第四节 逆矩阵ppt

a11 a 设 A = 21 L an1 a12 a22 L an2 L L L L a1n a2n , L ann
A11 A 12 称 A* = L A1n
A21 A22 L A2 n
L An1 L An 2 L L L Ann
3 1 2 − 1 4 AB = 2 1 − 2 3 = 2 3 1 1 − 1 1 = AC = 2 1 − 2 3 0 1 − 1 3 1 1 CA = − 2 3 2 1 = 0 0 1 0 1 0 1
x2 −1 1 = 0 1 x4
2.解矩阵方程
1 1 x1 1 2 x 3
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第一章 行列式与矩阵
补充 求解矩阵方程
逆矩阵的应用
1 − 5 3 2 −1 4 X = 1 4
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第一章 行列式与矩阵
练习： 练习：求下列矩阵逆矩阵
2 A= 1 −1 3 −1 2 3 0 1
可逆
结果
−1 A* = − 1 1 3 5 −7
A = −2 ≠ 0
1/ 2 3 −1 3 A = 1/ 2 −1/ 2 − 5
第一章 行列式与矩阵
逆矩阵概念 1. 逆矩阵概念
1 2 3 4
逆矩阵求解 4. 逆矩阵求解
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逆矩阵性质 2. 逆矩阵性质
可逆性判别 3. 可逆性判别
第一章 行列式与矩阵
一、逆矩阵概念 概念引入
实数运算中 矩阵运算中， 矩阵运算中，
逆矩阵是方阵
1 其中 a × a = 1 (其中 a ≠ 0) , a = a 相当于
第一章 行列式与矩阵
二、逆矩阵性质
(A )
−1 −1
=A
1
(A ) = (A )
T −1
2 3
−1 T
4
A
−1
1 = A
( AB) = B A
−1
−1
−1
四个性质中3、4应用频率较高
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第一章 行列式与矩阵
三、可逆性判别 即逆矩阵存在的充要条件
若 A = 0时, A称为奇异矩阵 ； A ≠ 0时, A称为 若 非奇异矩阵 .
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第一章 行列式与矩阵
一、数学软件及其分类
1、数学软件：所有的能用于解决数学问题的软件皆可称为数 数学软件： 学软件。因此，数学软件是一个软件集合， 学软件。因此，数学软件是一个软件集合，不是单指某个软 件。 2、数学软件分类 ：数学软件从功能上分类可分为通用数学 软件包和专业数学软件包。 软件包和专业数学软件包。 通用数学软件包功能比较完备，包括各种数学、数值计算、 通用数学软件包功能比较完备，包括各种数学、数值计算、 特殊函数、绘图函数、 丰富的数学函 数、特殊函数、绘图函数、用户图形届面交互 功能， 言的接口及庞大的外挂函数库机制( 功能，与其他软件和语 言的接口及庞大的外挂函数库机制(工 具箱toolbox) 常见通用数学软件包有Matlab Mathematica和 toolbox)。 Matlab、 具箱toolbox)。常见通用数学软件包有Matlab、Mathematica和 Maple，其中Matlab以数值计算见长，Mathematica和Maple以符 Matlab以数值计算见长 Maple，其中Matlab以数值计算见长，Mathematica和Maple以符 号运算、公式推导见长。 号运算、公式推导见长。
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第一章 行列式与矩阵 将字母分组得向量
W 23 = , E 5 D 4 = , E 5
A 1 = , R 18 N 14 = , T 20
E 5 = , S 19 S 19 = . Z 26
T 20 = , U 21
选用两个元素的向量 最后一组字母用Z补齐
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−1
−1
E
a
1
A
AA = E
−1
A
−1
a
−1
1 A ≠ A
−1
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第一章 行列式与矩阵
逆矩阵概念
定义 1 设 A 为 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B ,使得
1
AB = BA = E
−1 则称 A可逆, B 称为 A 的逆矩阵 逆矩阵，简称逆阵 逆阵，记作： A = B 逆矩阵 逆阵
1
2
定理： 为非奇异矩阵， 定理：若矩阵 A 为非奇异矩阵， A 可逆. 则 可逆.
A ≠ 0
存在的充分必要条件 是 A 存在的充分必要条件
−1
《工程数学》 工程数学》第一章 行列式与矩阵四、逆矩阵求解1
待定系数法
只针对简单问题
2
伴随矩阵法 伴随矩阵法
常规方法
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第一章 行列式与矩阵
3 设 A= 2
− 1 ，求 A − 1 . 4
可逆. 因为 A = 14 ≠ 0 ，故 A 可逆
A11 = 4 A12 = − 2 A 21 = 1 A 22 = 3
故
−1
4 1 A = . − 2 3
*
1 * 14 A = A= A 14−2
1 2/ 7 1/14 = −1/ 7 3/14 3
方程（ ）可化为： 方程（1）可化为：
例如， 例如，
AX = b
（2） ）
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第一章 行列式与矩阵
求解方程（ 求解方程（2）可利用逆矩阵
AX = b
A ( AX ) = A b
−1 −1
( A−1 A) X = A−1b
EX = A−1b X = A−1b
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2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
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第一章 行列式与矩阵
伴随矩阵
例
2 判断 A = −1 2 由 A= 解 −1
设 则
1 的可逆性，并求解 A−1 的可逆性， 0 −1 1 存在。 = 1 ≠ 0 ， 知 A 存在。 0
a b B= 是 A 的逆矩阵 的逆矩阵, c d
2 1 a b 1 0 AB = = − 1 0 c d 0 1
为矩阵 A 伴随矩阵 伴随矩阵. 代数余子式为元素 伴随矩阵以矩阵行列式 A 的代数余子式为元素
注意伴随矩阵元素排列顺序
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第一章 行列式与矩阵 定理
若 A ≠ 0 ，则 A
−1
1 = A* A
此定理即为逆矩阵的伴随矩阵求解法
记
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第一章 行列式与矩阵
例 解
61 33 56 37 67 43 103 62 23 14 88 54 116 71
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第一章 行列式与矩阵 接受者接到密码后用 A −1 还原密码得到真码 如， A−1[ AW ] = A−1 61 = 23 , A−1 56 = 5 , …… E 33 5 37 19 还原之后的数字与字母比照即可翻译成原话（其 中，最后一个字母显然不在句子中，可自然省略） 数字可公开，但矩阵不能公开。 向量和矩阵都可以调整。
3 2 1 −5 设 A= −1 4 B = 1 4
X = A−1 B A ( AX ) = A B ，则
−1 −1
AX = B
1 −5 3 2 − 4 − 5 3 2= − 17 − 28. = X = −1 4 1 4 − 1 − 1 1 4 − 4 − 6 工程数学》 《工程数学》
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第一章 行列式与矩阵
例如， 例如，
将“ WE ARE STUDENTS”编成密码 数字与字母对应 A B C D E F G H I J K L M N O P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 R S T U V W X Y Z 18 19 20 21 22 23 24 25 26
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第一章 行列式与矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a 2a + c = 1, a = 0, 2b + d = 0, b = −1, 0 − 1 ⇒ ⇒B= ⇒ 1 2 − a = 0, c = 1, − b = 1, d = 2. 又因为 AB BA
2
定理 若 A 是可逆的，则其逆阵由 A 惟一确定.
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第一章 行列式与矩阵
3 1 1 − 1 2 − 1 A= 2 1 , B = − 2 3 , C = − 2 3 逆矩阵？ 验证： 验证： B 和 C 是否均是 A 逆矩阵？
第一章 行列式与矩阵 选择二阶可逆矩阵
2 3 A= 1 2 用A与向量左乘
2 − 3 A = −1 2