理解数学理解学生理解教学_8
理解数学理解学生理解教学(章建跃)
（3）过分关注“题型”及对应的技巧—— 技巧，雕虫小技也，不足道也；技巧无 法穷尽，教技巧的结果可能是“讲过练 过的不一定会，没讲没练的一定不会” ；等。
理解数学理解学生理解教学
人民教育出版社 章建跃 zha• 核心：以学生的全面、和谐与可持续发 展为本——教育中的“科学发展观” • 教学目标——全面关注学生的认知、能 力和理性精神，以学生最近发展区为定 向，促进学生全面、和谐、可持续发 展——数学育人。
• 教改只能成功不能失败，因为人才的成 长没有重复机会，教育要绝对避免“折 腾”。 • 教改必须“大胆创新，谨慎实践”。 • 当前，与教育的本质相悖的“功利化” 现象还占据主导地位，需要我们共同努 力，为教育的理想而奋斗。
二、当前存在的主要问题
• 数学教学“不自然”，强加于人，对学 生数学学习兴趣与内部动机都有不利影 响； • 缺乏问题意识，对学生的创新精神和实 践能力培养不利； • 重结果轻过程，“掐头去尾烧中段” ， 关注知识背景和应用不够，导致学习过 程不完整；
• 重解题技能、技巧轻普适性思考方 法的概括，方法论层次的内容渗透 不够，机械模仿多独立思考少，数 学思维层次不高； • 讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、 理性精神不够，对学生整体数学素 养的提高不利。
三、提高“理解数学”的水平
• 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 • 理解数学概念的几个方面： • 从表面到本质—把握概念的深层结构上 的进步； • 从抽象到具体—对抽象概念的形象描述， 解读概念关键词，更多的典型、精彩的 例子；
章建跃核心概念、思想方法的理解与教学
中学数学核心概念、思想方 法的理解和教学设计
五、概念教学的核心
• 概念教学的核心是概括：将凝结在数学 概念中的数学家的思维打开，以典型丰 富的实例为载体，引导学生展开观察、 分析各事例的属性、抽象概括共同本质 属性，归纳得出数学概念。
理论依据
• 概括是人们掌握概念的直接前提； • 概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深 度、创造程度等思维品质的基础； • 概括是科学研究的关键机制； • 学习和应用知识的过程也是概括的过程； • 数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能 力的训练是数学能力训练的基础； • 概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力 的基础。
• 验证：2=1+1（错），4=1+3（错）， 6=3+3（对），8=3+5（对），10=3+7（ 对），12=5+7，14=3+11…… • 提出猜想：任何一个不小于6的偶数都等 于两个奇质数的和。
• 单元目标——中观目标，用于计划需要 几周或几个月的时间学习的单元，是课 程目标的具体化。例如，“理解函数的 概念”就是一个单元目标，因为函数的 概念包含了函数的定义、图像、性质等 众多内容。从这个单元目标到课堂教学 目标，还需要教师的工作。
• 教学目标——微观目标，即课堂教学目标。专 注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计 划日常教学中发挥作用。 例如，“理解函数 的概念”这一单元目标要具体化为： • 理解函数的定义和三种表示法，能用函数的概 念作简单判断（是不是函数）。 • 能分析简单实际问题中的函数关系。 • 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围 ，并会求出函数值。 • 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变 量之间的关系。 • 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况 进行初步讨论。
8的组成教案
8的组成教案一、教学内容本课教学内容选自人教版小学数学教材二年级下册第七单元《8的组成》。
该章节主要让学生通过实际操作，理解8的组成，即8可以由1和7、2和6、3和5、4和4组成。
二、教学目标1. 让学生通过实际操作，理解8的组成，培养学生的动手操作能力和观察能力。
2. 培养学生用数学语言表达数学概念的能力，提高学生的数学思维能力。
3. 培养学生合作学习的习惯，提高学生的团队协作能力。
三、教学难点与重点重点：让学生通过实际操作，理解8的组成。
难点：如何让学生理解和掌握8的组成的各种情况。
四、教具与学具准备教具：小卡片、小棒、数字卡片等。
学具：学生自带的小棒、数字卡片等。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过出示8个苹果，让学生观察并说出8可以由几个和几个组成。
2. 小组合作：学生分组，每组用小棒或数字卡片摆出8的组成。
3. 展示分享：每组展示自己的作品，并用数学语言表达出8的组成。
4. 例题讲解：教师通过出示例题，如“有8个珠子，分给小明3个，小华有几个珠子？”让学生理解8的组成在实际问题中的应用。
5. 随堂练习：教师出示一些关于8的组成的问题，让学生独立完成。
六、板书设计板书内容：8的组成1 + 7 = 82 + 6 = 83 + 5 = 84 + 4 = 8七、作业设计1. 请用数字卡片或小棒摆出8的组成，并拍照。
答案：如前所示。
2. 请家长帮忙出一道关于8的组成的家庭作业，明天上课分享。
答案：如前所示。
八、课后反思及拓展延伸课后反思：通过本节课的教学，发现学生在理解8的组成方面存在一定的困难，需要在今后的教学中加强引导和练习。
拓展延伸：教师可以出一道关于9的组成的练习题，让学生课后思考和练习。
重点和难点解析一、教学内容的细节补充和说明在本课的教学内容中，我们需要重点关注学生通过实际操作来理解8的组成这一环节。
具体内容包括：1. 操作活动：教师需要设计具体的操作活动，让学生通过摆放小棒、数字卡片等学具，直观地感受和理解8的组成。
从“三个理解”角度谈学生数学素养培养
从“三个理解”角度谈学生数学素养培养作者：张森焱来源：《科学导报》2021年第77期数学教学的“三个理解”即：理解数学、理解学生、理解教学.“理解数学”是提高数学课堂效率的前提，只有理解所教内容“是什么”，教师只有清楚地知道要“教什么”，才能确定教学目标，才有可能在数学课堂中予以表达;“理解学生”是实现课堂有效教学的基础.“以人为本，以学生成长为中心”的教育理念已根植于教师的心灵，“传统的教师中心”“教科书中心”的课堂正在走向“以学生为本”“以学定教”的“生长课堂”。
一、理解数学，通过一个概念数学化的过程来培养学生的数学素养。
解决数学问题只有先抓住数学概念的本质，才能更好地制定出解决问题的策略。
教师在日常教学中如何将一个数学概念进行数学化来培养学生的数学素养，笔者以《三角函数的周期性》这节课概念的构建进行说明。
1.情境引入。
古诗“离离原上草，一岁一枯荣。
野火烧不尽，春风吹又生。
远芳侵古道，晴翠接荒城。
又送王孙去，萋萋满别情。
”一周期性就是现实生活中一些现象的数学表达，诗中“一岁一枯荣”、“春风吹有生”体现了生活中一些周而复始的现象。
数学与诗歌的的联系在于意境，诗歌的引入能为数学课堂教学增加活力，形象生动的表达数学现象，帮助学生理解数学的本质，掌握数学概念。
2.学生活动。
问题1：在自然界，在我们生活中有很多现象，是过了一段时间又重复出现的，你能找到类似的生活实例吗？课堂要与生活实际结合在一起，问题1的设置让学生体验了数学来源于生活的现实世界。
问题1的提出，让学生很快就能联系到我们生活中常见的现象，如：一周七天、一年四季、秒针在钟面上的位置、十二生肖、天干地支、钟摆等等。
这些我们生活中常见的生活现象都是过了一段时间都重复出现的。
