第四届丘成桐中学数学奖获奖论文-拓扑和的推广

参赛队员：夏铭辰学校：鞍山市第一中学省份：辽宁省指导教师：张继红论文题目：拓扑和的推广论文题目：拓扑和的推广摘要：拓扑学中，一些定理有下述形式：A、B是拓扑空间X 的两个子空间，A、B满足某些条件，则X具有某性质。

本文的目的在于研究处理这类问题的一般方法。

我们将通过推广拓扑和的概念来实现这个目的。

Subject：the Generalization of the Topological Sum Abstract:There’re some theorems of this form in topology:A、B are two subspaces of a topological space X.A and B satisfy some conditions,then X has some property.In this thesis,we aim to study the general method of solving this kind of problems.We shall make it by generalizing the aspect of topological sum.拓扑和的推广请注意：本文中正则性、正规性均强于Hausdorff 条件。

首先给出参考文献【2】中拓扑和的定义：设{}是两两无交的空间族.在集合I X αα∈IX X αα∈=∪上定义如下拓扑: X 的子集O是X 的开集当且仅当对于每一I α∈, O X α∩是X α的开集.赋予了上述拓扑的空间X 称作{}的拓扑和.I X αα∈ 易见，此定义有以下不足：要求空间族无交，适用范围太小；一个以上非空空间的和不连通。

我们的推广从一个引理开始。

引理1：{}是拓扑空间族，若I X αα∈a. I α∀∈，只有有限个I β∈，使得X X αβ∩≠∅.b. I αβ∀∈，，X X αβ∩是X α的闭子集，且从X α、X β中诱导相同的拓扑. 则X IX αα∈=∪上存在唯一的拓扑，使得a. I α∀∈，X α是X 的闭子空间.b. {}局部有限.I X αα∈证：我们定义X 上的拓扑：A 是X 的闭集当且仅当I α∀∈，X A α∩是X α的闭子集。

由条件a 、b ，X 的一个子集A 是闭的当且仅当它可表示为IA αα∈∪，其中A α是X α的闭子集。

结论a 显然成立。

我们验证结论b ：设x X α∈，令表示与N X α无交的空间之并，U X ，由条件a ，它仅和有限个N =−X α有交。

下面验证唯一性：用Y 、Z 表示赋予两种满足a ，b 结论拓扑的集合X ，显然:id X X αα→是连续的，由结论b ，X 上的恒同映射连续。

同理连续，故id 是Y 、:id Y Z →1:id Z Y −→Z 间的同胚。

它是恒同映射，因此这两个拓扑相等。

█由此，我们可以轻易地推广拓扑和。

定义1：相容性：满足引理1中条件a ，b 的空间族{}I X αα∈称为相容空间族。

定义2：拓扑和：{}是相容空间族，我们称赋予了满足引理中结论a ，b 的拓扑的空间I X αα∈IX X αα∈=∪为{}I X αα∈的拓扑和.记为IX X αα∈=⊕.I 有限时（设为{1,2,…,n}）我们也记1n X X =⊕⊕…X .空间族{}I X αα∈称为X 的一个拓扑和分拆. 显然，这是前文中拓扑和概念的推广。

我们先给出两个基本性质：1、 相容空间族的有限拓扑和可随意加括号.2、 相容空间族的拓扑和可以将指标集分割为两个无交子集之并后，分别取和再作和.即，则,I J K J K =∪∩=∅()(IJK)X X X αααααα∈∈∈⊕=⊕⊕⊕.这些只是引理1中唯一性的简单推论。

从现在起，我们始终假定{}I X αα∈是给定的相容空间族，且IX X αα∈=⊕。

不致引起混淆时我们也省略指标的取值范围(默认为I)，例如将前式记为X X α=⊕。

我们指出，我们的记号事实上是有缺陷的，毕竟拓扑和依赖于X α上的拓扑，但本文中，它们都不致引起歧义，因此我们选择继续采用这种记号。

另外，我们称一个问题是局域的，如果它涉及空间的拓扑和拆分。

下面将进入本文的主体：我们将研究一些拓扑学概念的局域表述。

1、 闭集引理2：A 是X 的闭子集当且仅当A A α=∪，其中A α是X α的闭子集. 引理3：A 是X 的闭子集当且仅当α∀，X A α∩是X α的闭子集. 2、开集引理4：U 是X 的开子集当且仅当α∀，U X α∩是X α的开子集.这是X 关于{}X α有弱拓扑的直接推论。

引理5：若x 只属于唯一一个X α，则存在x 在X 中的邻域U ，满足βα∀≠，U 与X β无交.推论1：若{}X α中，x 仅属于指标属于的J X α，则存在x 在X 中的邻域U ，使得I J β∀∈−，U X β∩=∅.另外，本文中将用到下述简单结论：{}I 1,2=，则12X X −是X 中的开集。

3、 子空间引理6：Y ，则X ⊂{}X Y α∩相容，且Y 取从X 诱导的拓扑时， 。

()Y X Y α=⊕∩证：相容性显然，又X Y α∩显然是Y 的闭子空间及{}X Y α∩局部有限，由引理1的唯一性即得。

█ 4、 （有限）积空间下述引理中α、β不必取自同一指标集。

引理7：{}X α、{}Y β分别相容，则{}X Y αβ×相容，且()X Y X Y αβαβ⊕×=⊕×⊕。

证明类似前一引理，不赘述。

5、 连续函数引理8：函数:f X Y →连续当且仅当α∀，X f α连续6、分离公理定理1：空间X 满足公理当且仅当i T α∀，X α满足公理。

（i=1,2,3） i T 证：公理：显然1T Hausdorff 公理：先考虑有限的情形，由基本性质1，不妨令，令{1,2}I =,x y X ∈.1、x ，y 均不属于12X X ∩，且x,y 分别属于两个集合：引理52、x ，y 均不属于12X X ∩，且x,y 属于同一集合：不妨设是2X ，21X X −是X 的开子空间，也是2X 的子空间，因而是Hausdorff 的，在21X X −中取无交邻域即可。

