粘性流体力学第六章(6-2)
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目前的湍流统计模式主要有两类:湍流涡粘模式和雷诺应 力模式。
2
1、湍流涡粘模式
涡粘模式理论是目前工程中常用的模式，它的表达 式和分子粘性类似，因此比较容易将N－S方程数值解 法推广到雷诺平均方程的计算中来。
(1)、涡粘性模型
布西内斯克（Boussinesq J.,1877）提出二维湍流
的雷诺应力与粘性应力作用相似的假设，即局部的雷 诺应力与平均速度梯度成正比：
到达点 x2 时，恰巧在 x2 l 微团的左边时，就会产
生碰撞，而产生横向运动 u1 ，这样 u2 ~ u1 。同样, 当向两中个间微 补团 充到 也达 会产x2生点u2时。向相反运动时，周围的微团会
8
图6－7 u2的产生
认为
u
2
常数 l du1 dx2
12
u1u2
lm 2
du1 dx2
du1 dx2
19
(3)、零方程模型
在上述理论的基础上，一些学者提出了湍流粘 性系数的代数型模型，也称为零方程模型:
Cebci－Smith（1968）（CS）模型， Mellor－Herring（1968）（MH）， Patanka－Spalding（1968）（PS）和 Baldwin－Lomax（BL）等模型。 这些模型的共同点是根据湍流边界层的结构， 对 t 在边界层的内层和外层须用不同的尺度。
2
l12
d 2 u1 dx22
2
2
(6－45）
l1 是附加混合长度，不过由试验确定 l1 很复杂。 d、混合长度理论没有考虑压力脉动对动量传递的影响，
而压力脉动可以跨越lm而传递的，考虑到压力脉动的影 响，流体微团的动量不可能在lm范围内保持不变。
12
Karman相似理论：Karman（1930）提出了一种湍流 局部相似性假设。他认为在自由湍流场中各空间点的湍 流脉动具有几何相似性，也就是说，各点的湍流脉动对 同一个时间尺度和长度尺度只有比例系数的差别，因此 只要用一个时间和速度比尺就能确定湍动结构。对于二
2
(6－49）
21
式中，p
U
v*3
e
dU e dx1
为压力梯度系数，vw
vw v* ,vw
为壁
面吹气系数，A 26 。
若为实壁 vw 0 则
N
111.8 p
1 2
v* w
对于外层 x2c x2 ：
t 0 ue u1 dxx tr
(6－50）
22
当 Re 2 5000：
23
tr 1 exp G
x1 x1tr
x1 x1tr
1 Ue
dx1
其中 xtr为转捩开始的位置，G为经验系数：
G
1 1200
U
3 e
Re 1.34 xtr
Rextr U e x1tr
BL模型（1978）同样适用于湍流边界层。其主要 特点为：采用分区的涡粘公式；用涡量取代变形率； 对混合长度做近壁修正。具体的表达式为：
x2 x20
同时
u
2
u1
，并令 l1 kl2
，那么
l1
d u1 dx2
l12 k
d 2 u1 dx22
lm l1 k
du1
dx2 d 2u1 dx22
(6－47）
16
所以雷诺切应力为：
du1
3
t12 u1u2
式中k=0.40。
k2
dx2
d
2u1
dx22
2
du1 dx2
(6－48）
交换与气体分子运动引起的粘性切应力进行简单的类比
的结果。对于 一般在定温下可认为是常数，但 t不
是常量，因为湍流的动量交换取决于湍流的平均运动。
流动只在一个方向上有明确的速度梯度时，可以认
为 t是个标量。在一般情况下，当i=j时
uiui
2k
2 t
ui xi
(6－37）
4
式中k为湍动能(k
1 2
uiui )
l1
du x2 dx2
...
x2 x20
14
u1
l1
d u1 dx2
可以求出x2点的平均角速度
x2
d u1 dx2
x2 x20 l1
d dy
d u1 dx2
x x20
...
l1
d 2 u1 dx2 2
15
由于微团以 0
转动，所以在
x1 l2
处产生
u
2
u
2
l2
l1l2
d 2u1 dx2 2
脉动速度
u
2
0
或
u
2
0
，
7
u1
x2
l
u1
x2
l
d u1(x2 ) dx2
x x2
... ...
