第十一讲 二次函数解析式与实际应用(学生版)
初中复习讲义--二次函数1(学生版)
初中复习讲义--二次函数（学生版）补：1.两条直线平行，21k k =，两条直线垂直，121-=⨯k k2.两点间距离公式;若点),(),,(n m B b a A 则22)()(||b n a m AB -+-=3.点到直线的距离公式：若直线l ：0=++c by ax ，点),(n m A ，则点A 到l 的距离h 为：||22ba c by am h +++=4.两条平行线之间的距离公式：若0:,0:2211=++=++c by ax l c by ax l ，则21,l l 间的距离为：||2221ba c c h +-=5.点在图像上满足函数解析式（重点）一、函数解析式求法问题一般我们根据题设条件来设函数解析式，分别从： 一般式：c bx ax y ++=2顶点式;b h x a y +-=2)(，二次函数的顶点坐标为：),(b h交点式（双根式）：))((21x x x x a y --=，二次函数与x 轴的交点为：)0,(),0,(21x x 对称式：c n x m x y +--=))((，二次函数的对称点为：),(),,(c n c m二、三角形问题研究1.三角形面积。
常采用方法：分割法（这里就有很多种分割方法，具体哪一种比较简单，需要同学们慢慢理解），直接法（点到直线的距离，一般是求三角形的高）例1：（2016•贵阳模拟改编）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）满足交点式，则设函数解析式为：))((21x x x x a y --=，将A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）带入得：4212-+=x x y （2）方法一：分割法：连接OM 则，S=S △AOM +S △OBM ﹣S △AOB 又点M 在二次函数上且横坐标为m ，则)421,(2-+m m m M ，且0<m 21|421|||2⨯-+⨯=∆m m AO S AOM ，21||||⨯⨯=∆m OB S OBM21|0|||⨯⨯=∆B OA S AOB ,带入数据得：4)2(4214421)(421)421(4222+--=--=⨯⨯-⨯-⨯+⨯+--⨯=m m m m m m S所以当2=m 时，S 取的最大值为4。
专题10 二次函数问题(学生版)
备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）专题10 二次函数问题考点扫描☆聚焦中考二次函数问题是中考的重点内容，近几年各地中考题目主要以选择题与解答题的形式考查，也可能在填空题中出现，题目难度中高档；考查内容主要有：二次函数的性质与图象；用待定系数法确定函数解析式；二次函数的最值与平移问题；与方程、不等式、几何知识结合的综合题等；考查热点主要有：二次函数的性质与图象；通过具体问题情境学会用三种方式表示二次函数关系；通过在实际问题中应用二次函数的性质，发展应用二次函数解决实际问题的能力。
考点剖析☆典型例题（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣32023•达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2023•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（）A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度例5（2023•无锡）二次函数y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m≠），有下列结论：①该函数图象过定点（﹣1，2）；②当m＝1时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当1＜m＜时，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，则y1＞y2．其中，正确结论的序号为．2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；（3）求证：b2+4a＝0．2023•辽宁）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x（元）…506070…月销量y（台）…908070…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？2023•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB 交于点D，设点P的横坐标为m．①当时，求m的值；②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．考点过关☆专项突破类型一二次函数的图象与性质1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值4．（2023•衢州）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．B．C．D．m＞25．（2023•大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．26．（2023•扬州）已知二次函数y＝ax2﹣2x+（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②D．③④7．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜08．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为．9．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是．10．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．类型二二次函数的图象与系数的关系1．（2023•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．abc＜0B．2a+b＝0C．4ac＞b2D．点（﹣2，0）在函数图象上2．（2023•雅安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（）①a＞0；②点B的坐标为（6，0）；③c＝3b；④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．A．①②B．②③C．②③④D．③④3．（2023•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C （﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2023•湖北）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，则m≤﹣1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2023•南京）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a为常数，a≠0）．（1）若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．（2）若a＝﹣1，求证：当﹣1＜x＜0时，y＞0．（3）若该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，则a的取值范围是a＞3或a＜﹣1．类型三二次函数的图象变换1．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022D．y＝﹣x2+x+1 2．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4 3．（2020•衢州）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位4．（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x 轴对称，则m，n的值为（）A．m＝﹣6，n＝﹣3B．m＝﹣6，n＝3C．m＝6，n＝﹣3D．m＝6，n＝3 5．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是．6．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是．7．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．类型四二次函数的图象与x轴的交点1．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝．2．（2023•甘孜州）下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（）A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与x轴没有交点C．当x＜2时，y随x增大而增大D．图象的顶点坐标是（2，﹣3）3．（2023•陕西）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣3035…y…16﹣5﹣80…则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（）A．图象的顶点在第一象限B．有最小值﹣8C．图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）D．图象开口向下4．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x 的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x25．（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为．6．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．类型五二次函数的实际应用1．