数学理解的案例分析
数学课堂中的案例分析初中数学典型题解析
数学课堂中的案例分析初中数学典型题解析案例一：两根绳子与一个木桩题目描述：小明和小红在做实验，他们准备把一个木桩固定在地面上。
他们有两根绳子，每根绳子的一端系在木桩上，另一端分别由小明和小红拉着。
他们想知道，如果两个人分别用力拉绳子，哪一根绳子上的张力更大。
解析：首先，我们需要明确两个概念——张力和重力。
在这个问题中，木桩受到的作用力有两个，分别是小明和小红拉绳子的力以及地面对木桩的支持力。
根据力的平衡条件，这些力必须平衡。
在绳子上，作用力有两个：张力和重力。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
由于两根绳子的质量几乎可以忽略不计，我们可以认为在绳子上施加的力只有重力。
假设小明和小红拉绳子的力分别为F1和F2，木桩的质量为m，则地面对木桩的支持力应为F1 + F2 + mg = 0，即F1 + F2 = -mg，其中g 为重力加速度。
因此，两个人分别用力拉绳子时，绳子上的张力相等且为-mg/2。
这意味着无论是小明还是小红拉的绳子，绳子上的张力都是相等且都为-mg/2。
结论：在这个案例中，两根绳子上的张力是相等的，都为-mg/2。
无论小明还是小红拉的绳子，绳子上的张力都是相同的。
案例二：消失的几何图形题目描述：小明在数学课上学习了几何图形的平移、旋转和翻转等变换操作。
他画了一个正方形，并对其进行了一系列变换操作。
奇怪的是，经过一系列的变换，正方形消失了。
小明希望你能帮忙解释一下这个现象。
解析：在数学中，几何图形的变换操作可以分为平移、旋转和翻转三种。
平移是指将图形沿着某个方向移动一定的距离。
旋转是指将图形绕着某个点旋转一定的角度。
翻转是指将图形沿某个轴线翻转。
正方形是一个具有4个相等边和4个直角的几何图形。
无论进行何种变换操作，正方形的性质都会保持不变。
因此，正方形不会消失。
然而，在小明的描述中，正方形却消失了。
这个现象可能是由于小明在描述过程中存在误解或者对于图形变换的理解出现了错误。
数学案例分析题及答案
数学案例分析题及答案
1. 问题描述，某班有40名学生，其中男生和女生的比例是3:2，如果男生人数增加了20%，女生人数减少了10%，那么现在男生和女生的人数比是多少？
解答，首先，我们可以计算出男生和女生的人数分别是3x和2x。
然后，根据题目中的信息，男生人数增加了20%，即3x增加了0.23x=0.6x，所以现在男生的人数是3x+0.6x=3.6x；女生人数减少了10%，即2x减少了0.12x=0.2x，所以现在女生的人数是2x-0.2x=1.8x。
最后，我们可以计算出现在男生和女生的人数比是3.6x:1.8x=2:1。
2. 问题描述，甲、乙两地相距480公里，两车同时开出，甲地开往乙地的汽车每小时行80公里，乙地开往甲地的汽车每小时行60公里，几小时后两车相遇？
解答，假设两车相遇的时间为t小时，那么甲地开往乙地的汽车行驶的距离为80t，乙地开往甲地的汽车行驶的距离为60t。
根据题目中的信息，这两个距离之和等于两地的距离480公里，即80t+60t=480，解得t=3。
所以，两车相遇的时间为3小时。
3. 问题描述，某种商品原价为200元，商家打8折促销，然后又在打折的基础上再减50元，问现在商品的价格是多少？
解答，首先，商品打8折后的价格为2000.8=160元，然后在打折的基础上再减50元，所以现在商品的价格是160-50=110元。
通过以上几个数学案例分析题及答案的介绍，我们可以看到，数学知识在实际生活中的运用是非常广泛的。
希望大家能够通过这些案例题的练习，更好地掌握数学知识，提高解决实际问题的能力。
同时，也希望大家能够在学习数学的过程中保持耐心和信心，相信自己一定能够取得更好的成绩。
五年级数学案例分析
【背景介绍】【案例描述】在五年级的一个数学课堂上，老师为了让学生更好地理解和掌握十进制的加法和减法运算方法，设计了以下案例。
案例一：十位数运算小明和小红在做一道类似的数学题目：“64–39=?”。
小明很快得到了答案：25、但是小红却用了很长时间才计算出答案。
案例二：个位数运算小明又提出了一个除了个位数的加法问题：“在个位数的运算中，我们一直在个位数的后面补0，为什么要这样做呢？”小红思考了一会儿后回答道：“因为如果不补0，我们就无法通过运算得到正确的答案。
”【案例分析】案例一中，小明和小红对于同样的问题，采用了不同的计算方法。
小明能够很快地得到答案，说明他对于十位数的加法和减法运算方法理解深入，并能够熟练地运用口算方法解决问题。
而小红花费了较长的时间计算，说明她对于十位数的运算方法理解不够深入，还需要更多的练习和巩固。
在案例二中，小明提出的问题引发了小红的思考。
小红正确地指出了在个位数的运算中，为了得到正确的答案，需要在后面补0。
这对于小红来说是一种经验总结，但是她还没有深入理解其中的原理和意义。
【教学启示】通过以上案例的分析，我们可以得出以下几点教学启示。
1.引导学生进行思考：在教学中，我们应该注重培养学生的思维能力。
通过引导学生提出问题和解决问题，促使他们深入理解数学运算方法背后的原理和意义。
2.多样化的教学方法：针对不同学生的学习特点和能力水平，我们可以采用多样化的教学方法。
对于对十进制的加法和减法有较好理解和能够熟练运用的学生，我们可以引导他们进行更高层次的思考和运算；对于对这一部分知识理解较浅的学生，我们需要加强练习和巩固，让他们逐渐掌握运算方法。
通过以上分析和启示，我们可以更好地教授五年级数学中的十进制的加法和减法运算方法，提高学生的数学能力和解决问题的能力。
同时，我们也应该不断总结和调整教学方法，以适应不同学生的需求和发展。
三年级第九章案例分析
三年级第九章案例分析案例一：小明的数学困扰背景：小明是一位三年级学生，他在数学学科上遇到了一些困扰。
他在小学一年级和二年级时，一直表现出色，但是进入三年级之后，他遇到了一些障碍。
他发现自己难以理解分数的概念，也很容易混淆单位之间的转换。
这给他的学习造成了困扰，并且开始对数学失去了兴趣。
