⾔式的可满⾜式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为⽭盾式当且仅当A?0A为重⾔式当且仅当A?1说明：演算步骤不惟⼀,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词?, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ?A(p1,p2,…,p n) ?A* (?p1, ?p2,…, ?p n)(2) A(?p1, ?p2,…, ?p n) ??A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A ? B，则A*? B*.析取范式与合取范式⽂字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个⽂字构成的析取式如p, ?q, pú?q, púqúr, …简单合取式:有限个⽂字构成的合取式如p, ?q, pù?q, pùqùr, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式AúA2ú?úA r, 其中A1,A2,?,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式AùA2ù?ùA r , 其中A1,A2,?,A r是简单析取式1。
离散数学课件第一章(第1讲)
3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
离散数学第3版习题答案
离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。
离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。
在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。
第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。
(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。
(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。
(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。
(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。
(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。
1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。
第1章 命题逻辑
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.2逻辑联结词(Logical Connectives)
联结词“∨”的定义真值表
P
Q
P∨Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
29
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.2逻辑联结词(Logical Connectives)
1.2 逻辑联结词(Logical Connectives) 1.2.1 否定联结词(Negation) ┐ 1.2.2 合取联结词(Conjunction)∧ 1.2.3 析取联结词(Disjunction)∨ 1.2.4 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→ 1.2.5 双条件联结(等值联结词Biconditional)
1.2逻辑联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化. (1) 李平既聪明又用功. (2) 李平虽然聪明, 但不用功. (3) 李平不但聪明,而且用功. (4) 李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功. 则 (1) P∧Q (2) P∧┐Q
个值:真（用 T(true)或1 表 示）、假 （用F(false) 或0表 示） 。 ✓ 真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。 ✓ 假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。
5
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示
因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。
