数列与函数结合的综合问题

数列综合问题之数列与函数

思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。

例1：已知函数2()(,)x a f x b c N bx c +=

∈+中，1

(0)0,(2)2,(2)2

f f f ==-<-， （1） 求函数()f x 的解析式；（2）各项均不为零的数列{}n a 满足：1

4(

)1n n

S f a =，求通项n a ？（3）在条件（2）下，令2n

n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和？

分析：由题知：

0,2a b c ===，所以

2

()22

x f x x =

-，所以可求得：

2

112()(1)0n n n n n n n n S a a a a a a a n ++=-⇒+-

+=⇒=-

例3：函数[)()2,2,f x x x =-∈+∞；（1）求()f x 的反函数1

()f

x -；（2）数列{}n a 满足：

1

1()n n S f S --=，且12a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在条件（2）下，令22

*11()2n n

n n n

a a

b n N a a +++=

∈，求

数列

{}n b 的前n 项和？

分析：（1）由题知：12

(

),0f

x x -

=≥；（242n a n =⇒=-

（3）222

11111()2111()222121

n n

n n n n n n n n n a a a a a a b a a a a n n ++++++--===+--+

例4、设函数

()2

41

+=

x

x f ， (1) 证明：对一切R x ∈，f(x)+f(1-x)是常数；

(2)记()()()+∈+⎪⎭

⎫

⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n ,11......210，求n a ,并求出数列{a n }的前n 项和。 解：∵

()241+=

x x f ， ∴()(1)f x f x +- =111

4242

x x

-+++ 1142421

(42)(42)2

x x x x --+++==++

()()()+∈+⎪⎭

⎫

⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n ,11 (210)

()()()12211......0,n n n a f f f f f f n N n n n n +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∴2n

a =12n + ∴n a =14n + ∴Sn=111()

442

n n +++=(3)8n n +

例1：()f x 是R 上不恒为零的函数，且对任意,a b R ∈都有：()()()f a b af b bf a =+，

（1） 求(0)f 与(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）若(2)2f =，*(2)

,()n n f u n N n

-=∈，求数列{}n u 的前n 项和n S ？

简析：（1）(0)0,(1)0f f ==；（2）2

(1)((1))(1)(1)(1)0f f f f f =-=----⇒-=，再令

1,,()1()(1)()a b x f x f x x f f x =-=-=-+-=-，所以为奇函数；

（2） 当0a b ≠时，

()()()f ab f b f a ab b a =+

，令函数()

()f x g x x

=，所以有：()()()()()n g ab g b g a g a n g a =+⇒=

，

所

以

有：

1()

()()()()n n

n n n n

f a

g a f a a g a n a n f a a

-=⇒==，得

1

1

1111

(2)()()2222

n n n n f n f u f ---⎛⎫

⎛⎫=⇒= ⎪

⎪

⎝⎭⎝⎭

； 又因为：1111(1)2()(2)()2222f f f f =+⇒=-，所以：12n

n u ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112n

n S ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

。

例2、已知函数))((*∈N n x f n 具有下列性质：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=);

1,,1,0(111,21)0(n k n k f n k f n k f n k f n f n n n n n

（1）当n 一定，记,1

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

n k f a n k 求k a 的表达式);,,1,0(n k = （2）对.3

1)1(4

1,≤<∈*n f N n 证明

解：（1）⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡

⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫

⎝⎛+n k f n k f n k f n k f n n n n n 111 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴n k nf n k f n n n 1)1(,1⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n k f n k f n n

即

,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+n k f n n k f n n n 又,1⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n k f a n k ,1)1(1=-+∴+k k na a n

)1)(1()1(1-+=-∴+k k a n a n ，即

n

a a k k 1

1111+=--+，由n 为定值， 则数列}1{-k a 是以10-a 为首项，n

1

1+

为公比的等比数列， k k n

a a )1

1)(1(10+-=-∴，

由于);,,1,0(111,2)0(10n k n a f a k

k n =⎪⎭

⎫

⎝⎛++=∴==

（2）n n n n k n a f n k f a ⎪⎭

⎫ ⎝⎛++==∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=

1111

1)1(,1 ， 欲证

3

1

)1(41≤

⎝⎛++≤n

n ，

只需证明,3112<⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤n

n

++++=+ 2221111)11(n C n C n n n n n n n

C 1 ,

211≥++= n n n n n n n C n C n C n 1111)11(221++++=+ +-+

+=2

2)1(11n

n n n

n

n n n !1

2)1(⋅-+