分析：小明在数学学科上的困扰可能是由于多种因素导致的。
首先，三年级的数学内容相对于一年级和二年级来说更加抽象和复杂，对学生的思维能力和逻辑思维能力有更高的要求。
小明可能还没有完全适应这种转变，需要更多的时间来理解和掌握新的概念。
其次，他可能缺乏与老师和同学交流的机会，导致对困惑和问题无法得到及时解决。
解决方案：为了帮助小明解决数学困扰，有以下几个建议。
首先，他可以和数学老师沟通，表达自己的困惑和问题，老师可以给予他更多的指导和帮助。
其次，小明可以自我反思，找出自己在学习上的不足之处，并采取相应的措施来加强自己的学习能力，比如找一位学长学姐或者请家长辅导他的学习。
此外，小明还可以参加一些关于数学学科的兴趣班或者辅导班，通过更系统和专业的培训来提高他的数学水平。
最重要的是，家长和学校应该共同关注小明的学习情况，提供支持和鼓励，让他重新建立对数学的信心。
案例二：小芳的语文进步背景：小芳是三年级班级里的一名学生，她在语文学科上取得了很大的进步。
她对语文学科有浓厚的兴趣，经常自主阅读各类文学作品，并能够用流利的语言来表达自己的思想。
她的写字非常工整，字迹美观。
分析：小芳之所以在语文学科上取得如此好的成绩，主要有以下几个原因。
首先，她对语文学科充满了热爱和兴趣，这种积极的态度使得她能够更加专注和努力地学习。
其次，她具备了良好的阅读习惯，通过大量的阅读积累了丰富的词汇和语言表达能力。
此外，她在写字方面也下了很大的功夫，通过不断的练习和规范，使得自己的字迹工整美观。
启示：小芳的语文学习之所以能够取得如此大的进步，给我们提供了很多启示。
初中数学教学案例分析
初中数学教学案例分析教学案例一：解一元一次方程教学目标：通过解一元一次方程的案例，帮助学生理解方程的概念，掌握解方程的方法。
案例描述：小明购买了若干部手机，每部手机的售价为x元。
总共花费了450元。
他注意到，如果手机的售价再便宜20元，他就能多买一部手机。
请问，每部手机的售价是多少？解答过程：1. 设每部手机的售价为x元；2. 根据题意，得到方程：x * n + (x - 20) = 450，其中n为手机的数量；3. 将方程化简为一元一次方程：x * n + x - 20 = 450；4. 将方程进一步化简，得到：(n + 1) * x = 470；5. 除以(n + 1)后，得到x = 470 / (n + 1)；6. 根据选项可得n + 1 = 10，因此n = 9；7. 将n = 9代入方程，解得x = 470 / 10 = 47。
教学评析：通过这个案例，学生能够通过实际问题推导出方程，然后运用解一元一次方程的方法求解，并且将解代入验证答案的正确性。
教师在教学过程中可以适时引导学生思考问题和求解思路，激发学生的学习兴趣。
教学案例二：几何图形的构造教学目标：通过几何图形的构造案例，帮助学生巩固几何图形的基本概念和构造方法。
案例描述：已知一个三角形ABC，已知AB = 5 cm，BC = 6 cm，AC = 7 cm。
请你用尺规作图的方法，构造这个三角形。
解答过程：1. 画一条线段AB，长度为5 cm；2. 以点A为圆心，以5 cm为半径画一个圆，与线段AB交于点C 和点D；3. 以点B为圆心，以6 cm为半径画一个圆，与线段BC交于点E；4. 连接线段AE，AE即为所求的线段AC；5. 连接线段CE，CE即为所求的线段BC。
教学评析：通过这个案例，学生不仅能够巩固三角形的基本概念，还能够通过尺规作图的方法进行几何图形的构造。
在教学过程中，教师可以引导学生观察图形，分析问题，运用几何知识进行构造，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
数学案例分析报告范文6篇
数学案例分析报告范文6篇篇一：利用数学建模分析消费者行为在本篇案例中，我们将利用数学建模的方法分析消费者在特定市场环境下的购买行为。
通过收集大量的数据，并运用数学模型对这些数据进行分析，我们可以找出消费者的偏好、购买意向以及其他相关因素，从而帮助企业更好地制定营销策略。
篇二：基于数学模型的财务风险评估本文将以一个实际的财务风险案例为例，探讨如何通过建立数学模型对公司的财务状况进行评估，并提出相应的预警措施。
借助数学的工具和方法，我们可以更准确地分析公司的财务数据，并给出科学的建议，以降低财务风险。
篇三：数学模型在供应链管理中的应用本文将介绍数学模型在供应链管理中的应用。
通过对供应链各环节的数据分析，建立数学模型，我们可以优化供应链的运作效率，降低运营成本，并实现更好的供应链规划和管理。
篇四：利用数学建模分析社会网络结构在这篇案例中，我们将利用数学建模方法分析社会网络的结构，探讨不同个体之间的关系、影响力和传播效应。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解社会网络的特点，为社会研究提供新的视角。
篇五：基于数据分析的股市预测模型本文将介绍一个基于数据分析的股市预测模型案例。
通过对历史股市数据的分析和建模，我们可以预测股市未来的走势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
数学模型的应用将使股市预测更加科学和可靠。
篇六：数学模型在医学诊断中的应用最后一篇案例将介绍数学模型在医学诊断中的应用。
通过分析患者的医疗数据和病情，建立数学模型可以辅助医生做出更准确的诊断和治疗方案，提高医疗效率，帮助患者早日康复。
以上就是六个数学案例分析报告范文，通过这些案例的介绍，我们可以看到数学在各个领域的应用，为问题的解决提供了新的思路和方法。
愿本文对您有所启发和帮助。
小学数学案例分析报告范文6篇
小学数学案例分析报告范文（一）
案例介绍
在一所小学三年级的数学课堂上，教师张老师给学生出了一个数学问题：“一
支香蕉每天长半截，请问十天后，香蕉会长多长？”学生小明想到了一个解决方法，但是得到的答案与其他同学不同。
本报告将对这个案例进行分析。
分析过程
小明解决这个问题的思路是：把第一天的香蕉看作完整的，那么第二天长的是