说明：“∧” 属于二元(binary)运算符. 合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真 时，运算结果才为真，否则为假。
第 1 章 命题逻辑
第 1 章命题逻辑数理逻辑是用数学方法研究思维规律和推理过程的科学，而推理的基本要素是命题，因此命题逻辑是数理逻辑最基本的研究内容之一，也是谓词逻辑的基础。
由于数理逻辑使用了一套符号，简洁地表达出各种推理的逻辑关系，因此，一般又称之为符号逻辑。
数理逻辑和电子计算机的发展有着密切的联系，它为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计、逻辑电路、开关理论等计算机应用和理论研究提供了必要的理论基础。
一、命题与命题变量在日常生活中，人们不仅使用语句描述一些客观事物和现象，陈述某些历史和现实事件，而且往往还要对陈述的事实加以判断，从而辨其真假。
语句可以分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句等，其中只有陈述句能分辨真假，其他类型的语句无所谓真假。
在数理逻辑中，我们把每个能分辨真假的陈述句称作为一个命题。
陈述句的这种真或假性质称之为真值或值，这就是说真值包含“真”和“假”。
因而命题有两个基本特征，一是它必须为陈述句：二是它所陈述的事情要么成立(真)，要么不成立(假)，不可能同时既成立又不成立，即它的真值是惟一的。
命题可按其真值分为两类。
若一个命题是真的，则称其真值为真，用1或T表示，称该命题为真命题；若一个命题是假的，则称其真值为假，用0或F表示，称该命题为假命题。
命题还可根据其复杂程度分类。
只是由一个主语和一个谓语构成的最简单的陈述句，称为简单命题或原子命题或原始命题。
简单命题不可能再分解成更简单的命题了，它是基本的，原始的。
当然，也有一些命题并不是最基本的，它们还可以分解成若干个简单命题。
由若干个简单命题通过联结词复合而成的更为复杂的新命题称为复合命题或分子命题。
复合命题仍为陈述句。
任意有限个简单或复合命题，还可用若干不同的联结词复合成极为复杂的复合命题。
简单命题和复合命题的真值是固定不变的，故又可称为命题常量或命题常元，简称为命题。
而有些陈述句尽管不是命题，但可以将其变成命题，它的真值是不固定的、可变的，这种真值可变化的陈述句称为命题变量或命题变元。
离散数学章节总结
离散数学章节总结离散数学章节总结第⼀章[命题逻辑]1.逻辑运算1.否定:Negation? NOT2.交:Conjunction AND3.并:Disjunction OR4.蕴含:Implication IMPLIES5. Biconditional ? IFFXOR2.逆/否/逆否1.逆:converse2.否:inverse3.逆否:conytrapositive3.问题的⼀致性[逻辑等价]→q 等价于?p q 等价于? q→?p2. p q 等价于?p→qp q 等价于?( p→?q)3.(p→q)(p→r) 等价于p→(q r)(p→r)(q→r) 等价于(p q)→r(p→r)(q→r)等价于(p q) →r4.证明等价: 真值表逻辑符号证明找反例(假设左为假右必为假假设右为假左必为假)[ 谓词逻辑]1.量词存在任意量词顺序不能随机改变不全为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x )没有⼀个为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) [ 推理][ 证明]1.证明⽅法:直接证明间接证明反证列举证明(列举所有情况) 构造证明(构造出满⾜结论的元素)2.证明步骤:正向证明反向证明第⼆章[ 集合及运算]1.特殊集合: R Q Z ⽆穷/有限集2.集合表述⽅法: 列举法描述法图表法3.集合运算: 交/并/补/差/取⼦集P(S)/元素数|S|/乘积P ×Q /BA B A B A B A ?=??=? n i iA 1= X A A ∈ ni iA 1= XA A∈容斥原理A i i =1n=Ai1≤i ≤n ∑-A iAj1≤inA ii =1n4.证明集合相等:1.证明互为⼦集 2.从属表 3.逻辑证明[ 函数]1.函数的定义2.术语：定义域，值域，象，原象，范围， (a)/f(A)第五章[序、归纳]1.序：在某种关系下存在最⼩元素则为well-ordered2.第⼀数学归纳法：basic step P(C)成⽴and inductive step P(k)→P(k+1)3.第⼆数学归纳法:basic step:P(c)成⽴ and inductive step: 任意k⼩于等于nP(k) 成⽴→P(n+1) [递归]1.递归：以相同形式⽤⼩的项来定义的⼤的项不能⼀直递归下去（存在初始项）必须存在可以直接解决问题的⼀项①basic step:原有元素② recursive step:原有元素如何产⽣新元素2.字符串的定义：空字符，回⽂3.结构归纳：⽤于证明递归结构对所有元素都成⽴：①basic step:原有元素成⽴②recursive step:⽤递归式导出的新元素成⽴[递归算法]1.