u1
u1 x2
l
u1 x2
l
d u1 dx2
由于u1 ~ u1, 所以微团从 x2 l 运动到 x2 时 u1 0,
u2还 可0，以也认就为是u说2 u~1u和1，u这2 是是异因号为的当。x2 l 处的微团
lm
i
kx2
(6－41）
t
i
kx2v*
式中i表示内层，k=0.40~0.41，v*
阻力。
w
,
w是壁面摩擦
10
在边界层的外层（核心区）：
lm o 1 t o 2v*
(6－42）
式中o表示外层，1 0.075 ~ 0.09 ， 2 0.06 ~ 0.075 ，
为间隙因子。
Van Driest（1959）年提出在内层：
24
t
t t
i o
, ,
内层的涡粘公式为：
x2 x2c x2 x2c
(6－51）
t i ＝l2
(6－52）
ii 1 2 (i ijk uk x j )是当地的涡量绝对值；l是
考虑壁面修正的混合长度：
l＝kx2 1 exp
x2 / A
式中，k＝0.4,为卡门常数，A＝26，x2＝v*x2 / w。 w
(x2 / A )]的最大值和最大值的坐标；Udif 是平均速度剖 面上最大速度和最小速度之差。Fkleb (x2 )是边界层外层的 间歇性修正，称为Klebanoff间歇函数
Fkleb (x2 )＝1 5.5 Ckleb x2 / x2max 1
其中公式中模式常数为：C 0.02668,Ckleb 0.3,Cwk 1.0。
是壁面处的流体运动粘性系数，v* w 是壁面的磨
阻速度。
25
外层的涡粘性系数公式为：
式中，
t o ＝CFwakeFkleb (x2 )
(6－53）
Fwake＝min
x2
max
Fmax
,
Cwk
x2
来自百度文库maxU
2 dif
/ Fmax
Fwake为尾流函数，Fmax和x2max分别为F (x2 ) x2[1 exp
26
代数模式的最大优点是计算量少，只要附加粘性 模型，就可以利用通常的N－S方程数值计算程序，因 此深受工程师们欢迎。代数比较模式容易针对特定的 流动状态做各种修正。BL模式主要适应于小曲率的湍 流边界层，加以修正也可应用于有压强梯度和曲率的 边界层。CS模式可用于计算二维和轴对称的不可压边 界层，也可推广到三维边界层中。
对三维流动
u1u2
t
u1 x2
t
u1 x2
uiu
j
t
Dij
t
ui x j
u j xi
2 t Sij
(6－34） (6－35）
3
应力张量表示
ij pij t Dij
(6－36）
其中： t湍流动力粘性系数，或称涡旋粘性系数，t t 是湍流运动粘性系数。
上述假设所以能提出是基于对湍流脉动引起的动量
代数涡粘模式的最大缺点是它的局部性，代数表达 式中雷诺应力之核当地的平均变形率有关。代数模式 完全忽略了湍流通计量之间关系的历史效应，而历史 效应很难做局部的修正，因此发展包含历史效应的模
式是必要的，常用的 k 模式包含部分历史效应，称
为目前工程湍流计算的主要封闭模式。
（UP是射流入射速度，d是射流孔径）。当UP＝40m/s ，
d=25mm，则 t 0.0116m2 / s 大约是空气 的1000倍。
5
（2）混合长度理论
Prandtl混合长度理论依然从Boussinesq的假设 出发，对于二维湍流，令：
t
t
u1 x2
式中 t 为湍流雷诺切应力，并 t 认为与湍流的脉动
(6－47b）
18
其中A为衰减长度因子，定义为
A 26 w / 1 2
w为壁面剪切应力。式(6-47b)表明, 当x2很小时，粘性
作用很大；而当x2增大后，粘性作用逐渐消失。将该式中 的指数函数用泰勒级数展开后容易看出，当x2 0，lm x22。所以式(6-47b)综合了lm x22和lm x2两个区域混合 长度的变化，已称为现在许多实用的零方程的基础。
d 2u1 dx22
k
1 1
x2 x22
kx2
(6－47a）
上式表明随着离壁面距离x2的增加，旋涡的尺度增加，
混合长度也将增加。
在离壁面很近的区域，流动状态将受分子粘性很
大的影响，而卡门的相似理论以及式(6-47a)都不能反