原长度的一半，第三天是原长度的四分之一，以此类推。
通过计算，小明得到了香蕉十天后还剩下原长度的1/1024。
而其他同学得到的答案是原长度的1/2的10
次方，即原长度的1/1024。
可以看出，小明的解答与其他同学不同。
结果分析
从小明的解题思路中可以看出，他采用了一个递推的方式来计算香蕉的长度。
而其他同学则采用了简单的等比数列的方法。
由此引发了我们对这个问题的进一步思考：两种解法得到的结果是否都正确？
反思思考
对于这个问题，我们进一步研究后发现，小明的解答是正确的，他的解题思路
更具有创造性和灵活性。
而其他同学的解答则局限于等比数列的计算方法，不能涵盖一些特殊情况。
因此，在教学过程中，我们应该鼓励学生发散思维，尝试不同的解题方法，而不是局限于某一种方法。
小结
通过对这个案例的分析，我们发现学生在解答数学问题时，应该多样化思维方式，不拘泥于一种固定的解题方法。
只有这样，才能培养学生的创造性思维和问题解决能力。
教师在教学中应该给予学生更多的启发和鼓励，创造出更有趣、有挑战性的数学问题，激发学生的兴趣和求知欲，使他们在数学学习中取得更好的成绩。
小学数学第六年级案例分析
小学数学第六年级案例分析案例一：小明的数学成绩小明是小学六年级的学生，最近他的数学成绩在班级中一直排名垫底。
为了帮助他提高数学成绩，老师进行了一次详细的案例分析。
首先，老师发现小明在数学中存在以下问题：不够注重基础知识的学习、缺乏学习策略、较少的课后巩固练习和弱化了实际问题解决能力。
接下来，老师针对这些问题提出了具体的解决方案。
一、注重基础知识的学习数学是建立在牢固的基础上发展起来的学科，为了提高小明的数学成绩，首先要保证他的基础知识掌握。
老师建议小明在课堂上认真听讲，做好课后的复习总结。
此外，小明还可以参加相关的数学兴趣班，加强基础知识的补充和巩固。
二、学习策略的培养良好的学习策略对于提高数学成绩非常重要。
老师建议小明在解题过程中，要从整体和细节两个方面入手。
首先，要全面了解问题的要求和限制条件，理清思路，找到合适的数学方法。
其次，要注重计算过程的细节，减少粗心错误的发生。
此外，小明还可以请教老师或同学，学习他人的解题思路和方法，培养自己的解题思维。
三、课后巩固练习的重要性课后巩固练习是提高数学成绩的关键环节之一。
老师建议小明在完成老师布置的作业后，还可以额外做一些类似的习题来加深理解和记忆。
通过大量的练习，小明可以不断熟悉各种题型的解题思路，提高解题的速度和准确度。
四、实际问题解决能力的培养数学不仅仅是一门理论学科，也是应用学科，解决实际问题是数学学习的重要目标之一。
老师建议小明多参与数学思维训练和实际问题的解决过程。
可以通过参加数学竞赛、参加数学沙龙等方式来提高实际问题解决能力。
此外，老师还鼓励小明利用日常生活中的场景，运用数学知识解决实际问题，提升数学的实用性。
通过这次案例分析，小明和他的家长也清楚了他数学成绩不理想的原因，并找到了相应的解决方案。
通过认真贯彻执行这些方案，相信小明的数学成绩会有明显的提高。
结语：数学是一门需要实践和思考的学科，在学习数学的过程中，要注重基础知识的打好、学习策略的培养、课后巩固练习的开展以及实际问题解决能力的培养。
小学数学教学10个案例分析
小学数学教学10个案例分析——小学数学教学案例分析案例1《除法的初步认识》教学片段学生被分为6人一小组，每人手上有6根小棒。
A教学：师：大家手上都有6根小棒。
平均分成三份，每份是多少呢？生动手操作。
师：好！把刚才操作的过程在小组中交流一下。
B教学：师：大家手上都有一些小棒，试着按要求进行平均分操作。
要求是：平均分成1份，2份，3份，4份，5份，6份，并且不能损坏小棒。
看那组最迅速。
学生开始分。
有的很快地分好，有的开始小声议论。
师：有困难吗？生1：平均分成4份不好分。
生2：平均分成5份也不好分。
师：是啊！有的多，有的少，不是平均分。
最好怎么办呢？（生……）师：好！同组内的小棒可以相互借调。
再试试看。
（生活动。
）师：哪个小组愿意来交流一下，你们的4份是怎么平均分的？分析：学生是由于需要而主动地合作交流，还是被老师安排去合作交流，两种心态会产生不同的效果。
怎样激发学生合作交流的积极主动性？我感觉有两点值得我们去关注：1、让问题更具有思考性和探索性。
数学讲授中的合作交流不能同等于日常随意性的谈话，它应具有一定的研究目标的指向性，是为解决某个详细的问题而进行的合作与交流。
因而，讲授中要不竭地让学生产生思维的困惑，让他们在思维的压力下，自动地想到与别人的合作与交流。
案例讲授中，把6根小棒平均分成3份，只有1种分法，让他们交流什么呢？只会不竭地重复。
而要把6根小棒平均分成4份、5份，倒是个伤脑筋的事。
老师建议重新调剂，如何调剂呢？小组成员之间一定要交流和合作。
特别是平均分成4份，需求另一个人全部拿出，或者有4人拿出一根，剩下一位同学拿出2根，其间的会商一定会强烈热闹。
“方便别人，也就方便了本人”，在这里不是很好地得到了体现吗？！2、以组间竞争促组内合作。
竞争和合作并不是一对相互排斥的概念，而是可以相互促进的。
培养学生的合作意识、集体观念，可以通过竞争的机制去增强学生对集体的责任感和荣誉感，即用外部的压力去促进内部的团结。
初中数学案例分析报告范文6篇
初中数学案例分析报告范文6篇篇一：使用比例解决实际问题在日常生活中，我们经常会遇到各种实际问题需要运用数学知识来解决。
比如，购买商品时遇到打折活动，我们就需要用比例来计算实际支付金额。
在本案例中，我们将以购物打折为例展示使用比例解决实际问题的过程。
假设小明在一家商店看中了一双原价为200元的鞋子，商店正在进行8折优惠活动，求小明购买该双鞋子需要支付的实际金额。
解题思路： - 首先，计算8折优惠后的价格：200元 * 0.8 = 160元 - 因此，小明购买该鞋子实际需要支付160元。
通过以上案例，我们可以看到，在解决实际问题时，我们可以运用比例的知识来简洁高效地完成计算。
篇二：解方程求解问题解方程是数学中的一项基础技能，在实际生活中，我们也可以利用解方程来解决问题。