定义：把问题转化为相同形式但值更⼩的算法2.递归算法有初始步骤（是可终⽌的）并且递归时⾄少改变⼀个参数值使之向初始步骤靠拢3.递归时间复杂度⾼，可以⽤⾮递归（loop或 stack）来代替[程序的正确性]1.测试与证明：证明更有说服⼒2.证明：①程序会终⽌②（部分正确）程序只要可以终⽌得出的结论都是正确的正确的程序：对任意可能的输⼊都有正确的输出部分正确，完全正确triple：P{S}QP: precondition S: assertion Q:postconditionP{S}Q:当PQ正确时为部分正确当证明了S的可终⽌性为完全正确4.程序的基本语句：赋值，命题，条件，循环5.弱化结论：P{S}R R→Q：P{S}Q强化条件Q→R R{S}P：Q{S}P复合：P{S1}R R{S2}Q: P{S1;S2}Q第六章[加法乘法原理]1.加法乘法原理：⽅法不重复，互不影响，做1or2 m+n 做1and2 mn2.容斥原理：⽅法有重叠：|A B |=|A ||B ||A B |3.包含条件的问题。
《离散数学》课件-第1章命题逻辑
例题 • 判断下列句子中那些是命题？若是命题的，判断其真值。
1. 北京是中国的首都。 2. 2+3=6。 3. 3-x=5。 4. 请关上门。 5. 几点了？
Y真 Y假 N 真值不确定 N 祈使句
6. 除地球外的星球有生物。
N 疑问句
7. 多漂亮的花啊！
Y 真值确定, 但未知
8. 我只给所有不给自己理发的人理发。N 感叹句
p q pq
TT F TF T FT T FF T
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其它联结词
• 定义1.1.10 设p、q是任意两个命题, p q可表示复合命题“p和q的或非”, 称为或非联结词。命题p q 称为p和q的或非式。当且仅当p和q的真值同时 为假时，p q的真值为真. Nhomakorabea•
p q的真值表
p q pq
TT F TF F FT F FF T
6
联结词
• （一）否定
• 定义1.1.4 设p是一个命题，p表示一个新命题“非p”。命题p 称为p的否定。当且仅当p的真值为假时，p的真值为真。
• p的真值表：
p p
T
F
F
T
• 例如：p：今天是晴天。则 p：今天不是晴天。 • “非”，“不”，“没有”，“无”，“并非”等都可用来表示。
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联结词• （二）合取
•
p q :电灯不亮是灯泡或线路有问题所致。
•
p：派小王去开会，q：派小李去开会，
•
(p q)(p q): 派小王或小李中的一人去开会
10
联结词
• （四）蕴涵
• 定义1.1.7 设p、q表示任意两个命题, p q 可表示复合命
题“如果p，则q”。当且仅当p的真值为真，q的真值为假时，
1第一章 命题逻辑基本概念
如何将语句符号化, 以及如何理解符号化了的语句。 语句符号化要注意:
1. 要善于确定简单命题, 不要把一个概念硬拆成几个 概念。 例如“我和他是同学”是一个简单命题。 2. 要善于识别自然语言中的联结词 (有时它们被省略)。 例 1.11 狗急跳墙。
解 应理解为: p: 狗急了, q: 狗才跳墙
解 令 p: odd是奇数, q: odd2是奇数，
上述语句可表示为 p q。 6. 异或(exclusive or)连结词“” 【定义】 对于“排斥或”, 在数理逻辑中用联结词 “”表示, 称作“异或”。 当且仅当命题p和q的真值相异时, p q便取值为 真。
p q的真值表如表1.1.6所示。
1. 否定(negation)词“” 【定义 1.1】 设p是一个命题, 复合命题“非P‖(P的否 定)称为命题p的否定式, 记作“P‖, (读作“非p‖)。 命题p取值为真, 当且仅当命题P取值为假。 p的真值表如表1.1.1所示。 表.1.1 P 0 1 P 1 0
例 1.3 P：地球是圆的。 P：地球不是圆的。
p
0 0 1 1
表 1.6 q 0 1 0 1
pq 0 1 1 0
从定义可知联结词“”有以下性质： (1) p q = q p (2) (p q) r = p (q r) (3) p∧(q r) = (p∧q) (p∧r) (4) p q (p∧q)∨(p∧q) (5) p q (p q) (6) p p 0，p F P, p T P。
但不完全等同。
p∧q的真值表如表1.1.2所示。
表 1.2 p q 0 0 0 1 1 0 1 1
第1篇命题逻辑
合取的定义如下表：
PQ TT TF FT
P Q
T F F
注：列表时P，Q均是先取T后取F 如P：今天下雨；Q：明天下雨
P Q：今天下雨且明天下雨。
FF
F
注意：这里的“与”运算与日常生活中的“与”意义不尽相同。
又如，P：我们去看电影；Q：房间里有张桌子。
P Q：我们去看电影和房间里有张桌子。
上述命题P Q在日常生活中无意义，无联系，但在数理逻辑中，P Q是一新的命题。“ ”是二元运算。
P Q P Q
(P、Q同为F时，P Q值为T）
TT
T
如：P:两个三角形全等。