映这一情况。为此，范德列斯特(Van Driest)提出了
如下的修正公式
lm kx2 1－exp x2 / A
CS模型发展了Van Priest的模型，得到广泛的 应用，其公式为：
20
对于内层：
t
l2
u1 x2
rtr
式中 0 x2 x2c
l kx2 1 exp x2 A
k=0.40,A是衰减因子。
A A v*1
N
1
N
p v
1 exp 11.8v
exp 11.8v
t 0.0168Ue1 当 Re 2 5000： 0.0168 1.55
1
0.551 exp
1
0.243z1 2 0.298z1
z1
Re
2
425 1
内层外层的分界点x2c是（6－49）式和（6－50）
式达到相同的 t 值确定。式中 tr 是从层流到湍流转
捩区中的间歇因子，对于二维流动：
卡门理论似乎比普朗特理论完善一些，但比较繁
琐上，多此用P外r当andtldd理x2u2论21 。0 时， t12 为奇点 ，所以工程
17
试验表明, 在湍流边界层据壁面的某个范围内，
速度与距离x2按对数关系变化，即u1 lnx2,根据卡门 的混合长度计算公式（6-47)可得
lm =k
du1 dx2
lm
i
k
x2
1
exp
x2
25.3v
(6－43）
11
式中k 0.435 ，在外层：
lm o 0.09
(6－44）
c、根据上述公式在管流中 u1
u1 max
时，u1
x2
0
，那么，
t12 0 ，而事实上 t12 0 ，为此Prandtl提出修正：
1
t12
lm
2
d u1 dx1
速度与混合长度lm的乘积成正比
t u1lm
混合长度lm类比于气体分子运动的自由行程，在lm一段
特征长度之内湍流微团保持自己的动量不变。
6
图6－6 混合长度与脉 动速度
对于图中二维不可压定常湍流：
ux2 l ux2 ux2 l
假设微团从x2 l 或 x2 l运动至 x2，对于 x2 来讲，
第六章 湍流基本理论
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
湍流的基本特征和统计平均方法 湍流连续方程和雷诺方程 湍流能量方程 雷诺平均统计模式 湍流的相关函数和谱分析 拟序结构 湍流大涡数值模拟
1
第四节 雷诺平均统计模式
在雷诺方程中的不封闭量是雷诺应力，因此统计模式的 目标是封闭雷诺平均方程，建立足够的雷诺应力方程组（代 数的、微分的或一般泛函形式的）使得平均运动方程可解。
ui 0 xi
那么 uiui 0
，如果 t 是一个标量，
，而实际上
uiui
2k 3
。
为此Boussinesq修正（6－35），提出对于三维湍流
uiu
j
2 3
kij
t
Dij
(6－38）
Townsend.A.A测得在圆柱尾迹的充分湍流区，
t
0.0164U
0
d
,
(U
是来流速度，d是圆柱直径）。
0
Hinze J.O.在空气的圆截面射流中测得t 0.0116U pd
维湍流场，混合长度lm的表达式为：
lm
k du1 d 2 u1
dx1 dx12
(6－46）
二维湍流场中，流体微团的动量传递还伴随着旋转，
其角速度为 。
13
图6－8 流体微团的 动量传递
设一个微团从x2向上运动到x20。其中 l1 x20 x2 那么：
u1 x2
u1 x20
(6－39）
9
t
lm2
du1 dx2
(6－40）
根据实验研究可以得到以下几点： a、由试验得到的 lm ，不象假设的那样为流体微团的
尺寸，而是与流动的平均尺度一样的量级。 b 、lm 不 是 空 间 常 数 。 在 边 界 层 中 根 据 尼 古 拉 兹 和
Klebanoff试验，在内层（壁面区）
雷诺统计模式以大量的试验观测为基础，通过量纲分析、 张量分析和其他手段，包含合理的推理和猜测，提出假设， 建立模型，然后与试验对比，进行进一步的修正和精确化。 迄今为止的湍流模拟没有一个是建立在完全严密的理论基础 上，因此也称之为湍流的半经验理论。目前虽然没有建立适 用于任何流动条件的通用湍流模式的前景，但针对各种具体 流动，已成功地发展了一些模型，它们在工程技术应用中发 挥着越来越大的作用。