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝m．2．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为．3．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．34．（2023•德州）某商场购进了A，B两种商品，若销售10件A商品和20件B商品，则可获利280元；若销售20件A商品和30件B商品，则可获利480元．（1）求A，B两种商品每件的利润；（2）已知A商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A商品，市场调查反映：如调整A 商品价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A商品的利润最大？最大利润是多少？5．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200☆x☆700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．（1）当x＝m2时，y＝35元/m2；（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？类型六二次函数的综合1．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．（1）抛物线的解析式为；（直接写出结果）（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．2．（2023•西宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x＝1．（1）求直线l的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线1于点D，过点P作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．3．（2023•赤峰）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点“的是；（2）点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是，直线GH的解析式是y2＝，y1＞y2时，x的取值范围是；（3）如图②，已知点A，B是抛物线y＝﹣x2+x+上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．4．（2023•新疆）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D．①求点C的坐标；②求直线AC的解析式；【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出点M的横坐标．。
二次函数解析式的求法教案(学生版)
如图，矩形DEGF的四个顶点在正三角形ABC的边上。已知△ABC的边长为2，
记矩形DEGF的面积为S边长EF为x求： (1)S关于x的函数解析式和自变量x的取值范围 （2）当x=1.5时，S的值 （3）当时，x的值
5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是
例： 已知二次函数
，求满足下列条件的二次函数的解析
式：
（1）图象关于 轴对称；（2）图象关于 轴对称；（3）图象关于经过
其顶点且平行于 轴的直线对称．
二次函数的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是．
若二次函数的图象的对称轴是直线x=1.5，并且图象过A（0，-4）和B（4，0） （1）求此二次函数的解析式； （2）求此二次函数图象关于点A对称的解析式
二次函数解析式求法
1.定义型：
此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x的最高次数为2次．
例1、若 y =( m2+ m )xm2 – 2m -1是二次函数，则m = ．
2.三种形式
1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 4 交点距离式 .（ 为其中一个与 轴相交的交点的横坐标， 为两交 点之间的距离．）
例： 二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、 （－1，－8）两点，求此二次函数的解析式．
变式： 已知二次函y=ax +bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X轴上截得 的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
3识图型
例1、已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。（运用三种设法） 变式： 如图1， 抛物线与其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N 两点。
专题09 二次函数的图象与性质(6大考点)(学生版)
第三部分函数专题09二次函数的图象与性质（6大考点）核心考点核心考点一二次函数的图象与性质核心考点二与二次函数图象有关的判断核心考点三与系数a、b、c有关的判断核心考点四二次函数与一元二次方程的关系核心考点五二次函数图象与性质综合应用核心考点六二次函数图象的变换新题速递核心考点一二次函数的图象与性质（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m>2B．32m>C．1m<D．322m<<（2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数2(1)y a x=-，当0x>时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a>B．1a>C．1a≠D．1a<（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数2=23y x x--的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．知识点：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A 、P ，如果将线段P A 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PB ，就称点B 是点A 关于点P 的“放垂点”．如图2，已知点()4,0A ，点P 是y 轴上一点，点B 是点A 关于点P 的“放垂点”，连接AB 、OB ，则OB 的最小值是______．【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是__________．【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线2(0,0)y ax k a k =+><与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且14PC OC =．过点P 作DE AB ∥，分别交抛物线于D ，E 两点(点E 在点D 的右侧)，连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(用含a ，k 的式子表示)(2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若90ODC ∠=︒，4k =-，求a 的值．核心考点二与二次函数图象有关的判断（2021·广西河池·统考中考真题）点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（）A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，2331y x x =-++，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点()0,1C ；②抛物线3y 的对称轴可由抛物线1y 的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★知识点、直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…1-01234…2y ax bx c =++…8301-03…则这个函数图像的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()12-，C ．()1,8-D ．()4,3【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()212y x =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图，则1a ，2a ，3a 的大小关系为______.（用“>”连接）【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是______．【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线242y ax ax =-+．(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y 轴的交点坐标为_______；(2)若当x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为6-，求此时y 的最大值．核心考点三与系数a、b、c 有关的判断（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x -，有以下结论：①<0abc ；②若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；③当图象经过点(1,3)时，方程230ax bx c ++-=的两根为1x ，2x （12x x <），则1230x x +=，其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；②若点11,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；③10b -3c =0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．①4a +b ＝0；②5a +3b +2c ＞0；③若该抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣3有交点，则a 的取值范围是a 34≥；④对于a 的每一个确定值，如果一元二次方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0（t 为常数，t ≤0）的根为整数，则t 的值只有3个．知识点、二次函数图象的特征与a，b，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,h x =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。