TF
F
Q :两个三角形对应边相等。
FT
F
FF
T
P Q:两个三角形全等当且仅当它们对 应边相等。
1-2 联结词
又如 P：2+2=4, Q：雪是白的。
P Q：2+2=4当且仅当雪是白的。P 、Q可毫无联系。
总结：共介绍了五个联结词。
1-2 联结词
又如 Q：南京是一个小城市。
Q：南京不是个小城市。 Q值为F，Q取值为T “”是一元运算，相当于数学中的“求相反数”运算。
（2）合取（与）
P，Q是命题，P，Q的合取是一个复合命题，记做P Q，读 作“P与Q”，或“P且Q”。P Q当且仅当P与Q的值都真时，其值
为T，否则为F。
1-2 联结词
（2）命题公式实际上是一函数，值域为{T,F),每一个命题变元取 值也是{T,F},因而它没有真 假值，只有当公式中命题变元用确 定的命题代入后，才到一个命题，才能判断其真假。
1-3 命题公式与翻译
有了命题公式的定义后，我们如何将日常生活中的命题用具体的公 式表示呢？也就是说，如何将之翻译成公式呢？举例说明：
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离散数学第一章命题逻辑定义1。
设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作¬P。
若P为T，¬P为F；若P为F，¬P为T。
联结词“¬”表示命题的否定。
否定联结词有时亦可记作“¯”。
（P3）定义2。
两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。
当且仅当P,Q同时为T时，P∧Q为T，在其他情况下，P∧Q的真值都是F。
（P4）定义3。
两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。
当且仅当P，Q同时为F时，P∨Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。
（P5）定义4。
给定两个命题P和Q，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q，读作“如果P，那么Q”或者“若P则Q”。
当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P→Q的真值为T。
我们称P为前件，Q为后件。
（P6）定义5。
给定两个命题P和Q，其复合命题P⇆Q的真值为F。
（P7）定义6。
命题演算的合式公式（wff），规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B）和（A⇆B）都是合式公式。
（4）当且仅当能够有限次地应用（1），（2），（3）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。
（P9）定义7。
在命题公式中，对于分量指派真值得各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。
（P12）定义8。
给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，P n为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，…，P n任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。
记作A⇔B。
（P15）定义9。
如果X是合式公式的A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的字公式。
（P16）定理1。
设X是合式公式A的字公式，若X⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B 与公式A等价，即A⇔B。
第一章命题逻辑(1,2,3)
1.2 联 结 词
联结词：确定复合命题的逻辑形式。
❖ 原子命题和联结词可以组合成复合命题。 ❖ 联结词确定复合命题的逻辑形式，它来源于自然语言中的联结词，
但与自然语言中的联结词有一定的差别； ❖ 从本质上讲，这里讨论的联结词只注重“真值”，而不顾及具体
内容，故亦称“真值联结词”。
1.2.1 否定联结词
❖ 命题P Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。
P
Q
PQ
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1.2.4 蕴涵联结词
❖ 说明：
▪ 1）蕴涵联结词也称为条件联结词。“如果P，则Q”也称为P与Q 的条件式。
▪ 2）蕴涵式的真值关系不太符合自然语言中的习惯，这一点请读者 务必注意。
1.1.3 命题标识符
❖ 命题标识符
▪ 为了能用数学的方法来研究命题之间的逻辑关系和推理，需要将 命题符号化。
▪ 通常使用大写字母P, Q, …或用带下标的大写字母或用数字，如Ai， [12]等表示命题。
• 例如：
P：今天下雨
• 意味着P表示“今天下雨”这个命题的名。
