安徽省高考理科数学中的函数与导数解答题分析
高考安徽卷理科数学详细解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 设i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 12【答案】A 【解析】法一：()()()()()ai i ai a a ii i i 1+2+1+2-+2+1==2-2-2+5为纯虚数，所以,a a 2-=0=2； 法二：设aibi i1+=2-得ai b bi 1+=+2，所以,b a =1=2 ； 法三：()i a i ai i i-1+=2-2-为纯虚数，所以a =2，答案为A ； （2） 双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)222【答案】C【解析】双曲线方程可变为x y 22-=148，所以,a a 2=4=2,实轴长a 2=4。
（3） 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３ 【答案】A 【解析】法一:()f x 是定义在R 上的奇函数,且x ≤0时, ()f x x x 2=2-()()()()2112113f f ∴=--=--+-=-,故选A.法二:设0x >,则0x -<,()f x 是定义在R 上的奇函数,且x ≤0时,()f x x x 2=2-,()()()2222f x x x x x ∴-=---=+,又()()f x f x -=-,()22f x x x ∴=--,()212113f ∴=-⨯-=-,故选A.（４）设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ 【答案】B【解析】法一：特值验证：当0,1x y ==时，22x y +=,故排除A ，C ；当0,1x y ==-时，22x y +=-,故排除D ，答案为B 。
高考数学考点11导数与函数的单调性试题解读与变式
考点十一： 导数与函数的单调性【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值.预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】（一）原函数与其导函数的图像问题例 1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）.【答案】D【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ．【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b上为减函数．且导函C.数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸.【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项.【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二质检】函数()2sin 20142x f x x =++，则()'f x 的大致图象是 （ ） A. B. C. D.【答案】B（二）用导数求不含参数的单调区间例2.【2017全国2卷（文）】设函数()()21e xf x x =-.（1）讨论()f x 的单调性.【答案】()f x 在区间(),21-∞，()21,+∞是减函数，在区间()221-是增函数.【解析】（1）()()()222e 1e 12e x x x f x x x x x '=-+-=--， 令()0f x '=得2210x x +-=，解得121x =-，221x =， 所以()f x 在区间(),21-∞-，)21,+∞是减函数，在区间()221-是增函数.【方法技巧归纳】利用导数求不含参数的单调性容易出错的地方就是：求导，求解不等式，写出单调区间.单调性相同的两个区间一般要用“和”或“，”连接，不能用“或”或“ ”.【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> 【答案】()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，在]2,2(-上单调递减.（三）用导数求含参函数的单调区间例3.【2017全国1卷（理）】已知函数()()2e 2e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+.①当0≤a 时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立． ()f x 在R 上单调递减.②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．x()ln a -∞-， ln a -()ln a -+∞，()f x ′ -+()f x极小值综上，当0≤a 当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.【方法技巧归纳】1.求函数的单调区间方法一：①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数''()y f x =；③解不等式'()0f x ≥，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式'()0f x ≤，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2.求函数的单调区间方法二：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数''()y f x =，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】见解析【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷（文）改编】已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析； 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得()()()'1e 2.x f x x a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；试题解析：（Ⅰ）()()()()()'1e 211e 2.x x f x x a x x a =-+-=-+（Ⅰ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以f （x ）在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷（理）改编】已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ） 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.【解析】（Ⅰ）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. （2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2016北京卷（理）】设函数()ea xf x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+.（Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2,e a b ==；（Ⅱ） ),(+∞-∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出)(x f '，根据(2)2e 2,(2)e 1f f '=+=-求a,b 的值即可； （Ⅱ）由题意判断)(x f '的符号，即判断1()1e x g x x -=-+的单调性，知g(x)>0，即)(x f '>0，由此求得f(x)的单调区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()e e xf x x x -=+.由21()e(1e )xx f x x --'=-+及2e 0x ->知，)(x f '与11e x x --+同号.令1()1e x g x x -=-+，则1()1ex g x -'=-+.所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x .故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. 【数学思想】分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【处理导数与单调性问题注意点】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法. 【典例试题演练】1．【2018河南郑州一中测试题】如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为 ( )A. [)1,+∞ B. 0,3⎡⎤⎣⎦C. []0,1 D. 1,3⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】因()()''213131,[](1)2222f x f x x x x x x =-=-+=-'，故210{ 310x x-≥-≤，解之得13x ≤≤，应选答案D.2．【2018河南南阳一中上学期第二次考试（文）】已知函数()252ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞3．【2018辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】 已知函数()()222xx a x af x e +-+-=， 0a ≤（e 为自然对数的底数）.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上为减函数；当0a <时，则()f x 在(][),,0,a -∞+∞上为减函数；在[],0a 上为增函数；【解析】(Ⅰ) ()()xa x xf x e-'=，令()1200,f x x x a =⇒=='；①0a =时，则()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号）()f x ⇒在(),-∞+∞上为减函数； ②当0a <时，则()()()(),0,0x a f x f x ∈-∞⋃+∞<⇒'⇒在(][),,0,a -∞+∞上为减函数； ()()(),00x a f x f x '∈⇒>⇒在[],0a 上为增函数；4．【2017陕西省西安市长安区第一中学4月模考（理）】已知函数()ln f x x =，()()2g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；若0a ≥，并试讨论函数()g x 的单调性；（2）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点()()1122,,,A x y B x y12()x x <，求证：2111k x x <<． 【答案】(1) 21b a =-- ，单调性见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数的几何意义确定a 与b 的关系，再利用导函数的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性；(2)先利用直线的斜率公式确定不等关系，再构造函数，利用导数求函数的最值即可求解 . 试题解析：（1）()()22ln g x f x ax bx x ax bx =++=++， ()12g x ax b x∴=++'， 由题意得()1120g a b '=++=， 21b a ∴=--；()()()211112221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--=++=+--=>'， ①当0a =时， ()()1(0)x g x x x'--=>，当1x >时， ()0g x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞单调减；当01x <<时， ()0g x '>， ∴函数()g x 在()0,1单调增；④当12a >时．即112a<， ()()1212(0)a x x a g x x x ⎛⎫-- ⎪⎭'⎝=>， ∴函数()g x 在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调减区间；函数()g x 在()1,+∞和10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增；（2）由题设210x x >>，21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121ln ln x x x xx x x x --⇔<-< 22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则()111(1)x h x x x x-'=-=>， 1x ∴>时， ()0h x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞是减函数，而()10h =， 1x ∴>时， ()()10h x h <=210x x >>， 211x x ∴>， 222111ln 10x x x h x x x ⎛⎫∴=-+< ⎪⎝⎭，即2211ln 1x xx x <-， ②令()1ln 1(1)H x x x x =+->，则()22111(1)x H x x x x x-=-=>'， 1x ∴>时， ()0H x '>， ∴ ()H x 在()1,+∞是增函数， 1x ∴>时， ()()10H x H >=， 2221111ln 10x x H x x x x ⎛⎫∴=+->⎪⎝⎭， 即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<． 5．【2017陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试（理）】已知函数()244ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中常数0k >.（Ⅰ）讨论()f x 在()0,2上的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析;【解析】试题分析：（1）求导数，对k 分类讨论，利用导数的正负，即可得到()f x 在区间()0,2上的单调性；试题解析：（Ⅰ）由已知得， ()f x 的定义域为()0,∞+，且()()222244444(0)x k x x k x k k k k f x k x x x x ⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭='=-=->， ①当02k <<时，40k k >>，且42k>， 所以()0,x k ∈时， ()0f x '<； (),2x k ∈时， ()0f x '>. 所以，函数()f x 在()0,k 上是减函数，在(),2k 上是增函数； ②当2k =时，42k k==， ()0f x '<在区间()0,2内恒成立， 所以()f x 在()0,2上是减函数； ③当2k >时， 4402,k k k<， 所以40,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<； 4,2x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>所以函数在40,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在4,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数. 6．函数.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）当时， 时，单调递减；当时，单调递增；当时， 时，单调递增；当时， 单调递减；【解析】试题分析：（1）求出()'f x ， 讨论两种情况分别令()'0f x >可得增区间，()'0f x <可得得减区间；7．【2018河北省石家庄二中八月高三模拟数学（文科）】已知函数()()()212ln f x ax a x x a R =+--∈.（Ⅰ）若0a <，讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）当12a =-时， ()f x 的减区间是()0,+∞，无增区间，当102a -<<时， ()f x 的增区间是11,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,1,,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，当12a <-时， ()f x 的增区间是1,12a⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,,1,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()f x的定义域为()0,+∞，当0a<时，()()()221211212ax a xf x ax ax x+--=+--='()()()1212112a x xax x ax x⎛⎫+-⎪+-⎝⎭==，（ⅲ）若112a-<，即12a<-，1,12xa⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x是增函数，10,2xa⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x'<，()f x是减函数，()1,x∈+∞时，()0f x'<，()f x是减函数；综上可得，当12a=-时，()f x的减区间是()0,+∞，无增区间，当12a-<<时，()f x的增区间是11,2a⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,1,,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，当12a<-时，()f x的增区间是1,12a⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,,1,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.8．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数()11lnf x m x xm x⎛⎫=++-⎪⎝⎭，其中常数0m>.（1）当2m =时，求()f x 的极大值； （2）试讨论()f x 在区间()0,1上的单调性. 【答案】（1）()532ln222f=-；（2）当01m <<时， ()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 上单调递增；当1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减；当1m >时， ()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件将2m =代入函数解析式可得()51ln 2f x x x x =+-，进而求导，运用导数与函数的单调性之间的关系求解；（2）先对函数()11ln f x m x x m x⎛⎫=++- ⎪⎝⎭求导，再借助分类整合思想及导数与函数的单调性之间的关系进行分类求其单调区间：（2）()()()2211110,0x m x m m m f x x m x x x⎛⎫--+⎪⎝⎭=->'--=>， 当01m <<时， ()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 上单调递增； 当1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减；当1m >时， ()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 9．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的定义域为()0,+∞，求导数，若0a ≤，若0a >，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性；试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()0,+∞，求导数，得()()()()211'1x a x a x x a a f x x a x x x+--+-=+--==.若0a ≤，则()'0f x >，此时()f x 在()0,+∞上单调递增，若0a >，则由()'0f x =，得x a =.当0x a <<时， ()'0f x <；但x a >时， ()'0f x >，此时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.10．【2017河北省唐山市三模（理）改编】已知函数()()2ln 1f x x ax =++， 0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得()2221'1ax ax f x x ++=+， 分0∆<， 0∆=， 0∆>，三种情况讨论可得单调区间.试题解析：（Ⅰ） ()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++， 1x >-， 令()2221g x ax ax =++， ()24842a a a a ∆=-=-，若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时， ()'0f x >， ()f x 单调递增，若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当12x =-时，等号成立， 当()1,x ∈-+∞时， ()'0f x ≥， ()f x 单调递增. 若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点1x =，2x =由()()1010g g -==>， 102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<， 当()11,x x ∈-时， ()0g x >， ()'0f x >， ()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时， ()0g x <， ()'0f x <， ()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时， ()0g x >， ()'0f x >， ()f x 单调递增. 综上所述，当02a <≤时， ()f x 在()1,-+∞上单调递增；当2a >时， ()f x在⎛ - ⎝⎭和⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 11．【2018河北省武邑中学第一次月考（理）改编】已知函数()e xf x ax =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（1）见解析【解析】试题分析：（1）求函数的导数()x f x e a '=- 通过0a ≤和0a ＞ 两种情况分类讨论，分别判断函数的单调性．12．【2018湖南省岳阳市一中第一次月考（理）改编】已知函数()()()21ln 102f x a x a x x a =-++->. （1）讨论()f x 的单调性；【答案】(1) 当1a =时， ()f x 在()0,+∞上单调递减；当01a <<， ()f x 的单调递增区间为(),1a ；单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；当1a >， ()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞；【解析】试题分析：（1）求出()f x 的导数，通过1,01,1a a a =<的讨论，分别令()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；试题解析：（1）()()()()2111x a x a x a x af x a x x x x-++---+=-++-=='，()()()()11x a x af x a x x x---=++-=-'， ①当1a =时， ()()()10x a x f x x---'=≤，∴()f x 在()0,+∞上单调递减；②当01a <<，由()0f x '>解得1a x <<，∴()f x 的单调递增区间为(),1a ， 单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；③当1a >，同理可得()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞.。
