函数导数与数列结合题

1已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f

(1)若)(x f 在0=x 处取得极值，求ａ的值；

(2)讨论)(x f 的单调性；

(3)证明：e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<++

+为自然对数的底数） （本题满分14分）

（1）()()的使x f x a x

x x f 0,122=++=' 一个极值点，则 ()0,00=∴='a f ，验证知a=0符合条件…………………….3分

（2）()2221212x

a x ax a x x x f +++=++=' 1）若a=0时，

()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减；

2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤⎩

⎨⎧≤∆<0100 R x f 在)(∴上单调递减…………………………………6分

3）若()020012

>++>'<<-a x ax x f a 得时，由 a

a x a a 2

21111---<<-+-∴ 再令()可得,0<'x f a

a x a a x 2

21111-+-<--->或 上单调递增，在)11,11()(2

2a

a a a x f ----+-∴ 在上单调递减和),11()11,(2

2+∞----+--∞a

a a a 综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减，

若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(2

2a

a a a x f ----+-

上单调递减和),11()11,(2

2+∞----+--∞a

a a a 。 若()()分单调递减，

单调递增，在在时，9..................0,0)(0∞-+∞=x f a

(3)由（2）知，当()单调递减，

在时，∞+∞--=)(1x f a 当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时，由

分14.......................,.........)3

11)...(8111)(911(21311213

113113131......3131)3

11ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[()1ln(2122222e e x

x n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴<+∴