用函数的思想观点思考问题

用函数的思想观点思考问题
抽象概括是形成理性思维的重要基础.在数学教学活动中，注重抽象能力的培养，有
利于学生养成一般性思考问题的习惯，有利于学生更好的理解数学的概念、命题、结构和系
统，有利于学生在其他学科的学习中化繁为简，理解该学科的知识结构和本质特征.
问题1：设a R ∈，若0x >时，均有[]2(1)1(1)0a x x ax ----≥，则a 的值是多少？
分析：思考本题的主要数学观点就是将不等式问题转化为函数，用函数图象及其性
质解决.将看似不等式计算的问题抽象为函数问题，这是对学生的思维逻辑的考验,也是考查
学生的数学素养是否形成的好问题.
将不等式左端看成一个函数：设[]2()(1)1(1)f x a x x ax =----，其中10a -≠（否则
是二次函数，开口向下的抛物线，不符合题意）.因此这是一个三次函数.三次函数的变化状
态一般来说有两种：要么两增一减、要么两减一增.对于本问题中的三次函数，其变化状态
是确定的吗？因为0,()0x f x >≥这个条件，我们知道函数y =()f x 的变化趋势是增减增，
故3x 的系数大于零，所以有10a ->；又由()0f x =知函数()f x 一般有三个零点，由
(1)10a x --=，得11x a =
->0，是一个正零点；由210x ax --=还可以得到两个零点.设零点为12,x x ，由12,1x x =-知为一个正零点，一个负零点，不妨设10x >，那么如果1x 与
11x a =
-是两个不等零点，显然与0,()0x f x >≥不符，故111
x a =-，即两个正零点是相同的.将11x a =-代入210x ax --=解得32a =.
如果将不等式左边看成两个函数：分别是一次函数
1(1)1y a x =--（此时，10a -=不符合题意）和二次函数
221y x ax =--，则两个函数图象过同一个点(0,1)-，而图2-28
221y x ax =--又有正负两个零点，抛物线的开口向上，因此
1(1)1y a x =--的图象特征是分析重点.
如图2-28所示，若1y 单调减，则10a -<，显然与120y y ≥，
0x >不符合题目的条件.图2-29
如图2-29所示，所以1y 必单调增，为了满足120y y ≥，0x >时，1y 的图象还要过2y
的图象与x 轴正半轴的交点.因为10y =时，得11x a =-，代入210x ax --=，解得32
a =. 对于数学素养还没有形成，思维逻辑的确立还需要一段时间的学生来说，他们面对不等式
[]2(1)1(1)0a x x ax ----≥首先反应出来的是如何解这个不等式，甚至利用两个因式同号的想
法，列出两个不等式组去解；还有的学生不对不等式做任何的理解，仅仅是因为式子中有字
母a 和x 就条件反射似的要将它们分开，用所谓“系数分离法”.暂且不谈这样的做法能否
解决问题，就是这种不理解问题的套用“题型解法”的所谓方法，就是和数学素养的要求背
道而驰的.
数学素养要求学生能够从多个角度理解数学概念、规则和命题；能够运用多种形式表
示数学命题的条件与结论，并建立相关命题的联系；能够理解和构建相关数学知识之间的联
系.
问题2：关于x 的方程()() 2 ()x a x b a b --=<的两实根为,αβ，且αβ<，试
比较,,,a b αβ的大小.
分析：这个问题是让学生理解方程与函数关系的一个非常好的素材，我们要引导学
生思考如何将方程问题转化为函数的问题来解决.
考虑函数：()()()2; ()()()f x x a x b g x x a x b =---=--.
如图2-30所示，()g x 的图象与x 轴有两个交点：(,0)a ，(,0)b ；也可
以理解为函数()g x 的零点为,a b .而()f x 的图象是把()g x 的图象沿y
轴下移2个单位得到的. 图2-30
由已知条件知：关于x 的方程()() 2 ()x a x b a b --=<的两实根为,αβ，因此，函数
()f x 的图象与x 轴有两个交点：(,0),(,0)αβ.由图得出.a b αβ<<<当然，也可以将方
程两端的式子设为函数1 ()()y x a x b =--和22y =，这两个函数交点的横坐标就是,αβ，
由图象易得大小关系.a b αβ<<<
从这个问题的解决过程可以启发我们，对于方程问题（包括不等式问题），我们都可以设法
转化为函数问题，这样就可以利用函数的图象来解决问题了.这种用不同的方式理解问题并
选择恰当的数学方法解决问题就是数学素养的表现，也是数学教学中对学生思维逻辑培养的
要求.
问题3：设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足
方程log log a a x y c +=，求a 的值.
分析：正确理解本题的关键是如何看待条件中的,x y .实际上，这里的“任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈”中的,x y 是相互依赖的两个变量，是不是函数关系呢？那就需
要我们找到这两个变量之间的具体的关系式.由log log a a x y c +=得c
a y x
=，显然这就是它们的函数关系.其中，[,2]a a 是自变量x 的取值范围，但是条件中的2[,]a a 并不是这个函数
的值域，值域是由函数的定义域[,2]a a 及函数的解析式c a y x =决定的.因为c a y x
=在[],2x a a ∈上是减函数，可求得-1-12
c c a y a ≤≤，也就是函数的值域为-1
-1[,]2c c a a .为了满足条件“对于任意的[,2]x a a ∈，都有2
[,]y a a ∈”，函数的值域-1-1[,]2c c a a 一定是2[,]a a 的子集.由此求得2log 2a +3c ≤≤.因为常数c 是唯一的，故3c =，所以2a =.
在上述问题的理解和解决的过程中，函数的思维逻辑体现的非常明确：如何认识两个变量之间的关系？如何理解2[,]y a a ∈？如何理解题目中的等式？在这里函数的学科思想观点起着非常重要的作用.课堂上对这样的问题从如何理解的角度
与学生们一起讨论、研究，才能够在不断明确思维逻辑的基础上
发展学生的数学素养.
问题4：如图2-31，动点P 在正方体1111-ABCD A BC D 的对角线
1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面图2-31
相交于,M N ，设=BP x ，=MN y ，则函数=()y f x 的图象大致是
在引导学生理解上述问题的过程中，要能够始终坚持函数的观点.对于条件的解读要突出线段BP 长度的变化对线段MN 长度变化的影响.也就是函数的自变量x 对函数因变量y 的影响.这种影响的分析要有层次，由浅入深地进行剖析.如从动点P
在正方体
1111-ABCD A BC D 的对角线1BD
上运动的过程中，线段MN 长度由小逐步增大，当增大到最大之后开始逐步减小.这个变化的过程从代数的角度看，就是当自变量x 从0开始逐渐增大的过程中，函数=()y f x 的变化趋势是先增后减.因而在四个选项中，A 、C 反映出来的变化趋势是不符合上述的分析的；那么是选B 还是选C ？这就要对题目的条件作进一步的分析，以确定函数=()y f x 的类型，但不一定要求出这个函数的具体解析式才能够做出判断.
实际上，从几何的角度看线段MN 运动所形成的轨迹
是一个过正方体顶点1,B D 及棱11,AA CC 中点的菱形.如图2-32，
在直角三角形PNB 中，=tan PN PBN PB
∠，而PBN ∠是一个确定的角，因此，线段PN 与线段PB 长度的比值是确定的，它们之
间的关系是线性关系，故函数=()y f x 的类型应该是直线型的，图2-32
答案选B.
教学中，一定要克服以找到答案为目的的分析方法，如取特殊值等.要让学生在分析的过程中感受到函数的观点所发挥的作用，要学会用函数的观点去分析两个变量之间的问题.。