2023年安徽省高考理科数学试题及参考答案
2023年安徽省高考理科数学真题及参考答案一、选择题1.设5212ii iz +++=，则=z （）A .i 21-B .i21+C .i -2D .i+22.设集合R U =，集合{}1<=x x M ，{}21<<-=x x N ，则{}=≥2x x （）A .()N M C U ⋃B .MC N U ⋃C .()N M C U ⋂D .NC M U ⋃3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B .26C .28D .304.已知()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则=a （）A .2-B .1-C .1D .25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}41,22≤+≤y x y x 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（）A .81B .61C .41D .216.已知函数()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，直线6π=x 和32π=x 为函数()x f y =的图象的两条对称轴，则=⎪⎭⎫⎝⎛-125πf （）A .23-B .21-C .21D .237.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A .30种B .60种C .120种D .240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PB P A ，为圆锥的母线，︒=∠120AOB ，若P AB ∆的面积等于439，则该圆锥的体积为（）A .πB .π6C .π3D .π639.已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角D AB C --为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A .51B .52C .53D .5210.已知等差数列{}n a 的公差为32π，集合{}*∈=N n a S n cos ，若{}b a S ,=，则=ab （）A .1-B .21-C .0D .2111.已知B A ,是双曲线1922=-y x 上两点，则可以作为B A ,中点的是（）A .()1,1B .()2,1-C .()3,1D .()4,1-12.已知圆122=+y x O ：，2=OP ，过点P 作直线1l 与圆O 相切于点A ，作直线2l 交圆O 于C B ,两点，BC 中点为D ，则PD P A ⋅的最大值为（）A .221+B .2221+C .21+D .22+二、填空题13.已知点()51，A 在抛物线px y C 22=：上，则A 到C 的准线的距离为.14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为.15.已知{}n a 为等比数列，63542a a a a a =，8109-=a a ，则=7a .16.已知()()xxa a x f ++=1，()1,0∈a ，若()x f 在()∞+，0为增函数，则实数a 的取值范围为.三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i i y x ,()10,2,1 =i ，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记i i i y x z -=()10,2,1 =i ，记1021,z z z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果1022s z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，2=AB ，1=AC .（1）求ABC ∠sin ；（2）若D 为BC 上一点，且︒=∠90BAD ，求ADC ∆的面积.19.如图，在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，2=AB ，22=BC ，6==PC PB ，BC AP BP ,,的中点分别为O E D ,,，DO AD 5=，点F 在AC 上，AO BF ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角C AO D --的正弦值.20.已知椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的离心率为35，点()02，-A 在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()3,2-的直线交曲线C 于Q P ,两点，直线AQ AP ,交y 轴于N M ,两点，求证：线段MN 中点为定点.21.已知函数()()1ln 1+⎪⎭⎫⎝⎛+=x a x x f .（1）当1-=a 时，求曲线()x f 在()()1,1f 的切线方程；（2）是否存在实数b a ,使得曲线⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1关于直线b x =对称，若存在，求出b a ,的值；如果不存在，请说明理由；（3）若()x f 在()∞+，0存在极值，求a 的取值范围.（二）选做题【选修4-4】22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=24sin 2πθπθρ，曲线2C ：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，παπ<<2）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线m x y +=既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】23.已知()22-+=x x x f .（1）求不等式()x x f -≤6的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()⎩⎨⎧≤-+≤06y x yx f 所确定的平面区域的面积.参考答案一、选择题123456789101112BADDCDCBCBDA1.解：()i i ii i i i i i i z 21112211212252-=--=+=+-+=+++=，则i z 21+=2.解：由题意可得{}2<=⋃x x N M ，则()=⋃N M C U {}2≥x x .3.解：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，31=AA ，点K J I H ,,,为所在棱上靠近点1111,,,A D C B 的三等分点，N M L O ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111D C B A ABCD -去掉长方体11LMHB ONIC -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.4.解：∵()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则()()=--x f x f ()()[]01111=--=-------axx a x ax x axx e e e x e e x e xe ，又∵x 不恒为0，可得()01=--xa xee ，则()x a x 1-=，∴2=a .5.解：∵区域(){}41,22≤+≤y x y x 表示以()00，O 为圆心，外圆半径2=R ，内圆半径1=r 的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于4π的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角4π=∠MON ，结合对称性可得所求概率为41242=⨯=ππp .6.解：∵()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，∴26322πππ=-=T ，且0>ω，则π=T ，22==Tπω.当6π=x 时，()x f 取得最小值，则Z k k ∈-=+⋅,2262ππϕπ，则Z k k ∈-=,652ππϕ，不妨取0=k 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652sin πx x f ，则2335sin 125=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf .7.解：有1本相同的读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分布乘法公式则共有⋅16C 12025=A 种.8.解：在AOB ∆中，︒=∠120AOB ，而3==OB OA ，取AC 中点C ，连接PC OC ,，有AB OC ⊥，AB PC ⊥，如图，︒=∠30ABO ，23=OC ，32==BC AB ，由P AB ∆的面积为439得439321=⨯⨯PC ，解得233=PC ，于是6232332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=OC PC PO ，∴圆锥的体积()πππ663313122=⨯⨯=⨯⨯=PO OA V .9.解：取AB 的中点E ，连接DE CE ,，∵ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，则有AB CE ⊥，又ABD ∆为等边三角形，则AB DE ⊥，从而CED ∠为二面角DAB C --的平面角，即︒=∠150CED ，显然E DE CE =⋂，⊂DE CE ,平面CDE ，又⊂AB 平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面CE ABC =，直线⊂CD 平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2=AB ，则1=CE ，3=DE，在CDE ∆中，由余弦定理得：72331231cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=CED DE CE DE CE CD ，由正弦定理得CEDCDDCE DE ∠=∠sin sin ，即7237150sin 3sin =︒=∠DCE ，显然DCE ∠是锐角，7257231sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠DCE DCE ，∴直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为53.10.解：依题意，等差数列{}n a 中，()⎪⎭⎫⎝⎛-+=⋅-+=323232111πππa n n a a n ，显然函数==n a y cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3232cos 1ππa n 的周期为3，而*∈N n ，即n a cos 最多有3个不同取值，又{}{}b a Nn a n ,cos =∈*，而在321cos ,cos ,cos a a a 中，321cos cos cos a a a ≠=或321cos cos cos a a a =≠，于是有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos cos πθθ，即有Z k k ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,232ππθθ，解得Z k k ∈-=,3ππθ213cos cos cos 3cos 343cos 3cos 2-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππππππk k k k k ab 11.解：由对称性只需考虑()1,1，()2,1，()3,1，()4,1即可，注意到()3,1在渐近线上，()1,1，()2,1在渐近线一侧，()4,1在渐近线的另一侧.下证明()4,1点可以作为AB 的中点.设直线AB 的斜率为k ，显然k 存在.设()41+-=x k y l AB ：，直线与双曲线联立()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=194122y x x k y ，整理得()()()094429222=------k x k k xk ，只需满足⎩⎨⎧>∆=+0221x x ，∴()29422=--k k k ，解得49=k ，此时满足0>∆.12.解：如图所示，1=OA ，2=OP ，则由题意可知：︒=∠45APO ，由勾股定理可得122=-=OA OP P A ，当点D A ,位于直线PO 异侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22-+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则4424ππαπ≤-≤-，∴当442ππα-=-时，PD P A ⋅有最大值1.当点D A ,位于直线PO 同侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22++=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则2424ππαπ≤+≤，∴当242ππα=+时，PD P A ⋅有最大值为221+.二、填空题13.49；14.8；15.2-；16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21513.解：由题意可得：()1252⨯=p ，则52=p ，∴抛物线的方程为x y 52=，准线方程为45-=x ，点A 到C 的准线的距离为49451=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.14.作出可行域如下图所示，∵y x z -=2，∴z x y -=2，联立有⎩⎨⎧=+-=-9213y x y x ，解得⎩⎨⎧==25y x 设()2,5A ，显然平移直线x y 2=使其经过点A 此时截距z -最小，则z 最大，代入得8=z .15.解：设{}n a 的公比为()0≠q q ，则q a q a a a a a a 5263542⋅==，显然0≠n a ，则24q a =，即231q q a =，则11=q a ，∵8109-=a a ，则89181-=⋅q a q a ，则()()3351528-=-==q q，则23-=q ，则25517-==⋅=q q q a a .16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,215解析：()()()a a a a x f xx+++='1ln 1ln ，由()x f 在()∞+，0为增函数可知()∞+∈，0x 时，()0≥'x f 恒成立，只需()0min ≥'x f ，而()()()01ln 1ln 22>+++=''a a a a x f xx，∴()()()01ln ln 0≥++='>'a a f x f ，又∵()1,0∈a ，∴⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,215a .三、解答题（一）必做题17.解：（1）∵i i i y x z -=()10,2,1 =i ，∴9536545111=-=-=y x z ；62=z ；83=z ；84-=z ；155=z ；116=z ；197=z ；188=z ；209=z ；1210=z .()()[]1112201819111588691011011021=++++++-+++⨯=++=z z z z ∵()∑=-=1012101i i z z s ，将各对应值代入计算可得612=s （2）由（1）知：11=z ，612=s，∴5122106121061210222=⨯==s ，121112==z ，∴1022s z ≥∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高18.解：（1）根据题意，由余弦定理可得：72112212cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ∴7=BC 由正弦定理ABC AC A BC ∠=∠sin sin ，即ABC∠=sin 1237，解得1421sin =∠ABC .（2）由三角形面积公式可得430sin 2190sin 21=︒⨯⨯⨯︒⨯⨯⨯=∆∆AD AC AD AB S S ACDABD ，则103120sin 12215151=⎪⎭⎫⎝⎛︒⨯⨯⨯⨯==∆∆ABC ACD S S .19.解：（1）连接OF OE ,，设tAC AF =，则()BC t BA t AF BA BF +-=+=1，BC BA AO 21+-=，AO BF ⊥，则()[]()()0414********=+-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+-=⋅t t BC t BA t BC BA BC t BA t AO BF 解得21=t ，则F 为AC 的中点，由F O E D ,,,分别为AC BC P A PB ,,,的中点，于是AB OF AB DE AB DE 2121∥，，∥=，即OF DE OF DE =，∥，则四边形ODEF 为平行四边形，DO EF DO EF =，∥，又⊄EF 平面ADO ，⊂DO 平面ADO ，∴EF ∥平面ADO .（2）由（1）可知EF ∥OD ，则266==DO AO ，，得2305==DO AD ，因此215222==+AD AO OD ，则AO OD ⊥，有AO EF ⊥，又BF AO ⊥，F EF BF =⋂，⊂EF BF ,平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又⊂AO 平面ADO ，∴平面ADO ⊥平面BEF .（3）过点O 作BF OH ∥交AC 于点H ，设G BE AD =⋂，由BF AO ⊥得AO HO ⊥，且AH FH 31=，又由（2）知，AO OD ⊥，则DOH ∠为二面角C AO D --平面角，∵E D ,分别为P A PB ,的中点，因此G 为P AB ∆的重心，即有,31,31BE GE AD DG ==又AH FH 31=，即有GF DH 23=，622642622215234cos 2⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠P A ABD ，解得14=P A ，同理得26=BE ，于是3222==+BF EF BE ，即有EF BE ⊥，则35262631222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=GF ，从而315=GF ，21531523=⨯=DH ，在DOH ∆中，215,262321====DH OD BF OH ，于是22221sin ,22232624154346cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∠-=⨯⨯-+=∠DOH DOH .∴二面角C AO D --的正弦值为22.20.解：（1）由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==352222a c e c b a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ，∴椭圆的方程为14922=+x y。
高考数学导数试题解题研究以新课标全国卷为例
高考数学导数试题解题研究以新课标全国卷为例一、本文概述本文旨在深入研究高考数学导数试题的解题策略，以新课标全国卷为例进行详细分析。
我们将首先概述导数的基本概念及其在高考中的重要性，然后深入探讨导数试题的常见题型和解题技巧。
通过对新课标全国卷历年导数试题的系统梳理，我们将揭示导数试题的命题规律和趋势，为考生提供有针对性的备考建议。
本文还将分享一些成功的解题经验和策略，帮助考生更好地应对高考数学导数试题，提高解题效率和准确性。
通过本文的研究，我们期望能为广大考生和教师提供有益的参考，推动高考数学导数试题解题水平的提升。
二、导数基础知识回顾导数作为高中数学的核心知识点，其基础知识的掌握对于解答导数试题至关重要。
我们需要明确导数的定义。
导数描述了函数在某一点处切线的斜率，它表示函数在该点处的瞬时变化率。
在求解导数试题时，我们应熟练掌握导数的定义，能够根据给定的函数求出其在某一点的导数。
我们需要掌握导数的基本公式和运算法则。
例如，常见的导数公式包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
同时，我们还需要熟悉导数的运算法则，如加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则等。
这些公式和法则将为我们求解导数试题提供有力的工具。
导数的几何意义和应用也是我们需要关注的重点。
导数的几何意义体现在函数图像的切线斜率上，我们可以通过导数来判断函数的单调性、极值点等性质。
同时，导数在实际生活中的应用也十分广泛，如物理学中的速度、加速度等都与导数密切相关。
对于新课标全国卷中的导数试题，我们还需要关注其命题特点和趋势。
近年来，导数试题的命题逐渐趋于灵活和多样化，不仅涉及到导数的基础知识，还涉及到导数在实际问题中的应用。
因此，我们需要加强对导数综合应用能力的培养，提高解题的灵活性和创新性。
对于高考数学导数试题的解题研究，我们需要从导数的基础知识入手，熟练掌握导数的定义、公式、运算法则和几何意义等方面的知识。
我们还需要关注导数在实际问题中的应用和命题趋势的变化，加强综合应用能力的培养和实践经验的积累。
2010年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析