例如，小红和小亮两人相约在一个地点见面，但由于出发时间和速度不同，两人之间需要解方程确定见面时间和地点。
假设小红和小亮分别从A地点和B地点出发，小红出发时间为8:00，速度为5km/h，小亮出发时间为9:00，速度为6km/h，从而定位小红和小亮何时何地见面。
解题思路：- 设小红和小亮见面的时间为t小时，则小红经过的距离为5t km，小亮经过的距离为6(t-1) km - 由于他们在见面时所在位置相同，因此可以列出方程：5t = 6(t-1) - 解以上方程可得：t = 6，即小红和小亮在8:00+6=14:00时在相遇。
通过这一案例，我们体会到了解方程在实际问题中的重要性，以及它在解决问题过程中的应用价值。
篇三：利用几何知识解决实际问题在解决实际问题时，几何知识也是一种常用的数学工具。
例如，在建筑施工中，经常需要准确测量和确定建筑物的高度、角度等信息，此时几何知识就派上用场。
假设一座大楼的高度为100米，一根30米的测量杆在大楼的阴影下投下一个70米的阴影，求大楼的高度。
解题思路： - 该问题可转化为相似三角形的性质：测量杆本身和其在地面上及大楼的阴影所形成的三角形与大楼本身和其在地面上及阴影所形成的三角形相似。
小学数学课堂案例分析
小学数学课堂案例分析一、引言二、案例分析1. 案例一：解决实际问题在一堂小学数学课堂中，教师提出了一个求解实际问题的数学题目：“小明有8个苹果，他分给小红和小华，每人吃了几个苹果？”孩子们在解答这个问题的时候出现了一些困难，他们不知道如何使用数学知识来解决这个实际问题。
分析：在这个案例中，可以看出孩子们对于如何将数学知识和实际问题相结合还存在困难。
可能是因为他们缺乏实际问题解决能力的训练，以及对数学知识在实际生活中的运用不够熟练。
解决方法：教师可以注重培养学生的实际问题解决能力，通过举一些实际的例子来锻炼学生的思维能力和解决问题的能力。
教师还可以通过分析实际问题的解决过程，引导学生将数学知识和实际问题相结合起来，从而提高学生的数学综合运用能力。
2. 案例二：激发学生的学习兴趣在一堂小学数学课堂中，教师设计了一道寓教于乐的数学题目：“小明有10个苹果，他分给小红和小华，小华分到2个苹果，小红分到多少个苹果？”这道题目是用故事情节来引出一个简单的数学问题，以期激发学生的学习兴趣。
分析：通过这个案例可以看出，教师通过设计寓教于乐的数学题目，成功的激发了学生对于数学的学习兴趣。
学生们在解答这道题目的时候表现出了积极的参与和学习态度。
解决方法：教师可以通过设计更多寓教于乐的数学题目，结合小学生的生活实际，引导学生积极参与到数学学习中来。
这样不仅可以提高学生学习数学的兴趣，还可以在激发学生的学习兴趣的培养他们对于数学的兴趣和热爱。
3. 案例三：培养学生的思维能力三、结论通过以上的案例分析可以看出，小学数学课堂教学中存在着学生对于数学知识和实际问题结合的困难、学习兴趣不够以及逻辑思维能力培养的问题。
针对这些问题，教师可以通过引导学生解决实际问题、设计寓教于乐的数学题目以及培养学生的逻辑思维能力来解决这些问题。
通过这些努力，可以提高学生的数学综合运用能力，激发学生对于数学的学习兴趣，并培养学生的逻辑思维能力，从而全面提高学生的数学素养。
七年级上数学案例分析
数学案例分析：学生的偏差数和落差数案例背景：这是一所城市中学的七年级上数学课，教师正在讲解偏差数和落差数的概念和计算方法。
学生对这个概念和计算方法还不是很理解，教师希望通过案例分析的方式帮助学生更好地理解这个概念和应用。
案例分析：教师在课上给学生讲解偏差数的概念和计算方法，并给出一个具体的例子进行演示。
案例是关于学生考试成绩的，下面是各位学生的成绩：90，82，75，88，95，79，85学生，成绩，偏差数---，---，---最后，教师解释偏差数和落差数的意义。
偏差数表示每个学生成绩与平均成绩之间的差距，正数表示高于平均成绩，负数表示低于平均成绩。
而落差数表示每个学生成绩与平均成绩的绝对差距，它表明了整个数据集的离散程度，落差数越大，说明学生间成绩的差异越大。
教师还通过其他案例演示如何应用偏差数和落差数来进行数据分析。
例如，教师给出另一个例子，关于一次数学测验各位学生的得分。
学生们计算出偏差数和落差数后，学生们可以发现有些学生得分非常接近平均得分，而有些学生得分相差很大，这样可以帮助学生们分析学生的考试水平、个体优势或劣势和帮助他们制定提高计划。
教师还鼓励学生们思考如何应用偏差数和落差数在现实生活中的问题中。
例如，学生们可以通过调查同学们每天花在学习的时间，并计算出每位同学的偏差数和落差数，来了解同学们的学习时间分配情况，确定自己是否有偏差较大，是否需要调整学习时间。
还可以分析同学们的课内外活动时间，了解同学们在各个方面的参与度和兴趣爱好。
结论：通过这个案例分析，学生对偏差数和落差数的概念和计算方法有了更深入的理解。
他们通过具体案例的计算和分析，可以将这些概念和方法应用到实际生活中的问题中，进一步提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
这样的案例教学方法既提供了具体的例子帮助学生理解概念，又鼓励学生运用所学知识进行分析和思考。
高中数学中的导数应用案例全面解析与计算
高中数学中的导数应用案例全面解析与计算导数是高中数学中的一个重要概念，在不同的数学问题中都有广泛的应用。
本文将通过一些具体案例，全面解析和计算导数的应用，以帮助读者更好地理解和应用导数。
案例一：汽车行驶问题假设一辆汽车以恒定的速度行驶，车速为v(t)（单位：m/s）。
我们需要求出汽车行驶过程中的加速度a(t)。
根据导数的定义，加速度a(t)可以表示为车速v(t)对时间t的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
由此，我们可以通过求车速对时间的导数得到加速度。
在具体计算中，我们可以用一个具体的函数来描述车速v(t)的变化规律。
例如，假设车速v(t) = 2t + 3，其中t为时间（单位：s）。
根据导数的计算规则，这个函数的导数即为加速度。