• 也可用数字表示此命题
• 例如：
❖ 定义1.1 设P为任一命题，复合命题“非P”（或“P的否定”）称为P 的否定式，记作﹁P，读作“非P”。﹁称为否定联结词。
❖ ﹁P的逻辑关系为P不成立，﹁P为真当且仅当P为假。 ❖ 命题P的真值与其否定﹁P的真值之间的关系
P
﹁P
0
1
1
0
1.2.1 否定联结词
例1.2 设 P：这是一个三角形 ﹁P：这不是一个三角形
数理逻辑命题逻辑一阶谓词逻辑集合论集合及其运算二元关系与函数代数结构代数系统的基本概念群环域格与布尔代数图论数理逻辑和集合论作为两块基石奠定了离散数学乃至整个数学理论的基础在上面生长着代数结构序结构拓扑结构和混合结构这四大结构涵盖与生长出许多数学分支同时各分支间交叉融合又形成了许多新的数学分支形成了庞大的数学体系
离散数学命题逻辑 第一章(1)
我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如我早在 数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么 多错误。不少东西逻辑学家早就说过了，可是我 不知道。要是我能年轻20岁的话，我就会回去学 逻辑。
E.W.Dijkstra
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人 前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间 漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是 红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置 弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后， 请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人 将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下 的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商 人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽 子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
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2、命题满足的条件
命题的语句形式：陈述句 非命题语句：疑问句、命令句、感叹句、非命题陈述句 (悖论语句) 命题所表述的内容可决定是真还是假，不能不真又不假， 也不能又真又假。
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3、举例
• • • • • • • • • 北京是中国的首都。 土星上有生物。 ３＋２≥9。 1+101=110 请关门！ 你要出去吗？ 如果天气好，那么我去散步。 x＝ 2。 我正在撒谎。
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第一章 命题逻辑
研究以命题为基本单位构成的前提和结论之间的 可推导关系。
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第一章 命题逻辑
1
命题及其表示方法 联结词
第一章 命题逻辑
第一章命题逻辑逻辑学是研究推理过程规律一门科学。
数理逻辑则是用数学的方法研究思维规律的一门学科。
由于它使用了一套符号，简洁地表达出各种推理的逻辑关系，因此数理逻辑又称为符号逻辑或理论逻辑。
数理逻辑和计算机的发展有着密切的联系，它为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计等计算机应用和理论研究提供必要的理论基础。
数理逻辑的主要分支包括公理化集合论、证明论、递归函数论、模型论等。
从本章开始，我们用三章的篇幅介绍数理逻辑的基本内容：命题逻辑、谓词逻辑和非经典逻辑简介。
命题逻辑研究的是以原子命题为基本单位的推理演算，其特征在于，研究和考查逻辑形式时，我们把一个命题只分析到其中所含的原子命题成分为止。
通过这样的分析可以显示出一些重要的逻辑形式，这种形式和有关的逻辑规律就是命题逻辑。
1.1 命题与联结词1.1.1 命题与命题变元语言的单位是句子。
句子可以分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句等，其中只有陈述句能分辨真假，其他类型的句子无所谓真假。
定义1.1能够分辨真假的陈述句叫做命题（Proposition）。
从这个定义可以看出命题有两层含义：(1)命题是陈述句。
其他的语句，如疑问句、祈使句、感叹句均不是命题；(2)这个陈述句表示的内容可以分辨真假，而且不是真就是假，不能不真也不假，也不能既真又假。
