2011-2012年第一学期《数学软件应用》科目考查卷

2011-2012年第一学期《数学软件应用》科目考查卷
专业：数学与应用数学 班级：数学 班 任课教师： 姓名： 学号： 成 绩：
1、使用MATLAB 指令求解下列极限：
(1)x
x x 1
sin lim 2
+→ (5分)
>> syms x;limit((x^2)*sin(1/x),x,0,'right') ans = 0
(2)x
x
x arctan lim +∞
→ >> syms x;limit((atan(x)/(x)),x,inf,'left') ans = 0
2、绘制下列的图形：
（1）在同一个坐标系下绘出以下的曲线：y1曲线为红色, y2曲线为蓝色,步距均为0.01.
]5,0[,12∈=-x xe
y x
]2,2[),3cos(52-∈=x x y π
>> x=[0:0.01:5];y1=x.*(exp(-2.*x));plot(x,y1,'r') >> hold on
>>x=[-2:0.01:2];y2=5*cos(3*pi*x);plot(x,y2,'b')
（2）在xy坐标平面内选择区域[-6,6]×[-6,6]，绘制函数
2 22
2 cos
y
x y
x z
++
=
三维曲面图。

>>
[x,y]=meshgrid(-6:0.1:6,-6:0.1:6);z=(cos(sqrt(x.^2+y.^2 )))./(sqrt(x.^2+y.^2));surf(x,y,z)
3、清朝嘉庆皇帝爱新觉罗.顒琰在位25年，他曾经出过一道数学趣题：有人花100两银子买了100头牛，大牛每头值10两，小牛每头值5两，牛犊每头值半两。

试问，此人买了大牛，小牛，牛犊各多少头？设大牛，小牛，牛犊分别买了x ，y ，z 头，请使用MATLAB 编程求解出x ，y ，z 的值。

解：建立线性方程组：
⎩⎨
⎧=++=++100
100
5.0510z y x z y x >> flag=0; for x=0:10 for y=0:20
z=100-x-y;
if 10*x+5*y+0.5*z==100 flag=1;
end
if flag==1
break;
end
end
if flag==1
break;
end
end
x,y,z
x =
1
y =
9
z =
90
>>
4、分别利用数值积分法、符号积分法求
2
x
1-
2
1
I=e dx
2π。

a=0; %积分下限
b=1; %积分上限
d=0.0001; %定值积分步长
x=a:d:b;
for i=1:length(x); %计算每一点处y的值
y(i)=1/sqrt(2*pi)*exp(-x(i).^2/2);
end
i0=sum(y)*d; %所有点y值的和乘以步长，得到面积（即积分）
syms x y; %定义符号变量
y=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2); %所需积分的函数
i1=int (y,0,1); %调用int进行积分计算
i1=eval(i1); %数值化
fprintf('Numerical integration results = %f\n',i0) %打印结果
fprintf('Symbolic Integration results = %f\n',i1) 得到结果如下：
Numerical integration results = 0.341377
Symbolic Integration results = 0.341345
5、已知一组测量值
t 1 2 3 4 5 6 7 8
y
1
5
3
9
6
6
8
5
8
9
6
7
1
2
8
6
采用三阶多项式进行拟合，并绘出拟合结果曲线。

>> x=[1 2 3 4 5 6 7 8];
y=[15 39 66 85 89 67 12 86];
a=polyfit(x,y,3);
xi=linspace(0,8,80);
yi=polyval(a,xi);
plot(x,y,'o',xi,yi);
6、已知变量 y 与时间t 有一定的函数关系，试验数据如下： t 1
2
3
4 5
6
7
8
y 16.08 33.83 65.8 97.2 191.55 326.2 386.87 520.53 t 9
10
11
12
13
14
15
16
y 590.03 651.92 724.93 699.56 689.96 637.56 717.41 730.15
做出散点图，并选择曲线ct
b e a
y -+=1进行拟合。

解：
解：曲线ct b e
a
y -+=1中待定的系数有a,b,c.
使用模拟退火算法编写程序如下：
%========================================
%第六题
%打印结果中，x为一行三列的向量，分别为a,b,c的值
%tem为温度
%e为平方误差
%=========================================
clear;
t=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16];
y=[16.08 33.83 65.8 97.2 191.55 326.2 386.87 520.53 590.03 651.92 724.93 699.56 689.96 637.56 717.41 730.15];
temp=100; %温度
x =[1 1 1]; %初始化x
e=sum((x(1)./(1+exp(x(2)-x(3).*t))-y).^2);
MaxTrialN = 6000; % Max. # of trials at a temperature MaxAcceptN = 3000; % Max. # of acceptances at a
temperature
StopTolerance = 0.005; % Stopping tolerance TempRatio = 0.95; % Temperature decrease ratio minE = inf; % Initial value for min. energy
maxE = -1;
loop=0
while (maxE - minE)/maxE > StopTolerance %大循环
minE=inf;
maxE = 0;
TrialN = 0; % Number of trial moves
AcceptN = 0; % Number of actual moves
while TrialN < MaxTrialN & AcceptN < MaxAcceptN, %小循环
new_x = x;
new_x=new_x+rand(1,3)-0.5;
%目标函数--平方误差
new_e=sum((new_x(1)./(1+exp(new_x(2)-new_x(3).*t))-y
).^2);
if rand < exp((e - new_e)/temp), % accept it!
e = new_e;
x = new_x;
minE = min(minE, e);
maxE = max(maxE, e);
AcceptN = AcceptN + 1;
end
TrialN = TrialN + 1;
end
fprintf('temp. = %f\n', temp); %打印结果
fprintf('x = %f\n', x);
fprintf('e= %f\n', e);
fprintf('[minE maxE] = [%f %f]\n', minE, maxE);
fprintf('[AcceptN TrialN] = [%d %d]\n\n', AcceptN, TrialN);
temp = temp*TempRatio;
loop=loop+1
end
sim_y=x(1)./(1+exp(x(2)-x(3).*t));
plot(t,y,'*',t,sim_y,'r')
legend('原始数据','拟合')
得到输出结果：
loop =
28
temp. = 23.782689
x = 694.144842
x = 4.443361
x = 0.698659
e= 10698.990718
[minE maxE] = [10698.990718 10713.125535]
[AcceptN TrialN] = [3 6000]
可以知道abc为别为694.144842，4.443361，0.698659，平方误差为10698.990718。

拟合图象见图4：。