对v(t)进行求导，有：dv(t)/dt = d(2t + 3)/dt = 2因此，这辆汽车的加速度恒定为2 m/s²。
案例二：曲线的切线问题假设有一条曲线y = f(x)，我们需要求出该曲线在某一点P(x0, y0)处的切线斜率k。
根据导数的定义，斜率k可以表示为曲线y = f(x)在点P处的斜率，即k = dy/dx |x=x0。
其中，dy/dx表示y对x的导数，"|"表示在x=x0的意思。
在实际计算中，我们首先需要确定曲线函数f(x)的具体形式，以及点P(x0, y0)的坐标。
然后，对曲线函数进行求导，并将x的值代入导函数，即可得到切线斜率k的值。
以一个具体的例子来说明。
假设曲线为y = x²，要求在点P(2, 4)处的切线斜率k。
首先，对曲线函数y = x²进行求导，得到导函数dy/dx = 2x。
然后，将点P(2, 4)中的x坐标代入导函数2x，即可得到切线斜率：k = dy/dx |x=2 = 2(2) = 4所以，在曲线y = x²的点P(2, 4)处，切线的斜率为4。
通过以上两个案例，我们可以看到导数在不同数学问题中的应用。
一年级数学案例分析报告范文6篇
一年级数学案例分析报告范文6篇一、案例背景。
在一年级数学教学中，数的认识是重要的基础内容。
我所教班级的学生在学习1 - 10的数字认识过程中，出现了一些有趣的情况。
二、案例描述。
1. 课堂表现。
- 在教授数字“3”的时候，我通过展示3个苹果的图片，让学生们数。
大部分学生能够准确地数出3个，但是有几个学生数到2就停了下来，或者数了4个。
- 当我让学生们用小棒表示数字“5”时，有的学生拿出的小棒数量不对，有的多一根，有的少一根。
2. 作业情况。
- 在课后布置的写数字1 - 5的作业中，很多学生写数字的笔顺不正确。
例如数字“2”，有的学生是从下往上写，而不是正确的从上往下写半圆再写一横。
三、案例分析。
1. 学生认知特点。
- 一年级学生的注意力难以长时间集中，容易被外界干扰。
在数苹果和小棒的时候，可能因为周围同学的动作或者其他物品的吸引而分心，导致数错。
- 他们的空间感知和手部精细动作还在发展阶段。
对于数字的书写笔顺，由于手部肌肉控制不够精准，难以准确按照要求书写。
2. 教学方法。
- 在课堂上，可能展示图片和让学生操作小棒的方式还不够生动有趣，没有充分吸引所有学生的注意力。
- 对于数字书写的教学，可能示范的次数不够多，没有让学生充分观察和理解正确的笔顺。
四、解决方案。
1. 优化教学方法。
- 在数物体数量的时候，可以采用游戏的方式，比如“找朋友”，让数字和相应数量的物体成为朋友。
这样既能增加趣味性，又能让学生集中注意力。
- 对于数字书写，增加示范次数，并且在黑板上用较大的字体、较慢的速度书写，同时让学生在空中跟着比划，然后再在本子上写。
2. 个别辅导。
- 针对那些在课堂上数错和书写笔顺错误较多的学生，在课间或者课后进行个别辅导，帮助他们巩固知识。
五、实施效果。
经过一段时间的改进，在后续学习数字6 - 10的过程中，学生们在数物体数量方面的准确率明显提高，在数字书写上，大部分学生能够按照正确的笔顺书写。
一、案例背景。
数学学习中的实际案例分析与思考
数学学习中的实际案例分析与思考数学作为一门基础科学学科，无论对于学生还是对于整个社会来说，都扮演着至关重要的角色。
在学习数学的过程中，我们不仅要掌握基本的概念和计算方法，更重要的是要学会将数学与实际生活相结合，通过实际案例的分析与思考来加深对数学知识的理解和运用能力。
本文将通过实际案例的分析，探讨数学学习在实际中的应用，并思考如何提升数学学习的效果。
案例一：消费比较与优化在现代社会中，消费是人们日常生活中无可避免的一部分。
作为学生，我们也需要面对诸如购物、饮食、交通等方面的消费问题。
这时，数学知识就能帮助我们进行消费比较与优化的决策。
比如，当我们面临着多个商品选择时，我们可以通过比较不同商品的价格、质量、性能等因素来进行选择。
这就需要我们运用数学知识，例如比较大小、计算比例等，来对不同商品的优劣进行评估并做出选择。
另外，我们还可以通过运用数学知识来优化消费策略。
比如，在购买食材时，我们可以通过计算价格与重量的比值来判断哪种食材具有更好的性价比；在购票时，我们可以通过比较不同交通工具的时间、价格等参数来选择最优出行方案。
通过以上实例可见，数学学习对于我们日常生活中的消费决策是有着实际应用的，并能帮助我们做出更加明智和经济的选择。
案例二：数据统计与分析在信息时代的今天，海量的数据被不断产生和收集，而如何从中找到有价值的信息也成为了一项重要的技能。
数学的数据统计与分析能力正是我们处理数据的有力工具。
以体育比赛为例，当我们观看一场足球比赛时，我们可能会对球员的表现进行评估。
在评估过程中，我们可以利用统计学的理论和方法，从比赛数据中分析球员的进球数、传球数、抢断数等数据，来判断球员的综合表现和能力。
同样的，对于社会问题的研究也需要借助数学的统计与分析工具。
例如，当我们关注社会发展、环境保护等问题时，我们可以通过数据的收集和分析，利用统计学的方法来得出相应的结论和建议。
通过以上案例可以看出，数学学习提供了一种从数据中获得有关实际问题信息的手段，能够帮助我们更好地理解和解决日常生活和社会问题。
一年级数学案例分析报告范文6篇
一年级数学案例分析报告范文6篇1. 数字认知能力的提升数字认知是学前儿童数学教育的重要内容之一。
通过设计一些简单有趣的数学游戏和活动，可以帮助一年级的学生提升数字认知能力。
例如，在一堂课上，教师可以使用彩色的数字卡片让学生从小到大排序，并通过互动的方式让学生发展起对数字的理解和认知能力。
此外，还可以设计一些关于数字的故事，并要求学生听故事后进行数字的排序和添写等操作。
2. 数字运算的初步学习在一年级的学习中，数字运算是一个关键的内容。
通过引导学生进行简单的数字加减法操作，可以帮助他们逐步培养正确的运算意识和运算技巧。
例如，老师可以使用图示工具，如实物模型或计数器等，让学生进行数字的加减法运算练习。