2010年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分)(2010•安徽）i是虚数单位,=（)A．﹣i B．i C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算,结合i2=﹣1得结论．【解答】解:===+，故选B．【点评】本题考查复数的分式形式的化简问题，主要是乘除运算，是基础题．2．（5分）（2010•安徽）若集合A={x|x≥}，则∁R A=(）A．(﹣∞,0］∪（，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，0]∪［,+∞）D．[，+∞）【考点】补集及其运算；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】欲求A的补集，必须先求集合A，利用对数的单调性求集合A，然后得结论,【解答】解:∵x≥，∴x≥,∴0＜x，∴∁R A=（﹣∞,0］∪（，+∞）．故选A．【点评】本题主要考查补集及其运算，这里要注意对数中真数的范围,否则容易出错．3．(5分）（2010•安徽）设向量,则下列结论中正确的是（) A．B．C．与垂直D．【考点】向量的模;数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是向量的模，及用数量积判断两个平面向量的垂直关系，由，我们易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵，∴=1,=，故不正确，即A错误∵•=≠，故B错误；∵﹣=（，﹣）,∴（﹣）•=0,∴与垂直，故C正确；∵，易得不成立，故D错误．故选C【点评】判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行(共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行,交叉相乘差为0，两个向量若垂直,对应相乘和为0"．4．（5分）（2010•安徽）若f(x）是R上周期为5的奇函数,且满足f（1）=1，f(2）=2，则f （3）﹣f（4）=()A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1【考点】函数奇偶性的性质;函数的周期性．【专题】计算题．【分析】利用函数奇偶性以及周期性，将3或4的函数值问题转化为1或2的函数值问题求解即可．【解答】解：∵若f（x)是R上周期为5的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），f（x+5）=f（x），∴f（3）=f（﹣2）=﹣f(2)=﹣2，f（4）=f（﹣1）=﹣f（1)=﹣1，∴f（3)﹣f（4）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1．故选D．【点评】本题考查函数奇偶性的应用，奇（偶）函数的定义：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x））（或f（﹣x）=f（x）)，那么函数f（x）是奇（偶）函数．5．（5分）（2010•安徽)双曲线方程为x2﹣2y2=1，则它的右焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】把双曲线方程化为标准方程可分别求得a和b,进而根据c=求得c，焦点坐标可得．【解答】解：双曲线的,，，∴右焦点为．故选C【点评】本题考查双曲线的焦点,把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用c2=a2+b2求出c即可得出交点坐标．但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2=1或b2=2，从而得出错误结论．6．（5分）（2010•安徽）设abc＞0,二次函数f（x)=ax2+bx+c的图象可能是(）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】综合题;分类讨论．【分析】当a＞0时，二次函数开口向上，判断C、D中c的符号，再确定b的符号,判断C、D的正误,当a＜0时，同样的方法判断A、B的正误．【解答】解：当a＞0时，因为abc＞0,所以b、c同号，由（C）(D）两图中可知c＜0，故b＜0，∴,即函数对称轴在y轴右侧，C不正确，选项（D）符合题意．显然a＜0时，开口向下,因为abc＞0,所以b、c异号,对于A、由图象可知c＜0，则b＞0，对称轴，A不正确；对于B,c＞0，对称轴,B选项不正确．故选D．【点评】根据二次函数图象开口向上或向下，分a＞0或a＜0两种情况分类考虑．另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．是常考题．7．（5分）（2010•安徽)设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】圆的参数方程．【专题】计算题;压轴题．【分析】由题意将圆C和直线l先化为一般方程坐标,然后再计算曲线C上到直线l距离为的点的个数．【解答】解：化曲线C的参数方程为普通方程：(x﹣2）2+（y+1）2=9，圆心(2,﹣1）到直线x﹣3y+2=0的距离，直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，又,在直线l的另外一侧没有圆上的点符合要求,故选B．【点评】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系,这就是曲线C上到直线l距离为，然后再判断知，进而得出结论．8．(5分）（2010•安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）A．372 B．360 C．292 D．280【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】三视图很容易知道是两个长方体的组合体,得出各个棱的长度．即可求出组合体的表面积．【解答】解:该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．S=2（10×8+10×2+8×2）+2（6×8+8×2)=360．故选B．【点评】把三视图转化为直观图是解决问题的关键．又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，得出各个棱的长度．把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．9．（5分）（2010•安徽）动点A（x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位:秒)的函数的单调递增区间是（)A．［0,1] B．[1，7]C．[7,12]D．［0，1］和［7，12］【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】压轴题．【分析】由动点A(x,y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度,画出单位圆，很容易看出，当t在［0,12］变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒)的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间．【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时，每秒钟旋转，在t∈［0，1］上，在[7，12］上，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．【点评】本题主要考查通过观察函数的图象确定函数单调性的问题．10．（5分）（2010•安徽)设{a n｝是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）A．X+Z=2Y B．Y(Y﹣X)=Z（Z﹣X) C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X(Z﹣X）【考点】等比数列．【专题】压轴题．【分析】取一个具体的等比数列验证即可．【解答】解：取等比数列1，2,4，令n=1得X=1,Y=3，Z=7代入验算,只有选项D满足．故选D【点评】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除．二、填空题(共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分)（2010•安徽）命题“对任何x∈R，使得｜x﹣2｜+｜x﹣4｜＞3”的否定是存在x∈R，使得|x﹣2｜+|x﹣4｜≤3．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】全称命题的否定是特称命题，只须将全称量词“任何"改为存在量词“存在",并同时把“｜x﹣2｜+｜x﹣4|＞3"否定．【解答】解：全称命题的否定是特称命题,∴命题“对任何x∈R，使得｜x﹣2｜+|x﹣4｜＞3”的否定是:存在x∈R，使得|x﹣2｜+|x﹣4｜≤3．故填：存在x∈R，使得｜x﹣2｜+｜x﹣4｜≤3．【点评】本题主要考查了命题的否定,属于基础题之列．这类问题常见错误是,没有把全称量词改为存在量词,或者对于“＞“的否定改成了”＜“,而不是“≤”．12．（5分）(2010•安徽）（﹣)6展开式中,x3的系数等于15．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，易得其二项展开式，分析可得,当r=2时，有C62•（）4•（﹣）2=15x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得其二项展开式的通项为T r+1=C6r•（）6﹣r•（﹣)r，当r=2时，有C62•（）4•（﹣)2=15x3,则x3的系数等于15,故答案为15．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式,特别要区分某一项的系数与二项式系数．13．（5分）（2010•安徽）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．【考点】简单线性规划的应用．【专题】压轴题．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域,再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8,求出a,b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0)，（0，2），（,0），(1,4)，由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立,∴a+b的最小值为4．故答案为：4【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）(2010•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为12【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=12时满足条件x＞8，退出循环，输出x的值为12．【解答】解：模拟执行程序框图,可得x=1满足条件x是奇数，x=2不满足条件x是奇数，x=4，不满足条件x＞8，x=5满足条件x是奇数，x=6，不满足条件x＞8，x=7满足条件x是奇数,x=8，不满足条件x＞8，x=9满足条件x是奇数，x=10,不满足条件x是奇数，x=12，满足条件x＞8，退出循环，输出x的值为12．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．15．（5分)（2010•安徽）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②④（写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立;④A1，A2，A3是两两互斥的事件;⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】压轴题．【分析】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键．本题在A1，A2，A3是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化P（B）=P(B｜•A1）+P（B•A2)+P（B•A3），可知事件B的概率是确定的．【解答】解:易见A1,A2,A3是两两互斥的事件，．故答案为：②④【点评】概率的综合问题，需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2010•安徽）设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B,C所对边长,并且．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若,求b，c（其中b＜c）．【考点】余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】（1）先根据两角和与差的正弦公式展开得到角A的正弦值，再由角A的范围确定角A的值．（2）先根据向量数量积的运算和角A的值得到cb=24,再由a=2和余弦定理可求出b，c 的值．【解答】解：(1）因为sin2A=（（）+sin2B==所以sinA=±．又A为锐角，所以A=（2）由可得，cbcosA=12 ①由（1）知A=，所以cb=24 ②由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bccosA,将a=2及①代入可得c2+b2=52③③+②×2,得(c+b）2=100,所以c+b=10因此，c,b是一元二次方程t2﹣10t+24=0的两根解此方程并由c＞b知c=6，b=4【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦定理的应用．属基础题．17．（12分）(2010•安徽）设a为实数,函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值;(Ⅱ）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e x﹣2,x∈R．令f′（x）=0,得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（Ⅱ）设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1,x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R,都有g′(x)＞0，所以g(x)在R内单调递增．由此能够证明e x＞x2﹣2ax+1．【解答】（Ⅰ)解：∵f（x)=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′(x）=0，得x=ln2．于是当x变化时,f′（x），f（x）的变化情况如下表:x (﹣∞，ln2）ln2 （ln2，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）单调递减2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是(﹣∞，ln2），单调递增区间是(ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a)，无极大值．（Ⅱ)证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x)=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2(1﹣ln2+a)＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x)＞0,所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0,+∞),都有g(x）＞g（0）．而g（0)=0,从而对任意x∈（0，+∞)，g(x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0,故当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【点评】本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．18．（12分）（2010•安徽）如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）求二面角B﹣DE﹣C的大小．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题．【专题】综合题．【分析】(1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，可得四边形EFHG为平行四边形，然后利用直线与平面平行判断定理进行证明；(2）因为四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC，又EF∥AB，可得EF⊥BC，要证FH⊥平面ABCD,FH⊥平面ABCD,从而求解．（3）在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，可知∠FKB为二面角B﹣DE ﹣C的一个平面角，然后设EF=1，在直角三角形中进行求证．【解答】证明:（1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH,又H为BC 的中点,∴GH∥AB且GH=AB，又EF∥AB且EF=AB,∴EF∥GH且EF=GH，∴四边形EFHG为平行四边形∴EG∥FH,而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB．（2)由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥BC，FH⊥AC，又FH∥EG,∴AC⊥EG又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB,（3）EF⊥FB,∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF,在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，则∠FKB为二面角B﹣DE﹣C的一个平面角，设EF=1,则AB=2，FC=,DE=,又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC,∴sin∠EDC=sin∠KEF=，∴FK=EFsin∠KEF=,tan∠FKB==,∴∠FKB=60°，∴二面角B﹣DE﹣C为60°．【点评】此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住,此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．19．（13分）(2010•安徽）已知椭圆E经过点A（2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上,离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；（3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在，请找出；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2,3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得∠F1AF2的平分线所在直线l 的方程；（3)假设存在B（x1，y1)C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入，求得BC中点代入直线2x﹣y﹣1=0上，即可得到结论．【解答】解：（1）设椭圆方程为∵椭圆E经过点A（2，3),离心率∴，∴a2=16，b2=12∴椭圆方程E为:;（2）F1（﹣2,0）,F2（2,0)，∵A（2，3),∴AF1方程为：3x﹣4y+6=0，AF2方程为：x=2设角平分线上任意一点为P（x，y），则．得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0∵斜率为正，∴直线方程为2x﹣y﹣1=0；(3）假设存在B(x1,y1）C(x2，y2）两点关于直线l对称，∴∴直线BC方程为代入得x2﹣mx+m2﹣12=0，∴BC中点为代入直线2x﹣y﹣1=0上，得m=4．∴BC中点为（2，3）与A重合,不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线方程,考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）(2010•安徽）设数列a1，a2，…，a n，…中的每一项都不为0．证明：｛a n｝为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有++…+=．【考点】等差数列的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断；数学归纳法．【专题】证明题；压轴题．【分析】先证必要性；设数列a n的公差为d，若d=0,则所述等式显然成立．若d≠0，则==．再用数学归纲法证明充分性：对任何n∈N,都有++…+=，{a n｝是公差为d的等差数列．【解答】证明：先证必要性设数列a n的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．若d≠0，则===．再证充分性：用数学归纳法证明:①设所述的等式对一切n∈N都成立，首先在等式①两端同时乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1,a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2=a1+d．②假设a k=a1+(k﹣1）d，当n=k+1时，观察如下二等式=②，=，将②代入③得,在该式两端同时乘a1a k a k+1，得（k﹣1）a k+1+a1=ka k，把a k=a1+（k﹣1）d代入后,整理得a k+1=a1+kd．由数学归纳法原理知对任何n∈N，都有++…+=．所以,｛a n}是公差为d的等差数列．【点评】本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．21．（13分)（2010•安徽)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后,再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n=4，分别以a1,a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3,4的四种酒在第二次排序时的序号,并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2｜+|3﹣a3|+｜4﹣a4｜，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．(Ⅰ）写出X的可能值集合;（Ⅱ）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；(Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列；分布列对于刻画随机现象的重要性．【专题】压轴题．【分析】（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8｝，在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，得到|1﹣a1｜+｜3﹣a3|与｜2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，得到结论．（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列,计算每种排列下的X的值，算出概率，写出分布列．（3)做出三轮测试都有X≤2的概率，记做P，做出概率的值和已知量进行比较，得到结论, 【解答】解：（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，∴a2,a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，∴｜1﹣a1|+｜3﹣a3|与|2﹣a2｜+｜4﹣a4|的奇偶性相同，∴X=（｜1﹣a1|+｜3﹣a3|）+（|2﹣a2|+｜4﹣a4｜)必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8，∴X的可能取值集合为｛0、2、4、6、8｝（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，在等可能的假定下，得到P(X=0)=P（X=2）=P（X=4）=P(X=6）=P（X=8)=（3）①首先P(X≤2）=P（X=0）+P(X=2）==将三轮测试都有X≤2的概率记做P,有上述结果和独立性假设得P==，②由于P=＜是一个很小的概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，∴我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测．【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．。