问题2：数学是自然规律的高度概括與抽象，你能用数学的语言说说这些现象的规律吗？问题2是将问题1中的自然现象用数学的语言进行科学的概括，也正体现了史宁中教授所说“用数学的语言表达世界”。
落实“三个理解”，实现“三会”目标——学习《5.2图形的运动》课堂有感
落实“三个理解”，实现“三会”目标—学习《5.2图形的运动》课堂有感何胜鑫【摘要】章建跃教授提出课堂教学要关注“三个理解”，即理解数学、理解学生、理解教学，旨在解决“教什么”“怎么教”“为什么这样教”的问题。
在“三个理解”理论指导下的课堂教学，要求执教者追溯知识源头，重塑数学知识的产生过程，体现数学文明的探索历程，让学生感悟数学与现实世界的紧密联系。
教师要努力做到知其然，知其所以然，知其所以必然，从而揭开数学神秘的面纱，激发学生学习的内驱力。
【关键词】三个理解；初中数学教学；现实世界“三个理解”是有效进行课堂教学的根本保证，是教师专业化发展的基石。
落实“三个理解”，要清楚数学知识从哪里来，到哪里去。
数学教学是还原和重现数学知识的产生的过程，一切课堂教学行为都是为了知识的生长。
史宁中教授说过：“数学学习的最终目标，是让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是建模。
”教师只有落实“三个理解”，才能实现“三会”目标。
落实“三个理解”体现在课堂教学的每一个环节，比如创设情境导入新课环节，可以创设体现数学知识产生发展需要、数学与生活联系的情境，使学生感悟数学知识产生的必然性；设计学生活动开展研究环节，可以采取问题引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动，将学生学习方式的转变落在实处。
要注重学生参与，让学生有主动学习的机会，教师可适时进行预设性提问，让学生的思维得到发展。
当学生“心求通而未得，口欲言而未能”的时候，教师相机诱导，通过有目的性、针对性的追问方式，进行点拨指引，让学生“开其意”“达其辞”，从而推动学生理解数学。
笔者有幸观摩了周海东老师执教的《5.2 图形的运动》一课，周老师教学设计的每一环节都很精致、精准、精深，真正落实了“三个理解”。
下面笔者结合这节课，谈谈自己的学习感受与思考，不当之处敬请指正。
基于“四个理解”的观点看对勾函数教学
基于“四个理解”的观点看对勾函数教学摘要：本文以“四个理解”为导向研究对勾函数的教学，希望教师形成教学一般观念，实现教师的教和学生的学相统一，提升学生核心素养，从而落实立德树人的根本任务。
关键词：四个理解；对勾函数；核心素养面对当下有些教师在“理解教学”上不到位，“理解学生”上不深入，教学“无灵魂”，技术“不钻研”的现象。
章建跃先生提出“四个理解”是落实核心素养的关键，理解数学，理解学生，理解教学，理解技术是提高数学教学质量和效益的决定性因素[1]。
因此，作为一名教师，应秉承“教书育人”的教育观念，把学生当作有思想的人，在深入理解数学的基础上教会学生学会构建数学知识的整体框架。
本文以“探究对勾函数的图象与性质”为例。
一、理解数学，把握对勾函数内涵理解数学首先应明白数学对象是如何定义的，而后才能把握数学内容的本质以及所蕴含的思想方法。
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲线，是形如的函数。
若将对勾函数分为与两个函数看待的话，其实就是正比例函数与反比例函数的“合成”。
因此，对勾函数的研究必定与正比例函数、反比例函数有着密不可分的联系。
而教材中并没有直接展现对勾函数的教学内容，而是设定了“探究与发现”这一栏目，即探究函数的图象与性质，将对勾函数的学习归入“数学建模与数学探究活动”中，其实也意味着提醒教师要注重学生探究发现的过程，形成研究函数的一般框架。
但从联系生活的角度看，在生产生活中都存在着对勾函数的“身影”。
因此，我们要理解对勾函数研究的必要性，学会从定义出发把握对勾函数内容的本质，探索并理解研究对勾函数所蕴含的思想方法。
二、理解学生，明确现有的知识储备理解学生，首先应把学生当作有活力有思想的个体。
在了解学生个性品质发展的同时要理解学生思维发展规律，把握学生的认知特点。
其次，应关注学生现有的知识储备，寻找搭建“知”与“不知”最近发展区的桥梁。
从而实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同发展”的课程理念。
第五单元《8和9的认识》(教案)一年级上册数学人教版
第五单元《8和9的认识》一、教学目标1. 让学生能够正确地读写数字8和9，并理解它们的含义。
2. 培养学生对数字8和9的敏感性和识别能力。
3. 通过对数字8和9的认识，培养学生的数学思维能力。
二、教学内容1. 数字8和9的读写。
2. 数字8和9的含义。
3. 数字8和9的运用。
三、教学步骤1. 引入数字8和9通过展示图片或者实物，让学生观察并说出它们的数量。
例如，展示8个苹果和9个橙子，让学生说出它们的数量。
2. 教学数字8和9的读写教师通过板书或者PPT展示数字8和9的书写方式，并引导学生进行模仿。
教师可以让学生跟着一起写，并反复练习，直到学生能够熟练地读写数字8和9。
3. 解释数字8和9的含义教师可以通过展示图片或者实物，让学生理解数字8和9所代表的数量。
例如，展示8个苹果和9个橙子，让学生理解数字8代表8个，数字9代表9个。
4. 数字8和9的运用教师可以设计一些简单的数学题目，让学生运用数字8和9进行计算。
例如，让学生计算8个苹果加上9个橙子一共有多少个水果，或者让学生计算9个橙子减去8个苹果还剩下多少个橙子。
5. 总结和复习教师可以通过提问的方式，让学生回顾本节课所学的内容。
例如，教师可以问学生数字8和9的读写方法，数字8和9的含义，以及数字8和9的运用。
四、教学评价1. 观察学生在课堂上的参与程度，以及他们是否能够正确地读写数字8和9。
2. 通过课堂提问，了解学生对数字8和9的理解程度。
3. 通过课后作业，检查学生对数字8和9的运用能力。
五、教学反思教师可以通过课后反思，总结本节课的教学效果，找出存在的问题，并进行改进。
例如，如果发现学生在读写数字8和9方面存在困难，教师可以加强这方面的练习，或者改变教学方法，以帮助学生更好地理解和掌握数字8和9。
重点关注的细节是“数字8和9的读写”部分。
这是因为在数学学习中，正确读写数字是基础中的基础，它直接影响到学生对于数字的理解和应用。
如果学生在读写上存在障碍，那么后续的数学概念和运算都会受到影响。
大班数学教案《8的分解与组成》
大班数学教案《8的分解与组成》一、教学内容本节课的教学内容来自于幼儿园大班数学教材《8的分解与组成》。
该章节主要让学生通过实际操作，理解数字8可以分解为不同的两个数字，并能够灵活组成不同的数字8。
二、教学目标1. 让学生能够通过实际操作，理解数字8可以分解为不同的两个数字。
2. 培养学生的观察能力，提高学生对数字的敏感度。
3. 培养学生的合作意识，提高学生的团队协作能力。
三、教学难点与重点重点：让学生能够理解数字8可以分解为不同的两个数字，并能够灵活组成不同的数字8。
难点：如何让学生通过实际操作，理解数字8的分解与组成。
四、教具与学具准备教具：数字卡片、小棒学具：数字卡片、小棒五、教学过程1. 实践情景引入：让学生每人拿8根小棒，通过实际操作，让学生感受到数字8。
2. 讲解示范：教师通过数字卡片，向学生讲解数字8可以分解为不同的两个数字，如：8=4+4，8=3+5，8=2+6，8=1+7。
并让学生跟随教师一起操作。
3. 随堂练习：教师给出一些数字，让学生尝试将其分解为两个数字8，如：9、10、11等。
4. 小组合作：让学生分成小组，每组学生尝试用小棒组成数字8，比一比哪个小组组成的数字8最多。
六、板书设计板书设计如下：数字8分解：4+4、3+5、2+6、1+7组成：使用小棒，组成不同的数字8七、作业设计1. 请学生回家后，尝试用小棒组成不同的数字8，并拍照记录。
2. 请学生尝试用数字卡片，将数字8分解为不同的两个数字。