二次函数实际应用说课稿
26.3实际问题与二次函数说课案一、教材分析（一）教材的的地位和作用《二次函数的应用》是人教版26.3实际问题与二次函数的第三课时，是在学生已学过二次函数的图象和性质基础上，进一步研究应用二次函数性质解决生活，生产实际问题，这里的二次函数进一步作理性分析，所以是对本章前面所学知识巩固和应用。
掌握本节内容，不仅有利于培养学生数学建模能力，以及应用模型去解决实际问题的能力，更有利于增强学生“用数学”的意识。
（二）教学目标：根据教学大纲和学生的实际情况，确立本节课的目标如下：一、教学目标：1．知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。
2．过程与方法经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。
3．情感态度与价值观体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
二、教学重点难点：1．重点通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。
2．难点利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
三、教学设计思路本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。
教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。
通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。
教学过程：(一)创设情境导入新课小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。
水面下降1 m时，水面宽度增加多少?(二)探究：①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。
怎么建立坐标系呢？②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。
数学人教版九年级上册二次函数的实际应用专题复习教案
二次函数的实际应用专题复习教案盛康中心学校司念钦学习目标：1、能够正确根据题意确定二次函数关系式，运用二次函数性质解决实际问题.2、通过利用递进式问题串，让学生经历不同题型的分析解决过程，进一步培养学生分析解决问题的能力.3、通过把实际问题转化为数学问题的过程，形成初步的数学建模思想.教学重点：让学生掌握把生活信息转化为数学问题的方法，正确建立二次函数关系式，并用二次函数的性质解决实际问题.教学难点：培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并运用数学知识加以解决，最后再回到实际问题的能力.教学过程：一、创设情境请同学们欣赏图片，进而发现生活中的抛物线，欣赏图片想象导弹发射出去的运行轨迹，跟学生聊聊中韩关系激发学习热情引入新课。
二、诊断练习归纳方法1，一种卡车的刹车距离y（m）与滑行时间x（s）之间函数关系式是y=﹣x2+10x 该型卡车采取刹车后滑行_____m才能停下来，此时卡车滑行时间为______秒.引导分析：整理二次函数有关的性质.把y=﹣x2+10x化为y=a(x-h)2+ k形式为__________，开口______，顶点______，对称轴______，当x =___时y有最___值____；当x ___时y随x _______，当x ___时y随x _______.2，一种信号枪从地面垂直向上发出一枚信号弹，信号弹的高度h(米)与它运动时间t（秒）的函数关系式是h=-5t2+10t+55,那么信号弹运动中的最大高度为（）米。
.反思归纳：求刹车距离及信号弹最大高度就是求___________,先把二次函数一般式化为______________式，再根据________________解决实际问题.3，为了丰富野战官兵的业余生活，野战军某部在临时场地装备篮球投篮篮筐，篮筐P距离地面x轴为3m，以篮筐P所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，篮球投出后呈抛物线y= -x2+bx+c先向上至最高点然后落下，士兵投球位置为B（球出手高度忽略不计），则最高点距地面_____m，此时距离y轴为_____m。
运用平移、对称、旋转求二次函数解析式-学生版
运用平移、对称、旋转求二次函数解析式
一、运用平移求解析式
1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式．
2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值．
3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，
，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式．
二、运用对称求解析式
4．将抛物线()214y x =--沿直线32x =
翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式．
5．如图，已知抛物线1C ：2216833
y x x =
++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式．
三、运用旋转求解析式
6．将抛物线221
=-+的图象绕它的顶点A旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
y x x。
二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)
例1.1.3若 是二次函数，则 的值是__________．
例1.1.4二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b的值为（ ）
A．-3
B．-1
C．2
D．5
随练1.1已知函数① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，其中二次函数的个数为（）
随练1.2已知函数 ，当 _________时，它是二次函数．
4.已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．
一．考点：二次函数解析式的求法．
二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
随练5.1已知一个二次函数过 ， ， 三点，求二次函数的解析式．
随练5.2将二次函数 化为 的形式，结果为（）
A．
B．
C．
D．
随练5.3已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．
随练5.4已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____．
2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点．
一．考点： 的图象和性质．
二．重难点： 的图象和性质，参数对图像的影响．
三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．
题模一：y=a^2+bx+c的图象和性质
例4.1.1已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）
专题11 二次函数与图形几何综合(6大考点)(学生版)
第三部分函数专题11二次函数与图形几何综合（6大考点）核心考点核心考点一线段问题核心考点二面积问题核心考点三角度问题核心考点四特殊三角形判定问题核心考点五特殊四边形判定问题核心考点六相似三角形判定问题新题速递核心考点一线段问题（2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()0,2，点B的坐标为()4,2．若抛物线23()2y x h k=--+（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且12CD AB=，则k的值为_________．（2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2-，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．1.确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：①先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；②再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；③继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）．2.线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）．3.