近五年安徽省高考数学理科试卷分析
近五年安徽省高考数学理科试卷分析一、整体评价近五年安徽高考数学试题从整体上看，贯彻了“整体维持稳定，深化能力立意，踊跃改革创新”的指导思想，试卷内容上表现新课程观念，对基础知识、大体技术和数学思想方式都有较全面的考查。
二、试卷特点1、试卷结构维持稳定，近五年来一直是10道选择题、5道填空题、6道解答题的结构；2、试卷分值稳定，选择、填空每题5分，解答题共75分；3、试卷难易安排稳定，大体是由易到难，给学生一个循序渐进的进程。
三、具体分析2021年是安徽省高考自主命题的第六年，是安徽省进入新课程改革高考的第三年，处在由大纲高考到新课标高考的过渡期的最后一年。
11年的数学命题迈出了“稳中求变，变中求新，新中求活，突出应用，切近现实，交汇融合，凸显能力”的命题改革前进步伐，理科数学难度有所增大。
11年的理科试卷相对于以前做了很大的变更。
（1）第（16）题一改往年的做法，不是三角函数题，而是函数与导数整合的题目；（2）第（17）题的立体几何，考的是线线平行与表面积问题，并无依照常规考二面角的求解问题；（3）第（19）题设置的是不等式的证明题，为历年罕有；（4）第（21）题的解析几何直接要求动点的轨迹方程，回归到解析几何的本质却不涉及到韦达定理。
这份卷子学生感觉题目难，根本原因是学生缺乏数学思维。
为了扭转当前这种只重视做题数而不重视数学思维能力培育的不良教学局面，11年的数学试卷进行了创造性的改革，考查的不是学生会不会套用常常利用题型，而是重在考查学生会不会思维，有无良好的思维习惯和创新的精神。
2021高考试卷就比较符合正常思维。
对于选择题第（1）题考查复数的计算，是简单第（2）题考查函数的解析式，主要看学生对函数解析式的理解，第（3）题考查程序框图及算法，利用列举法可以取得答案，第（4）题考查等比数列的性质和指数对数的运算，需要学生有转化能力，属于中等难度的题。
第（5）题频率散布直方图，方差和平均数的计算，第（6）题考查线面的垂直关系和充要条件的概念，要求学生有必然的空间想象能力和逻辑思维能力。
2013年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），则，由，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi），整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi．则，解得．所以z=1+i．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线考点：平面的基本性质及推论．专题：规律型．分析：根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．解答：解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选A．点评：本题考查了公理的意义，比较简单．4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．解答：解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选：C．点评：本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]求解即可．解答：解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，方差=×[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8．五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，方差=×[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6．故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．故选：C．点评：本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解．6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}考点：其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．解答：解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D点评：本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}考点：直线的斜率．专题：函数的性质及应用．分析：由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．解答：解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选B．点评：本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选D．点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式定理的通项公式即可得出．解答：解：由通项公式T r+1==，∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得．故答案为．点评：熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．解答：解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．解答：解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．点评：本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．考点：数列的应用；数列的函数特性．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a n．解答：解：设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{a n}的通项公式是．故答案为．点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q 为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．解答：解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性．解答：解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以T==π，∴ω=1．（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．点评：本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．考点：导数的运算；一元二次不等式的解法．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．解答：解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=（0，），区间长度为；（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d （a）单调递减，因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．点评：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y 轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为．即可得出Q．得到直线F1Q的斜率=．利用F1Q⊥F1P，可得=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标．解答：解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．故椭圆E的方程为．（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=．故直线F2P的方程为．令x=0，解得．即点Q．因此直线F1Q的斜率=．∵F1Q⊥F1P，∴=．化为．联立，及x0＞0，y0＞0，解得，．即点P在定直线x+y=1上．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力，属于难题．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．解答：（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l∵AB在底面上，l在底面外∴l与底面平行；（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD∵OP∩OF=O∴CD⊥平面OPF∵CD⊂平面PCD∴平面OPF⊥平面PCD∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角由题设，∠OPF=60°设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=∵∠OCP=22.5°，∴∵tan45°==1∴tan22.5°=∴OC==在Rt△OCF中，cos∠COF===∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．考点：反证法与放缩法；函数的零点；导数的运算；数列的求和；数列与不等式的综合．专题：压轴题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得f n（1）＞0，f n（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．（2）由题意可得f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0，由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，故x n﹣x n+p＞0．用f n（x）的解析式减去f n+p（x n+p）的解析式，变形可得x n﹣x n+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．解答：证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数f n（x）=﹣1+x+），可得f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．由于f1（x1）=0，当n≥2时，f n（1）=++…+＞0，即f n（1）＞0．又f n（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+•=﹣+×=﹣•＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n，满足f n（x n）=0．（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵f n+1（x）=f n（x）+＞f n（x），∴f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0．由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，即x n﹣x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的n、p∈N+，x n﹣x n+p＞0．由于f n（x n）=﹣1+x n+++…+=0 ①，f n+p（x n+p）=﹣1+x n+p+++…++[++…+]②，用①减去②并移项，利用0＜x n+p≤1，可得x n﹣x n+p=+≤≤＜=＜．综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．点评：本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．考点：概率的应用；古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想；概率与统计．分析：（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n 进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．解答：解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P（X=m）==当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k ﹣假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0 而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k因此k≤2k﹣＜t综上得，符合条件的m=m=2k﹣[]点评：本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分。
高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题3 函数与导数 第8练 含答案
第8练 突难点——抽象函数与函数图象[题型分析·高考展望] 抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点.对函数图象问题，以基本函数为主，由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性.体验高考1.(2015·安徽)函数f (x )＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )ax ＋b(x ＋c )2A.a >0，b >0，c <0B.a <0，b >0，c >0C.a <0，b >0，c <0D.a <0，b <0，c <0答案 C 解析 函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，∴c <0.令x ＝0，得f (0)＝，又由图象知f (0)>0，b c 2∴b >0.令f (x )＝0，得x ＝－，结合图象知－>0，b a b a∴a <0.故选C.2.(2015·天津)已知函数f (x )＝Error!函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A. B.(74，＋∞)(－∞，74)C. D.(0，74)(74，2)答案 D 解析 由f (x )＝Error!得f (2－x )＝Error!所以f (x )＋f (2－x )＝Error!即f (x )＋f (2－x )＝Error!y ＝f (x )－g (x )＝f (x )＋f (2－x )－b ，所以y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点等价于方程f (x )＋f (2－x )－b ＝0有4个不同的解，即函数y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个公共点，由图象知＜b ＜2.743.(2016·课标全国乙)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )答案 D解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈时，f ′(x )<×4－e 0＝0，(0，14)14因此f (x )在上单调递减，排除C ，故选D.(0，14)4.(2016·天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－)，则a 的取值范围是________.2答案 (12，32)解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－)＝f ()，22∴f (2|a －1|)>f ()，∴2|a －1|<＝221，22∴|a －1|<，即－<a －1<，即<a <.12121212325.(2015·浙江)已知函数f (x )＝Error!则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.答案 0 2－32解析 f (f (－3))＝f (1)＝0.当x ≥1时，f (x )＝x ＋－3≥2－3＜0，当且仅当x ＝时，取等2x22号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号.∴f (x )的最小值为2－3.2高考必会题型题型一 与函数性质有关的简单的抽象函数问题例1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的( )A.既不充分也不必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.充要条件答案 D解析 ①∵f (x )在R 上是偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称.∵f (x )为[0，1]上的增函数，∴f (x )为[－1，0]上的减函数.又∵f (x )的周期为2，∴f (x )为区间[－1＋4，0＋4]＝[3，4]上的减函数.②∵f (x )为[3，4]上的减函数，且f (x )的周期为2，∴f (x )为[－1，0]上的减函数.又∵f (x )在R 上是偶函数，∴f (x )为[0，1]上的增函数.由①②知“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件.点评 抽象函数的条件具有一般性，对待选择题、填空题可用特例法、特值法或赋值法.也可由函数一般性质进行推理.变式训练1 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ()＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1x 1x 2时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)＜－2.解 (1)令x 1＝x 2＞0，代入f ()＝f (x 1)－f (x 2)，x 1x 2得f (1)＝f (x 1)－f (x 2)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则＞1.x 1x 2∵当x ＞1时，f (x )＜0.∴f ＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，(x 1x 2)即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减.(3)由f ＝f (x 1)－f (x 2)，(x 1x 2)得f ()＝f (9)－f (3).93而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2，∴原不等式为f (|x |)＜f (9).∵函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，∴|x |＞9，∴x ＜－9或x ＞9.∴不等式的解集为{x |x ＜－9或x ＞9}.题型二 与抽象函数有关的综合性问题例2 对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x ，满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“局部奇函数”.(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x －4a (a ∈R )，试判断f (x )是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若f (x )＝2x ＋m 是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.解 f (x )为“局部奇函数”等价于关于x 的方程f (x )＋f (－x )＝0有解.(1)当f (x )＝ax 2＋2x －4a (a ∈R )时，方程f (x )＋f (－x )＝0即2a (x 2－4)＝0.因为方程有解x ＝±2，所以f (x )为“局部奇函数”.(2)当f (x )＝2x ＋m 时，f (x )＋f (－x )＝0可化为2x ＋2－x ＋2m ＝0，因为f (x )的定义域为[－1，1]，所以方程2x ＋2－x ＋2m ＝0在[－1，1]上有解.令t ＝2x ∈[，2]，则－2m ＝t ＋.121t设g (t )＝t ＋，t ∈[，2]，1t 12则g ′(t )＝1－，t ∈[，2].1t 212当t ∈时，g ′(t )＜0，(12，1)故g (t )在(0，1)上为减函数；当t ∈(1，2)时，g ′(t )＞0，故g (t )在(1，2)上为增函数.所以函数g (t )＝t ＋，t ∈[，2]的值域为[2，]，1t 1252由2≤－2m ≤，得－≤m ≤－1，5254故实数m 的取值范围是[－，－1].54点评 (1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质.(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题，而导致出错.要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数，而不是具体的某一个函数.