答案：1. 组成的数字8的照片。
2. 数字8的分解结果：4+4、3+5、2+6、1+7。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实际操作，让学生理解了数字8可以分解为不同的两个数字，并能够灵活组成不同的数字8。
学生在小组合作环节，表现出很高的兴趣和积极参与的态度，课堂效果良好。
在今后的教学中，可以尝试让学生用其他数字进行分解和组成，提高学生的数字敏感度，培养学生的观察能力和团队协作能力。
同时，也可以尝试将数学与其他学科相结合，如：用数字8进行绘画，提高学生的创新能力。
理解数学理解学生理解教学
理解数学理解学生理解教学作者：章建跃来源：人民教育出版社各位代表，老师们，同志们，大家好。
受本届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动组委会、评委会的委托，我给大会作总结报告。
本次活动受到全国高中数学教师、数学教研部门、各会员单位的高度重视，来自全国除西藏、港澳台以外的所有省、直辖市、自治区，行业的近830名代表参加了本次活动，覆盖范围广，参与热情高。
各会员单位做了大量前期工作，很多会员单位从两年前就开始布置、落实本项活动，把工作细化在过程中，积极组织当地广大高中青年数学教师参与观摩活动，引领广大教师交流教学经验，以观摩与评比活动带动课堂教学研究，在研究中不断深化课堂教学改革，切实提高课堂教学质量和效益。
我代表组委会对各会员单位为本次活动作出的贡献表示衷心感谢。
承办方河南省教育学会中学数学教学专业委员会，河南省基础教育教学研究室为本次活动投入了很大精力，付出了辛苦的劳动。
承办大型活动非常不易，需要考虑的问题很多，需要做的具体工作很繁重，承担的风险很大。
我代表组委会对你们做出的努力表示衷心的感谢！本次大会的协办方卡西欧（上海贸易有限公司）、《中国数学教育》&《数学周报》社为本项活动提供了资金、技术、奖品以及人力、物力的大力支持，我代表组委会对他们做出的贡献表示衷心的感谢！特别要感谢各位参赛选手，你们付出了巨大的智力劳动，承受了巨大的心理压力，为本次活动做出了特殊的贡献。
我代表大会组委会、评委会对你们的付出表示衷心的感谢，祝贺你们取得优异的成绩，祝贺你们在教师专业化成长的道路上迈出了重要而坚实的一步。
由于本次活动组织方式的改变，对评委提出了高要求。
各位评委不仅要事先对参赛选手的教学设计、教学设计说明和课堂实录进行仔细阅读、观摩，在现场还要聚精会神地观察选手的表现，根据参赛选手的预设和现场生成，做出评判，并给出点评。
本次活动的圆满成功，与各位评委的无私奉献、辛勤劳动直接相关，我代表组委会对各位评委的高度热情和负责精神表示衷心感谢。
对新课标下“理解数学、理解学生、理解教学”的理解
对新课标下“理解数学、理解学生、理解教学”的理解作者：靳莉颖来源：《科学大众·教师版》2012年第10期摘要：理解数学是一个数学教师的基本素养，理解学生是实现学生为主体的基本要求，理解教学是进行有效教学的基本保障。
关键词：学习课程标准；研究教材；学习方式；认知基础；教学设计；积累活动经验中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）10-011-001“理解数学、理解学生、理解教学是课改的三大基石”，是张建跃老师在文章《中学数学课改的十个论题》中提出的重要理念。
下面笔者结合数学课程标准（2011年版）（以下简称课程标准）谈谈自己的理解。
一、理解数学理解数学是进行课堂教学的前提，教师只有理解数学，才能准确地确定教学目标。
理解数学就是要“了解数学知识的背景，准确的把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义，深刻领悟内容所反映的思想方法，把握知识之间的多元联系；能挖掘数学知识所蕴涵的科学方法、理性精神和价值观资源与技术，善于区分核心知识和非核心知识，准确把握每块知识产生的背景，在教材中的地位、前后的联系、后续学习的必要性，其中蕴涵的数学思想方法有哪些，这些数学思想方法在学习其它知识时，是否可以利用、类比、推广等。
有些教师没有很好地理解课标，随意地拔高，或降低教学目标，这样会给学生加重学习的负担，造成学习的困难，或者没有达到教学要求，掌握必备的知识或技能。
例如，课标中要求：“通过实例体会反证法的含义”，并没有要求理解或掌握反证法，这里教师在制定目标时要把握好这个“度”。
又如，数学分类思想是初中阶段的一种重要的数学思想，从开始的渗透到理解再到应用，应逐步提高要求，使学生能确定分类的标准，进行分类讨论。
因此，只有理解课标，理解教材，理解数学，才能准确地确定教学目标。
二、理解学生课程标准中明确：学生是学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。
学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
“函数单调性”教学应处理好“三个矛盾”
“函数单调性”教学应处理好“三个矛盾”作者：杨兴军来源：《中学数学杂志(高中版)》2014年第06期章建跃博士指出：“高水平的教学设计要建立在如下三个基本点上：理解数学、理解学生、理解教学.其中，理解数学是指对数学的思想、方法及其精神的理解；理解学生是指对数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律；理解教学是指对数学教学规律、特点的理解.…三个理解‟是数学教师专业发展的基石.”数学教学过程总是充满了矛盾，如教与学的矛盾、学生认知特点与数学学科特点的矛盾、学生认知发展水平与数学教学内容的矛盾等.有矛盾才能有发展，其中，学生现有的知识基础、能力水平与教学要求之间的矛盾是数学教学的决定性动力.作为教师，应努力做到敏锐地发现、深刻地认识各种矛盾，进而在教学中科学合理地暴露、“创设”甚至“激化”矛盾，以帮助学生在解决矛盾的过程中发展自己的认知结构、提升自己的数学素养，这可以充分体现出教师的专业水平、教学能力与教学智慧.“函数的单调性”是反映函数变化规律的一个最基本的性质，是学生学习了函数概念后研究的第一个函数性质，也是学生在高中阶段遇到的第一个用数学符号语言刻画的概念，对学生进一步学习函数的其它性质具有示范和引领作用.本节课汇集了数学教学的诸多矛盾，如何在教学中处理好这些矛盾，特别是其中的主要矛盾，对每个数学教师都是一项极具挑战性的任务.笔者认为，“函数的单调性”教学，关键是要深刻认识、科学处理以下“三个矛盾”.1 “上升”、“下降”、“单调”等名词的数学意义与学生的生活理解之间的矛盾“函数的单调性”教学，通常是从现实生活入手——展示某地某天的气温变化图、举出生活中描述“升降”变化规律的成语（如蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏）并画出相应的函数图象等，然后让学生观察得到：函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，而在另一个区间内呈下降趋势，此时教师指出：函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性，接下来引导学生用自然语言进行描述，并体验单调性是函数的局部特征（教师可在此处提前介绍“增函数”、“减函数”、“单调区间”等名词）.这里，“上升”、“下降”、“单调”的数学意义与学生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若从A到B是“上升”，则从B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那样，仅仅考虑了铅垂方向；而在数学中，若x增大时y也随之增大，则称函数y=f（x）“上升”，若x增大时y随之减小，则称函数y=f（x）“下降”，是水平与铅垂这两个方向的“合成”.在生活中，“单调”是指“重复而缺少变化”；而在数学中，“单调”是指“随着自变量的增大，函数值始终增大或始终减小”，是不断变化的.