1.2.2应用举例

AB sin A 5 sin 15 BC 7.4524(km). sin C sin 10
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答：山的高度约为1047米。
变式：某人在M汽车站的北偏西200的方 向上的A处，观察到点C处有一辆汽车 沿公路向M站行驶。公路的走向是M站 的北偏东400。开始时，汽车到A的距离 为31千米，汽车前进20千米后，到A的 距离缩短了10千米。问汽车还需行驶 多远，才能到达M汽车站？
总结 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推 演 理 算 实际问题的解 还原说明 数学模型的解
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
D A C B


解：在⊿ABC中，∠BCA= 90° +β, ∠ABC= 90° -α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
BC AB sin( ) sin( 90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( )
A
a sin AC sin( )
D G

C H

E
B
a sin sin AB AE h AC sin h h sin( )
例4.如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54 0 40' , 在塔底
C处测得A处的俯 角 50 01'. 已知铁 塔BC 部分的高为 27.3m, 求出山高C D (精确到1m).
例3：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测 得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求 此山的高度CD 分析：要测出高CD,只要测出
高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知 条件，可以计算出BC的长。H
例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 中， 器的高是h.那么，在 ACD 根据正弦定理可得
1.2.2 应用举例
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角 C 和 BC 的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
2、底部不能到达的
例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑 物高度AB的方法.
想一想 A
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么，
求什么？
D G
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山 的高度CD.
解：在⊿ABC中， ∠A=15°,
15°=10°. ∠C= 25°
根据正弦定理，
BC AB sin A sin C

C H

E B
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 D 出建筑物的高。所以应该设 G 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
B C


解RtABD, 得 BC cos sin BD AB sin BAD sin( )
D
A
27.3 cos 501' sin 54 40' sin( 54 40' 501' ) 177 (m) CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
答：山的高度约为150米。