高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_14 含解析
苏教版数学高二- 选修2-2第二章《推理与证明》综合检测
综合检测(二)第2章推理与证明(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确的答案填在题中横线上)1．下面几种推理是合情推理的序号的是________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.【解析】①是类比推理；②是归纳推理；③不属于合情推理；④是归纳推理．【答案】①②④2．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理错在________(填“大前提”，“小前提”或“推理过程”)．【解析】a＝0时，a2＝0，因此大前提错误．【答案】大前提3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n（2n2＋1）3时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．【解析】由等式的特征，左边应添加(k＋1)2＋k2.【答案】(k＋1)2＋k24．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1，3，9，27，…，故a n＝3n－1.【答案】3n－15．已知a＞0，b＞0，m＝lg a＋b2，n＝lga＋b2，则m与n的大小关系为________．【解析】∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab＞a＋b＞0，∴a＋b＞a＋b＞0，则a＋b2＞a＋b2.∴lg a＋b2＞lga＋b2，则m＞n.【答案】m＞n6．已知圆x2＋y2＝r2(r＞0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的面积最有可能是________．【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即a＝b情形．∴类比S圆＝πr2，得椭圆面积S＝πab.【答案】πab7．已知结论“若a1，a2∈{正实数}，且a1＋a2＝1，则1a1＋1a2≥4”，请猜想若a1，a2，…，a n∈{正实数}，且a1＋a2＋…＋a n＝1，则1a1＋1a2＋…＋1a n≥________．【解析】左边是2项，右边为22，猜想：左边是n项，右边为n2.【答案】n2图28．现有一个关于平面图形的命题：如图2，在一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个正方形的某个顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个正方体的某个顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．【解析】正方形类比到正方体，重叠面积类比到重叠体积，则S＝a24，类比得V＝(a2)3＝a38.【答案】a3 89．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 345 6789101112131415根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左到右的第三个数是________．【解析】前n－1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n2－n2个，∴第n行第3个数是n2－n2＋3＝n2－n＋62.【答案】n2－n＋6210．(2013·南京高二检测)已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且公比q＞1，若a1＝b1，a2 013＝b2 013，则a1 007与b1 007的大小关系是________．【解析】 由2a 1 007＝a 1＋a 2 013，得a 1 007＝a 1＋a 2 0132.又b 21 007＝b 1·b 2 013，得b 1 007＝b 1·b 2 013，∵a 1＝b 1＞0，a 2 013＝b 2 013＞0，且a 1≠a 2 013， ∴a 1 007＞b 1 007. 【答案】 a 1 007＞b 1 00711．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其“三段论”的形式为：大前提：一切奇数都不能被2整除． 小前提：________．结论：所以2100＋1不能被2整除． 【答案】 2100＋1是奇数12．求证：1＋5＜23的证明如下：因为1＋5和23都是正数，所以为了证明1＋5＜23， 只需证明(1＋5)2＜(23)2， 展开得6＋25＜12，即5＜3， 只需证明5＜9.因为5＜9成立． 所以不等式1＋5＜23成立． 上述证明过程应用的方法是________． 【答案】 分析法13．用反证法证明命题“a ，b ∈N *，ab 可被5整除， 那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是________．【解析】 “a 、b 中至少有一个能被5整除”的否定为“a ，b 都不能被5整除”．【答案】 a ，b 都不能被5整除14．(2013·徐州高二检测)在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图3所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．图3【解析】 CE 平分角ACB ，而面CDE 平分二面角A —CD —B. ∴AC BC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AE EB ＝S △ACDS △BCD .【答案】 AE EB ＝S △ACDS △BCD二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)观察：(1)sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； (2)sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 【解】 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°＋2α）2＋sin α(32cos α－12sin α) ＝1－cos 2α2＋12[1＋(12cos 2α－32sin 2α)]＋34sin 2α－12sin 2α ＝1－14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－12×1－cos 2α2＝3 4.16．(本小题满分14分)已知0<a<1，求证：1a＋41－a≥9.【证明】∵0<a<1，∴1－a>0.欲证1a ＋41－a≥9成立，只需证明1－a＋4a≥9a(1－a)．整理移项9a2－6a＋1≥0.即证明(3a－1)2≥0.∵a∈(0，1)，∴(3a－1)2≥0显然成立．故1 a ＋41－a≥9成立．17．(本小题满分14分)(2013·无锡高二检测)已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c，是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．