必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第3讲集合间的关基本系含答案

1.2集合间的基本关系第3讲集合间的基本关系知识点梳理讲解：【知识梳理】知识点一子集子集的概念【要点讲解】(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1}，0∈{－1，0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，此时记作A B或B A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N，而不能写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0⊆N.知识点二集合相等的概念集合相等的概念：如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.【要点讲解】(1)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.知识点二真子集真子集的概念定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集记法记作图示结论(1)A⊆B且B≠C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B【要点讲解】(1)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.知识点三空集空集的概念(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅A【要点讲解】∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素0的集合，∅{0}．知识点四Venn图一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．A⊆B⊆C表示为：【知识精讲】类型一求集合的子集例1 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有20即一个子集，20－1即0个真子集．【变式训练】1、适合条件{1}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )A．15 B．16 C．31 D．32答案 A解析 集合A 中必有元素1，其余元素从{}2，3，4，5中取，但A ≠{}1，2，3，4，5.这样的集合A 有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，共15个，等于{}2，3，4，5真子集的个数24－1.【方法技巧总结】为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．类型二 判断集合间的关系 题型1 概念间的包含关系例2 设集合M ＝{菱形}，N ＝{平行四边形}，P ＝{四边形}，Q ＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( ) A ．P ⊆N ⊆M ⊆Q B ．Q ⊆M ⊆N ⊆P C ．P ⊆M ⊆N ⊆Q D ．Q ⊆N ⊆M ⊆P答案 B解析 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.【变式训练】1、我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N ，Z ，Q ，R 表示，用符号表示N ，Z ，Q ，R 的关系为________． 答案 N ⊆Z ⊆Q ⊆R题型2 数集间的包含关系例3 设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x <2或x >3}，则A 与B 的关系为( ) A ．A ∈B B ．B ∈A C ．A ⊆B D ．B ⊆A 答案 C解析 ∵0<2，∴0∈B . 又∵1<2，∴1∈B . ∴A ⊆B . 【变式训练】1 已知集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <5}，则( ) A ．A ∈B B ．A B C ．B A D ．B ⊆A答案 B解析 由数轴易知A 中元素都属于B ，B 中至少有一个元素如－2∉A ，故有A B .2下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4【解析】选 B 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．3、指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⊆B.③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊆M.法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N⊆M.4、已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则M与P的关系为( )A．M＝P B．M⊆PC．P⊆M D．M⊆P【解析】选D ①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，∵a∈N*，∴a＋2∈N*，∴x∈P，由子集定义知M⊆P.②∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N*，而1∉M，∴1＋a2＝1在a∈N*时无解．综合①②知，M⊆P.【方法技巧总结】判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴、坐标系、Venn图表示集合，再直观判断两集合的关系．类型三有限集合子集的确定例4 (1)已知集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}，则A的真子集的个数是( ) A．16 B．8C．7 D．4(2)满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．【解析】(1)∵A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集的个数为23－1＝7.(2)由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．【答案】(1)C (2)7【变式训练】已知集合A⊆{x∈N|－1＜x＜3}，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合．解：这样的集合共有3个．∵{x∈N|－1＜x＜3}＝{0,1,2}，A⊆{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数，∴当A中含有1个元素时，A可以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以为{0,1}，{1,2}. 【方法技巧总结】公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A 有n (n ≥1)个元素，集合C 有m (m ≥1)个元素，且A ⊆B ⊆C ，则符合条件的集合B 有n m -2个．类型四 由集合间的关系求参数(或参数范围)例5 已知集合A ＝{x |x 2－x ＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，且A ⊇B ，求实数a 的值． 解 A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}． (1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意． (2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧a 1， ∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a＝1，即a ＝1.综上，a ＝0或a ＝1. 【变式训练】1、已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意．(2)当a <1时，要使A ⊇B ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在．综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}.2、已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当B ＝∅时，只需2a >a ＋3，即a >3； 当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}．3、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围．解：①当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .②当a >0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <2a . 又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.③当a <0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <1a . ∵A ⊆B ，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．【方法技巧总结】利用集合关系求参数应关注三点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．【易错题】[典例] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[解] ∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4. ∴m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}．【易错点训练】1．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：①当B ＝∅时，m －6>2m －1，即m <－5；②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m －6≤2m －1，m －6≥－2，2m －1≤5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－5，m ≥4，m ≤3，即m ∈∅. 故实数m 的取值范围是{m |m <－5}．