数列与函数结合的综合问题

数列与函数结合的综合问题

数列综合问题之数列与函数

思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。

一、利用具体函数的解析式得递推关系

例1：已知函数2()(,)

x a f x b c N bx c

++=∈-中，1(0)0,(2)2,(2)2

f f f ==-<-， （1）

求函数()f x 的解析式；（2）各项均不为零的

数列{}n

a 满足：1

4(

)1n

n

S f a =，求通项n

a ？（3）在条件（2）

下，令2n

n

n b

a =，求数列{}n

b 的前n 项和？

分析：由题知：0,2a b c ===，所以

2

()22

x f x x =

-，所以可求得：

2

112()(1)0n n n n n n n n S a a a a a a a n

++=-⇒+-+=⇒=-

例2：函数[)

()2

22,2,f x x x x =-∈+∞；（1）求()f x 的反函数1

()

f

x -；

（2）数列{}n

a 满足：11()

n

n S

f S --=，且1

2

a

=，求数列{}n

a 的通项

公式；（3）在条件（2）下，令2

*11()()

2n n n n n

a a

b n N a a +++=∈，求数列{}

n

b 的前n 项和？ 分析：（1）由题知：1

2()2),0

f x x x -=≥；（2）1242

n

n n s

s a n -==-

（3）222

11111()2111()

222121

n n n n n n n n n n n a a a a a a b a a a a n n ++++++--===+--+

例3、

设函数

()2

41

+=

x x f ，

(1) 证明：对一切R x ∈，f(x)+f(1-x)是常数；

(2)记()()()+∈+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n

,11......210，求n a ,并求出数列{a n }的前n 项和。 解：∵

()241

+=x x f ， ∴()(1)f x f x +- =1114242

x x -+++ 1142421

(42)(42)2

x x x x --+++==++

()()()+∈+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++⎪⎭

⎫

⎝⎛+

⎪⎭

⎫

⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n ,11......210 ()()()12211......0,n n n a f f f f f f n N n n n n +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=++++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∴

2n

a =12n + ∴n

a =14n + ∴Sn=

111

()442

n n +++=(3)8n n +

二、利用抽象函数的性质得递推关系：

例1：()f x 是R 上不恒为零的函数，且对任意,a b R ∈都有：

()()()

f a b af b bf a =+，

（1）

求(0)f 与(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）

若(2)2f =，

*(2),()

n n f u n N n

-=∈，求数列{}n

u 的前n 项和n

S ？

简析：（1）(0)0,(1)0f f ==；（2）2

(1)((1))(1)(1)(1)0f f f f f =-=----⇒-=，

再令1,,()1()(1)()

a b x f x f x x f f x =-=-=-+-=-，所以为奇函数；

（2）

当0a b ≠时，()()()f ab f b f a ab b a =+，令函数()

()f x g x x

=

，所以有：()()()()()n

g ab g b g a g a n g a =+⇒= ，所以有：

1()

()()()()n n

n n n n

f a

g a f a a g a n a n f a a

-=⇒==，得

1

1

1111

(2)()()2222

n n n

n f n f u f ---⎛⎫

⎛⎫=⇒= ⎪

⎪

⎝⎭

⎝⎭

；

又因为：1111

(1)2()(2)()2222

f f f f =+⇒=-

，所以：

12n

n u ⎛⎫=- ⎪

⎝⎭

，

11

2n

n S ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

。

例2：已知函数()

f x 是定义在*

N 上的函数，且满足

(())3,(1)2f f k k f ==。设1(3)n n a f -=，

11b =且有：3131log ()log ()n n b f a b f a -=-；（1）求证：31212()()()4

n n b b

b b

f a f a f a +++

<； （2）若1

224111

22

224141

()

()

()()

n n n n n n n n n n n n f a

f a f a f a m a b a b a b a b ++++++++++

+

+

+≤对于任意的*

1,n n N >∈