【解】f(a)＋f(c)＞2f(b)，证明如下：∵a，b，c是不相等的正数，∴a＋c＞2ac，∵b2＝ac，∴ac＋2(a＋c)＞b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4＞b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)＞(b＋2)2，∵f(x)＝log2x是增函数，∴log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2，即log2(a＋2)＋log2(c＋2)＞2log2(b＋2)故f(a)＋f(c)＞2f(b)．18．(本小题满分16分)如图4甲，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图乙，三棱锥A—BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题？图4【解】命题是：三棱锥A—BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD 所在平面内的射影为M，则有S2△ABC＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题．证明如下：在图乙中，连结DM，并延长交BC于E，连结AE，则有DE⊥BC，AE⊥BC.因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.因为AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是S2△ABC＝(12BC·AE)2＝(12BC·EM)·(12BC·ED)＝S△BCM·S△BCD.19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a＜b)．(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.【解】(1)当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)．∴f′(x)＝(x－1)(3x－5)，则f′(2)＝1.又f(2)＝(2－1)2(2－2)＝0.∴f(x)在点(2，0)处的切线方程为y ＝x －2. (2)因为f′(x)＝3(x －a)(x －a ＋2b3)， 由于a ＜b ，故a ＜a ＋2b 3，所以f(x)的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b 3. 不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2， 且x 3是f(x)的零点． 故x 3＝b.又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b3)， 故可令x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3，此时，a ，2a ＋b 3，a ＋2b3，b 依次成等差数列， 所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b3.20．(本小题满分16分)已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g(n)＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．【解】 (1)当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)； 当n ＝2时，f(2)＝98，g(2)＝118，所以f(2)＜g(2)；当n ＝3时，f(3)＝251216，g(3)＝312216， 所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明： ①当n ＝1，2，3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k(k ≥3)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2， 那么，当n ＝k ＋1时， f(k ＋1)＝f(k)＋1（k ＋1）3＜32－12k 2＋1（k ＋1）3， 因为12（k ＋1）2＋1（k ＋1）3－12k 2＝k ＋32（k ＋1）3－12k 2＝－3k －12（k ＋1）3k 2＜0， ∴－12k 2＋1（k ＋1）3＜－12（k ＋1）2，因此32－12k 2＋1（k ＋1）3＜32－12（k ＋1）2， ∴f(k ＋1)＜32－12（k ＋1）2， ∴当n ＝k ＋1时成立． 由①②可知，对一切n ∈N *， 都有f(n)≤g(n)成立．。
苏教版高中数学必修2学业分层测评14 两点式 Word版含解析
学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________________．【解析】由直线的两点式方程得y－25－2＝x－(－1)2－(－1)，整理得x－y＋3＝0.【答案】x－y＋3＝02．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程________．①可以写成两点式或截距式；②可以写成两点式或斜截式或点斜式；③可以写成点斜式或截距式；④可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式．【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．【答案】②3．直线xa＋yb＝1过第一、二、三象限，则a________0，b________0.【解析】因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.【答案】<>4．若直线l过定点(－1，－1)和(2,5)，且点(2 017，a)在l上，则a的值为________．【解析】∵(－1，－1)，(2,5)，(2 017，a)三点共线，∴5－(－1)2－(－1)＝a－52 017－2，∴a＝4 035.【答案】 4 0355．经过点A(2,1)，在x轴上的截距为－2的直线方程是________. 【导学号：60420059】【解析】 由题意知直线过两点(2,1)，(－2,0)，由两点式方程可得所求直线的方程为y －01－0＝x ＋22＋2，即x －4y ＋2＝0. 【答案】 x －4y ＋2＝06．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a ＝1在同一直角坐标系中的图象可以是________．图2-1-5【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置．【答案】 ①7．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x 0，y 0)在线段AB 上移动，则4x 0＋3y 0的值等于________．【解析】 AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1，则x 03＋y 04＝1，即4x 0＋3y 0＝12.【答案】 128．直线mx ＋ny ＋p ＝0(mn ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则m ，n ，p 满足的条件是________．【解析】 当p ＝0时，直线在两轴上的截距相等，当p ≠0时，因mn ≠0，∴－p m ＝－p n ，即m ＝n .【答案】 p ＝0或p ≠0且m ＝n二、解答题9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.【解】 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．