2
1、湍流涡粘模式
涡粘模式理论是目前工程中常用的模式，它的表达 式和分子粘性类似，因此比较容易将N－S方程数值解 法推广到雷诺平均方程的计算中来。
(1)、涡粘性模型
布西内斯克（Boussinesq J.,1877）提出二维湍流
的雷诺应力与粘性应力作用相似的假设，即局部的雷 诺应力与平均速度梯度成正比：
到达点 x2 时，恰巧在 x2 l 微团的左边时，就会产
生碰撞，而产生横向运动 u1 ，这样 u2 ~ u1 。同样, 当向两中个间微 补团 充到 也达 会产x2生点u2时。向相反运动时，周围的微团会
8
图6－7 u2的产生
认为
u
2
常数 l du1 dx2
12
u1u2
lm 2
du1 dx2
du1 dx2
19
(3)、零方程模型
在上述理论的基础上，一些学者提出了湍流粘 性系数的代数型模型，也称为零方程模型:
Cebci－Smith（1968）（CS）模型， Mellor－Herring（1968）（MH）， Patanka－Spalding（1968）（PS）和 Baldwin－Lomax（BL）等模型。 这些模型的共同点是根据湍流边界层的结构， 对 t 在边界层的内层和外层须用不同的尺度。
2
l12
d 2 u1 dx22
2
2
(6－45）
l1 是附加混合长度，不过由试验确定 l1 很复杂。 d、混合长度理论没有考虑压力脉动对动量传递的影响，
而压力脉动可以跨越lm而传递的，考虑到压力脉动的影 响，流体微团的动量不可能在lm范围内保持不变。
12
Karman相似理论：Karman（1930）提出了一种湍流 局部相似性假设。他认为在自由湍流场中各空间点的湍 流脉动具有几何相似性，也就是说，各点的湍流脉动对 同一个时间尺度和长度尺度只有比例系数的差别，因此 只要用一个时间和速度比尺就能确定湍动结构。对于二
2
(6－49）
21
式中，p
U
v*3
e
dU e dx1
为压力梯度系数，vw
vw v* ,vw
为壁
面吹气系数，A 26 。
若为实壁 vw 0 则
N
111.8 p
1 2
v* w
对于外层 x2c x2 ：
t 0 ue u1 dxx tr
(6－50）
22
当 Re 2 5000：
23
tr 1 exp G
x1 x1tr
x1 x1tr
1 Ue
dx1
其中 xtr为转捩开始的位置，G为经验系数：
G
1 1200
U
3 e
Re 1.34 xtr
Rextr U e x1tr
BL模型（1978）同样适用于湍流边界层。其主要 特点为：采用分区的涡粘公式；用涡量取代变形率； 对混合长度做近壁修正。具体的表达式为：
x2 x20
同时
u
2
u1
，并令 l1 kl2
，那么
l1
d u1 dx2
l12 k
d 2 u1 dx22
lm l1 k
du1
dx2 d 2u1 dx22
(6－47）
16
所以雷诺切应力为：
du1
3
t12 u1u2
式中k=0.40。
k2
dx2
d
2u1
dx22
2
du1 dx2
(6－48）
交换与气体分子运动引起的粘性切应力进行简单的类比
的结果。对于 一般在定温下可认为是常数，但 t不
是常量，因为湍流的动量交换取决于湍流的平均运动。
流动只在一个方向上有明确的速度梯度时，可以认
为 t是个标量。在一般情况下，当i=j时
uiui
2k
2 t
ui xi
(6－37）
4
式中k为湍动能(k
1 2
uiui )
l1
du x2 dx2
...
x2 x20
14
u1
l1
d u1 dx2
可以求出x2点的平均角速度
x2
d u1 dx2
x2 x20 l1
d dy
d u1 dx2
x x20
...
l1
d 2 u1 dx2 2
15
由于微团以 0
转动，所以在
x1 l2
处产生
u
2
u
2
l2
l1l2
d 2u1 dx2 2
脉动速度
u
2
0
或
u
2
0
，
7
u1
x2
l
u1
x2
l
d u1(x2 ) dx2
x x2
... ...