线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对称性质”，最常见的有以下模型：（1）定直线与两定点①同侧和最小值问题②同侧差最小值问题③同侧差最大值问题④异侧差最大值问题（2）角与定点①一定点与两条直线上两动点问题②两定点与两条直线上两动点问题【变式1】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，二次函数图象经过()20A ，，()00O ，且有最小值1-，若A 点关于y 轴的对称点为B 点，过B 作y 轴平行线交抛物线于点C ，在Rt ABC △的斜边AC 上有一动点D ，过D 作DE BC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，则EF 的最小值为（）ABC．D．【变式2】（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y ＝a 1x 2（a 1≠0）与抛物线C 2：y ＝a 2x 2+bx （a 2≠0）的交点P 在第三象限，过点P 作x 轴的平行线，与物线C 1，C 2分别交于点M ，N ．若PM PN ＝2n ，则12a a 的值是（）A ．2n B ．n ﹣1C ．n D ．11n -【变式3】（2022·山东聊城·统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线2y x =-平移得到抛物线C ，如图所示，且抛物线C 经过点()1,0A -和()0,3B ，点P 是抛物线C 上第一象限内一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则OQ PQ +的最大值为______．【变式4】（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，AE 为∠BAD 的角平分线，F 为AE 上一动点，M 为DF 的中点，连接BM ，则BM 的最小值是_____．核心考点二面积问题（2021·山东淄博·统考中考真题）已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m === ，则m 的值是（）A ．1B ．32C ．2D ．4（2021·浙江·统考中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()1,0A 和()3,0B ，点()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线上不同于,A B 的两个点，记1P AB △的面积为12,S P AB 的面积为2S ．有下列结论：①当122x x >+时，12S S >；②当122x x <-时，12S S <；③当12221x x ->->时，12S S >；④当12221x x ->+>时，12S S <．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4中考数学，最后的三道压轴题，一般都会有一题考察二次函数动点。
二次函数辅导讲义（学生版）
⼆次函数辅导讲义（学⽣版）⼆次函数辅导讲义⼀、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为⼆次函数．2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax2 (a≠0）；当a＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。
⑵⼆次函数，顶点为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开⼝向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增⼤⽽增⼤，x＜－，y随x的增⼤⽽减⼩；当a＜0时，抛物线开⼝向下，图象有最⾼点，且x＞－，y随x的增⼤⽽减⼩，x＜－，y随x的增⼤⽽增⼤．解题⼩诀窍：⼆次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。
3．图象的平移：⼆次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。
平移的简记⼝诀是“上加下减，左加右减”。
⼀、经典考题剖析：【考题1】在平⾯直⾓坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后⼆次函数的关系式是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．⼆次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A． B. C. D.4．已知⼆次函数(a≠0）与⼀次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所⽰，能使y1＞y2成⽴的x取值范围是_______5．已知直线y=x 与⼆次函数y=ax 2 －2x －1的图象的⼀个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）A 、2B 、1C 、3D 、 46．已知反⽐例函数y= x k 的图象在每个象限内y 随x 的增⼤⽽增⼤，则⼆次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象⼤致为图1－2－3中的（）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发⽣变化．例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即③④。
专题03 二次函数的应用(学生版)
二次函数的应用一、填空题1. （2022新疆兵团中考） 如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．2．（2022聊城中考）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的关系如图所示，当10≤x ≤20时，其图象是线段AB ，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．3. （2022广安中考） 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．4.. （2022连云港中考）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．16m 2m 20.2 2.25y x x =-++3.05m OH m5. （2022武威中考）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m ）与飞行时间（单位：s ）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s ．6. （2022成都中考）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．7．（2022南充中考）（4分）如图，水池中心点O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m 时，水柱落点距O 点2.5m ；喷头高时，水柱落点距O 点3m ．那么喷头高 m 时，水柱落点距O 点4m ．二、解答题1 .（2022威海中考）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m ，木栅栏长47m ，在与墙垂直的一边留出1m 宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．h t 2520h t t =-+t =h t 25h t mt n =-++w t h t h 01t ≤≤w 23t ≤≤w2 .（2022无锡中考）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m ，设较小矩形的宽为xm （如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x 的值；（2）当x 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？3. （2022湘潭中考）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？2m 12m 21m 1m AE 232m CG DGBC4. （2022兰州中考） 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m ，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．5m 35. （2022武汉中考）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．运动时间01234运动速度109.598.58运动距离09.751927.7536A 70cm v cm/s y cm t s v t y t v t y t 64cm 2cm/s /st /cm/sv /cm y0.7m ，水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高，最高点距地面3.2m ；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x （m ）是水柱距喷水头的水平距离，y （m ）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P 水平距离3m ，身高1.6m 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．()2y a x h k =-+6. （2022河南中考） 红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P 距地面是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为 ；（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．K K OA 66m K 75m h (m h A ()y m ()x m 2(0)y ax bx c a =++≠c K 150a =-910b =K h 150a =-Kb 25m 76m K 7．