【解】 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －5a ＋－4b ＝1，12|a |·|b |＝5，解得⎩⎨⎧ a ＝5，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4.故直线l 的方程为x 5－y 2＝1或－2x 5＋y 4＝1.即2x －5y －10＝0或8x －5y ＋20＝0.[能力提升]1．过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线的方程为__________．【解析】 当b ＝0时，设直线方程为y ＝kx ，则2k ＝－1，所以k ＝－12，所以直线方程为y ＝－12x ，即x ＋2y ＝0.当b ≠0时，设直线方程为x 3b ＋y b ＝1，则23b ＋－1b ＝1，解得b ＝－13.所以直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0.【答案】 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝02．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x 的取值范围是______．【解析】 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 3．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________．【解析】 由A ，B ，P 三点共线，得y －0x －3＝4－00－3， 即y ＝－43(x －3)，x ∈[0,3]．∴xy ＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43(x －3)＝－43(x 2－3x ) ＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3. 当x ＝32时，xy 取得最大值3，此时x ＝32，y ＝2，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【答案】 34．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差的绝对值为3，求直线l 的方程．【解】 由题意可知，设直线l 与两坐标轴的交点分别为(a,0)，(0，b )，且有a ＞0，b ＞0，根据题中两个条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ S ＝12ab ＝2，|a －b |＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4.所以直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y 4＝1.。
苏教版高中数学必修二第2章学业分层测评12.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是________．(填序号)①频率分布折线图与总体密度曲线无关；②频率分布折线图就是总体密度曲线；③样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线；④如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线．【解析】由总体密度曲线定义知④正确．【答案】④2．为了解高二年级女生的身高情况，从中抽出20名进行测量，所得结果如下：(单位：cm)149159142160156163145150148151156144148149153143168168152155在列样本频率分布表的过程中，如果设组距为4 cm，那么组数为________．【解析】极大值为168，极小值为142，极差为168－142＝26，根据组距＝极差组数，知组数为7. 【答案】 73．一个容量为40的样本数据，分组后，组距与频数如下：[5,10)5个；[10,15)14个；[15,20)9个；[20,25)5个；[25,30)4个；[30,35]3个．则样本在区间[20，＋∞)上的频率为________．【解析】 由题意知在区间[20，＋∞)上的样本数为5＋4＋3＝12个，故所求频率为1240＝0.3.【答案】 0.34．如图2-2-5是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图中的数据填空．图2-2-5(1)样本数据在范围[6,10)内的频率为________； (2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________． 【解析】 (1)样本数据在[6,10)内频率为0.08×4＝0.32. (2)在[10,14)内的频数为0.09×4×100＝36. 【答案】 (1)0.32 (2)365．在样本频率分布直方图中，共有11个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积的和的14，且样本容量为100，则中间一组的频数为________．【解析】 设中间一个小矩形的面积为x ，由题意得x 1－x ＝14，解得x ＝15，故中间一组的频数为100×15＝20.【答案】 206．为了了解某地区10 000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图2-2-6.根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是________．图2-2-6【解析】 依题意得，该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是10 000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4 000.【答案】 4 0007．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图2-2-7，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________.【导学号：11032040】图2-2-7【解析】 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，则15m ＝0.3，m ＝50.【答案】 508．对某市“两学一做”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图2-2-8)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：图2-2-8(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“两学一做”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．【解析】 设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5×(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h ＝0.04.志愿者年龄在[25,35)的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800＝440.【答案】 (1)0.04 (2)440 二、解答题9．某工厂对一批产品进行了抽样检测，图2-2-9是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是多少？图2-2-9【解】 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.10．