对此，有些学生可能会因区分不清而产生错误理解.例如，对于函数y=x2（x≥0），有学生认为：x由小到大时，y是“上升”的，x由大到小时，y是“下降”的；又如，对于函数y=2，有学生认为它是“单调”的，理由是“y始终没有变化”.因此，在本节课的教学中，教师应明确地指导学生将数学名词与日常概念区分开：（1）对于同一段函数图象来说，在数学上它究竟是“上升”还是“下降”，应该是确定的，不能产生歧义.因此，我们选择x轴正方向作为参照，从左往右，沿着图象“策马前行”，函数图象的“上升”“下降”就有了统一的规则和统一的结论；（2）数学上的“单调”，其本身也含有“重复而缺少变化”的意味，但它不是指函数值始终保持不变，而是指函数在某个区间“上升”“下降”（或“增加”“减少”）具有不变的规律性，反映的是一种“变中的不变性”，当然也显得“单调”.2 学生已有的知识基础和认知习惯与新知学习的必要性之间的矛盾我们知道，“精确定量思维方式”是数学教育所能给予学生的最重要和最基本的数学素质，也是培养学生理性精神的最好体现.在高中阶段，“函数的单调性”定义之所以要进一步符号化（形式化），正是基于数学精确化、严谨性的要求.只有这样，学生才可以通过准确的计算进行推理论证，以保证结论的严密性，在此过程中逐渐培养并形成“算法的思维”.然而，学生在初中已经接触过一次、二次、反比例函数，对函数的单调性已经初步有了直观形象的认识：图象从左往右上升（y随x的增大而增大）是增函数，图象从左往右下降（y 随x的增大而减小）是减函数.他们会觉得这种定义通俗易懂、易于接受，用它解决函数的单调性问题时也没遇到过什么困难，进而产生疑问：为什么还要费尽周折地去学习符号化（形式化）定义呢？岂不是“多此一举”！学生一旦在心理上排斥新知，那么教与学的效果都将大打折扣，这是一个很重要的问题.因此，在学习抽象的定义之前，教师应针对性地设置“认知冲突”，以便让学生充分体验到学习新知的必要性，增强研究的兴趣和积极主动性.例如，可让学生依据函数单调性的图象特征或自然语言描述，尝试判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.由于学生对该函数的图象性质并不熟悉，因此无法判断函数图象呈现什么样的变化趋势，也难以根据函数解析式描述其变化规律.此时，学生就会自然意识到自己知识上的欠缺，认识到用精确的数学语言刻画定义的必要性，从而进入一种“愤悱状态”，产生较强劲的学习动力.3 学生现有的思维水平与函数单调性定义的思维要求之间的矛盾这是本节课教学的核心矛盾.刚进入高一的学生，其思维处于从经验型水平向理论型水平转变的阶段，仍然偏于简单化、直观化，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.函数单调性的定义，是数学概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.从“随着x增大，y也增大”这一自然语言转换到“对于某区间上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”这一数学符号语言，跳跃性较大，学生非常不习惯，特别是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1<；x2，通过比较f（x1）与f（x2）的大小来刻画函数的单调性，学生更是感到难以理解，容易产生思维障碍.为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.以下是笔者施教这一环节时的具体设计：问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f （x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.这是利用变式教学和构造反例帮助学生继续对概念进行反思辨析、进一步理解概念的内涵和外延，特别是如何才能否定一个函数的单调性尤为重要，可以加深对“任意”二字的理解，逐步实现对概念本质意义的综合贯通.结语当前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“数学教学内容知识”）是数学教育研究的一个热点问题.如何发展数学教师的MPCK？途径之一就是致力于研究教学中的各种“矛盾”.一个数学教师，只有主动地对教学内容、学生特点等进行广泛而深入的独立思考，多反思、多质疑，才可能及时捕捉到其中的矛盾；只有对数学教育心理学等有着科学的理解并内化为自己的数学教育理念，才可能全面而深刻地剖析这些矛盾；只有遵循了数学教学规律，立足实践性反思与反思性实践，才可能创造性地处理好这些矛盾，不断地发现矛盾、分析矛盾与解决矛盾的过程，也正是教师自身的MPCK得以持续提升的过程.。
基于“三个理解”的初中数学概念教学再思考--以“定义与命题”为例
数学教学通讯投稿邮相：sxjxtx c@＞课例评析基于“三个理解”的初中数学概念教学再思考——以“定义与命题”为例费云标江苏省南京市第十二初级中学210000［摘要］文章以“定义与命题”为载体，以“理解数学、理解学生、理解教学”为主线来进行教学设计，并结合笔者自身教学活动经验归纳，提炼出了对概念教学的若干再思考.［关键词］三个理解;概念教学国案例背景有幸参加区教学设计的比赛，笔者选择的是苏科版教材平面图形的认识（二）与证明的整合教材的一节概念课,并付诸教学，效果不错.数学概念教学可以发展学生的概念思维、迁移能力.概念教学不仅仅是传授知识与技能,更需要学生参与其中，感悟概念归纳的不易，进行思维的碰撞与思考，进而发展智力与培养能力，达到“数学育人”的目的.下面，笔者以“理解数学、理解学生、理解教学”为主线，对概念教学进行再思考. 0课前思考1.理解数学是当好数学教师的前提“定义与命题”是整合版教材七下7.3.1的内容，其内容贯穿初中数学教材体系.通过本节课的学习，学生能感受到初中数学知识体系的完备性与严谨性.这节课还是学习推理的起始章节,能为学生后续学习证明做必要的准备.学完本节课之后,学生能掌握与命题相关的基础知识,能提高数学语言表达能力，并能进一步发展逻辑思维能力基于以上分析，笔者得出了这节课的教学重点:了解定义、命题、真命题、假命题的意义,会区分命题的条件和结论.2.理解学生是开展高效教学的基础本节课的授课对象是初一学生,他们具备初步感受数学概念的能力，故设计情境与问题串时,要设计在学生的最近发展区内.本节课从情境入手处，就要考虑学情，贴生而行，让学生在交流与碰撞中不断生成数学知识，感受数学概念的生长；通过问题串的形式，不断追问，满足不同的学生对数学的需求，同时促进学生对数学的理解.基于以上分析，笔者得出了这节课的教学难点：会判断一个命题的真假,在交流中发展有条理的思考和表达的能力3.理解教学是实施教学的关键课堂教学就是要充分挖掘数学知识蕴含的价值资源，并在教学中将知识教学与教学价值融为一体，这样才能真正体现“数学育人”.教学目标：（1）了解定义、命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件和结论;（2）会判断一个命题的真假,在交流中发展有条理的思考和表达的能力达成目标（1）的标志是：通过具体实例，能够判断出定义、命题、真命题、假命题的意义，感受定义的规则，了解什么是命题;能够改写命题，并指出命题中的条件和结论达成目标（2）的标志是:会判断一个命题的真假——要说明假命题，只要举出一个反例即可；要说明真命题，需要说明题设成立时，结论总成立，需要证明.至于在交流中发展有条理的思考和表达的能力，只要是学生合乎逻辑的思考与有条理的表达，教师都要积极地肯定与表扬.教学过程1.创设情境，初识概念问题1:丰富的数学世界里有许多神奇的数.我们把每个数位上的数字的基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“初中数学体验校本课程的开发研究”资助项目（项目编号：R a/2018/07）.