同时，可以设计一些情境问题，要求学生进行简单的加减法解答，并引导他们找到正确的答案。
3. 几何图形的认知与分类几何图形是一年级学生数学学习的重要内容之一。
通过引导学生观察、比较和分类不同的几何图形，可以帮助他们提升对几何图形的认知和分类能力。
例如，老师可以使用图形卡片或实物模型，让学生观察不同的几何图形，并要求他们通过比较和分类的方式将相同形状的图形放在一起。
同时，还可以鼓励学生描述每种图形的特征和属性，培养他们的观察和描述能力。
4. 数据统计与分析数据统计与分析是一年级数学学习中的重要内容。
通过设计一些简单的数据收集活动和统计图表的制作，可以帮助学生初步了解数据的搜集、整理和分析过程。
例如，教师可以设计一个小组活动，要求学生选择自己喜欢的水果，并记录下每个同学选择的水果种类。
然后，教师可以引导学生使用柱状图的形式展示每种水果的选择情况，并让学生进行简单的数据分析。
5. 时间与日历的认知与运用时间和日历是一年级数学学习的重要内容之一。
通过引导学生认识和运用时间和日历的概念，可以帮助他们提升时间观念和日历运用能力。
例如，教师可以设计一些与日常生活相关的问题，要求学生根据提供的时间和日历进行计算和答题。
同时，还可以通过制作日历卡片或时间轴等教具，让学生更直观地理解和应用时间和日历的概念。
高中数学学习中的数学实践案例分析
高中数学学习中的数学实践案例分析数学实践是高中数学学习中不可或缺的一部分。
通过实践活动，学生可以将数学理论知识应用于实际问题中，提高解决问题的能力。
本文将以一些数学实践案例为例，对高中数学学习中的数学实践进行分析和探讨。
1. 实践案例一：测量高楼的高度在某高中实验课中，学生们需要利用三角函数的概念和测量方法，测量一个高楼的高度。
学生们用一根比较长的竖直杆和一个测高仪，同时站在离高楼一定距离的位置上，测量竖直杆的长度和高楼对应的角度。
通过角度和竖直杆的长度，学生们可以利用三角函数的关系计算出高楼的高度。
他们需要运用正弦函数、余弦函数或正切函数，根据已知条件求解未知量。
这个案例让学生们在实践中理解了三角函数的概念和用途，提高了他们的计算能力和解决实际问题的能力。
2. 实践案例二：统计调查与数据分析在数学课堂上，老师指导学生们进行一项统计调查。
学生们选择一个他们感兴趣的话题，比如食品消费习惯、电子产品的普及程度等等，然后设计一个问卷，并在校园内或社区中收集数据。
收集到的数据可能包括人数、性别、年龄、喜好等多个方面。
学生们需要对收集到的数据进行整理和分析，运用统计学的概念和方法进行精确的解读。
他们可以计算平均值、中位数、众数等统计指标，制作图表和统计图形，并根据数据得出一些有意义的结论。
这个案例促使学生们将数学知识应用于实践，提高他们的数据分析和解释能力。
3. 实践案例三：建模与预测在一堂数学建模课上，学生们需要选取一个自己感兴趣的话题，并通过建立数学模型来解决某个实际问题。
比如，学生们可以选择环保主题，通过分析环境污染数据和相关因素，建立一个环境污染的数学模型，并使用模型预测未来的污染情况。
在建立模型的过程中，学生们需要确定问题的数学描述，选择适当的数学方法和理论，并进行模型的验证和调整。
通过这个案例，学生们不仅提高了应用数学建模的能力，还培养了问题解决思维和创新能力。
总结：通过上述案例分析，我们可以看出数学实践在高中数学学习中的重要性。
幼儿园数学认知案例分析 幼儿园数学教育
幼儿园数学认知案例分析一、案例背景1.1 案例描述在某市某幼儿园，有一位名叫小明的幼儿，他对数学的认知能力表现出较高的水平。
在幼儿园的日常活动中，小明总是能够迅速理解老师所教授的数学知识，并且主动与同学们共享自己的数学启发。
在游戏和玩耍时，小明也能够运用数学知识进行思考和解决问题。
而其他幼儿对数学的认知，则相对较为薄弱，需要在教师的引导下才能逐渐掌握数学知识和技能。
1.2 案例意义小明对数学的认知能力表现出色，引发了幼儿园教师和家长的关注。
通过对小明数学认知能力的案例研究，可以更好地探索幼儿园数学教育的有效方式，促进幼儿数学认知水平的全面提升。
也可以为其他幼儿园教师和家长提供指导和借鉴，帮助他们更好地引导幼儿进行数学学习。
二、幼儿园数学教育现状分析2.1 数学教育重要性数学是一门基础学科，对幼儿的认知发展和个人素养有着重要的影响。
通过数学学习，幼儿能够培养逻辑思维能力、空间想象能力、分析解决问题的能力等。
幼儿园数学教育的重要性不言而喻。
2.2 数学教育现状在当前的幼儿园数学教育中，存在着一些问题。
部分幼儿园数学教育内容过于简单，难以激发幼儿的学习兴趣；另一些幼儿园数学教育方法单一，缺乏针对性和趣味性，难以引发幼儿的主动学习动机。
如何改进幼儿园数学教育的内容和方法，提升幼儿的数学认知水平，成为一个亟待解决的问题。
三、小明数学认知能力分析3.1 家庭环境对数学认知的影响在小明成长的家庭中，父母对数学有着浓厚的兴趣和丰富的知识储备。
在日常生活中，小明经常会在父母的引导下接触一些简单的数学问题和游戏，如算术题、拼图游戏等。
父母的积极引导和鼓励对小明的数学认知能力的提升起到了积极的作用。
3.2 幼儿园数学教育对小明的影响在幼儿园的数学教育中，老师采用了多种形式的数学启发活动，如游戏、实验、故事等，为小明提供了一个多样化的数学学习环境。
在这样的环境下，小明不仅能够从中获得数学知识，还能够培养自己的观察、思考和分析能力，提升了自己的数学认知水平。
数学案例分析
数学案例分析
案例：一辆汽车启动，用V表示它的速度，T表示时间，牛顿运动定律告诉我们，汽
车速度V满足表达式：
dV/dT=a
其中a是一个常量，表示每个时刻，汽车的加速度。
由此可以得到，汽车所在时间段（t1,t2）内，汽车的速度变化，符合下面公式：
V=V0+a(t2-t1)
这里V0表示汽车启动时的初始速度。
为了说明更明确，我们来计算一组数字：假设汽车在t1=0秒的时候，它的初始速度
V0=20 km/h，它的加速度a=5 km/h/s。
如果此时，汽车行驶了t2=10秒，假设此时就停止。
那么此时汽车的速度V= V0+a(t2-t1)=20+ 5(10-0)=70 km/h.
