2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 选修系列(第3部分 几何证明选讲)

2014年高考一轮复习考点热身训练：选修系列（第3部分：几何证明选讲）一、填空题1．如图所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFC 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF ∶FC 等于________．答案：12解析：设正方形边长为x ，则由△A FE ∽△ACB ，可得AF AC ＝FE CB ，即x 2＝1－x 1，所以x ＝23，于是AF FC ＝12.2．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.答案：2解析：2个，△ACD 和△CBD .OABC图43．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．答案：1∶2解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案．4、（惠州2011高三第三次调研考试文）如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O 的半径为_____________. 答案：设圆的半径为R,由PD PC PB PA ⋅=⋅得3(34)(5)(5)R R ⨯+=-+解得R=2。

5、（江门2011高三上期末调研测试理）如图4，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且2=AB ，6=BC ，32π=∠CAB ，则AOB ∠对应的劣弧长为 ．答案：22π 6．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB ，垂足为D ，且AD ＝5DB ，设∠COD ＝θ，则tan θ的值为________． 答案：52解析：设BD ＝k (k >0)，因为AD ＝5DB ，所以AD ＝5k ，AO ＝OB ＝5k ＋k2＝3k ，所以OC ＝OB ＝3k ，OD ＝2k .由勾股定理得，CD ＝OC 2－OD 2＝3k 2－2k 2＝5k ，所以tan θ＝CD OD ＝5k 2k＝52. 7．如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E .已知⊙O 的半径为3，PA ＝2，则PC ＝________，OE ＝________. 答案：4 95解析：由切割线定理得：PC 2＝PA ×PB ＝2×(6＋2)＝16，所以PC＝4，连接OC，由题意可知，OC ⊥PC ，又OP ＝5，故在Rt △PCO 中，cos ∠CPO ＝PC OP ＝45，在Rt △PCE 中，cos ∠CPO ＝EPPC＝45，故EP ＝165，OE ＝OP －EP ＝95. 8．如图所示，已知圆O 的直径AB ＝6，C 为圆O 上一点，且BC ＝2，过点B 的圆O 的切线交AC 的延长线于点D ，则DA ＝________. 答案：3解析：由题意知三角形ABC 为直角三角形，由勾股定理，得AC ＝2，又在直角三角形ABD 中，∠ABD 为直角，BC 为斜边AD 上的高，所以BC 2＝AC ·CD ，∴CD ＝1，∴DA ＝AC ＋CD ＝3，故填3.9、（2011丰台二模理10）．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知 ∠D =46°，则∠A = ． 答案：67°10、（2011海淀二模理12）如图，已知O 的弦AB 交半径OC于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .答案：211．两个相似三角形的面积分别为9 cm 2和25 cm 2，它们的周长相差6 cm ，则较大的三角形的周长为________cm.解析：因为两个相似三角形面积分别为9 cm 2和25 cm 2，所以面积之比为9∶25，相似比为3∶5，则周长比为3∶5，设小三角形周长为x cm ，则大三角形周长为(x ＋6)cm ，所以x ∶(x ＋6)＝3∶5，x ＝9(cm)，x ＋6＝15(cm)． 答案：1512．如图，在▱ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9 cm 2，S △AOB ＝________. 答案：36 cm 2解析：在▱ABCD 中，AB ∥DE ，ABC DOABODC∴△AOB ∽△EOD ，∴S △AOB S △DOE ＝(AB DE)2， ∵E 是CD 中点，∴DE ＝12CD ＝12AB ，∴ABDE ＝2，∴S △AOB S △DOE＝22＝4，∴S △AOB ＝4S △DOE ， 而S△DOE ＝9 cm 2，∴S △AOB ＝4×9＝36(cm 2)．13．如图，D 、E 两点分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件：________，使得△ADE ∽△ABC . 答案：∠1＝∠B 或(∠2＝∠C 或AE AC ＝AD AB)解析：∵∠A ＝∠A ，由两角对应相等，两三角形相似，可添加∠1＝∠B 或∠2＝∠C ，由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加AE AC ＝AD AB.14．如右图，AB 为⊙O 的直径，弦AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，CD ⊥AB 于D ，则CD 的长为________cm. 答案：125解析：由AB 为⊙O 的直径，可知∠ACB ＝90°，由勾股定理可得AB ＝5，因S △ACB ＝12AC ·BC＝12AB ·CD ， 故3×4＝5·CD ，所以CD ＝125cm.15．如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为________． 答案：92解析：连结CO ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.即△ABC 为直角三角形，又AB ＝6，BC ＝3， ∴sin ∠CAB ＝12.∴∠CAB ＝30°，∴AC ＝33，AO ＝OC .∴△AOC 为等腰三角形．∴∠ACO ＝30°.又l 为⊙O 的切线，∴OC ⊥l ，即∠DC O ＝90°. ∴∠DCA ＝60°.∴AD ＝AC ·sin60°＝92.16.如图，⊙O 的割线PBA 过圆心O ，弦CD 交PA 于点F ，且△COF ∽△PDF ，若PB ＝OA ＝2，则PF ＝________.答案：3解析：如图，因为△COF ∽△PDF ，所以OF DF ＝CFFP，即DF ×CF ＝OF ×FP ①. 因为弦AB 、CD 相交于点F ， 所以由相交弦定理得：DF ×FC ＝BF ×FA ②，由①②可得：BF ×FA ＝OF ×FP ③，设BF ＝x ，则PF ＝2＋x ，OF ＝2－x ，所以FA ＝2＋(2－x )＝4－x . 代入③式，得：x (4－x )＝(2－x )(2＋x )，即4－x 2＝4x －x 2，解得x ＝1. 故PF ＝PB ＋BF ＝2＋1＝3. 二、解答题17.如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4.(1)求线段PF 的长度；(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．解：(1)连接OC ，OD ，OF .由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ，∴PF PC ＝PD PO.由A B ＝2BP ＝4得，PA ＝6，BP ＝2， 由割线定理知PC ·PD ＝PA ·PB ＝12，故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3. (2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为OF ＝2－r ＝1，故r ＝1，所以OB 是圆F 的直径， 又过P 点的圆F 的切线为PT ，则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.18．如右图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，且a >b ，P 、Q 分别是边AB 、BC 上的动点，且点P 不与点A 、B 重合，点Q 不与B 、C 重合，当P 是AB 的中点时，若以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，这时的Q 点能有几个？分别求出相应的CQ的长．解：(1)当PQ ⊥BC 时，△PCQ ∽△ABC . ∵∠ACB ＝90°，P A ＝PB ， ∴CP ＝PB ，∴∠PCQ ＝∠B . 又∠PQC ＝∠ACB ＝90°， ∴△PCQ ∽△ABC ，CQ ＝12CB ＝12a .(2)当∠CPQ ＝90°时，△CPQ ∽△BCA . ∵∠PCQ ＝∠B ，∠CPQ ＝∠ACB ＝90°， ∴△CPQ ∽△BCA ，则CQ AB ＝CP BC.有CQ a 2＋b 2＝a 2＋b 22a，∴CQ ＝a 2＋b 22a.故Q 点有两个，CQ 的长度分别是12a 和a 2＋b22a .。