作者简介：费云标（1987-），本科学历，中学一级教师，主要从事初中数学教学实践研究，曾获鼓楼区优秀青年教师称号.2020年3月（中旬）＜11数学教学通讯投稿邮相:sxjxtx c@ >课例评析立方和等于其本身的三位数称为“美丽的数”.比如：因为43+03+73=64+0+343= 407，所以407是“美丽的数”.你们能从131,153,121这三个数中找出“美丽的数”吗？设计意图情境选取学生感兴趣的数学问题，能引发学生思考，感悟定义的必要性.生1：只要分解一个三位数的每一位数字，并按照定义求出各个数位上数字的立方和，判断结果是否为原来的三位数即可.2.活动探究，建构概念问题2：(熟悉问题，感悟定义)(1)怎样的两条直线叫“平行线”?(2)怎样的两个数叫“互为相反数”？设计意图设计熟悉的小问题，让学生抢答，归纳定义的概念.(定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定)通过回忆这些概念，引导学生感受概念的定义生成过程以及知识的前后联系.生2：野在同一平面内，不相交的两条直线”是“平行线”的定义；“符号不同，绝对值相同的两个数”是"互为相反数”的定义.师:如何给概念下定义？定义的规则是：(1)应相称，即定义概念和定义概念的外延相等；(2)不应循环；(3)—般不是否定判断;(4)应清楚确切.大家通过之前具体的例子进行感受即可.问题3：下面每组的两句话一样吗？如果不一样，它们有什么不同？(1)野等角的补角相等”与“等角的补角相等吗”；(2)野相等的角是对顶角”与“相等的角一定是对顶角吗”；(3)“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”与“过一点画已知直线的垂线”.设计意图分组讨论，归纳总结(每组的两句话，一类是对某件事做出判断，另一类没有对某件事做出判断)，引出命题的概念(命题：判断一件事情的句子).引导学生通过对两类(命题与非命题)具体例子的辨析，了解什么是命题，什么不是命题.即使是错误的判断，也是命题.命题的特征：是句子、有判断、有对错.生3：其中(1)(2)(3)前面的句子对某件事情做出了判断，而后面的句子没有对某件事情做出判断.问题4院命题指判断一件事情的句子,请你举出一些命题.设计意图利用学生互相提问与矫正、教师引导的方式，让学生进一步理解命题的概念,初步验证命题的正确性.生4院同位角相等吗？生5院我认为生4给的例子并没有对事物的情况进行判断.疑问句没有肯定与否定，所以我认为此句子不是命题.生6：三角形的内角和是360°.生7：从命题的定义来判断，生6的例子确实判断出了三角形的内角和的值,属于肯定判断.我认为此句子是命题，但是此命题做出了错误的判断.问题5:观察下列命题,你能发现它们有什么共同的结构特征吗？(1)如果a=b，那么|a|=|b|；(2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；(3)如果两条直线平行,那么同位角相等；(4)对顶角相等.设计意图让知识的生长存在梯度，让学生处于最近发展区，希望学生在相互交流学习中自我成长，让学生体会所有的命题都由两部分组成，即条件和结论，感受“如果……那么……”形式的简洁与优势.生8：它们都由条件与结论两部分组成；我认为“对顶角相等”的条件是“对顶角”，结论是“相等”.师(追问):你能把“对顶角相等”的条件与结论表述得更清楚吗？生9：生8表述的条件与结论不是完整的句子，不如这样来表述一一条件是“两个角是对顶角”,结论是“这两个角相等”.我参考了前面(1)(2)(3)三个命题的表述形式(如果……，那么……),先把命题改写为前面的形式，再写出条件与结论.问题6院说一说下面各命题的条件与结论，并判断命题是否正确.(1)如果a,b之和为0,那么a,b之积为0；(2)两个角是同旁内角，这两个角的和为180°；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，它们没有交点.设计意图引导学生学会改写命题，了解真命题、假命题的意义，并且学会用举反例的方法来说明“命题”是错误的,即假命题.生10:只要条件成立，结论也成立的命题就是真命题；如果条件成立,但是不能保证结论也成立的命题就是假命题.生11院判断假命题的方法就是能举出一个反例，判断真命题的方法需要推理说明.3.匹配目标，巩固提升(1)写一个句子，并让同桌来判断该句子是否是命题.设计意图考查学生对命题的概念的掌握情况.(2)写一个命题，请其他同学指出该命题的条件和结论，并判断命题的真假,说一说理由.设计意图考查学生命题的组成理解情况以及判断命题真假的掌握情况，让学生利用举反例的方法来判断假命题，感受真命题需要用推理来证明.4.归纳小结，展望后续大家一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)谈谈你对命题的认识.你认为命题还需要学习哪些内容？(2)请你写1耀2个命题，说出它们的条件与结论,并判断命题的真假.设计意图学生回顾与思考，并归纳总结，培养学生善于归纳和思考的能力,有利于他们对新知识加深理解.5.分层作业，思维提高必做作业：苏科版教材习题7.3.1第1、2、3题.选做作业:小莉遇到了一道题——比较n"+1与(n+1)啲大小.她通过计算发现：当n=2,3时，有n"+1<(n+1)",于是得出结论n"+1<(n+1)".请你判断小莉的做法是否正确.12>2020年3月(中旬)数学教学通讯投稿邮箱:sxjxtx x@＞课例评析设计意图及时了解学生的学习情况，调整教学安排；通过学生课后独立思考第1、2、3题，自我评价学习效果，加强学生对新知识的巩固，检查学生掌握知识的情况.选做作业是课内知识的延伸，学生可以通过阅读教材、查找资料或与同学交流解决此题,培养学生的合作探究意识，并锻炼解决问题的能力.国概念教学的再思考1.概念教学需要把“数学育人”作为核心目标本节课是几何推理的章节起始课，对后续数学知识的学习有铺垫、启发、生长的作用.从本质上讲，数学概念课的本质是数学育人.我们从几何数学概念课开始渗透推理意识,对初中几何的学习大有裨益，同时能促进学生的有机生长.本节课单看内容，只有几个概念，如果要渗透数学核心素养，内容可选择的角度就多了；如果是为学生的终身发展奠基，那可选择的素材就更丰富了.本节课是几何基础概念课，可采用“交代情境,引入概念,探究概念”的概念教学一般模式，让学生感悟数学概念出来、生长的一般过程，体会到研究数学概念的套路，激发思维，提高素养.这样做，才能真正挖掘概念教学的育人资源，彰显概念教学的价值.2.概念教学需要学生积极概括概念的本质特征大多数概念课的弊病是课堂沉闷,教师讲得枯燥乏味，学生学得无趣.笔者认为，学生积极概括概念的本质特征会让概念课更加有效、活泼.其一，可以在概念教学中充分把握认知冲突，激发学生思考;其二,可以在概念教学中积极利用问题串把不同思维含量的问题串联在一起，帮助学生更好地理解概念.概念的建构需要概念思维，这也是促进学生不断成长的重要因素.比如，寻找命题的条件与结论时，改写命题具有便捷性,这样对命题概念的理解就更加深刻.概念抽象需要典型实例，那谁来找例子？本节课多处出现让学生自己举例，且要求举尽量不同的例子，逼学生思维动起来，这样的例子百花齐放，贴近生活，贴近学生，贴近创新.这样的数学学习活动，自然形成，既有学生之间的互动交流，又有思维的生长，不仅促进了深度思考,更促进了思维深度的提高.当一个学生举例后，其他同学也积极参与思辨，互动，互相促进思考，尽可能自主归纳概念，让概念的形成过程贴生而行.当然，教师应贴生而行，提出高思维的问题串，引导学生积极概括概念的本质特征，真正参与到概念的建构活动中.3.概念教学要让学生自然地实现“概念形成”数学概念、数学方法、数学思想的起源与发展都是自然的.概念教学就应该使概念出得自然，水到渠成.本节课的教学，我们力求使学生感受定义的存在性，了解定义的必要性，从如何下定义,如何用定义，上升到继续研究命题.从课堂的角度来看,概念教学主要有两点:其一，概念生成需要逻辑自然；其二，概念生成需要符合学生的心理特征.