最新2019届高三上学期第二次诊断考试数学(文)试题

一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ． {2,6} B ．{3,6} C ．{1,3,4,5} D ．{1,2,4,6} 2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝cos x C ．y ＝e xD ．y ＝ln |x | 3.已知 1.30.72,4,a b ==ln 6c =,则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a <<4．若sin α＝－35，且α为第四象限角，则cos()πα+= ( )A ．－45 B.45 C.35 D ．－355.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 6．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( )A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→7．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cosB ＝0，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π68．函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )9．函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件10.若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) 11．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.2212.定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()0,+∞C.()(),01,-∞⋃+∞D.()1,-+∞二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝log 0.5 4x －3 的定义域为______．14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．15．已知，，则________．16．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是______ km三、解答题：本大题共6小题，17小题为10分，18、19、20、21、22小题为12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. (本题满分10分)已知a >0，且a ≠1，命题p ：函数x y a =在R 上单调递减；命题q ：关于x 的方程 x 2＋(2a －3)x ＋1有两个不等的实根．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数 a 的取值范围.18. (本题满分12分)已知函数2()sin cos f x x x x =+ (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．写出g (x )的解析式，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，g (x )的值域．19. (本题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且a cos C ＝(2b －c )cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＝2c ，求△ABC 的面积．20. (本题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．21. (本题满分12分)设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．22. (本题满分12分)已知函数()sin cos f x x x x =+． （1）当,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，求函数()f x 的单调区间；（2）若存在,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得2()cos f x kx x >+成立，求实数k 的取值范围．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1 ；14. 答案：12 ； 15. 答案:； 16.答案：35三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (本题满分10分)解：由函数xy a =在R 上单调递减，解得0<a <1 …………………………2分 关于x 的方程 x 2＋(2a －3)x ＋1有两个不等的实根得(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52……4分因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假” ………………………………5分1011515<>2222a a a a a ><<⎧⎧⎪⎪⎨⎨≤≤⎪⎪⎩⎩故或或解得a >52或112a ≤<故实数a 的取值范围是15[,1)(,)22+∞ ………………………………10分18. (本题满分12分)解：（1）21()sin 22f x x x =-+1sin 2cos2)222x x =-++……………………………2分1sin 22x x =+sin(2)3x π=-+…………………………4分因此f (x )的最小正周期为π，最小值为 1-…………………………6分(2)由条件可知()sin()3g x x π=-+…………………………8分当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，从而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，…………………………10分那么()sin()3g x x π=-+1[2++故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是1[2++. …………………………12分19. (本题满分12分)解：(1)解法一 由(2b －c )cos A ＝a cos C ，得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， …………………………2分即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )，所以2sin B cos A ＝sin B ， …………………………4分 因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝π3. …………………………6分解法二 由(2b －c )cos A ＝a cos C ，得(2b －c )2222b c a bc +-= 2222a b c a ab +- …………………………2分222b c a bc +-= 2221cos 222b c a bc A bc bc +-=== …………………………4分因为0<A <π，所以A ＝π3. …………………………6分(2)因为a ＝6，b ＝2c ，由(1)得A ＝π3，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2224364c c c +-＝12， …………………………8分解得c ＝23，所以b ＝4 3. …………………………10分 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×43×32＝6 3 …………………………12分20. (本题满分12分)解： (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. …………………………4分(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.…………………………12分 21. (本题满分12分)．解：(1)f ′(x )＝a x－2bx ， …………………………1分∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 1 ＝a －2b ＝0，f 1 ＝－b ＝－12， (2)分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12. …………………………4分(2)由(1)得f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x2x， …………………………6分∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )＞0得1e≤x ＜1；令f ′(x )＜0，得1＜x ≤e， …………………………8分∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[]1，e 上单调递减， …………………………10分 ∴f (x )max ＝f (1)＝－12. …………………………12分22. (本题满分12分)．解： （ 1）f'（x ）=sinx+xcosx ﹣sinx=xcosx ，…∴时，f'（x ）=xcosx ＞0，∴函数f （x ）在上是增函数；时，f'（x ）=xcosx ＜0，∴函数f （x ）在上是减函数； … ……………………………6分（ 2）由题意等价于xsinx+cosx ＞kx 2+cosx ，整理得．令，则，令g （x ）=xcosx ﹣sinx ，g'（x ）=﹣xsinx ＜0，∴g （x ）在上单调递减，∴，即g （x ）=xcosx ﹣sinx ＜0，…∴，即在上单调递减，∴，即．……………………………12分。