因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法.变式训练2 定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )＝x ，且f (1)＝1.现给出关于函数f (x )的下列结论：(1)函数f (x )在上单调递增；(1e ，＋∞)(2)函数f (x )的最小值为－；1e2(3)函数f (x )有且只有一个零点；(4)对于任意的x ＞0，都有f (x )≤x 2.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 D解析 设g (x )＝，x ∈(0，＋∞)，f (x )x 则g ′(x )＝＝＝，xf ′(x )－f (x )x 2x x 21x 所以g (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，所以f (x )＝x ln x ＋cx .因为f (1)＝1，所以c ＝1，所以f (x )＝x ln x ＋x .对于(1)，因为f ′(x )＝ln x ＋2，当x ＞时，f ′(x )＞ln ＋2＝－1＋2＝1＞0，1e 1e所以(1)正确.对于(2)，由f ′(x )＞0，得x ＞；1e2由f ′(x )＜0，得0＜x ＜，1e2所以f (x )＝x ln x ＋x 在(0，]上单调递减，1e2在[，＋∞)上单调递增.1e2所以当x ＝时，函数f (x )取得最小值f ()＝ln ＋＝－，所以(2)正确.1e21e21e21e21e21e2对于(3)，函数f (x )＝x ln x ＋x 的图象如图所示，所以(3)正确.对于(4)，f (x )－x 2＝x ln x ＋x －x 2＝x (ln x ＋1－x ).令h (x )＝ln x ＋1－x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝－1＝.1x 1－x x令h ′(x )＞0，得0＜x ＜1；令h (x )＜0，得x ＞1.从而h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，即ln x ＋1－x ≤0.又x ＞0，所以f (x )－x 2＝x (ln x ＋1－x )≤0，即f (x )≤x 2.所以(4)正确.综上，正确结论的个数是4.题型三 函数图象的应用与判断例3 已知函数f (x )＝，则y ＝f (x )的图象大致为( )1ln (x ＋1)－x答案 B解析 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝－，x ＞－1.x1＋x 当g ′(x )>0时，－1<x <0；当g ′(x )<0时，x >0.故g (x )<g (0)＝0，即x >0或－1<x <0时均有f (x )<0，排除A ，C ，D.点评 (1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点.(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法.变式训练3 形如y ＝(a ＞0，b ＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动b|x |－a 地称为“囧函数”.若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________.答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝＝Error!1|x |－1在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点.高考题型精练1.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且在[－3，－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( )A.f (sin α)>f (cos β)B.f (sin α)<f (cos β)C.f (cos α)<f (cos β)D.f (cos α)>f (cos β)答案 B解析 因为f (x )为R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，又f (2－x )＝f (x )，所以f (x ＋2)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )以2为周期.因为f (x )在[－3，－2]上是减函数，所以f (x )在[－1，0]上也是减函数，故f (x )在[0，1]上是增函数.因为α，β是钝角三角形的两个锐角，所以α＋β<，α<－β，π2π2所以0<sin α<sin ＝cos β<1，(π2－β)故f (sin α)<f (cos β)，故选B.2.定义域为R 的函数f (x )对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且其导函数f ′(x )满足＞0，f ′(x )2－x 则当2＜a ＜4时，有( )A.f (2a )＜f (log 2a )＜f (2)B.f (log 2a )＜f (2)＜f (2a )C.f (2a )＜f (2)＜f (log 2a )D.f (log 2a )＜f (2a )＜f (2)答案 A解析 由函数f (x )对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，得函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.因为函数f (x )的导函数f ′(x )满足＞0，f ′(x )2－x 所以函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，(－∞，2)上单调递增.因为2＜a ＜4，所以1＜log 2a ＜2＜4＜2a .又函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，所以f (2)＞f (log 2a )＞f (2a )，故选A.3.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A.f 2(x )与f 4(x )B.f 1(x )与f 3(x )C.f 1(x )与f 4(x )D.f 3(x )与f 4(x )答案 A 解析 f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.4.设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式＞0恒成立，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3]B.[－3，0)C.(－∞，3]D.(0，3]答案 C解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又∵f (x )＝x |x －a |，∴当a ≤0时，结论显然成立；当a ＞0时，f (x )＝Error!∴f (x )在上单调递增，(－∞，a 2)在上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，(a 2，a )∴0＜a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3].5.在平面直角坐标系中，若两点P ，Q 满足条件：(1)P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；(2)P ，Q 两点关于直线y ＝x 对称，则称点对{P ，Q }是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”.(注：点对{P ，Q }与{Q ，P }看作同一对“和谐点对”)已知函数f (x )＝Error!则此函数的“和谐点对”有( )A.0对B.1对C.2对D.3对答案 C解析 作出函数f (x )的图象，然后作出f (x )＝log 2x (x ＞0)关于直线y ＝x 对称的图象，与函数f (x )＝x 2＋3x ＋2(x ≤0)的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对.6.对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数：(1)对任意的x ∈[0，1]，恒有f (x )≥0；(2)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立.则下列3个函数中不是M 函数的个数是( )①f (x )＝x 2；②f (x )＝x 2＋1；③f (x )＝2x －1.A.0B.1C.2D.3答案 B解析 在[0，1]上，3个函数都满足f (x )≥0.当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时：对于①，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x ＋x )＝2x 1x 2≥0，满足；212对于②，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝[(x 1＋x 2)2＋1]－[(x ＋1)＋(x ＋1)]＝2x 1x 2－1＜0，不满212足；对于③，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(212x +x －1)－(21x －1＋22x －1)＝21x 22x －21x －22x ＋1＝(21x －1)·(22x －1)≥0，满足.故选B.7.已知函数f (x )＝－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________.1x ＋2答案 (1，＋∞)解析 函数f (x )有三个零点等价于方程＝m |x |有且仅有三个实根.∵＝m |x |⇔＝1x ＋21x ＋21m |x |·(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示.由图象可知m 应满足：0＜＜1，故m ＞1.1m8.设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________.答案 (－∞，0]∪(1，2]解析 y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位得到y＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f(x)的大致图象如图所示.不等式(x－1)f(x)≤0可化为Error!或Error!由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1，2].9.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.答案 ①②解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.10.已知函数y＝f(x)(x∈R)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x).当x∈(2，3)时，f(x)＝log2(x－1)，给出以下4个结论：①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称；②函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数；③当x∈(－1，0)时，f(x)＝－log2(1－x)；④函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增，则正确结论的序号是__________.答案 ①②③解析 因为f(1＋x)＝－f(1－x)，y＝f(x)(x∈R)为奇函数，所以f (1＋x )＝f (x －1)，则f (2＋x )＝f (x )，所以y ＝f (x )(x ∈R )是以2为周期的周期函数，②正确；所以f (2k ＋x )＝f (x )，f (x －k )＝f (x ＋k )＝－f (k －x )，所以f (x ＋k )＝－f (k －x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(k ，0)(k ∈Z )成中心对称，①正确；由①知，函数f (x )的图象关于点(2，0)成中心对称，即f (x ＋2)＝－f (2－x ).又因为当x ∈(－1，0)时，2－x ∈(2，3)，所以f (x )＝f (x ＋2)＝－f (2－x )＝－log 2(2－x －1)＝－log 2(1－x )，③正确；函数y ＝f (|x |)是偶函数，在关于原点对称的区间上的单调性相反，所以④不正确.11.已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}.解 f (x )＝Error!作出函数图象如图.(1)函数的增区间为(1，2)，(3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1)，(2，3).(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图).由图知0＜m ＜1，∴M ＝{m |0＜m ＜1}.12.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围.解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数.证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.12令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )在D 上为偶函数.(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16).又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}.。
新高考数学理一轮总复习知能演练专题一 函数与导数综合题的解答(含答案详析)
1．(2012·高考安徽卷)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和均值不等式可知f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增； 当0＜x ＜1a时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2，由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.2．已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a ＞0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3；f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6.所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a .以下分两种情况讨论：①若0＜a ≤2，则1a ≥12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时，f (x )＞0等价于 ⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12＞0，f ⎝⎛⎭⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a 8＞0，5＋a 8＞0.解不等式组得－5＜a ＜5，因此0＜a ≤2. ②若a ＞2，则0＜1a ＜12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当x ∈⎣⎦⎤－12，12时，f (x )＞0等价于 ⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12＞0，f ⎝⎛⎭⎫1a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a 8＞0，1－12a 2＞0.解不等式组得22＜a ＜5或a ＜－22.因此2＜a ＜5. 结合①和②，可知a 的取值范围为0＜a ＜5.3．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表：由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f (1)＝1.(2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2.若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x )＝2x －2x 2，则φ′(x )＝－2x2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2x2－4x ＜0，∴φ(x )＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞)． 4．(2012·高考浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |＞0. 解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋ a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－ a 6和⎣⎡⎭⎫ a 6，＋∞，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－ a 6， a 6. (2)证明：由于0≤x ≤1，故当a ≤2时， f (x )＋|2－a |＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|2－a |＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1， 则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 于是g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0.故f (x )＋|2－a |≥4x 3－4x ＋2＞0.5．(2012·高考广东卷)设0＜a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x ＞0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0}，D ＝A ∩B .(1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．解：(1)x ∈D ⇔x ＞0且2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0. 令h (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝3(3a －1)(a －3)．①当13＜a ＜1时，Δ＜0，∴∀x ∈R ，h (x )＞0.∴B ＝R .于是D ＝A ∩B ＝A ＝(0，＋∞)．②当a ＝13，Δ＝0，此时方程h (x )＝0有唯一解x 1＝x 2＝3(1＋a )4＝3⎝⎛⎭⎫1＋134＝1，∴B ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1，＋∞)．③当0＜a ＜13时，Δ＞0，此时方程h (x )＝0有两个不同的解x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4，x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4.∵x 1＜x 2且x 1＞0，∴B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)． 又∵x 1＞0⇔a ＞0，∴D ＝A ∩B ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．(2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 当0＜a ＜1时，f (x )在(0，＋∞)上的单调性如下：↗↘↗①当13＜a ＜1时，D ＝(0，＋∞)．由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点，x ＝1为f (x )在D 内的极小值点．②当a ＝13时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x ＝13为f (x )在D 内的极大值点，没有极小值点．③当0＜a ＜13时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．由(1)知0＜a ＜x 1＜1≤x 2，所以x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点，没有极小值点． 6.如图所示，四边形ABCD 表示一正方形空地，边长为30 m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9 m ，3 m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9.线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN ＝x (m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2)．(1)用x 的代数式表示AM ；(2)求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；(3)当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？解：(1)因为点P 到边AD ，AB 距离分别为9 m,3 m ， 所以由平面几何知识，得AM －3AM ＝9x ，解得AM ＝3xx －9(10≤x ≤30).(2)由勾股定理，得MN 2＝AN 2＋AM 2＝x 2＋9x 2(x －9)2.因为MN ∶NE ＝16∶9，所以NE ＝916MN .所以S ＝MN ·NE ＝916MN 2＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋9x 2(x －9)2， 定义域为[10,30]．(3)S ′＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋18x (x －9)2－9x 2(2x －18)(x －9)4＝98·x [(x －9)3－81](x －9)3， 令S ′＝0，得x 1＝0(舍)，x 2＝9＋333. 当10≤x ＜9＋333时，S ′＜0，S 为减函数； 当9＋333＜x ≤30时，S ′＞0，S 为增函数． 所以当x ＝9＋333时，S 取得最小值．。
2022年数学高考安徽理卷参考解析