在本节课中，教师先带领学生从数学问题中感受定义的存在，进而感受下定义的必要性,接着从典型例子中归纳定义的概念.利用上述基本活动经验与探究概念的套路,通过具体例子归纳出命题的概念，探究命题的结构,判断命题的真假;归纳判断的经验;在引导学生概念形成的过程中，贴生而行，让学生主动参与概念归纳过程，用多层次、高思维的问题串来引导课堂节奏，逐步深度思考并理解数学概念,让学生自然地实现“概念形成”.（上接第08页）这份材料的参考答案,包含主要的解题过程与部分分析、总结.匚9i伙明，嚙＞农纱，22巧这份参考答案一般在校本课程进行到一半的时候进行分发，让学生在自我评价的同时，能够及时解决其遇到的新问题，不将问题“留过夜”.2.教师反馈与评价初中的学生自我管理能力比较弱,再加上学习不是一件轻松的事情，这样一份校本材料完全让学生去落实的效率一定不高.一些学习能力较差的孩子可能会先放弃,影响课堂纪律，还会有一些自控力差的孩子跟风而上.合理的奖惩是有利于提高学习效率的.身为学生,都希望在测试当中胜人一筹，都渴望在某种场合下被表扬，因此，研究者会在平常的各类教学评价中，看似无意地埋藏一些校本材料中出现的问题，让认真对待这份材料的学生在各类评价中收获喜悦的成果，赢得他人的艳羡.遇上有较多学生感兴趣的校本材料中的问题，不妨借用课堂时间进行适当的讲解,或者让学生来讲授,让懈怠的学生感受其他学生对此的重视，最终引起更多学生对校本课程学习的重视与兴趣.®实践反思经过一个学年的尝试与努力，有些学生开始能够明白这份校本材料的意义与价值,部分学生在自学过程会用不同颜色的笔进行标注;靠阅读答案不能解决的问题，选择与同学讨论或者求教于老师;期中期末复习时，将其作为一份材料整理出来复习等等.但通过观察,这样的校本学习还是存在一定的问题，特别是落实问题.在没有教师在场的情况，坚持通过文本阅读去习得部分数学知识,对中等偏下的学生来说，不太现实.他们更多的是做做前面的热身训练，看看后面的数学阅读，随机看看本期核心内容，然后等着分发参考答案.如何让校本课程有效和课堂教学融合,加强学生的阅读方法指导,让更多的学生通过文本阅读构建自己的解题模块将是研究者接下来需要着重解决的问题.2020年3月仲旬）＜13。
践行“四个理解” 落实核心素养
践行“四个理解” 落实核心素养作者：史承灼魏大付来源：《安徽教育科研》2019年第02期摘要：理解数学，有助于整体把握数学结构，准确确定教学目标;理解学生，才能关注学生思维的最近发展区，选择合适的教学方法;理解技术，掌握并运用信息技术辅助教学，为数学课堂教学插翅添翼;理解教学，才能科学合理地处理怎样教和为什么这样教，有助于处理好教师的教与学生的学的统一，从而使学生获得最大的学习效益。
“理解数学、理解学生、理解技术、理解教学”共同构成了理解数学课堂教学，使学生真正可以获得良好的数学教育。
关键词：理解数学;理解学生;理解技术;理解教学章建跃先生早在2010年“第五届全国高中数学教师优秀课观摩与评比活动”的大会报告中，就提出了中学数学教学的“三个理解”——理解数学，理解学生，理解教学。
2017年4月的“以‘核心素养为纲的数学教学改革’全国初中数学教学研讨会”上，章建跃先生在报告《核心素养统领下的数学教学变革》中，将其发展为“四个理解”——理解数学、理解学生、理解技术、理解教学。
“四个理解”是基于“互联网+”新时代下对“三个理解”的丰富和发展，是数学教师专业发展的基础，是在课堂教学中落实数学核心素养的关键。
本文以工作室成员魏大付老师执教的沪科版义务教育实验教科书数学九年级上册，第21章第5节“反比例函数的图像和性质”为例，谈谈如何践行“四个理解”，培养学生的数学核心素养。
一、理解数学，整体把握数学结构理解数学是备好课的前提，备好课是上好课的前提，而备好课的条件之一是理解教材。
理解数学，就是要准确把握知识点产生的背景，在教材中的地位和前后联系，对后续学习的重要作用，从整体上把握数学结构，以及其中蕴含的数学思想方法及这些数学思想方法在学习其他知识时能否类比、推广等。
理解数学，不仅要“知其然”，还要“知其所以然”，作为教师更要“知何由以知其所以然”。
否则，以师昏昏，又怎能使学生昭昭呢？函数是揭示运动变化过程中数量关系和变化规律的重要数学概念，是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。
理解概念就是理解数学,理解学生就是理解教学
(minimum value)，记为 ymin = f ( #0).
这是普通高中课程标准实验教科书《数学1 (必修)》(苏教版)在介绍了函数的单调性之后，紧
接着呈现的函数的最值概念•教材通过三个例题
分别从“给出函数的图象指出最值”、“给出初等函
数求最值”以及“证明一般函数的最值”等不同视
角，让学生体会函数的最值与单调性之间的关系
时引导学生思考:如果将闭区间［a,b］改变为开 区间(a,b),结果会有什么变化？由此，借助导数 这个重要工具，学生对如何处理最值问题有了更
深层次的理解和掌握，能较为顺利地解决曾经很 难处理的函数最值问题,学习数学很有获得感，学
习兴趣也得到了极大的激发• 进入高三,伴随着高考复习的持续深入，在各
地的模考题中经常出现一类“已知最值求参数范
间),e*上取得最小值4,故1n#----#---, 4对# % [1,e*恒成立且等号能取到,即m ( (In# — 4#对# % [1,e*恒成立且等号能取到.
① 不等式恒成立(先考虑必要条件)：？ # —
- # ,4对# % [1,e*恒成立•参变量分离后得m ((In # — 4# 对# % [1,e* 恒成立.令 h#)= (In # — 4# ,则当# % [1,e]时,h' # ) = 1n # — 3 V 0,故 h #)mm =h(e) = —3e,所以 m (— 3e.
② 再验证不等式能取得到等号.当m (
—3e# % [1,e* 时,f' #) = # '勿 V 0,故 #
f #)在)，e*上是减函数，则f#)nn =f (e)=
1 n e — — = 4,解得 m = 一 3e. e
综合①②，可得m = —3e• 点评 方法1是在函数求导后结合自变量 范围对参数进行分类讨论，而后求得参数值，整个
“四个理解”指导下的教学设计新思路——以“位似”教学设计为例
一、素养立意，深化内容解析
对课堂教学具有定向作用的课时目标的设计要有 可操作性和可检测性. 设置课时目标的基础是对内容 的准确理解，进而做出体现内容本质的教学解析. 为 此要探寻内容解析的新思路，包括内容的结构，地位 和作用，内容的本质，蕴涵的数学思想和方法，育人 价值，等等.
内容解析是在知识图谱的指导下，围绕当前内 容，从数学上进行微观分析. 内容解析的基本格式 是：（1） 在“教学内容及其解析”前面添加课时知识 结构图，统领内容解析的叙述；（2） 以知识点的形式 列出教学内容；（3） 阐述当前内容在整个中学数学， 在本章、本节中的地位作用，在揭示概念内涵的基础 上，说明概念的核心，阐释知识内容所蕴涵的数学思 想方法，最后阐明本节课的教学重点.
中国数学教育·初中版 2019 年第 9 期 （总第 201 期）
“四个理解”指导下的教学设计新思路
——以“位似”教学设计为例
王华鹏 （浙江省台州市黄岩区教育局教研室）
摘 要：理解数学、理解学生、理解技术、理解教学是应对互联网时代教育变革的根本保证，基 于“四个理解”的教学设计在知识图谱的指导下，以课时结构图揭示知识的逻辑关联，以测评为依据 优化学习进程，以问题链引导学生的思维，为不同的学生提供最佳的发展路径，从而实现线上教育与 线下教育的优势互补 .
关键词：互联网 + 教育；四个理解；教学设计
尽管“互联网 + 教育”还处于探索阶段，但发展 趋势已经非常明显，人机共教的时代即将到来，传统 的课堂模式和教学方式都需要重新定义、重新思考. 章建跃博士提出的“四个理解”，即理解数学、理解学 生、理解技术、理解教学，是提高教师专业化发展水 平、提高数学教学质量、应对互联网时代教育变革的 根本保证.