u1
u1 x2
l
u1 x2
l
d u1 dx2
由于u1 ~ u1, 所以微团从 x2 l 运动到 x2 时 u1 0,
u2还 可0，以也认就为是u说2 u~1u和1，u这2 是是异因号为的当。x2 l 处的微团
lm
i
kx2
(6－41）
t
i
kx2v*
式中i表示内层，k=0.40~0.41，v*
阻力。
w
,
w是壁面摩擦
10
在边界层的外层（核心区）：
lm o 1 t o 2v*
(6－42）
式中o表示外层，1 0.075 ~ 0.09 ， 2 0.06 ~ 0.075 ，
为间隙因子。
Van Driest（1959）年提出在内层：
24
t
t t
i o
, ,
内层的涡粘公式为：
x2 x2c x2 x2c
(6－51）
t i ＝l2
(6－52）
ii 1 2 (i ijk uk x j )是当地的涡量绝对值；l是
考虑壁面修正的混合长度：
l＝kx2 1 exp
x2 / A
式中，k＝0.4,为卡门常数，A＝26，x2＝v*x2 / w。 w
(x2 / A )]的最大值和最大值的坐标；Udif 是平均速度剖 面上最大速度和最小速度之差。Fkleb (x2 )是边界层外层的 间歇性修正，称为Klebanoff间歇函数
Fkleb (x2 )＝1 5.5 Ckleb x2 / x2max 1
其中公式中模式常数为：C 0.02668,Ckleb 0.3,Cwk 1.0。
是壁面处的流体运动粘性系数，v* w 是壁面的磨
阻速度。
25
外层的涡粘性系数公式为：
式中，
t o ＝CFwakeFkleb (x2 )
(6－53）
Fwake＝min
x2
max
Fmax
,
Cwk
x2
来自百度文库maxU
2 dif
/ Fmax
Fwake为尾流函数，Fmax和x2max分别为F (x2 ) x2[1 exp
26
代数模式的最大优点是计算量少，只要附加粘性 模型，就可以利用通常的N－S方程数值计算程序，因 此深受工程师们欢迎。代数比较模式容易针对特定的 流动状态做各种修正。BL模式主要适应于小曲率的湍 流边界层，加以修正也可应用于有压强梯度和曲率的 边界层。CS模式可用于计算二维和轴对称的不可压边 界层，也可推广到三维边界层中。
对三维流动
u1u2
t
u1 x2
t
u1 x2
uiu
j
t
Dij
t
ui x j
u j xi
2 t Sij
(6－34） (6－35）
3
应力张量表示
ij pij t Dij
(6－36）
其中： t湍流动力粘性系数，或称涡旋粘性系数，t t 是湍流运动粘性系数。
上述假设所以能提出是基于对湍流脉动引起的动量
代数涡粘模式的最大缺点是它的局部性，代数表达 式中雷诺应力之核当地的平均变形率有关。代数模式 完全忽略了湍流通计量之间关系的历史效应，而历史 效应很难做局部的修正，因此发展包含历史效应的模
式是必要的，常用的 k 模式包含部分历史效应，称
为目前工程湍流计算的主要封闭模式。
（UP是射流入射速度，d是射流孔径）。当UP＝40m/s ，
d=25mm，则 t 0.0116m2 / s 大约是空气 的1000倍。
5
（2）混合长度理论
Prandtl混合长度理论依然从Boussinesq的假设 出发，对于二维湍流，令：
t
t
u1 x2
式中 t 为湍流雷诺切应力，并 t 认为与湍流的脉动
(6－47b）
18
其中A为衰减长度因子，定义为
A 26 w / 1 2
w为壁面剪切应力。式(6-47b)表明, 当x2很小时，粘性
作用很大；而当x2增大后，粘性作用逐渐消失。将该式中 的指数函数用泰勒级数展开后容易看出，当x2 0，lm x22。所以式(6-47b)综合了lm x22和lm x2两个区域混合 长度的变化，已称为现在许多实用的零方程的基础。
d 2u1 dx22
k
1 1
x2 x22
kx2
(6－47a）
上式表明随着离壁面距离x2的增加，旋涡的尺度增加，
混合长度也将增加。
在离壁面很近的区域，流动状态将受分子粘性很
大的影响，而卡门的相似理论以及式(6-47a)都不能反
映这一情况。为此，范德列斯特(Van Driest)提出了
如下的修正公式
lm kx2 1－exp x2 / A