下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).分组 [122， 126) [126， 130) [130， 134) [134， 138) [138， 142) 人数58102233分组 [142， 146) [146， 150) [150， 154) [154， 158] 人数201165(1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134 cm 的人数占总人数的百分比． 【解】 (1)样本频率分布表如下：分组 频数 频率 [122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 [142,146) 20 0.17 [146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158] 5 0.04 合计1201(2)其频率分布直方图如下：(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm 的人数占总人数的19%.[能力提升]1．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下，则表中字母m、n、M、N所对应的数值分别为________、________、________、________.组别频数频率[145.5,149.5)80.16[149.5,153.5)60.12[153.5,157.5)140.28[157.5,161.5)100.20[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5]m n合计M N【解析】由题意知样本容量为80.16＝50，故M＝50，从而m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，所以n＝450＝0.08；N＝1.【答案】40.0850 12．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图2-2-10)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．图2-2-10【解析】由题意知1－(0.005＋0.035＋0.020＋0.010)×10＝0.3，故a＝0.3 10＝0.030；由分层抽样的方法知，在[140,150]内的学生中选取的人数为18×0.010.03＋0.02＋0.01＝18×16＝3人．【答案】 0.030 33．某市数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图2-2-11所示，已知130～140分数段的人数为90人，求90～100分数段的人数a ＝________，则下边的流程图(图2-2-12)的功能是________．图2-2-11 图2-2-12【解析】 ①在频率分布图中，由题意可得900.05＝a0.45，∴a ＝810. ②在图2中，∵a ＝810， n ←1时，S ←1，S ←1×1， n ←2时，S ←1×1，S ←1×1×2， n ←3时，S ←1×2，S ←1×2×3， 依此循环，n >810时终止循环，输出S . 此时S ＝1×2×3×4× (810)故该流程图的功能是计算并输出1×2×3×4×…×810的值． 【答案】 810 计算并输出1×2×3×…×810的值4．从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，被抽取的学生的身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…；第八组[190,195]，如图2-2-13是按上述分组方法得到的频率分布直方图．图2-2-13(1)根据已知条件填写下面表格：组别12345678样本数(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180 cm以上(含180 cm)的人数．【解】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06，∴第七组的人数为0.06×50＝3.同理可得各组人数如下：组别12345678样本数2410101543 2(2)由频率分布直方图得后三组的频率为0.016×5＋0.06＋0.008×5＝0.18.估计这所学校高三年级身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144.。
高中数学选修2-2分层测评 第二章 推理与证明 2.2.1 含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4 θ＝cos 2θ”的过程：“cos 4 θ－sin 4 θ＝(cos 2 θ＋sin 2 θ)(cos 2 θ－sin 2 θ)＝cos 2 θ－sin 2 θ＝cos 2θ”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法【解析】 此证明符合综合法的证明思路．故选B. 【答案】 B2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 2＋b 22≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0， 只需证(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 【答案】 D3．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么，d⊗(a⊕c)等于()A．a B．bC．c D．d【解析】由⊕运算可知，a⊕c＝c，∴d⊗(a⊕c)＝d⊗c.由⊗运算可知，d⊗c＝a.故选A.【答案】 A4．欲证2－3<6－7成立，只需证()A．(2－3)2<(6－7)2B．(2－6)2<(3－7)2C．(2＋7)2<(3＋6)2D．(2－3－6)2<(－7)2【解析】∵2－3<0，6－7<0，故2－3<6－7⇔2＋7<3＋6⇔(2＋7)2<(3＋6)2.故选C. 【答案】 C5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是()A．sin(α＋β)>sin α＋sin βB．sin(α＋β)>cos α＋cos βC．cos(α＋β)>sin α＋sin βD．cos(α＋β)<cos α＋cos β【解析】因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，若π2≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0，因为cos α>0，cos β>0.所以cos α＋cos β>cos (α＋β)．若0<α＋β<π2，则α＋β>α且α＋β>β，因为cos(α＋β)<cos α，cos(α＋β)<cos β，所以cos(α＋β)<cos α＋cos β，总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)<cos α＋cos β.【答案】 D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．【解析】该证明方法是“由因导果”法．【答案】综合法7．如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是__________．【解析】要使a a>b b，只需使a>0，b>0，(a a)2>(b b)2，即a>b>0.【答案】a>b>08．