从上面案例可以看出，通过数学中的概念，特别是微积分，可以更好的理解汽车的运
动特性，即它的速度计算满足一定的公式。
通过分析物体的运动规律的案例，可以开发出
新的领域，如汽车工程，动力工程等，否则我们就无法分析对汽车运动其它性质的影响，
如转矩，功率等。
另外，物理学也为我们提供了定量分析动态运动物体的参数，以便更好的理解其运动
特性。
在分析汽车运动过程中，我们还要考虑到道路条件，汽车重量，天气，负荷等因素
对汽车运动具有不同程度的影响，而这一切都是物理学中数学方程处理的问题，这也是我
们用数学进行汽车模拟的重要基础。
因此，我们可以看到，数学作为数理智慧，其作用不仅体现在理论研究上，还体现在
各种实际应用，我们可以清楚的看到，没有数学，社会的发展就无从谈起，而数学的运用
又使得其他学科的发展受益良多。
（精确计数）。
数学案例分析
数学案例分析数学是一门抽象而又具体的学科，它贯穿于我们日常生活的方方面面。
在这篇文章中，我们将通过几个实际案例来分析数学在现实中的应用，以期更好地理解数学知识的实际意义。
首先，我们来看一个关于投资的案例。
假设小明有一笔10000元的资金，他打算将这笔钱投资于银行定期存款。
银行给出的利率是3%。
我们可以利用复利公式来计算小明在一定时间内的投资收益。
假设小明选择了5年的定期存款期限，那么最终他将获得多少利息呢？通过复利公式的计算，我们可以得到最终的收益额，从而帮助小明做出更好的投资决策。
其次，我们来看一个关于几何的案例。
假设有一块不规则形状的土地，我们需要计算其面积。
通过数学的几何知识，我们可以利用分割、逼近的方法，将不规则形状的土地分割成多个规则的几何形状，然后计算每个部分的面积，最终将它们相加得到整块土地的面积。
这个案例展示了数学在测量和计算方面的重要性，也让我们意识到数学在实际中的应用价值。
最后，我们来看一个关于概率的案例。
假设有一个抛硬币的游戏，我们需要计算出抛10次硬币出现正面的概率。
通过概率的知识，我们可以利用排列组合的方法，计算出在10次抛硬币中出现正面的各种可能情况，然后将它们相加得到最终的概率。
这个案例展示了数学在预测和分析随机事件中的重要作用，也让我们认识到数学在决策和规划中的实际意义。
通过以上几个案例的分析，我们可以看到数学在现实生活中的广泛应用。
无论是投资决策、土地测量，还是概率分析，数学都扮演着不可或缺的角色。
因此，我们应该更加重视数学知识的学习，并且将其运用到实际中去，从而更好地解决现实生活中的问题。
总之，数学案例分析不仅帮助我们更好地理解数学知识的实际意义，也让我们认识到数学在现实生活中的重要作用。
希望通过这篇文章的阐述，读者们能够对数学有更深入的理解，也能够在实际生活中更好地运用数学知识，从而获得更多的收益和成就。
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已知 a > 0 , b> 0 , c > 0 , 求证 b 2+ c 2+ bc ¹
a + b 2+ ab + a + c + ac .
2 2
直接平方、 化整、 运 算量比 较大 . 很 早就有 一个 更 接近命题人原始意图的几何解 法 . 证明 1 由求证式联想到三 角形两边之 和大于 第 三边 , 再由余弦定理 a 2+ b 2+ ab = a 2 + b2 - 2 ab cos120b, º
这表明 , 几何图形的明 显直观 与代 数运算 的简 洁 显浅存在着内在的对应 . ( 2) 2002 年 6 月 , 我 们在 文 [ 33 ] 中又 运用 差异 分 析法 , 从纯代数的角度分析了证明 2 的另一思路 : 不等 式 ¹ 左右两边最显著的差异莫过 于 , 左 边有字母 b, 右 边没有 , 对 此做 出消 除差 异的 反应 , 取 b = 0 ( 得 出 ¾ 式 ) ; 消除这一差异后还会出现新差异 , 再作出反应 , 第 ¿ 式是消除左右两 边开方 运算形 式上的 差异 , 第 À 式 是消除左右两边中 ac 项系数的差异 . 这个证明 ( 证明 2) 紧紧 抓住 题目 的特 殊结 构 , 更 反映/ 具体问题 具体分 析0 , 其实 , 作为一般性 的代数 翻 译早就有了 ( 见文 [ 5 ] P . 308 例 5- 31) , 那就是在图 15 中 建立 坐标 系 ( 图 17 ) 或用 复 数法 . 证明 3 取复数
2 2
b2+ c 2 + bc ,
a 2 + c 2 + ac 为三边的 三角形( 如图 15) , 使 OA = a, OB = b, OC = c, N A OB = N BOC = N COA = 120b. 在 v A BC 中 , 由两边之和大于第三边 , 有 A B + BC > CA . 即 3. 2 a + b + ab + 数形沟通的反思 这种解法年复一年地 出现在 报刊 上 , 作 为数 形结 合的一个范例 ( 最 近的文章 有文 [ 29] 、 [ 30 ] 、 [ 31 ] ) . 这 是可以理解的 , 它确实体现了由数到形的成功沟通 . 但 是不管多么成功 , 毕 竟这一处 理没有 向我们 再提 供由 形到数的沟通 , 仅仅体现了对数形结合的第 1 种理 解 . 那么 , 再由形到数的 沟通是太 困难还 是我们 没有 认真 思考过呢 ? ( 1) 2002 年 3 月 , 我们 在文 [ 32 ] 中 曾对 此例 努力 体现数形结合的第 2 种 理解 , 其解题 分析的 过程 大致 为 : 首先将证明 1 作整 体分 解 , 概括 为两 大步 骤 , 第 1 步是依题意构造图形 , 确认条件在图形中得以实现 ; 第 2 步是在图形中推理 , 先得出几 何结论、 再翻译为 代数 所求 . 然后从两个步骤中找出最本质的 ( 主要看哪一步 更能产生解题的重大进 展 , 哪 一步更 能反映 题目 的本 质结构 ) . 这是一个回答 起来必 然会有 分歧的 问题 . 我 们出于/ 由形到数0 的考 虑认为 , 第 1 步中揭 示每 个根 号的余弦定理结构 , 基本上是 对已知 条件作 直接 的信 息转换 , 至 于 做出 v A BC 虽然 显 化了 条件 的 几何 结 构 , 但仍未开始推理 , 并且主要是由于第 2 步的需要作 牵引 , 整体上为第 2 步的推理做准备 . 到第 2 步才有更 实质性的进展 , 虽然第 2 步的推理只有一步 , 但这只是 本例的特殊 性 , 换一 道题就 未必是 一步了 ( 当 然 , 步骤 太多会冲淡 几何解 法的 优越性 ) . 因 此 , 我们 认为 第 2 步中/ 两边之和大 于第三边0 的 运用 , 是产生 解题 重大 进展的更实质性步骤 , 也更反映题目的本质结构 . 抓住 / 两边之和 大于 第三 边0 , 再 观察 v A BC , 我们 看 到图
罗增儒
众多作者对同一题目的 不同处理 , 以及 对图 4 、 对
三棱 锥展 开、 对三 棱锥 底面 边长 x 取 值范 围、 对图 9 能否做出等的不同 解释 , 反映了 人的认 识有一 个主 动 的建构过程 , 在这个过程中 , 数学知识、 作图经验、 图形 几何结构的分析水 平等都 发挥了 特别重 要的作 用 , 知 识结构上的差异直 接影响 理解的 水平和 处理的 优劣 . 读者在阅读中也不 难感到 , 文章 提到的 一些认 识偏 差 或行动盲目 , 在 面积 剖 分理 论背 景 的揭 示之 时、 在图 12 直角三 角 形的 等 积变 形 完成 之 后 , 都 顿 时找 到 解 释 . 这 表明 , 知识的掌 握能增 进认知 能力 的提高 , 促 进 理解 .