CS模型发展了Van Priest的模型，得到广泛的 应用，其公式为：
20
对于内层：
t
l2
u1 x2
rtr
式中 0 x2 x2c
l kx2 1 exp x2 A
k=0.40,A是衰减因子。
A A v*1
N
1
N
p v
1 exp 11.8v
exp 11.8v
t 0.0168Ue1 当 Re 2 5000： 0.0168 1.55
1
0.551 exp
1
0.243z1 2 0.298z1
z1
Re
2
425 1
内层外层的分界点x2c是（6－49）式和（6－50）
式达到相同的 t 值确定。式中 tr 是从层流到湍流转
捩区中的间歇因子，对于二维流动：
卡门理论似乎比普朗特理论完善一些，但比较繁
琐上，多此用P外r当andtldd理x2u2论21 。0 时， t12 为奇点 ，所以工程
17
试验表明, 在湍流边界层据壁面的某个范围内，
速度与距离x2按对数关系变化，即u1 lnx2,根据卡门 的混合长度计算公式（6-47)可得
lm =k
du1 dx2
lm
i
k
x2
1
exp
x2
25.3v
(6－43）
11
式中k 0.435 ，在外层：
lm o 0.09
(6－44）
c、根据上述公式在管流中 u1
u1 max
时，u1
x2
0
，那么，
t12 0 ，而事实上 t12 0 ，为此Prandtl提出修正：
1
t12
lm
2
d u1 dx1
速度与混合长度lm的乘积成正比
t u1lm
混合长度lm类比于气体分子运动的自由行程，在lm一段
特征长度之内湍流微团保持自己的动量不变。
6
图6－6 混合长度与脉 动速度
对于图中二维不可压定常湍流：
ux2 l ux2 ux2 l
假设微团从x2 l 或 x2 l运动至 x2，对于 x2 来讲，
第六章 湍流基本理论
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
湍流的基本特征和统计平均方法 湍流连续方程和雷诺方程 湍流能量方程 雷诺平均统计模式 湍流的相关函数和谱分析 拟序结构 湍流大涡数值模拟
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第四节 雷诺平均统计模式
在雷诺方程中的不封闭量是雷诺应力，因此统计模式的 目标是封闭雷诺平均方程，建立足够的雷诺应力方程组（代 数的、微分的或一般泛函形式的）使得平均运动方程可解。
ui 0 xi
那么 uiui 0
，如果 t 是一个标量，
，而实际上
uiui
2k 3
。
为此Boussinesq修正（6－35），提出对于三维湍流
uiu
j
2 3
kij
t
Dij
(6－38）
Townsend.A.A测得在圆柱尾迹的充分湍流区，
t
0.0164U
0
d
,
(U
是来流速度，d是圆柱直径）。
0
Hinze J.O.在空气的圆截面射流中测得t 0.0116U pd
维湍流场，混合长度lm的表达式为：
lm
k du1 d 2 u1
dx1 dx12
(6－46）
二维湍流场中，流体微团的动量传递还伴随着旋转，
其角速度为 。
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图6－8 流体微团的 动量传递
设一个微团从x2向上运动到x20。其中 l1 x20 x2 那么：
u1 x2
u1 x20
(6－39）
9
t
lm2
du1 dx2
(6－40）
根据实验研究可以得到以下几点： a、由试验得到的 lm ，不象假设的那样为流体微团的
尺寸，而是与流动的平均尺度一样的量级。 b 、lm 不 是 空 间 常 数 。 在 边 界 层 中 根 据 尼 古 拉 兹 和
Klebanoff试验，在内层（壁面区）
雷诺统计模式以大量的试验观测为基础，通过量纲分析、 张量分析和其他手段，包含合理的推理和猜测，提出假设， 建立模型，然后与试验对比，进行进一步的修正和精确化。 迄今为止的湍流模拟没有一个是建立在完全严密的理论基础 上，因此也称之为湍流的半经验理论。目前虽然没有建立适 用于任何流动条件的通用湍流模式的前景，但针对各种具体 流动，已成功地发展了一些模型，它们在工程技术应用中发 挥着越来越大的作用。