（2022江西中考）（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x （元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表：②该蔬菜供给量（吨）关于售价x （元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1．③1 ~ 7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t 的函数表达式分别为，，函数图象见图2．请解答下列问题：（1）求a ，c 的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．售价x （元/千克）… 2.53 3.54…需求量（吨）…7.757.2 6.55 5.8…1y 21y ax c =+2y 21y x =-1x 2x 11=22x t +2213342x t t =-+1y 8. （2022金华中考）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m ）与水平距离（单位：m ）近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．水平距离x/m02581114竖直高度y/m 20.0021.4022.7523.2022.7521.40y x 2()(0)y a x h k a =-+<x y 2()(0);y a x h k a =-+<20.04(9)23.24.y x =--+2d 1d 2d 9.（2022北京中考） 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．20m 5m 1.8m 40cm 1m 1.6m 10．（2022温州中考）（12分）根据以下素材，探索完成任务．标原点，以所在直线为x 轴，以过点O 垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P 到的距离为．（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A 、B 处分别安装照明灯．已知点A 、B 到的距离均为，求点A 、B 的坐标．12．（2022江西中考）（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为 ；（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．OE10m OE =OE 9m OE 6m K K OA 66m K 75m h (m h A ()y m ()x m 2(0)y ax bx c a =++≠c K 150a =-910b =K h 150a =-Kb 25m 76m K 11. （2022陕西中考）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O 为坐OE一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN 与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段，，，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED 上．设点横坐标为，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．的1P 4P 1234PP P P 12PP 23P P 34P P 2P 3P 1P ()06m m <≤1234PP P P 1P 1P 4P 13. （2022安徽中考）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________；（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；（5）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．4m AD =1m =AB ABCD ABNM 12m EFGH ABCD AD DM ()()m 0x x >()21my 1y x ()140y x x =+>EF ()()m 06x x <<()22m y 2y x ()22606y x x x =-+<<EF EF 2m ()m x ()m x 14x <<x ABCD AD ()m b ()23m y ()()m 0x x >()30y x b x =+>()m x b 14. （2022赤峰中考）【生活情境】项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD 所在水平线为x 轴，过起跳点A 与x 轴垂直的直线为y 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC 的坡角为30°，OA ＝65m ，某运动员在A 处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B 处着陆，AB ＝100m ．在空中飞行过程中，运动员到x 轴的距离y （m ）与水平方向移动的距离x （m ）具备二次函数关系，其解析式为y ＝﹣x 2+bx+c ．（1）求b ，c 的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x （m ）与飞行时间t （s ）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t ＝0，x ＝0；空中飞行5s 后着陆．①求x 关于t 的函数解析式；②当t 为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？15．（2022临沂中考）（12分）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．（1）若，；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．h m DEFG 3m DE =EF A 2m 0.5m l OD d m 1.5h =0.5m EF =OC x B d 1m EF =h 16. （2022台州中考）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地l H水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=(m>0) ，y=−0.1x 2+ax+c 中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？m x (0)m y m x=>17. （2022潍坊中考）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x （，且x 为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y 关于x 的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大产量？最大产量为多少千克？19. （2022广元中考）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？的28x ≤≤18. （2022宁波中考）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平20. （2022青岛中考）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？21. （2022滨州中考）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．（1）求y关于x的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．共需156元，购进A 款纪念册3本和B 款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A 款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B 款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B 款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：（1）求A ，B 两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本A 款纪念册的利润，同时提高每本B 款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A 款纪念册每本降价m 元．①直接写出B 款纪念册每天的销售量（用含m 的代数式表示）；②当A 款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润多少？23.（2022盘锦中考）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w 元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？是售价（元/本）…22232425…每天销售量（本）…80787674…22.（2022营口中考）某文具店最近有A ，B 两款纪念册比较畅销，该店购进A 款纪念册5本和B 款纪念册4本18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？25．（2022葫芦岛中考）（12分）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y （千克）与每千克售价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？每千克售价x （元）……202224……日销售量y （千克）……666054……24.