2022年数学高考安徽理卷参考解析（安徽卷）数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若z +2=2z zi ，则z =（ A ）（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ D ）（A ） 16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112（3）在下列命题中，不是公理．．的是（ A ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）假如两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（ C ）（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ C ）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数（6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（ D ） （A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x （C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ B ）（A ）=0()cos =2R ∈θρρθ和 （B ）=()cos =22R ∈πθρρθ和 （C ） =()cos =12R ∈πθρρθ和 （D ）=0()cos =1R ∈θρρθ和（8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范畴是（ ） O a b x y（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3（9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满（ D ） 足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R =++≤∈λμλμλμ所表示的区域的面积是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（10）若函数32()=+x +b +f x x a x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程23()+2()+=0f x af x b 的不同实根个数是（ D ）（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
安徽高考数学(文理) 导数
安徽高考数学(理) 导数2004 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数ax e x x f 2)(=的单调区间.2005 22.（本大题满分12分）（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log)(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数np p p p 2321,,,, 满足12321=++++np p p p ，证明 np p p p p p p p nn-≥++++222323222121l o g l o g l o g l o g2006 20.（本大题满分12分）已知函数()f x 在R 上有定义，对任何实数0a >和任何实数x ，都有()()f ax af x =（Ⅰ）证明()00f =；（Ⅱ）证明(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩ 其中k 和h 均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >时，设()()()1(0)g x f x x f x =+>，讨论()g x 在()0,+∞内 的单调性并求极值。
2007 (18) (本小题满分14分)设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2x ＋2a ln x （x >0）. （Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.2008（20）．（本小题满分12分）设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12ax x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
2009（19）（本小题满分12分）已知函数2()1ln f x x a x x=-+-，a ＞0，讨论()f x 的单调性.2010 17、（本小题满分12分）设a 为实数，函数()22,xf x e x a x =-+∈R 。
导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲 高考数学(新高考地区专用)(解析版)
专题3.5 导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f ′(x 0)＝0x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0图象极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点x 0为极大值点x 0为极小值点2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【题型1 根据函数图象判断极值】【方法点拨】由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点.【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（）A．3个驻点B．4个极值点C．1个极小值点D．1个极大值点【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质．【解答过程】解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点．故选：C．【变式1-1】（2022春•纳雍县期末）已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是f（x）的极小值点B．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减D．﹣3是f（x）的极小值点【解题思路】根据题意，由函数导数与单调性的关系依次分析选项，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在x＝﹣1左右都有f′（x）＜0，﹣1不是f（x）的极值，A错误；对于B，f′（x）的图象在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率即f′（2）小于零，B正确；对于C，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C错误；对于D，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，则﹣3是f （x）的极大值点，D错误；故选：B．【变式1-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，可导函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为y＝g（x），设h（x）＝g（x）﹣f（x），h'（x）为h（x）的导函数，则下列结论中正确的是（）A．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极大值点B．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极小值点C．h'（x0）≠0，x0不是h（x）的极大值点D．h'（x0）≠0，x0是h（x）的极值点【解题思路】由图判断函数h（x）的单调性，结合y＝g（x）为y＝f（x）在点P处的切线方程，则有h'（x0）＝0，由此可判断极值情况．【解答过程】解：由题得，当x∈（﹣∞，x0）时，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，又h'（x0）＝g'（x0）﹣f'（x0）＝0，则有x0是h（x）的极小值点，故选：B．【变式1-3】（2022春•南阳期末）函数f（x）的导函数是f'（x），下图所示的是函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像，下列说法正确的是（）A．x＝﹣1是f（x）的零点B．x＝2是f（x）的极大值点C．f（x）在区间（﹣2，﹣1）上单调递增D．f（x）在区间[﹣2，2]上不存在极小值【解题思路】根据函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像判断f′（x）的符号，进而判断f（x）的单调性和极值即可．【解答过程】解：由函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像知，当﹣2＜x＜﹣1时，x+1＜0，y＞0，∴f'（x）＜0，f（x）在（﹣2，﹣1）上减函数，当﹣1＜x＜2时，x+1＞0，y＞0，∴f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，2）上增函数，当x＞2时，x+1＞0，y＜0，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）上减函数，∴x＝﹣1、x＝2分别是f（x）的极小值点、极大值点．∴选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【题型2 求已知函数的极值（点）】【方法点拨】求函数f(x)极值的一般解题步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．【例2】（2022•扬中市校级开学）已知函数f(x)=12x−sinx在[0，π2]上的极小值为（）A ．π12−√32B ．π12−12C ．π6−12D ．π6−√32【解题思路】根据极小值的定义，结合导数的性质进行求解即可． 【解答过程】解：由f(x)=12x −sinx ⇒f′(x)=12−cosx ， 当x ∈(0，π3)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈(π3，π2)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以π3是函数的极小值点，极小值为：f(π3)=π6−√32， 故选：D ．【变式2-1】（2022春•资阳期末）函数f （x ）＝x 3﹣3x 的极大值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．1D ．2【解题思路】求导，利用导数确定f （x ）的单调区间，从而即可求极大值． 【解答过程】解：因为f （x ）＝x 3﹣3x ，x ∈R ， 所以f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x +1）（x ﹣1）， 令f ′（x ）＝0，得x ＝﹣1或x ＝1，所以当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；所以f （x ）的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1），（1，∞）；单调递减区间为（﹣1，1）． 所以f （x ）极大值＝f （﹣1）＝2． 故选：D ．【变式2-2】（2022春•平谷区期末）函数f （x ）＝x +2cos x 在[0，π]上的极小值点为（ ） A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3【解题思路】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可． 【解答过程】解：对于函数f （x ）＝x +2cos x ，f ′（x ）＝1﹣2sin x ， 因为x ∈[0，π]，当0＜x ＜π6时，f ′（x ）＞0， 当π6＜x ＜5π6时，f ′（x ）＜0，当5π6＜x ＜π时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间[0，π6]上是增函数，在区间[π6，5π6]上是减函数，在[5π6，π]是增函数． 因此，函数f （x ）＝x +2cos x 在[0，π]上的极小值点为5π6．故选：C ．【变式2-3】（2022春•新乡期末）已知函数f （x ）＝（x ﹣1）2（2﹣x ）3，则f （x ）的极大值点为（ ） A ．1B ．75C ．﹣1D ．2【解题思路】解：因为f '（x ）＝2（x ﹣1）（2﹣x ）3﹣3（x ﹣1）2（2﹣x ）2＝（x ﹣1）（2﹣x ）2（7﹣5x ），所以f （x ）在（﹣∞，1），(75，+∞)上单调递减，在(1，75)上单调递增， 所以f （x ）的极大值点为75，故选：B ．【解答过程】解：f '（x ）＝2（x ﹣1）（2﹣x ）3﹣3（x ﹣1）2（2﹣x ）2＝（x ﹣1）（2﹣x ）2（7﹣5x ）， 令f ′（x ）＝0得x ＝1或x =75，所以f （x ）在（﹣∞，1），(75，+∞)上单调递减，在(1，75)上单调递增， 所以f （x ）的极大值点为75，故选：B ．【题型3 由函数的极值（点）求参数】 【方法点拨】根据函数极值情况求参数的两个要领：①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求出参数后，验证所求结果是否满足题意．【例3】（2022春•龙海市校级期末）函数f （x ）＝4x 3﹣ax 2﹣2bx +2在x ＝1处有极大值﹣3，则a ﹣b 的值等于（ ） A ．0B ．6C ．3D ．2【解题思路】对函数求导，利用f （1）＝﹣3以及f ′（1）＝0解出a ，b ，进而得出答案． 【解答过程】解：由题意得f ′（x ）＝12x 2﹣2ax ﹣2b ，因为f （x ）在x ＝1处有极大值﹣3， 所以f ′（1）＝12﹣2a ﹣2b ＝0，f （1）＝4﹣a ﹣2b +2＝﹣3，解得a ＝3，b ＝3， 所以a ﹣b ＝0． 故选：A ．【变式3-1】（2022春•哈尔滨期末）若函数f(x)=6alnx +12x 2−(a +6)x 有2个极值点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，6）∪（6，+∞）B．（0，6）∪（6，+∞）C．{6}D．（0，+∞）【解题思路】根据条件函数f（x）有两个极值点，转化为方程f′（x）＝0有两个不等正实数根，得到求解．【解答过程】解：函数f（x）的定义域（0，+∞），f′(x)=6ax+x−(a+6)=(x−6)(x−a)x，令f′（x）＝0得，x＝6或x＝a，∵函数f（x）有2个极值点，∴f'（x）＝0有2个不同的正实数根，∴a＞0且a≠6，故选：B．【变式3-2】（2022春•淄博期末）已知x＝2是函数f（x）＝ax3﹣3x2+a的极小值点，则f（x）的极大值为（）A．﹣3B．0C．1D．2【解题思路】先对函数求导，然后结合极值存在条件可求a，进而可求函数的极大值．【解答过程】解：因为f′（x）＝3ax2﹣6x，由题意可得，f′（2）＝12a﹣12＝0，故a＝1，f′（x）＝3x2﹣6x，当x＞2或x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝0时，函数取得极大值f（0）＝1．故选：C．【变式3-3】（2022春•赣州期末）已知函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）在x＝1处取得极值，则a+b的最大值为（）A．1B．√2C．2D．2√2【解题思路】根据题意，对函数求导，令f′（1）＝0可求得a2+b2＝2，利用基本不等式可求a+b的最大值．【解答过程】解：函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）＝3x2+2a2x+2b2﹣7，因为函数在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝3+2a2+2b2﹣7＝0，即a2+b2＝2，因为a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝2，即（a +b ）2﹣2＝2ab ， 因为ab ≤(a+b 2)2，所以(a +b)2−2≤2(a+b 2)2， 整理得（a +b ）2≤4，所以a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时f ′（x ）＝3x 2+2x ﹣5＝（3x +5）（x ﹣1），满足函数在x ＝1处取得极值， 所以a +b 的最大值为2， 故选：C ．【题型4 利用导数求函数的最值】 【方法点拨】(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增或单调递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值， 最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极大(或极小)值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导 数的实际应用中经常用到．【例4】（2022•河南开学）函数f(x)=x 2−2x +8x 在（0，+∞）上的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解题思路】由题意求导，从而确定函数的单调性，从而求函数的最值．【解答过程】解：因为f ′(x)=2x −2−8x 2=(x 3−2x 2)+(x 3−8)x 2=(x−2)(2x 2+2x+4)x 2，所以f （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 故f （x ）min ＝f （2）＝4． 故选：C ．【变式4-1】（2022春•中山市校级月考）函数y ＝x ﹣2sin x 在区间[0，2]上的最小值是（ ） A ．π6−√3B ．−π3−√3C ．−π6−√3D ．π3−√3【解题思路】利用导数研究函数区间单调性，进而求其最小值即可． 【解答过程】解：由y ′＝1﹣2cos x ， 当0≤x ＜π3时，y ′＜0，即y 递减； 当π3＜x ≤2时，y ′＞0，即y 递增；所以y min =π3−2sin π3=π3−√3．【变式4-2】（2022春•乐山期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣lnx ，则函数f （x ）在[1，2]上的最小值为（ ） A ．1B ．√22C ．18+12ln2 D ．12+12ln2【解题思路】求导确定函数在[1，2]上的单调性，求出最小值即可．【解答过程】解：因为f （x ）＝x 2﹣lnx （x ＞0），所以f ′（x ）＝2x −1x =2x 2−1x ，所以当x ∈[1，2]时，f ′（x ）=2x 2−1x ＞0，则f （x ）在[1，2]上单调递增，则f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）＝1． 故选：A ．【变式4-3】（2022•绿园区校级开学）函数f （x ）＝lnx +1x −12与g （x ）＝xe x ﹣lnx ﹣x 的最小值分别为a ，b ，则（ ） A ．a ＝b B ．a ＞bC ．a ＜bD ．a ，b 的大小不能确定【解题思路】根据函数的单调性分别求出函数f （x ），g （x ）的最小值，比较a ，b 即可． 【解答过程】解：f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′(x)=1−1x =x−1x， 令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1， f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， f （x ）的最小值是f （1）＝1，故a ＝1， g （x ）＝xe x ﹣lnx ﹣x ，定义域（0，+∞）， g ′(x)=(x +1)e x −1x −1=x+1x (xe x −1)，令h （x ）＝xe x ﹣1，则h ′（x ）＝（x +1）e x ＞0，x ∈（0，+∞），则可得h （x ）在（0，+∞）上单调递增，且h （0）＝﹣1＜0，h （1）＝e ﹣1＞0， 故存在x 0∈（0，1）使得h （x ）＝0即x 0e x 0=1，即x 0+lnx 0＝0， 当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜0，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减， 当x ∈（x 0，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，故当x ＝x 0时，函数取得最小值g(x 0)=x 0e x 0−lnx 0−x 0=1−lnx 0−x 0=1，即b ＝1， 所以a ＝b ，【题型5 由函数的最值求参数】【例5】（2022春•烟台期末）若函数f(x)=x 3−3a 2x 2+4在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．103【解题思路】对函数求导后，分a ≤0和a ＞0两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a 的值． 【解答过程】解：由f(x)=x 3−3a 2x 2+4，得f '（x ）＝3x 2﹣3ax ＝3x （x ﹣a ）， 当a ≤0时，f '（x ）＞0在[1，2]上恒成立， 所以f （x ）在[1，2]上递增，所以f(x)min =f(1)=1−3a2+4=0，解得a =103（舍去）， 当a ＞0时，由f '（x ）＝0，得x ＝0或x ＝a ， 当0＜a ≤1时，f '（x ）＞0在[1，2]上恒成立， 所以f （x ）在[1，2]上递增， 所以f(x)min =f(1)=1−3a 2+4=0，解得a =103（舍去）， 当1＜a ＜2时，当1＜x ＜a 时，f '（x ）＜0，当a ＜x ＜2时，f '（x ）＞0， 所以f （x ）在（1，a ）上递减，在（a ，2）上递增，所以当x ＝a 时，f （x ）取得最小值，所以f(a)=a 3−3a2a 2+4=0，解得a ＝2（舍去）， 当a ≥2时，当1≤x ≤2时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在[1，2]上递减， 所以f(x)min =f(2)=23−3a2×4+4=0，解得a ＝2， 综上，a ＝2， 故选：C ．【变式5-1】（2022春•贵阳期末）若函数f(x)=e x +lnx +x √x −1+a 在x ≤20222021上的最小值为e +1，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．20202021D ．20212020【解题思路】判断函数f （x ）的定义域，可知函数f （x ）在定义域上单调递增，由此可建立关于a 的方程，解出即可得到答案．【解答过程】解：函数的定义域为[1，20222021]，而函数y =e x ，y =lnx ，y =x √x −1在[1，+∞）上均为增函数，∴函数f(x)=e x +lnx +x √x −1+a 在[1，20222021]单调递增， ∴f （x ）min ＝f （1）＝e +a ＝e +1，解得a ＝1． 故选：B ．【变式5-2】（2022春•江北区校级期末）若函数f （x ）＝x 3﹣3x 在区间（2a ，a +3）上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2，12)B ．（﹣2，1）C ．[−1，12)D ．