笔者有幸参加了章建跃博士领衔的“中小学数学 在线学习资源的研究与开发”课题研究，课题组围绕 “目标导向的精准教学”对教学设计进行了新的思考， 提出的教学设计框架包括内容和内容解析、目标和目 标解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教 学过程设计、目标检测设计和分层作业设计七个方 面，并对每个方面做了具体、规范的要求，使之比已 有的教学设计案例更加完整、准确、简洁、实用，更 有利于实现线上与线下教育的优势互补. 现以人教版 《义务教育教科书·数学》 九年级下册“27.3 位似 （2）” 一课为例，对教学设计的撰写谈一点心得体会.
大班数学《8的分解组成》教案
大班数学《8的分解组成》教案一、教学内容教材章节：《数学认知》第五章《数的分解与组成》第一节详细内容：学习数字8的分解组成，通过实物操作和图片辅助，引导学生理解8可以分成0、1、2、3、4、5、6、7、8这些数字的组合。
二、教学目标1. 让学生掌握数字8的分解组成方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和数学观察能力。
3. 提高学生的动手操作能力和合作意识。
三、教学难点与重点难点：理解并掌握数字8的分解组成方法。
重点：能够独立进行数字8的分解组成操作，并理解其内在逻辑。
四、教具与学具准备教具：数字卡片、实物模型、图片等。
学具：学生作业本、彩笔、剪刀、胶水等。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过展示一些含有数字8的图片，如8个苹果、8个气球等，引导学生观察并说出数字8。
2. 例题讲解：教师通过数字卡片，向学生展示数字8，并提问：“数字8可以分成哪些数字的组合呢？”引导学生思考和回答。
3. 随堂练习：教师发放学具，让学生分组进行数字8的分解组成操作，并将结果展示给全班同学。
4. 讲解与讨论：教师引导学生进行讨论，分享各自分解组成数字8的方法和思路。
6. 作业布置：教师发放作业本，让学生独立完成数字8的分解组成练习。
六、板书设计板书题目：数字8的分解组成板书内容：8可以分成：0、1、2、3、4、5、6、7、8七、作业设计1. 作业题目：请用彩笔将数字8分解成0、1、2、3、4、5、6、7、8这些数字的组合，并剪下来。
2. 答案：学生根据自己的操作和理解，完成数字8的分解组成，并将结果剪下来。
八、课后反思及拓展延伸教师在课后对本次教学进行反思，观察学生的掌握情况，针对学生的不同问题进行针对性的辅导。
同时，可以拓展延伸，让学生尝试其他数字的分解组成操作，提高学生的数学能力。
重点和难点解析一、教学内容的深入挖掘在《8的分解组成》这一节中，我们不仅要让学生知道8可以分成0、1、2、3、4、5、6、7、8这些数字的组合，更重要的是让学生理解这种分解方式的内在逻辑。
【优质课】8的组成分解教案及反思
【优质课】8的组成分解教案及反思一、教学内容本节课我们将学习《数学》二年级上册的第八单元“8的组成分解”。
具体内容包括：理解8的组成含义，掌握8可以分解为两个数的加和，并能熟练运用不同的组合方式表达8。
二、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解8的组成意义，掌握8的不同分解方式，并能够运用这些方式解决实际问题。
2. 过程与方法：通过实践活动，培养学生观察、分析、归纳的能力，增强学生对数的组合与分解的认识。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生合作交流的意识。
三、教学难点与重点教学难点：8的不同组合方式的灵活运用。
教学重点：8的组成的理解及其分解方法的掌握。
四、教具与学具准备教具：数字卡片、磁性黑板、多媒体设备。
学具：学生用数字卡片、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用磁性黑板展示“8个小球”，通过移动小球，引导学生观察和发现8可以由不同的两个数相加得到。
2. 探索活动（10分钟）学生分组，每组发一套数字卡片，合作探索8可以由哪两个数字组合而成。
每组汇报探索结果。
3. 例题讲解（10分钟）通过多媒体展示例题，讲解8的组成分解，如8=1+7、8=2+6等，并解释加法的原理。
4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成练习册上关于8的组成分解的练习题，教师巡回指导。
5. 小组讨论（5分钟）学生分组讨论在解题过程中遇到的问题和解决方法，交流心得体会。
六、板书设计板书分为两部分：1. 左侧：列出8的所有组成分解方式。
2. 右侧：展示随堂练习题的正确答案。
七、作业设计1. 作业题目：完成练习册上关于8的组成分解的题目。
答案：见练习册。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等多种方式，使学生掌握了8的组成分解。
课后反思发现，部分学生在分解过程中还存在困难，需要进一步巩固。
拓展延伸方面，可以引导学生探索其他数字的组成分解，提高学生的数学思维能力。
重点和难点解析：1. 实践情景引入中引导学生观察和发现8的组成分解。
观察、理解、反思——我学习数学的“六字诀”
观察、理解、反思——我学习数学的“六字诀”
张宇
【期刊名称】《中学生数理化：高考理化》
【年(卷),期】2018(0)1X
【摘要】在高中三年的学习过程中,我发现要想学好数学,就必须掌握好一定的学习方法。
通过不断积累总结,我觉得观察、理解、反思是学好数学的'六字诀',而这个'六字诀'是相互关联的,在解题的过程中可以单独强调某一方面,但更为重要的是全面掌握。
观察就是仔细察看,解答数学问题也需要观察吗?通过解题积累,我发现观察非常有必要,在解题的过程中,只有观察仔细,才能全面把握题目结构,提取有用信息。
【总页数】2页(P18-19)
【关键词】数形结合思想;学习数学;六字诀;数学问题
【作者】张宇
【作者单位】河南省项城市第一中学高三(16)班
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
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学反思 [J], 郑敏杰;张红坚
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理解数学理解学生理解教学作者：章建跃来源：人民教育出版社各位代表，老师们，同志们，大家好。
受本届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动组委会、评委会的委托，我给大会作总结报告。
本次活动受到全国高中数学教师、数学教研部门、各会员单位的高度重视，来自全国除西藏、港澳台以外的所有省、直辖市、自治区，行业的近830名代表参加了本次活动，覆盖范围广，参与热情高。
各会员单位做了大量前期工作，很多会员单位从两年前就开始布置、落实本项活动，把工作细化在过程中，积极组织当地广大高中青年数学教师参与观摩活动，引领广大教师交流教学经验，以观摩与评比活动带动课堂教学研究，在研究中不断深化课堂教学改革，切实提高课堂教学质量和效益。
我代表组委会对各会员单位为本次活动作出的贡献表示衷心感谢。
承办方河南省教育学会中学数学教学专业委员会，河南省基础教育教学研究室为本次活动投入了很大精力，付出了辛苦的劳动。
承办大型活动非常不易，需要考虑的问题很多，需要做的具体工作很繁重，承担的风险很大。
我代表组委会对你们做出的努力表示衷心的感谢！本次大会的协办方卡西欧（上海贸易有限公司）、《中国数学教育》&《数学周报》社为本项活动提供了资金、技术、奖品以及人力、物力的大力支持，我代表组委会对他们做出的贡献表示衷心的感谢！特别要感谢各位参赛选手，你们付出了巨大的智力劳动，承受了巨大的心理压力，为本次活动做出了特殊的贡献。
我代表大会组委会、评委会对你们的付出表示衷心的感谢，祝贺你们取得优异的成绩，祝贺你们在教师专业化成长的道路上迈出了重要而坚实的一步。
由于本次活动组织方式的改变，对评委提出了高要求。
各位评委不仅要事先对参赛选手的教学设计、教学设计说明和课堂实录进行仔细阅读、观摩，在现场还要聚精会神地观察选手的表现，根据参赛选手的预设和现场生成，做出评判，并给出点评。
本次活动的圆满成功，与各位评委的无私奉献、辛勤劳动直接相关，我代表组委会对各位评委的高度热情和负责精神表示衷心感谢。
下面我就本次活动作一总结。
一、本次活动的基本成绩1．关于活动满意度的调查。
我们以问卷的方式，对本次活动的现场满意度作了调查，结果如下（问卷127份）：对本次活动的总体评价：满意57.3%，基本满意41.7%，不满意1%。
参会代表最感兴趣的环节：选手讲述4.9%，代表互动16.5%，评委点评78.6%。
这一组数据表明，广大观摩代表对评委会的期望值很高。
要达到这样的预期，真正满足大家的要求，我们评委会还需要努力！我们愿意付出努力！从上述结果看，大家对本次活动的总体评价是好的。