2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，，若A ≠B ，求实数m 的取值范围．解：∵A ≠B ，∴两不等式端点不可能同时成立，但最终答案与本例一致．3．已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．①当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实数根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.②当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，a 2－1＝0， ∴a ＝－1.③当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解．④当B＝{0，－4}时，由一元二次方程的根与系数的关系可得a＝1.综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－1}．【课堂小测】1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅⊆{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是( )A．1 B．3C．4 D．6解析：选C ①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅⊆{0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．2．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是( )A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆CC．A B⊆C D．A＝B⊆C解析：选B 集合A，B，C关系如图．3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，∴m∈A，∴m＝4.答案：44．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，定义某种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中最大的元素是________，集合A *B 的所有子集的个数为________．解析：由题意知A *B ＝{2,3,4,5}，∴A *B 中最大的元素是5，集合A *B 有4个元素，∴所有子集个数为24＝16.答案：5 165．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a }．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则a >2，即a 的取值范围是{a |a ＞2}．(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2，即a 的取值范围是{a |a ≤2}．(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.【课后作业】一、选择题1．在下列关系中错误的个数是( )①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}；⑤{0,1}⊆{(0,1)}．A ．1B ．2C ．3D ．4考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 B解析 ①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用∈来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.2．若{}1，2＝{}x |x 2＋bx ＋c ＝0，则( ) A ．b ＝－3，c ＝2B ．b ＝3，c ＝－2C ．b ＝－2，c ＝3D ．b ＝2，c ＝－3考点 集合相等的概念题点 由集合相等求参数的值解析依题意知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得，b＝－(x1＋x2)＝－3，c＝x1x2＝2.3．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 D解析元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D ＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 B解析∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C⊆B.5．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是( ) A．(－1,1) B．(－1,0)C．(0，－1) D．(1,1)考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的值答案 B解析当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．0，1，2，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) 6．已知集合A⊆{}A．6 B．5 C．4 D．3考点子集及其运算题点求集合的子集解析 方法一 集合{}0，1，2的子集为∅，{}0，{}1，{}2，{}0，1，{}0，2，{}1，2，{}0，1，2，其中含有偶数的集合有6个．方法二 {}0，1，2共有23＝8(个)子集，其中不含偶数的有∅，{}1.故符合题意的A 共有8－2＝6(个)． 7．已知∅{}x |x 2－x ＋a ＝0，则实数a 的取值范围是() A ．a <14 B ．a ≤14C ．a ≥14D ．a >14 考点 空集的定义、性质及运算题点 与空集有关的参数问题答案 B解析 ∵∅{}x |x 2－x ＋a ＝0， ∴方程x 2－x ＋a ＝0有实根，∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，故a ≤14. 8．若M ⊆P ，M ⊆Q ，P ＝{0,1,2}，Q ＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．4D ．8考点 子集个数题点 附加条件的子集个数答案 C解析 P ，Q 中的公共元素组成集合C ＝{0,2}，M ⊆C ，这样的集合M 共有22＝4个．二、填空题9．已知{0,1}A ⊆{－1,0,1}，则集合A ＝________.考点 子集及其运算题点 求集合的子集答案 {－1,0,1}解析 由题意知集合A 中一定含有元素0,1，并且A 中至少含三个元素，又因为A ⊆{－1,0,1}， 所以A ＝{－1,0,1}．10．若集合A ＝{x |2≤x ≤3}，集合B ＝{x |ax －2＝0，a ∈Z}，且B ⊆A ，则实数a ＝________. 考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的值答案 0或1解析 当B ＝∅时，a ＝0，满足B ⊆A ；当B ≠∅时，a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，又B ⊆A ，∴2≤2a≤3， 即23≤a ≤1，又a ∈Z ， ∴a ＝1.综上知a 的值为0或1.11．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________． 考点 集合相等的概念题点 判断集合的相等关系答案 M ＝P解析 ∵xy >0，∴x ，y 同号，又x ＋y <0，∴x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 表示第三象限内的点，故M ＝P .三、解答题12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，试列举满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C .考点 子集及其运算题点 求集合的子集解 先用列举法表示集合A ，B .由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．13．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{x ＋2,1}，是否存在实数x ，使得B 是A 的子集？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由．考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的值解 因为B 是A 的子集，所以B 中元素必是A 中的元素．若x ＋2＝3，则x ＝1，符合题意；若x ＋2＝－x 3，则x 3＋x ＋2＝0，所以(x ＋1)(x 2－x ＋2)＝0.因为x 2－x ＋2≠0，所以x ＋1＝0，所以x ＝－1，此时x ＋2＝1，集合B 中的元素不满足互异性．综上所述，存在实数x ＝1，使得B 是A 的子集，此时A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}．四、探究与拓展14．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．B ∈AD ．A ＝B考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 C解析 ∵A ＝{x |x ⊆B }，∴A ＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B ∈A .15．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围． 考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的取值范围解 ∵A ⊆B ，∴当A ＝∅时，即方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0无实根，故Δ＝16m 2－8(m ＋3)<0，解得－1<m <32. 当A ≠∅时，方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的根为负， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥32或m ≤－1，4m <0，2m ＋6>0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥32或m ≤－1，m <0，m >－3， 解得－3<m ≤－1. 综上，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－3<m <32.。