（﹣2，﹣1]【解题思路】由导数性质得f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1），x ＝1时，f （x ）min ＝﹣2．由此利用函数性质列不等式即可求解a 的范围． 【解答过程】解：∵f （x ）＝x 3﹣3x ，∴f ′（x ）＝3x 2﹣3， 由f ′（x ）＝0，得x ＝±1，x ∈（﹣∞，﹣1）时，f ′（x ）＞0；x ∈（﹣1，1）时，f ′（x ）＜0；x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1）， ∴x ＝1时，f （x ）min ＝﹣2． f （x ）＝x 3﹣3x ＝﹣2时， x 3﹣3x +2＝0，x 3﹣x ﹣2x +2＝0， x （x 2﹣1）﹣2x +2＝0，x （x +1）（x ﹣1）﹣2（x ﹣1）＝0， （x 2+x ）（x ﹣1）﹣2（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）（x 2+x ﹣2）＝0， （x ﹣1）（x +2）（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）2（x +2）＝0， 解得x ＝1，x ＝﹣2，∴﹣2≤2a ＜1＜a +3，∴﹣1≤a ＜12． 即实数a 的取值范围是[﹣1，12），故选：C．【变式5-3】（2022春•公安县校级月考）已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，若f（x）的最小值为0对任意x＞0恒成立，则实数a的最小值为（）A．2√eB．−2e C．1√eD．√e【解题思路】把f（x）转化为f（x）＝e2lnx+ax+1﹣（2lnx+ax+1）﹣1，证明e x﹣1≥x恒成立，得到f（x）≥0恒成立，从而得到a=−2lnx−1x，令g（x）=−2lnx−1x，利用导数求出函数g（x）的最小值即可求出结果．【解答过程】解：∵函数f（x）＝x2e ax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，∴f(x)=e lnx2+ax+1−(lnx2+ax+1)−1，令t＝lnx2+ax+1，则h（t）＝e t﹣t﹣1，f′（t）＝e t﹣1，当t∈（﹣∞，0）时h′（t）＜0，h（t）单调递减，当t∈（0，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，∴h（t）≥h（0）＝0，∴f(x)=e lnx2+ax+1−(lnx2+ax+1)−1≥0，等号成立的条件是lnx2+ax+1＝0，即a=−1−2lnxx在（0，+∞）上有解，设g(x)=−2lnx+1x，则g′(x)=−2−(2lnx+1)x2=2lnx−1x2，令g′（x）＝0，解得x=√e，∴当x∈(0，√e)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈(√e，+∞)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g(x)min=g(√e)=2√e，即a的最小值为2√e．故选：A．【题型6 极值和最值的综合问题】【方法点拨】解决函数极值、最值综合问题的策略：(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．【例6】（2022春•城厢区校级期末）已知函数f(x)=x3−32(k+1)x2+3kx+1，其中k∈R．（1）当k＝3时，求函数f（x）在（0，3）内的极值点；（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．【解题思路】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；（2）求得函数的解析式，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数k的取值范围．【解答过程】解：（1）k＝3时，f（x）＝x3﹣6x2+9x+1，则f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），令f'（x）＝0得x1＝1，x2＝3，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），（3，+∞），单调递减区间为（1，3）；所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．故f（x）在（0，3）内的极大值点为x＝1，无极小值点；（2）方法一：f'（x）＝3x2﹣3（k+1）x+3k＝3（x﹣1）（x﹣k），①当k≤1时，∀x∈[1，2]，f'（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]单调递增，所以f(x)min=f(1)=1−32(k+1)+3k+1=3，即k=53（舍）；②当k≥2时，∀x∈[1，2]，f'（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝8﹣6（k+1）+3k⋅2+1＝3，符合题意；③当1＜k＜2时，当x∈[1，k）时，f'（x）≤0，f（x）区间在[1，k）单调递减，当x∈（k，2]时，f'（x）＞0，f（x）区间在（k，2]单调递减，所以f(x)min=f(k)=k3−32(k+1)k2+3k2+1=3，化简得：k3﹣3k2+4＝0，即（k+1）（k﹣2）2＝0，所以k＝﹣1或k＝2（都舍）；综上所述：实数k取值范围为k≥2．【变式6-1】（2022春•德州期末）已知函数f(x)=x3−3ax+1(a＞12 )．（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求实数a的值；（2）当x∈[﹣2，1]时．求函数f（x）的最大值．【解题思路】（1）利用导数求得函数极值，代入计算即可得到a的值；（2）f'（x）＝0的根分类讨论，然后列表表示f'（x）的正负，极值点，同时注意比较端点处函数值，从而得最大值．【解答过程】解：（1）由题意可知f'（x）＝3x2﹣3a，因为函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，所以f'（﹣1）＝0，即3﹣3a＝0，解得a＝1，经检验a＝1，符合题意，所以a＝1；（2）由（1）知f'（x）＝3x2﹣3a，令f'（x）＝0，x=±√a，当0＜√a＜1，即0＜a＜1时，f（x）和f'（x）随x的变化情况如下表：x﹣2(−2，−√a)−√a(−√a，√a)√a(√a，1)1 f'（x）+0﹣0+f（x）﹣7+6a单调递增单调递减单调调增2﹣3a由表格可知f（x）在x=−√a取极大值，此时f(−√a)=2a√a+1＞2−3a，所以f（x）在[﹣2，1]的最大值为2a√a+1．当1≤√a＜2，即1≤a＜4时，f（x）和f'（x）随x的变化情况如下表：x﹣2(−2，−√a)−√a(−√a，1)1f'（x）+0﹣f（x）﹣7+6a单调递增单调递减2﹣3a由表格可知f（x）在x=−√a取极大值，此时f(−√a)=2a√a+1＞2−3a，所以f（x）在[﹣2，1]的最大值为2a√a+1．当√a≥2即a≥4时，f'（x）＝3x2﹣3a≤0恒成立，即f（x）在[﹣2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f （﹣2）＝﹣7+6a ，综上所述，当12＜a ＜4时，f （x ）的最大值为2a √a +1；当a ≥4时，f （x ）的最大值为﹣7+6a ．【变式6-2】（2022春•漳州期末）已知函数f(x)=(x −1)e x −t2x 2−2x ，f '（x ）为f （x ）的导函数，函数g （x ）＝f '（x ）．（1）当t ＝1时，求函数g （x ）的最小值；（2）已知f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）且f(x 1)+52e −1＜0，求实数t 的取值范围． 【解题思路】（1）当t ＝1时，根据题意可得g （x ）＝xe x ﹣tx ﹣2，求导得g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1，分析g （x ）的单调性，进而可得g （x ）min ．（2）问题可化为t =e x −2x，有两个根x 1，x 2，令ℎ(x)=e x −2x，则ℎ′(x)=e x +2x 2＞0，求导分析单调性，又x →﹣∞时，h （x ）→0；x →+∞时，h （x ）→+∞且ℎ(12)＜0，推出t ＞0且t =e x 1−2x 1=e x 2−2x 2(x 1＜0＜x 2)，分析f （x 1）的单调性，又φ(−1)=−52e +1，推出﹣1＜x 1＜0，即可得出答案．【解答过程】解：g （x ）＝f '（x ）＝xe x ﹣tx ﹣2，（1）当t ＝1时，g （x ）＝xe x ﹣x ﹣2，g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1， 当x ≤﹣1时，x +1≤0，e x ＞0， 所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1≤0﹣1＜0， 当﹣1＜x ＜0时，0＜x +1＜1，0＜e x ＜1， 所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＜1×1﹣1＝0， 当x ＞0时，x +1＞1，e x ＞1，所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＞1×1﹣1＝0．综上g （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数， 所以g （x ）min ＝g （0）＝﹣2．（2）依题有：方程g （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2， 方程g （x ）＝0可化为t =e x −2x ， 令ℎ(x)=e x −2x ，则ℎ′(x)=e x +2x 2＞0， 所以h （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）都是增函数，因为x →﹣∞时，h （x ）→0；x →+∞时，h （x ）→+∞且ℎ(12)＜0， 所以t ＞0且t =e x 1−2x 1=e x 2−2x 2(x 1＜0＜x 2)， 所以f(x 1)=(x 1−1)e x 1−t2x 12−2x 1 =(x 1−1)e x 1−12(e x 1−2x 1)x 12−2x 1=(−x 122+x 1−1)e x 1−x 1＜−52e +1，令φ(x)=(−x 22+x −1)e x −x(x ＜0)，则φ′(x)=−12x 2e x −1＜0，所以φ（x ）在（﹣∞，0）上为减函数，又因为φ(−1)=−52e +1， 所以﹣1＜x 1＜0， 所以t =e x 1−2x 1＞1e+2． 【变式6-3】（2022春•潞州区校级期末）有三个条件： ①函数f （x ）在x ＝1处取得极小值2； ②f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值6； ③函数f （x ）的极大值为6，极小值为2．这三个条件中，请任意选择一个填在下面的横线上（只要填写序号），并解答本题． 题目：已知函数f （x ）＝x 3﹣3ax +b （a ＞0），并且 _____． （1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣3，1]时，求函数f （x ）的最值．【解题思路】（1）求出函数f （x ）的导数f ′（x ），选择条件①，②，利用给定的极值点及对应的极值列式求解并验证作答；选择条件③，判断极大值与极小值列式求解并验证作答． （2）利用（1）的结论，利用导数求出给定区间上的最值作答． 【解答过程】解：（1）选条件①：求导得f ′（x ）＝3x 2﹣3a ，由{f ′(1)=0f(1)=2，得{a =1b =4，此时f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1），当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，当x ＞1时，f ′（x ）＞0， 则f （x ）在x ＝1处取得极小值2， 所以f （x ）＝x 3﹣3x +4；选条件②：求导得f ′（x ）＝3x 2﹣3a ，由{f ′(−1)=0f(−1)=6，得{a =1b =4，此时f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1），当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＝＜0，则f（x）在x＝﹣1处取得极大值6，所以f（x）＝x3﹣3x+4．选条件③：求导得f′（x）＝3x2﹣3a，令f′（x）＝3x2﹣3a＝0，得x=±√a，当x＜−√a或x＞√a时，f′（x）＞0，当−√a＜x＜√a时时，f′（x）＜0，因此，当x=−√a时，f（x）取得极大值f（−√a），当x=√a时，f（x）取得极小值f（√a），于是得{(−√a)3−3a(−√a)+b=6(√a)3−3a√a+b=2，解得{a=1b=4，此时f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在x＝1处取得极小值2，在x＝﹣1处取得极大值6，所以f（x）＝x3﹣3x+4；（2）由（1）知，f（x）＝x3﹣3x+4，当x∈[﹣3，1]时，f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），当﹣3＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在[﹣3，﹣1）上递增，在（﹣1，1]上递减，而f（﹣3）＝﹣14，f（1）＝2，所以f（x）max＝f（﹣1）＝6，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣14．。
2021年安徽省高考数学总复习：导数及其应用
﹣1
（﹣2，1）
1
（1，2）
2
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
递增
递减
所以f（x）min＝f（﹣1） ，f（x）max＝f（1） ．
4．已知函数f（x）＝﹣2a2lnx x2+ax（a∈R）．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．
（2）讨论函数f（x）的单调性；
【解答】解：（1）a＝﹣1时，f（x）＝﹣2lnx x2﹣x，
当x∈（﹣3，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
所以f（x）在x＝1处存在极大值，符合题意．
综上所述，满足条件的值为b＝﹣1，c＝3．
（2）由（1）知， ，则f'（x）＝﹣x2﹣2x+3，
令f'（x）＝﹣（x+3）（x﹣1）＝0，得x1＝﹣3，x2＝1，所以x，f（x），f'（x）变化如下表：
令 ，
则g（x）min＜0，
，
①当m≥2时， 在 恒成立，则函数g（x）在 上单调递增，
，
解得m＞4（1﹣ln2），
当1＜m＜2时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
令 ， 恒成立，
即函数 在（1，2）上单调递减，
又h（1）＝﹣ln1﹣1+1＝0，故 在x∈（1，2）上恒成立，
即 ，故m∈（1，2）满足题意，
故函数f（x）在R递增；
②a＞0时，x 时，g′（x）＞0，g（x）递增，
x 时，g′（x）＜0，函数g（x）递减；
③a＜0时，当x 时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，
高考数学滁州卷导数的概念与性质历年真题解析
高考数学滁州卷导数的概念与性质历年真题解析导数是数学中重要的概念之一，对于高考数学来说，导数是必考的内容。
滁州卷作为高考数学的一部分，也经常涉及导数的相关题目。
本文将通过历年滁州卷的真题解析，详细介绍导数的概念与性质，帮助考生更好地理解和掌握这一知识点。
一、导数的定义导数是用来研究函数的变化率以及函数在某点的切线斜率的工具。
在数学中，函数的导数定义如下：设函数y=f(x)，在点x0处可导（即在x0处的导数存在），则函数f(x)在点x0处的导数记作f'(x0)，表示为：f'(x0) = lim[(f(x) - f(x0))/(x - x0)] (x→x0)其中，lim表示极限操作。
通过导数的定义，我们可以求得函数在某一点的切线斜率，也就是函数在该点的导数值。
二、导数的性质1. 可导函数的局部性质如果函数在某一点可导，则函数在该点的导数存在，并且函数在该点的左右极限存在且相等。
2. 前导数与后导数对于单调递增（递减）的函数，我们可以定义前导数和后导数。
前导数：f-'(x0) = lim[(f(x) - f(x0))/(x - x0)] (x→x0-)后导数：f+'(x0) = lim[(f(x) - f(x0))/(x - x0)] (x→x0+)如果函数在某一点处可导，则该点的前导数和后导数相等。
3. 导数与函数的关系若函数f(x)在区间I上可导，则函数f(x)在区间I上连续。
4. 和差乘法则函数和、差的导数等于导数的和、差；函数的常数倍的导数等于常数倍与导数的乘积。
5. 积商法则函数积的导数等于导数的乘积加上函数的导数与导数的乘积；函数商的导数等于分子导数与分母减去分子的乘积除以分母的平方。
三、历年滁州卷真题解析下面我们通过历年滁州卷的真题，来进一步理解导数的概念与性质。
【例题1】（2017年滁州卷）已知函数y = x^3 - 3x^2，求函数y在点x = 1处的导数值。
安徽芜湖市第一中学高考数学中“导数及其应用多选题”的类型分析附解析
一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>，∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6636cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ） A．函数在x =12eB ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()f x 有两个不同的零点 D．(2)f f f <<【答案】ABD 【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项. 【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln 212ln ()x x xx x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=，解得：x =所以当x =2fe =，故A 正确；对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在),e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．4．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．5．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+-C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； 对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>，则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+， 令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）6．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】 构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误. 【详解】 由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<， 令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.7．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x ='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误； D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n na a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.9．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x 的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.10．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,xf x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=>⎪⎝⎭，334433cos 044f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0xe x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin xf x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0xf x e a x =+=得：1sin x x a e-=， 则令sin ()x xF x e=，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()xx x x x F x e e π--'==，令()0F x '=，得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知：52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值， 又354435sin sin 44eeππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭，sin ()xx F x e =单调递减，所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭， 所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值.又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e π⎛⎫≤=⎪⎝⎭当(),x π∈-+∞时，344()2e F x e π≤≤，所以当341e a π-<，即34a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当3412e a π-=-时，即4a e π=时，1=-y a 与sin x xy e=的图象只有一个交点，即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点， 故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.。
稳中求变 变中求新 安徽省高考理科数学中的函数与导数解答题分析
二、稳中求变
如何在试题总体保持稳定的情况下，深化能力立意，积极改革呢？我省的命题人在函数与导数试题 上进行了积极稳妥的探索. 如 2007 年安徽理科卷第 18 题：设 a ≥ 0 ， f ( x) x 1 ln x 2a ln x,( x 0).