中学数学教学参考
2003 年第续 )
陕西师范大学数学系
2. 3 数学理解的体验 我们的很多体验已经即时表达在上面的夹叙夹议 中 , 这里 , 仅择其要说三点 . ( 1) 问题本身的理解 . 这里说的主要是知识层面 , 有三点结论 . ¹ 题目的编拟有面积剖分的理论背景 . º 三角形的剖分有多种方法 , 求解/ 有较大的自由 度和思维空间0 . 而求解 的关键 首先是/ 把握 数学 规律 的内在本质0 , 具体说就是对空间图形的几何结构有正 确、 合理、 完整的表征 ; 其次是使用等积变形的方法 , 包 括通过平行 线来保证等 底等高 ( 平 面图形 的剖分 ) 、 全 等形的运动 ( 平面剖分及空间拼接 ) 等 . 据此 , 读者将会 提供更多、 更好的解法 . » 不同剖分方法拼接出的等底三棱锥、 三棱柱 , 其 体积关系不是固定的 , 存在小于、 等于、 大于三种情况 . 现在回过头来看/ 评价报 告0 , 其 每一句 话都 较易 理解了 , 理解水平提 高了 , 随着后 继讨 论的继 续深 入 , 理解还会上层次 . ( 2) 反思有助于理解 . 我们在阅卷时就见过 这道题 , 当 时构题 的新 颖和 学生的得分 ( 得分率不超过 01 2) 给我们 留下了一 些印 象 ; 后来 , 又见到一 些讨论 文章 , 看懂 了作者 在说 些什 么 , 印象加深了 , 这 属于初 步的理 解 . 随着阅 读文 章的 增多 , 出现了一些疑 惑、 产 生了一 些想 法、 查 阅了 一些 书籍 , 终于想写一篇文章 , 于是 , 回过来重新理解题 意 , 再次学习文 章、 进 行解 题 分析 和理 论 思考 , 在 完 成图 12 的证明之后 , 才基本 上定 稿 . 中 间经 历了 探索 过程 产生结论、 而结论又推动新探索过程的螺旋提升 , 也经 历了探索没有产生结论 的无效 过程 , 还经历 了预 期漏 洞没法补上、 预期反例没有找到、 明显矛盾难以解释的 焦急 . 如今写在纸上 的 , 已 经不是 阅卷 时的认 识 , 主要 表现为一种自觉的反思 和理解 的深化 . 我们 在这 个过 程与结论的往复运动中 体会到 , 知识 和证明 都有 助于 理解 . ( 3) 知识结构促进理解 . >
中学数学教学参考 32
b2+ c 2 + bc = a 2 + c 2+ ac = 的启 引 , 想 到 构 造 以
思想#方法#技巧
b2 + c 2 - 2 bc cos120b, a 2 + c 2 - 2 ac cos120b. a 2 + b 2+ ab , » ¼
2003 年第 4 期 中有四个三角形 , 由 º 、 »、 ¼分别提供三个三角形 , 然 后作共顶点拼接组成 v A BC, 除 v A BC 能提供两 边之 和大 于 CA 外 , 还 有 v OA C 也 能 提供 两 边之 和 大 于 CA , 并且其代数表达更 简便 : OA + OC > CA Z a + c > 问题是能否有 A B + BC > OA + OC. 这没有多大困难 , 在 图 15 中擦 去 OB 立即 得 出一 个 基本 图形 ( 图 16) , 初中生都可以 延长 A O 到 BC, 两次使用/ 两边之和大于 第三边0 而 得出证明 . 连上 OB , 也 可以 分别 在 v OA B 与 v OBC 中 , 由大边对大角 , 得 A B > OA Z BC > OC Z 从而有 A B + BC > OA + OC > CA . 达式 ( 由形到数 ) , 则有下面的代数解法 . 证明 2 a 2+ b 2+ ab + > a+ c = > a 2+ c 2+ 2 ac a + c + ac . ( ac > 0)
3
案例 3
数形结合
数与形是初等数 学中被 研究得 最多 的对象 , 数 形 结合是一种极富数 学特征 的信息 转换 , 数学上 总是 既 用数的抽象性质来 说明形 象的事 实 , 又 用图形 的直 观 性质来说明数式的 事实 . 数形结 合是一 个重要 的数 学 思想和一柄双刃的解题利 剑 ( 文 [ 5 ] P. 384) . 作为一 种 解题方法 , 数形结合在解 题实践 中存在 两种水 平的 理 解 , 第 1 种是从几何的角度去看代数问题 , 或者反 过来 从代数的角度去看 几何问 题 ( 前者见 得较多 ) , 但只 要 实现了一个侧面 , 数形结合的工作就完成了 , 这是 一种 信息的单流向沟通 ; 第 2 种理解是双向沟通 , 对同 一问 题既用形的直观性 质来说 明代数 结论 , 又用数 的抽 象 运算来说明几何事实 , 两者齐头并进 . 3. 1 一个经典的证明 例3
在几何上 , A 、 B、 C 三点 显然不 共线 , 而代数 上由 三点共线的条件 3 a a- b 3 ( a + b )# ( + c) = # a 2 2 2 2 Z ab+ bc + ca = 0 Â 知 , 对 a > 0 , b > 0 , c > 0 而言 Â 式不成立 , 故 Á 式不能 取等号 . ( 条件 稍作变 化 , 比如取 b < 0 , Â 式是可 以成 立的 , 见例 4 ) 这个证明虽比证明 2 复杂一些 , 但有一般性 , 它说 明 a > 0 , b > 0, c > 0 对 结论 的成 立是 充 分而 不 必要 的 , 有 Â 式成立就够了 , 并且可以统 一处理下 面的例 4 ~ 例 6 等. 3. 3 数学理解的体验 对于上述数形结合的 处理过 程 , 从数学 理解 的角 度去分析 , 我们有三点看法 . ( 1) 对例 3 的数形结合存在着两种水平的理解 . 第 1 种 是把/ 由数 到形0 理解 为数形 结合 ( 仅 以证 明 1 为例) , 其富有创意 的过程大 致为 : 由结 论出 现的 开方形式联想到距离 ( 从原 有认知 结构中 提取距 离公 式 ) , 由距离反过来对结 论产生/ 三 角形两边 之和 大于 第三边0 的几何认识 ( 由此又产生构造一个三角形的强 力牵引) . 在 众多距离公式中使用哪一个呢 ? 证明 1 由 根号内 代数 式 x 2 + y 2 + xy 的结 构选 择 了余 弦定 理 ( 证明 3 中距离的坐标公式或复数模 , 实质上是选择了 勾股定理 , 文 [ 5 ] P. 305 有这 个代数 式的 10 多种 配方 形式 ) , 据此构成了以三 个已知 距离为 三边的 三角 形 , 在这个三角形中得出两 边之和 大于第 三边 , 再把 边长 还原为距离的代数形式 , 即得结论 . 这个过程可示意为 一个框图 ( 见右上方 ) :