作为命题的陈述句所表示的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。
凡是与事实相符的陈述句是真命题，而与事实不符合的陈述句是假命题。
通常用1（或大写字母T）表示真，用0（或大写字母F）表示假。
例1.1判断下列语句是否为命题，并指出其真值。
(1) 北京是中国的首都。
（2）5可以被2整除。
（3）2+2=5。
（4）请勿吸烟。
（5）乌鸦是黑色的吗？（6）这个小男孩多勇敢啊！（7）地球外的星球上存在生物。
（8）我正在说谎。
解（1）～（3）是命题，其中（1）是真命题，（2），（3）是假命题。
值得注意的是，像2+2=5这样的数学公式也是一个命题，事实上，一个完整的数学公式与一个完整的陈述句并没有什么本质的差异。
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结第一章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第二章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数2种不同的关系；为mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函数；1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3. 判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶avb≥aA^b≤b 对偶avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶av(bvc)=(avb)vc7) 等幂律a^a=a 对偶ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=>av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；。
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0元函数
• 0， 1 1元函数
• 计算机学院
2元函数
• 、、、 、
计算机学院
8
8
命题真值表
真值表
• 用小写字母p，q，r，s等表示命题变元，即 在集合在{0,1}中取值的变元，将真值函数F 在其自变量所有可能取值下得到的值列成的 表称为F的真值表。
计算机学院
计算机学院
在数理逻辑中，析取指的是s，可兼或。
计算机学院
15
15
逻辑联结词— 异或()
pq称为p和q的异或。相当于“或” 。
设p, q为命题，则p异或q为真当且仅当p和q不 同，否则为假。
p 0 q 0 p q 0 计算机学院 1 1 0 16
0 1 1
1 0 1
计算机学院
16
逻辑联结词—异或()
复合命题
• 用联结词可以将若干个 简单命题组合成复合命 题。 • 支命题
计算机学院
7
7
逻辑联结词
联结词
• 设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也 称为联结词。 • 若n =0，则称为0元函数。
命题联结词
• • • • • • 非 与 或 如果…,则…。 当且仅当 异或
Fi(p,q)=？
变元数为n
变元组合数
计算机学院 n
2
联结词数
计算机学院
2
2n2323例子 李明是计算机系的学生，他住在312室或313室。 p：李明是计算机系的学生 q：他住在312室 r：他住在313室
p (qr)
燕子飞回来是春天来了的必要条件。
p：燕子飞回来
q：春天来了 q p
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命题真值表
• 例如：一元真值函数
p 0
F1（p） 0
F2（p） 0
F3（p）
F4（p） 1
1 计算机学院
1
0
1
0
1
计算机学院
10
10
逻辑联结词—非()
命题p的否定记为p,读作非p 设p为一命题，p的否定为一个新的命题
p p
0 1
1 0计算机学院
含义同自然语言
计算机学院
11
11
逻辑联结词— 合取()
计算机学院
2
2
语句表达
陈述句 疑问句 祈使句
雪是白的。
2是奇数。
X+Y>5。
你是谁？
我正在说谎。
计算机学院 北京是中国的首都。
感叹句
特点：有的语句可以 前进！ 判断真假。 天空多漂亮!
计算机学院
3
3
命题
陈述句是陈述一个事实或者说话人的看法， 它包括肯定句和否定句两种。仅有陈述句 能够确定句子的含义是真还是假。
在数理逻辑中，r，s，t都可表示，且r,t是真
命题. 蕴含称为实质蕴含。
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19
19
逻辑联结词— 等价()
pq称为p等价于q。相当 “当且仅当iff” 。
设p, q为命题，则 p等价于q 为真当且仅当p 与q真值
相等，否则为假。
p 0 0 q 0 1 p q 1 计算机学院 0
计算机学院