（2022抚顺中考） 某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于26. （2022铜仁中考）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？27．（2022天门中考）（10分）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y （千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．销售单价x（元/千克）…2022.52537.540…销售量y（千克）…3027.52512.510…28. （2022荆州中考）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝24－x ，第一年除60万元外其他成本为8元/件．（1）求该产品第一年的利润w （万元）与售价x 之间的函数关系式；（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？29. （2022十堰中考）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量（件）与销售时间（天）之间的关系式是 ，销售单价（元/件）与销售时间（天）之间的函数关系如图所示．（1）第15天的日销售量为_________件；（2）当时，求日销售额的最大值；（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？y x 203062403040x x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩，，p x 030x <≤30. （2022随州中考） 2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会古祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面，某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空．该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m 个（m 为正整数）经过连续15天的销售统计，得到第x 天（，且x 为正整数）的供应量（单位：个）和需求量（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量与x 满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第x 天12…6…11…15供应量（个）150…......需求量（个）220229...245...220 (164)（1）直接写出与x 和与x 的函数关系式；（不要求写出x 的取值范围）（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m 的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）（3）在第（2）问m 取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．115x ≤≤1y 2y 2y 1y 150m +1505m +15010m +15014m +2y 1y 2y31.（2022黄冈中考）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x （m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．32.（2022大庆中考）果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．（1）图中点P所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________；（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？75kg40kg0x kgykg(kg)w。
中考复习函数专题25 利用二次函数解决实际问题(学生版)
专题25 利用二次函数解决实际问题知识对接考点一、怎样解二次函数的最值在实际问题中的应用问题 二次函数的最值在现实生活中应用广泛，通常是先列出二次函数关系式，然后利用ab ac y 442-=最值或将二次函数的解析式化成项点式进行求解. 考点二、怎样解生活中的“抛物线型”问题抛物线是人们最为熟悉的曲线之一，诸如抛出球的运动路线、抛物线型大门、抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型栏杆等，都: 是抛物线型. 解此类问题，主要是建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质解决相关问题.一、单选题1．如图，小明以抛物线y =x 2-2x +4为灵感设计了一款杯子，若AB =4，DE =2，则杯子的高CE 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）的关系大致如下：S 甲21110010x =+，S 乙21120020x x =+．由此可以推测（ ） A ．甲车超速B ．乙车超速C ．两车都超速D ．两车都未超速3．如图，平面图形ABD 由直角边长为1的等腰直角AOD △和扇形BOD 组成，点P 在线段AB 上，PQ AB ⊥，且PQ 交AD 或交DB 于点Q ．设()02AP x x =<<，图中阴影部分表示的平面图形APQ （或APQD ）的面积为y ，则函数y 关于x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h （米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为21(4)2h t m =--+，若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围（ ）A ．08a ≤≤B ．18a ≤≤C ．09a ≤<D ．19a ≤< 5．设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的母线长为l ，满足2r +l ＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）A ．有最大值94πB ．有最小值94πC ．有最大值92πD ．有最小值92π 6．如图，ABC 是等边三角形，6cm AB ＝，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，同时点N 从点C 出发沿射线CA 方向以2cm/s 的速度匀速运动，当点M 停止运动时，点N 也随之停止．过点M 作//MP CA 交AB 于点P ，连接MN ，NP ，作MNP △关于直线MP 对称的MN P '，设运动时间为ts ，MN P '与BMP 重叠部分的面积为2cm S ，则能表示S 与t 之间函数关系的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．用一段长为20m 的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为x m ，面积为y m 2，则y 与x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图1，正方形ABCD 的边长和等腰直角FGH 的边AD 与FG 重合，边AB 与FH 在一条直线上，FGH 以1cm/s 的速度向右移动，直到点H 与点B 重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为S （2cm ），图2所示的是FGH 向右移动时，面积S （2cm ）与随时间t （s ）的变化的关系图象，则a 的值是（ ）A ．16B ．8C ．2D ．49．设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2y x 上的两个动点，且OA OB ⊥．连接点A 、B ，过O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（ ）A ．12B ．2CD ．110．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）A．4，-1B-1C．4，0D，-1二、填空题11．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．12．如图，用一段长为10米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为______．（不要求写出自变量x的取值范围）13．二次函数22=-++（m，n是常数）的图象与x轴的两个交点及顶点构成直角三y x mx nk≥），图象与x轴的两个交点及顶点恰好构角形，若将这条抛物线向上平移k个单位后（0成等边三角形，则k的值为________．14．某抛物线型拱桥的示意图如图，桥长AB＝48 米，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12 米，在该抛物线上的点E、F处要安装两盏警示灯（点E、F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9米，则这两盏灯的水平距离EF是___米．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．三、解答题16．已知抛物线y ＝ax 2＋bx 过点A （4，0）和B （－12，－94）． （1）求抛物线的解析式；（2） C 、D 为第一象限抛物线上的两点，CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，直线BC 、BD 交y 轴于M 、N ．求证：ME ⊥NF ；（3）将抛物线向左平移3个单位，新的抛物线交y 轴于Q ，直线y ＝kx （k ＜0）交新抛物线于G 、H ．当⊥GQH ＝90°时，求k 的值．17．如图1，已知直线6y kx =+，交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且:4:3OA OB =．（1）求直线AB 的解析式；（2）如图2，动点C 以1个单位/秒的速度从点O 出发沿OA 向A 运动，动点D 以2个单位/秒的速度从点A 出发沿AB 向B 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设运动的时间为t ，ACD ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当S 取最大值时，将ACD ∆向右平移得到EFG ∆，FG 交AB 于点H ，若EFG ∆的面积被直线AB 分成1:2两部分，求线段HF 的长度．18．某矩形工艺品长60cm ，宽40cm ，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．。