2．本次活动涉及的教材版本有人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、上海版、人教大纲版。
版本的多样化从一个侧面反映了本次活动的代表性和广泛参与性。
3．内容覆盖了高中课程的所有板块，有大量的概念课，这是非常好的现象。
概念教学是我国数学课堂的薄弱环节，加强研究很有必要。
另外，有些选手选择了一些难点课题开展教学研究，例如概率、统计中的一些概念课，这是当前需要重点研讨的，希望今后有更多的选手能迎难而上。
4．各位参赛选手在理解教学内容上下了很大功夫，与往届比较，在数学理解水平上有了很大长进。
5．学生主体意识进一步加强，注重精心设计学生活动，采取问题引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动。
6．教学过程中，能自觉注意根据学生的认知规律安排教学活动。
特别值得一提的是，许多参赛教师都能注意根据概念教学的基本规律安排教学进程，注意通过具体事例的归纳、概括活动得出数学概念。
7．信息技术与数学教学整合的水平进一步提高，大部分教师都能做到恰当使用信息技术，帮助学生理解数学内容。
8．现场互动充分，评委事先观看了各位选手提供的完整的课堂录像，预先写好了点评提纲，并结合每一位选手的现场表现给予认真点评。
代表的参与程度高，现场气氛热烈。
摆事实、讲道理、亮观点的互动原则得到贯彻。
二、几个需要进一步思考的问题1．正确理解“三维目标”在参赛选手提供的教学设计中，教学目标的表述不尽一致。
许多老师采用了“三维目标”分别阐述的方式呈现目标。
例1“二元一次不等式表示平面区域”的教学目标。
知识与技能：(1)理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判定方法；(2)能做出二元一次不等式表示的平面区域。
过程与方法：(1)增强学生数形结合的思想；(2)理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。
情感态度价值观：(1)通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；(2)体会数学的应用价值；(3)体会由一般到特殊、由特殊到一般的思想。
例2“基本不等式”的教学目标。
知识技能：要求学生探索基本不等式的证明过程，了解其几何意义，会解决简单的最值问题。
过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式，体会数形结合思想方法。
情感态度价值观：通过不同角度探究，培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神。
上述两例，从积极的方面看，老师们已经注意到教学目标必须反映内容特点，关注到显性目标与隐性目标的不同。
但这样的表述，除了目标分类不准确、表达不确切（如把“由一般到特殊、由特殊到一般”的逻辑思考方法不恰当地归入情感领域，把“培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神”这样的“放之四海而皆准”的目标作为一堂课的目标。
）等“技术性”问题外，最大的问题是混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。
“三维目标”是课程目标而不是课堂教学目标。
“三个维度”具有内在统一性，都指向人的发展，它们交融互进。
“知识与技能”只有在学生独立思考、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构；“情感、态度与价值观”只有伴随着学生对数学知识技能的反思、批判与运用，才能得到升华；“过程与方法”只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。
“三维目标”是中学课程目标的整体设计思路，反映了一个学习过程中的三个心理维度，但不是教学目标的维度。
在制定教学目标时简单地套用“三个维度”将使课堂不堪重负。
教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑高中阶段的数学教学目的、内容特点和学生情况来确定。
课堂教学不是为了体现课程目标的“三个维度”而存在的，而是要具体而扎实地把数学课程内容传递给学生，要以数学知识教学为载体来促进学生的发展，这样才能真正实现“数学育人”。
因此，一堂数学课的教学目标，应当是以数学知识、技能为载体，在教学过程中开展数学思想、方法的教学，渗透情感、态度和价值观的教育。
只有在正确理解教学内容的基础上，才能制定出恰当的教学目标。
例3 “基本不等式”的教学目标——正确理解内容的基础上。
在制定教学目标时我们首先应思考：为什么把≤ （a,b≥0）叫做“基本不等式”？如何理解“基本”二字？我认为，这一不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化。
这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量。
这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。
认真仔细地分析教材的编写意图，也是理解内容的一个方面。
“人教A版”通过赵爽弦图引入对基本不等式的研究，并在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生讨论基本不等式的几何意义，从而理解为什么把基本不等式叫做“算术平均数与几何平均数的关系”。
教科书引导学生经历了如下过程。
首先，以“探究”引出问题，经过抽象得到赵爽弦图，并且从图中的面积关系得到不等式a2+b2≥2ab及其等号成立的条件，再进一步地作变形（在a，b＞0的条件下用，分别代换a，b）得到基本不等式；其次，用分析法给出代数证明[如果用综合法，要从(－)2≥0开始，思路不自然]，因为不难，所以让学生填空；第三，以“探究”引导学生对基本不等式作几何解释，使学生有机会数形结合地进一步认识基本不等式。
因为基本不等式很重要，但只给代数证明非常乏味，所以教科书构建了上述过程，这是与以往教材有很大区别的地方。
基于上述内容理解，可以确定“基本不等式”的教学目标：(1)借助弦图、实际问题，经历基本不等式模型的猜想过程，提高观察能力，数学抽象能力；(2)探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式的代数结构及其使用条件；(3)会用基本不等式解决简单的实际问题（注重建模过程）。
这样的目标对教学有真正的定向作用，在课堂教学中紧紧围绕目标展开教学，就能使课堂做到高效。
2. 围绕概念的核心展开教学一段时间以来，大家对数学教学的有效性开展了大量研究。
如果在网上以“有效教学”为关键词搜索，那么有效教学的论文数以万计，还有许多理论专著，有效教学研究可谓一片繁荣。
然而，与之形成鲜明对照的是课堂教学的低效甚至无效。
看来，“有效教学”的研究也有“无效”之虞。
到底怎样才能实现课堂教学的有效性？我认为，只有围绕数学概念的核心展开教学，在概念的本质和数学思想方法的理解上给予点拨、讲解，让学生在理解概念及其反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，这样才能实现有效教学。
因为概念的核心、思想方法是不容易把握的，这是教师发挥主导作用的重点所在；具体细节正好是锻炼学生应用概念解决问题的机会，是促进学生理解概念的平台。
那种事无巨细、包打天下的做法，要把所有细节、变化都在课堂上讲完练完的企图，最终只能把关键、重点、核心淹没在细节的海洋中，不仅教学效果不佳，而且导致学生负担沉重。
例4“三角函数诱导公式”的核心。
以往我们从“三角恒等变形”的角度理解三角函数诱导公式，把它当成是“将任意角的三角函数转化成锐角三角函数”的工具。
教学中，因为诱导公式太多，学生记不住，老师们又将之进一步概括成为“奇变偶不变，符号看象限”。
实践表明，教学效果总不尽如人意。
什么原因呢？我认为，主要原因在于这样的教学没有抓住“诱导公式”的核心。
“其实，x＝cos t和y＝sin t是单位圆的自然的动态（解析）描述。
由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述。
”诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述，它是三角函数的一条性质——对称性。
围绕“对称性”这一核心展开教学，就可以实现诱导公式教学的以简驭繁。
例如，学生在问题“如果任意角α的引导下，可以容易地得到：β＝2kπ+π+α。
由于α的终边、β的终边与单位圆的交点关于原点对称，因此sinβ＝sin(2kπ+π+α)＝sin(π+α)＝－sinα。
的终边与任意角β的终边关于原点对称，那么它们有什么关系？它们的三角函数又有什么关系？”类似的，在问题“如果αx轴对称，它们有什么关系？它们的三角函数又有什么关系？关于y轴、或关于直线y=x、或关于直线y=－x对称呢？”的引导下，可以容易地得到其他诱导公式。