13
13
逻辑联结词— 析取()
pq称为p和q的析取。相当于“或” 。
设p, q为命题，则p或q，或 p析取q 为假当且仅 当p和q同时为假，否则为真。
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1 计算机学院
pq
0 计算机学院 1 1 1 14
14
逻辑联结词—析取()
含义不同于自然语言 r：今天晚上我在家看电视或去剧场看戏 s：我若今天回来得早或不累就去找你 自然语言中，r为排斥或，s计算机学院 为可兼或。
21世纪有人住在月球上。
命题，真，有唯一真假值。 计算机学院 命题，真或假，有唯一真假 值。 无法确定，非命题
命题，假，1不是合数和素数
5
他很高。
一个自然数不是合数就是素数 计算机学院
5
命题的抽象表示
自然语言具有二义性 命题逻辑不关注语句的内容，也不关注语句为何是 真或为假，而是仅仅关注语句能够为真或假。 命题的表示 • 用小写字母表示命题，取值为{0,1}。 • 对命题符号指派后才能确定其真价值。 计算机学院 命题真值
1.1命题和联结词
1.2公式和真值赋值
1.3等值演算
1.4对偶定理
1.5联结词的完全集
1.6范式
计算机学院
1.7逻辑推论
计算机学院
26
26
否则为真。P称为前件(条件)，q为后件(结论)。
p 0 0 q 0 1 p q 1 计算机学院 1
1 1
0 1
0 1
计算机学院
18
18
逻辑联结词—蕴含()
含义不同于自然语言
r：如果太阳从西边出来，则雪是黑的。
s：如果明天下雨，则不开运动会。
t：如果我今天死，则我长生不老。
自然语言中，r，t是无意义的。 计算机学院
命题为具有确定真假意义的陈述句。
计算机学院
计算机学院
4
4
命题示例
雪是白的。 2是奇数。 X+Y>5。 你是谁？ 我正在说谎。 北京是中国的首都。 命题，真 命题，假 不确定，非命题
疑问句，非命题
悖论，非命题 命题，真
每个不小于6的偶数都是两个 奇素数之和（歌德巴赫猜想）
• 陈述句的意义为真，称为真命题，真值为1。 • 陈述句的意义为假，称为假命题，真值为0。
计算机学院
6
6
简单命题与复合命题
简单命题
• 由简单陈述句表述的命 题称为简单命题。 • 命题逻辑不再进一步分 析简单命题的内部结构 语句联结词 • 并且 •或 • 否定 • 如果…,则… • 当且仅当 • 既不…，也不… 计算机学院 • 因为…, 所以…
1 1
0 1
0 1
计算机学院
20
20
逻辑联结词—等价()
含义不同于自然语言
r：2+2=4当且仅当雪是白的。
s：两个三角形全等，当且仅当它们的三组对
应边相等。
计算机学院 自然语言中，r是无意义的。
在数理逻辑中，r，s都可表示。
计算机学院 21
21
命题逻辑联结词数目
联结词中的变元个数为1，2,…,n时对应的联 结词数目
含义不同于自然语言 r：今天晚上我在家看电视或去剧场看戏 s：我若今天回来得早或不累就去找你 自然语言中，r为排斥或，s计算机学院 为可兼或。
在数理逻辑中，异或指的是r，排斥或。
计算机学院
17
17
逻辑联结词— 蕴含()
pq称为p蕴含q。相当于“如果…则…” 。
设p, q为命题，则p蕴含q为假当且仅当p为真且q为假
计算机学院
计算机学院
24
24
例子
如果我下班早且不累，就去商店看看。 p：我下班早 q：我累了 r：我去商店看看
(p (q ))r 如果明天下雨，就不开运动会而照常上课。
p：明天下雨 q：明天开运动会 r：明天照常上课 q ((p） r )
计算机学院
25
计算机学院
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提纲
基本概念：集合、函数、归纳法、数理逻辑
pq称为p和q的合取。相当于“并且” 。
设p, q为命题，则p且q，或 p合取q 为真当且仅
当p和q同时为真，否则为假。
p 0 q 0 pq 0 计算机学院 0 0 1 12
0 1 1
1 0 1
计算机学院
12
逻辑联结词— 合取()
含义与自然语言不同
p：今天下雨了
q：会议室有人在开会 pq 为数理逻辑中的一新命题，具有真假值 在自然语言中，“今天下雨了且会议室有人在开会 计算机学院 ”没有意义。
第一章命题逻辑
第1节 命题和联结词
数理逻辑
推理形式
• 正确前提 • 正确的推理过程 • 得出正确的结论
数理逻辑是用数学方法研究推理。使用数学上的表意符号
符号描述推理，亦称为符号逻辑。
命题逻辑、谓词逻辑（一阶逻辑）
逻辑研究对象—逻辑真值
• 真，表示为T或1 • 假，表示为F或0 计算机学院
p 0 1 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 F1 0 0 pq 0 0 0 1 F2 0 1 pq 0 1 1 1
计算机学院
F3 1 0 pq pq 计算机学院 1 1 1 0 0 0 1 1
F4 1 1 pq 0 1 1 0
22
22
命题逻辑函数数目
p 0 0 1 1 q F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1