人教版九年级数学教案：22.3二次函数的实际应用
-难点举例：在分析二次函数图像的开口方向、顶点位置等性质时，学生可能会难以将这些性质与实际问题中的条件相对应。
-解析式的求解与变换难点：如何正确求解二次函数的解析式，并在需要时进行恰当的变换。
-难点举例：在变换二次函数图像时，学生可能会对变换规则记忆不清，导致解析式变换错误。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数图像的性质和二次函数模型的建立这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次函数在实际问题中的应用。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，采用适当的教学方法，如直观演示、案例分析、小组讨论等，帮助学生深入理解核心知识，并突破学习难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数的实际应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算最大高度或最远距离的情况？”（如抛物线运动的球类）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数在实际问题中的奥秘。
此外，在学生小组讨论时，我发现有些学生在分析问题时思维不够开阔，容易陷入定势。为了帮助他们拓展思维，我尝试提出一些开放性的问题进行引导。从成果分享来看，这种方法还是有一定效果的。今后，我将继续在这方面进行尝试和探索，以期提高学生们的创新思维能力。
然而，我也发现，在课堂时间安排上，实践活动和小组讨论的环节相对紧张，有些学生可能没有足够的时间进行深入思考和交流。为了更好地让学生们消化吸收所学知识，我考虑在下一节课适当调整教学进度，确保每个人都有充足的时间参与讨论和实践。
运用顶点坐标与对称轴求二次函数解析式-学生版
运用顶点坐标与对称轴求二次函数解析式
一、已知对称轴或顶点坐标
1．抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()20，，点C 的坐标为
()03，，它的对称轴是直线12
x =-，求抛物线的解析式．
2．已知抛物线()2
21y a x =+-与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左边），且2AB =，求解析式．
3．在平面直角坐标系中，顶点为()34，的抛物线交y 轴于A 点，与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为()05-，，求此抛物线的解析式．
4．抛物线22y x x m =-++的顶点在直线3y x =+上，求抛物线的解析式．
二、隐藏对称轴或顶点坐标
5．已知二次函数的图象与x 轴交于()20A -，，()30B ，，且函数有最大值2，求二次函数的解析式．
6．二次函数24y ax ax c =++的最大值为4，且图象过点()30-，，求二次函数的解析式．。
《二次函数》专题二(学生版)
《二次函数》专题2019年（）月（）日班级：姓名只求“少丢分”，不说“得高分”！一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”．1．若二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 关于y 轴对称，且过点(0,3)，则函数的解析式为( )A ．y ＝2x 2＋x ＋3B ．y ＝2x 2＋3C ．y ＝2x 2＋x －3D ．y ＝2x 2－32．若函数y ＝x 2－2tx ＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[－1，＋∞)3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 4．函数y ＝－x 2＋4x －2在区间[1,4]上的最小值为________．5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1，2a ]，则y ＝f (x )的值域为________．考法(一) 二次函数图象的识别[典例] 若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )考法(二) 二次函数的单调性与最值问题[典例] (1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为______． (2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．1．二次函数最值问题的类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．(3)求二次函数最值口诀如下：弃y 轴，十字图，对应横轴对称轴； 函数草图随意作，开口方向莫疏忽； 区间与轴描分布，高低位置最值处； 二次函数含参数，逻辑分类谁做主； 动兮定兮对称轴，看作静止参照物．考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题[典例] (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min . 1．(2019·杭州模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( )A.54 B ．1或54C ．－1或54D ．－5或542．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 3．已知函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( )A ．2,4B ．－2,4C ．2，－4D ．－2，－42．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－23．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝05．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．8．(2018·浙江名校协作体考试)y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．11．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.3．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1.4．求函数y ＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值．解：函数y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2的图象的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－2)，函数图象如图所示，对t 进行讨论如下：(1)当对称轴在闭区间右边，即当t ＋1<1，即t <0时，函数在区间[t ，t ＋1]上单调递减，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －1.(2)当对称轴在闭区间内时，0≤t ≤1，有两种情况：①当t ＋1－1≤1－t ，即0≤t ≤12时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －1； ②当t ＋1－1>1－t ，即12<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)－1＝t 2－2.(3)当对称轴在闭区间左侧，即当t >1时，函数在区间[t ，t ＋1]上单调递增， f (x )max ＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)－1＝t 2－2.综上所述，t ≤12时，所求最大值为t 2－2t －1；t >12时，所求最大值为t 2－2.。
1、二次函数的图像和性质(学生版)
二次函数1【知识框架】⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧、增减性、图像的共存、对称和旋转、对称性、平移、参数判断、解析式、对称轴和顶点坐标图像和性质定义二次函数87654321 【入门测】1、关于抛物线122+-=x x y ，下列说法错误的是（)A 、开口向上B 、与x 轴有两个重合的交点C 、对称轴是直线x =1D 、当x >1时，y 随x 的增大而减小2、已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ＜0)过A （﹣2，0)、B （0，0)、C （﹣3，y 1)、D （3，y 2)四点，则y 1与y 2的大小关系是（ ) A 、y 1＞y 2B 、y 1=y 2C 、y 1＜y 2D 、不能确定3、当_________时，函数是二次函数，其函数关系式是____，图象的对称轴是_________．4、已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当y <0时，自变量x 的取值范围是（ )A 、x <0B 、-1<x <1或x >2C 、x >-1D 、x <-1或1<x <2m =22(3)3m m y mx m x -+=+-+二次函数的定义【笔记】 【例1】下列函数：)8(x x y -=，2211x y -=，42-=x y ，xx y 62-=，其实以x 为自变量的二次函数有（ ) A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【例2】当m =______时，函数()()334-y 422+-+=--x m x m m m 是关于y 与的二次函数，其解析式是__________________．【过关检测】（☆)1、下列函数不属二次函数的是（ ) A 、 B 、C 、D 、231x y -=2、若()1211+--=+x x a y a 是关于与的二次函数，则= .一、二次函数的图象与性质（一）对称轴和顶点坐标 【笔记】【例1】抛物线223y x x =++的顶点坐标是_____________.【例2】将二次函数1322-+=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式是____________.【过关检测】1、求二次函数)2)(1(21+-=x x y 的对称轴是_______；顶点坐标是________. 2、将二次函数322+-=x x y 化为的形式，则=+k h ____.（二）二次函数的解析式 【笔记】1、一般式：2、顶点式：【例1】已知二次函数的图象经过点、)2,0(、，求二次函数的解析式。