3、x ，y 属于同一空间，有且只有一个属于12X X ∩：设12x X X ∈−，12y X X ∈∩，在1X 中取x ，y 的无交邻域，记为U ，令V 、11()W U X X 2=∩−，取y 在2X 中的邻域W ，使得22W X V X ∩=∩，212()(W X X V X W )=−−∪−，为x ，y 无交邻域。

1W W 、即24、x ，y 都属于12X X ∩取x ，y 在i X 中的无交邻域（i=1,2）令i U V 、i U X X U X U =−−∪−1122()()X V X V 1122()()，V X =−−∪−于是， 11212221(())()((U U X X U U U X X =∩−∪∩∪∩−))))11212221(())()((V V X X V V V X X =∩−∪∩∪∩− 我们断言U 、V 无交。

若z V ∈，则a. ，此时因11(z V X X ∈∩−2)11U V ∩=∅，1221()()X X X X −∩−=∅,得z U ∉.b. ，同上.22(z V X X ∈∩−1)2c. ，有，1z V V ∈∩11U V ∩=∅22U V ∩=∅即得. 因此U V .∩=∅显然x U ∈，，且U 都是开集。

因此y V ∈V 、X 是Hausdorff 空间。

下面考虑一般情形，对,x y X ∈，先取它们各自的仅和有限个X α有交的邻域，先由基本性质2、该命题有限情形及引理5即得。

正则公理：设x X ∈，V 是x 的邻域。

取x 的邻域W 仅与有限个X α有交，设为1,n X X …,，若x 在i X 中，取x 的邻域，满足i U i U V ⊂∩i X ，否则取为空集。

令，则U 为x 的邻域且i U 1()ni i i U W X U ==−−∪U V ⊂。

再由本命题中公理部分即得. █1T 可以看到拓扑和对公理、Hausdorff 公理、正则公理有着很好的表现，但正规空间的情况似乎较为复杂，我未能给出它的局域的充要表述，但稍后几个附带各种紧致性的充分条件将显然地得出。

1T 7、 覆盖性质该部分内容是本文的核心，不久我们会看到这是研究仿紧致的局部紧致Hausdorff 空间的好方法。

定理2：X 是仿紧致的局部紧致空间当且仅当X 存在一个拓扑和分拆X X α=⊕，使得α∀，X α是紧致的.证：充分性：设每个X α紧致，且{}K A ββ∈是X 的一个开覆盖。

则对给定的α，{}K A X βαβ∈∩是X α的开覆盖，取其中有限个覆盖X α，记作1,m A A ααα…,。

设与X α有交的{}X α中的集合为1,n X X …,。

不妨设1,m A A ααα…,也仅和1,n X X …,有交（否则，用每个i A α减去多余的X α）。

对每个I α∈这样，得到i A α的族。

令x X ∈，可取其邻域U 仅和1,n X X …,有交，而任一i X 仅和该族中有限个i A α有交，因此该集族局部有限，因此X 是仿紧致的。

显然U 紧致，因此X 也是局部紧致的。

必要性：对于X 中的每个点x ，取一个邻域x U ，使得x U 紧致，则{}x x X U ∈构成X 的开覆盖，取它的局部有限开加细{}J A ββ∈。

我们断言JX A ββ∈=⊕。

显然，{}J A ββ∈相容，因为{}J A ββ∈的局部有限性蕴含{}J A ββ∈的局部有限性。

显然有A β是X 的闭子集，由拓扑和的唯一性即得证。

█ 自然我们的证明可以由紧致空间轻松地推广到Lindelöf 空间，然而我们选择稍后证明（附带Hausdorff 公理的）更强的结果。

定理3：空间X 是仿紧致的Hausdorff 空间当且仅当任一X α是仿紧致的Hausdorff 空间. 证：必要性显然.充分性：设{}J U ββ∈是X 的开覆盖，则对给定的α，{}J X U αββ∈∩是X α的开覆盖，令{}K A αγγ∈为局部有限闭加细且覆盖X α（Michael 定理），对每个α这样取。

我们断言是{},{}I K A αγαγ∈∈J U ββ∈的局部有限闭加细。

设x X ∈，取x 的邻域U 仅和有限个X α有交，记为1,n X X …,，取x 在i X 中的邻域，满足仅和有限个i U i A γ有交，令，则显然W 仅和有限个1(ni i i W U X U ==−−∪)i A γ有交。

█ 定义3：空间X 称为局部Lindelöf 的，如果x X ∀∈，存在x 的一个邻域U ，使得U 是Lindelöf 空间.推论2：X 是局部Lindelöf 的Hausdorff 空间当且仅当存在X 的一个拓扑和分拆X X α=⊕，使得任一X α是正则的Lindelöf 空间.定理4：空间X 是局部紧致的当且仅当任一X α是局部紧致的. 证：必要性显然.充分性：设x X ∈，取x 的邻域U 仅和有限个X α有交，记为1,n X X …,，取x 在X i中的邻域，使得i U i U 紧致，令，则W 是x 的有紧致闭包的邻域。