2
（Ⅰ）令 F ( x) xf ( x) ，讨论 F ( x) 在（0 ，＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当 x 1 时，恒有 x ln x 2a ln x 1 .
试题说明：本题主要考查函数的概念、导数的应用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学知识 解决问题能力及推理能力.笔者推测命题人是以 f ( x ) k | x |( k 0 ) 为原型命制此题的. 又如 2009 年是我省新课程高考数学自主命题的第一年，该年的理科函数与导数试题既实现了从大 纲卷到新课标卷的平稳过渡，又有变化和新意.
(0,
g ( x) g ( x)
1 ) k
1 k
(
1 , ) k
0 极小值 2
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所以 g ( x) 在区间 (0, ) 内单调递减, 在区间 ( , ) 内单调递增,在 x 法 2:令 g ( x) 0 ，得 x
1 k
1 k
1 处取得极小值 2. k
f ( x)
ln x 1 1 , 若 f ' ( x) 0, 则 x .列表如下： 2 2 x ln x e 1 1 1 (1, ) (0, ) ( ,1) e e e
+ 单调增 0 极大值 f ( ) — — 单调减
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 单调减 e 1 1 故知 f ( x) 单调增区间为 (0, ) ，单调减区间为 ( ,1) 和 (1, ) . e e 1 1 a (Ⅱ) 在 2 x x 两边取对数, 得 ln 2 a ln x , x a 1 由于 0 x 1, 所以 (1) ln 2 x ln x 1 由(Ⅰ)的结果可知,当 x (0,1) 时, f ( x) f ( ) e , e a 为使(1)式对所有 x (0,1) 成立,当且仅当 e , ln 2 即 a e ln 2 ，故实数 a 的取值范围为 (e ln 2, ).
高考数学压轴专题合肥备战高考《函数与导数》知识点总复习附答案
数学高考《函数与导数》复习资料一、选择题1．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．A ．34B ．23C ．13D ．12【答案】B 【解析】 【分析】设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)312x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32339214V x x x x x x x =+-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x ,)31x -, 所以正六棱柱容器的容积为()())()32339214V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 所以当23x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.2．已知3215()632f x x ax ax b =-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132x x =，则函数12()()f x f x -=（ ）A ．1-B ．16C ．1D ．与b 有关【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -． 【详解】()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，又2132x x =，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =． 此时122,3x x ==， ()3215632f x x x x b =-++， 故()()()()()1215182749623326f x f x -=⨯---+-= 故选B ． 【点睛】如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】∵()()242f x f x x +-=+，()()22g x f x x =-∴2222()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.4．函数22()41x x x f x ⋅=-的图像大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】∵函数()22?41x x x f x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U∴222()2()()4114x x x xx x f x f x --⋅-⋅-===---∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，C. ∵2(1)03f =>，故排除D. 故选A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.6．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】 令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-，即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A 【点睛】本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.7．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.8．已知()2ln33,33ln3,ln3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】B 【解析】 【分析】根据,,a b c 与中间值3和6的大小关系，即可得到本题答案. 【详解】因为323e e <<，所以31ln 32<<， 则3ln3223336,33ln 36,(ln 3)3a b c <=<=<=+>=<，所以c a b <<.故选：B 【点睛】本题主要考查利用中间值比较几个式子的大小关系，属基础题.9．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】 由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，.当时，由于函数和函数在上都为增函数，此时，函数在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，，所以，函数在上为增函数.综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.10．函数()()2ln 43f x x x=+-的单调递减区间是（ ）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】D 【解析】 【分析】先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论． 【详解】由2430x x +->得14x -<<，即函数定义域是(1,4)-，2232543()24u x x x =+-=--+在3(1,]2-上递增，在3[,4)2上递减，而ln y u =是增函数，∴()f x 的减区间是3[,4)2． 故选：D ． 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑．11．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，在()0+∞，上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)2+∞，B ．[)0+∞，C ．[]22-，D ．(][)22-∞-⋃+∞，， 【答案】A 【解析】 【分析】通过x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，构造新函数()()2g x f x x =-，可得()g x 为奇函数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.【详解】设()()2g x f x x =-，∵()()()()220g x g x f x x f x x +-=-+--=，∴函数()g x 为奇函数，∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<， ∴()()20g x f x x ''=-<，∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数， ∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数， 且()00g =，∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数， ∵()()4168f m f m m --≥-，∴()()()2244168g m m g m m m ⎡⎤⎡⎤-+--+≥-⎣⎦⎣⎦， ∴()()4g m g m -≥， ∴4m m -≤， 即2m ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.12．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．34【答案】B 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程()0f x =可得出函数()y f x =的零点．【详解】141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为32，故选B.【点睛】本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．13．已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D∵())lnf x x =∴())f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=.∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数∴当0x >时，易得())f x x =为增函数∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>∴c a b >> 故选D.14．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．15．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（ ）A ．(),1-∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．()1,+∞【解析】不等式()3xf x e >+得()()3311x x xf x f x e e e ->+∴>， ()()()()()330xxf x f x f xg x g x ee--+=∴='<'设，所以()g x 在R 上是减函数，因为()()()4301001g g x g x -==∴>∴<． 故选B ．点睛：本题的难点在于解题的思路． 已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答．16．[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立，等价于[]()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥17．三个数2233ln a b c e ===，的大小顺序为( ) A ．b <c <a B ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <b <c【答案】D 【解析】 【分析】 通过证明13a b c <<<，由此得出三者的大小关系. 【详解】132221ln 63a e e =<==，由于6123e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，6328==，所以13e <，所以131ln 3e =<13a b <<.而66113232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，所以11321ln 2ln 3ln 33<=，即b c <，所以a b c <<.故选：D 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.18．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）A ．()()2019202020202019f f >B ．()()20192020f f >C ．()()2019202020202019f f <D ．()()20192020f f < 【答案】A【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.【详解】令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A.【点睛】 本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.19．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( )A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]a r r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]a r r r+-+ 【答案】D【解析】【分析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：17171618(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-； 故选：D ．【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.20．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】【分析】 利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.【详解】 Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=， 32023<<=<Q ，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)27f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.。
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证明： （Ⅰ）对任意实数 a 0 和任意实数 x ，都有 f ax af x
① ②
在①中取 a 2, x 0, 则 f 0 2 f 0 ，∴ f 0 0 （Ⅱ）法 1:当 x 0 时,由①得 f x f x 1 xf 1 取 k f 1 ,则有 f ( x ) kx 当 x 0 时,由①得 f x f ( x) (1) ( x) f 1 取 h f ( 1) ,则有 f ( x ) hx 综合②、③、④得 f x 法 2:取 x
★阮飞教学资料·安徽高考数学命题规律与解题方法研究★
十年磨剑 丰碑无言
——安徽省高考理科数学中的函数与导数解答题分析 安徽省太和中学 阮飞
摘要：函数是高中数学的一条主线，是核心知识；导数是高中数学的主要内 容之一.函数与导数题是近年安徽省高考理科数学自主命题解答题中的必考题 型，主要涉及函数（定义域、单调性、单调区间、极值、最值、图像的切 线）、导数、不等式、方程等知识，试题体现了稳、变、新的特点. 关键词：函数与导数；稳中求变；变中求新；新中显能；命题
二、稳中求变
如何在试题总体保持稳定的情况下，深化能力立意，积极改革呢？我省的命题人在函数与导数试题 上进行了积极稳妥的探索. 如题目 2（2007 年安徽理科卷第 18 题）设 a ≥ 0 ， f ( x) x 1 ln x 2a ln x,( x 0).
1 1 1 x1 x 2 kx2 ( kx1 ) k ( x 2 x1 ) kx2 kx1 k x1 x 2
( x 2 x1 ) 2 (k x1 x 2 1). kx1 x 2
1 1 时, g ( x2 ) g ( x1 ) ； （ii） 当 0 x1 x 2时, g( x 2 ) g x1 . k k 1 1 1 所以 g ( x ) 在区间 (0, ) 内单调递减, 在区间（ , ）内单调递增，在 x 处取得极小值 2. k k k
1 1 时，函数 g x 在 0, 内取得极小值，极小值为 g ( ) 2 . k k （Ⅲ）另解:定义法
1 kx ， kx
由（Ⅱ）中的③知，当 x 0 时， g ( x) 设 x1 , x2 (0,), 且x1 x2 ,则
g ( x 2 ) g ( x1 )
1 k
1 k
1 处取得极小值 2. k
1 1 或x ( k 0, 舍) ； k k
1 当 x (0, ) 时， g ( x )<0 ，∴ g ( x ) 是单调递减函数； k 1 当 x ( , ) 时， g ( x )>0 ，∴ g ( x ) 是单调递增函数； k
所以当 x
（Ⅲ）由（Ⅱ）中的③知，当 x 0 时， g x
1 k 2 x2 1 ,x0 k kx 2 kx 2 法 1:又因为 k 0 ,由此可得 x
从而 g ( x)
(0,
g ( x ) g ( x)
↘
1 ) k
1 k
(ห้องสมุดไป่ตู้
1 , ) k
0 极小值 2
↗
所以 g ( x ) 在区间 (0, ) 内单调递减, 在区间 ( , ) 内单调递增,在 x 法 2:令 g ( x ) 0 ，得 x
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所以当 x 0 时, f ( x) f ( 1) x ，取 h f ( 1) ,则有 f ( x ) hx 综合②、③、④得 f x
④
kx, x 0, hx, x 0.
1 1 f x kx ， f x kx
又因为 k>0， 所以 （i） 当 0 x1 x 2 试题说明：本题主要考查函数的概念、导数的应用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学 知识解决问题能力及推理能力.笔者推测命题人是以 f ( x ) k | x |( k 0 ) 为原型命制此题的. 又如 2009 年是我省新课程高考数学自主命题的第一年，该年的理科函数与导数试题既实现了从大 纲卷到新课标卷的平稳过渡，又有变化和新意.
③
④
kx, x 0, hx, x 0.
1 1 1 1 ，由①得 f (1) af ( ) ，即 f ( ) f (1) ， a a a a 所以当 x 0 时, f ( x) f (1) x ，取 k f 1 ,则有 f ( x ) kx
取x
③
1 1 1 1 ，由①得 f ( 1) af ( ) ，即 f ( ) f ( 1)( ) ， a a a a
2006 年安徽省高考数学开始自主命题，其理科数学试题贯彻了“总体保持稳定，深化能力立意，积 极改革创新”的指导思想，其中函数与导数解答题既体现了新课程理念，贴近中学数学教学，又贯彻了 稳中求变、变中求新的思想.下面结合题目谈谈笔者的几点看法.
一、稳字当头
事.如题目 1（2006 年安徽理科卷第 20 题）已知函数 f x 在 R 上有定义，对任意实数 a 0 和任意实 数 x ，都有 f ax af x . （Ⅰ）证明 f 0 0 ； 总体保持稳定是我省高考数学命题的指导思想之一，而在高考改革的浪潮中要做到平稳过渡并非易
kx, x 0, 其中 k 和 h 均为常数； hx, x 0. 1 （Ⅲ）当（Ⅱ）中的 k 0 时，设 g x f x ( x 0) ，讨论 g x 在 0, 内的单调性并求 f x
（Ⅱ）证明 f x 极值. 该题实现了理科函数与导数试题从全国卷到自主命题卷的平稳过渡，延续了全国卷对利用导数研究 函数性质的重点考查，同时在函数载体上进行了改革.其背景公平，第三问解法多样，这体现了命题人对 不同考生的人文关怀，用心良苦.