二次函数实际问题及应用教案(横版)
教学过程一、复习预习1、抛物线与x轴的交点：（1）抛物线y= ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）在形式上有区别也有联系；（2）令抛物线y=0时，二次函数就变为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）；反过来，令一元二次方程0=y时，一元二次方程就变为二次函数y= ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）；（3）二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数与x轴交点的横坐标。
2、图像法求一元二次方程的近似根：（1）作出二次函数的图像；（2）观察二次函数图像与x轴的交点在哪些点之间；（3）取适当的值进行试解，求方程的近似根。
3、抛物线与不等式（组）的关系：（1）当抛物线的函数值大于或小于零时，即对应着一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）；（2）当ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）时，即对应着抛物线的函数值大于或小于零；（3）求解一个一元二次不等式的解集可以先画出对应的抛物线的图像，然后在图像上选取大于或小于零的部分，再对应到自变量x的取值范围就可以求出不等式的解集；（4）当ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）时，对应二次函数的图像在x轴上方或x轴下方。
4、抛物线与直线的交点:(1)若抛物线与直线有一个交点，则联立二次函数和直线关于自变量x的方程，即：ax2+bx+c=kx+b，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+(b-k)x-b=0的解，且判别式△=0；(2)若抛物线与直线有两个交点，则联立二次函数和直线关于自变量x的方程，即：ax2+bx+c=kx+b，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+(b-k)x-b=0的解，且判别式△>0；(3)若抛物线与直线没有交点，则联立二次函数和直线关于自变量x的方程，即：ax2+bx+c=kx+b，此时一元二次方程ax2+(b-k)x-b=0无解，且判别式△<0；二、知识讲解考点/易错点1根据实际问题列二次函数关系式：1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
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果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？
例题11
(1) 一辆宽 米的货车要通过跨度为 米，拱高为 米的单行抛物线隧道（从正中通过），为保 证安全，车顶左右两侧离隧道的垂直距离至少要 米，求货车的限高为多少？
．
飞机着陆后滑行多远才能停下来？
巩固4
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 与投资量 成正 比例关系，如图 所示；种植花卉的利润 与投资量 成二次函数关系，如图 所示（注：利润与投
资量的单位：万元），则：
图
图
(1) 分别求出利润 与 关于投资量 的函数关系式．
(2) 如果这位专业户以 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最
），当月销量为
（件）时，每月还需缴纳
元的附加费，设月利润为 外 （元）．
(1) 当
时，
元/件， 内
元．
(2) 分别求出 内 、 外 与 的函数关系式（不必写出 的取值范围）．
(3) 当 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月
利润的最大值相同，求 的值．
巩固6
某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手点 离地面高 ，与篮圈 中心点 的水平距离为 ，当球出手后水平距离为 时到达最高点 ，已知 离地面的高度为
，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距离地面 ． (1) 建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
4m 3m
4m
3m
(2) 此时，若对方队员乙在甲前面 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 否获得成功？
，那么乙能
巩固7
如图，小明的父亲在相距 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地
(1) 假设每台冰箱降价 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 元，请写出 与 之间的函数表达 式．（不要求写自变量的取值范围）
(2) 每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
例题10
某宾馆有客房 间，当每间客房的定价为每天 元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价 每涨 元时，就会有 间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出 元的各种费 用．
的直线
与抛物线的另一个交点为
，求抛物线的解析式．
二、实际应用问题
例题6
从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 （米）与小球运动时间 （秒）的函数关系式是
，那么小球运动中的最大高度为
米．
例题7
如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 处弹跳到人梯顶端椅子 处，其身体(看成一点)
的路线是抛物线
的一部分．
方距地面高都是 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 米的小明距较近的那棵树 米时，头部
刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为
米．
米
米
米
米
(2) 若将⑴中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，求货车的限高应是多 少？
三、复习巩固
巩固1
已知一个二次函数过
、
、
三点，求二次函数的解析式．
巩固2
设二次函数 为 ．求 ．
，当 时取得最大值为 ，并且它的图象在 轴上截得的线段长
巩固3
飞机着陆后滑行的距离 （单位： ）与滑行的时间 （单位： ）的函数关系式是
相交于
，试
例题3
已知二次函数
的对称轴为 ，且经过点 、 ，求二次函数的解析式．
例题4
设二次函数
满足条件；
，
长为 ．求这个二次函数的解析式．
，且其图象在 轴上所截得的线段
例题5
已知抛物线
（其中 ）不经过第二象限．
(1) 判断这条抛物线的顶点 ， 所在的象限，并说明理由．
(2) 若经过这条抛物线的顶点
大利润是多少？
巩固5
某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行．若只在国内
销售，销售价格 （元/件）与月销量 （件）的函数关系式为
，成本为 元/件，
无论销售多少，每月还需支出广告费 元，设月利润为 内 （元）．若只在国外销售，销售价
格为 元/件，受各种不确定因素影响，成本为 元/件（ 为常数，
第十一讲 二次函数解析式与实际应用
一、二次函数的解析式
知识导航 经典例题
例题1
已知二次函数图象经过点 解析式．
，、
，、
， 三点，试用三种不同的方法求此二次函数
例题2
已知二次函数图象的对称轴平行于 轴，顶点为 ，且与直线
求： (1) 二次函数的解析式．
(2) 的值． (3) 该二次函数的图象与直线
的另一交点的坐标．
(1) 求演员弹跳离地面的最大高度．
(2) 已知人梯高
米，在一次表演中，人梯到起跳点 的水平距离是 米，问这次表演是
否成功？说明理由．
例题8Leabharlann 如图，足球场上守门员在 处开出一高球，球从离地面 米的 处飞出（ 在 轴上）运动员乙在距 点 米的 处发现球在自己头的正上方达到最高点 ，距地面约 米高，球第一次落地 点后又一
次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，并且最大高度减少到 原来最大高度的一半．
(1) 求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
(2) 运动员乙要抢到第二个落点 ，他应再向前跑多少米?（取
，
）
例题9
某商场将进价为 元的冰箱以 元售出，平均每天能售出 台，为了配合国家“家电下乡”政策 的实施，商场决定采取适当的降价措施 调查表明：这种冰箱的售价每降低 元，平均每天就能多 售出 台．