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是__________.【导学号：05410046】【解析】若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，只需求y＝xx2＋3x＋1的最大值，且令a 不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞三、解答题9．已知倾斜角为60°的直线L 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点．(1)求弦AB 的长； (2)求三角形ABO 的面积．【解】 (1)由题意得，直线L 的方程为y ＝3(x －1)， 代入y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝103.由抛物线的定义，得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163. (2)点O 到直线AB 的距离d ＝|－3|3＋1＝32，所以三角形OAB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝433.10．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S . 【证明】 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥2 3 ab sin C ，即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)，因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥43S.[能力提升]1．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8 B．4C．1 D.1 4【解析】3是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以ab≤a＋b2＝12⇒ab≤14，所以1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥114＝4.【答案】 B2．(2016·石家庄高二检测)已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是()A．(－1,2)B．(－2,1)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2.因为其图象开口向上，由题意可知f(1)<0，即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，解得－2<k<1.【答案】 B3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是__________.【导学号：05410047】【解析】a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a －b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 【答案】 a ≥0，b ≥0且a ≠b4．(2016·天津高二检测)已知α，β≠k π＋π2，(k ∈Z )且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β.求证：1－tan 2 α1＋tan 2 α＝1－tan 2 β2(1＋tan 2 β).【证明】 要证1－tan 2 α1＋tan 2 α＝1－tan 2 β2(1＋tan 2 β)成立，即证1－sin 2 αcos 2 α1＋sin 2 αcos 2 α＝1－sin 2 βcos 2 β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2 βcos 2 β. 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)， 即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)， 即证4sin 2α－2sin 2β＝1， 因为sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θcos θ＝sin 2β，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2 α， 即4sin 2α－2sin 2β＝1. 故原结论正确.。
高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析
高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________.【解析】f(n＋1)－f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.【答案】13n＋13n＋1＋13n＋22.(2016·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1＞2512”，当n＝1时，不等式左边的项为：________.【解析】不等式左边分子是1，分母是从n＋1一直到3n＋1的分数之和，当n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，左边项为12＋13＋14.【答案】12＋13＋143.用数学归纳法证明：“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取值________.【导学号：01580053】【解析】∵当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22＜22＋1，当n＝3时，23＜32＋1；当n＝4时，24＜42＋1；当n≥5时，2n＞n2＋1恒成立.∴n0＝5.【答案】 54.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，n∈N*，则f(k＋1)－f(k)＝______________.【解析】f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，则f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.【答案】 (2k ＋1)2＋(2k ＋2)25.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝________.【解析】 a 1＝1＝21×2，a 2＝22×3，a 3＝23×4，a 4＝24×5，猜想a n ＝2n (n ＋1). 【答案】 2n (n ＋1)6.用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________.【解析】 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b 27.以下是用数学归纳法证明“n ∈N *时，2n ＞n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即2k ＞k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N *不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).【解析】 在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论.如k ＝2时，k 2＜2k ＋1.【答案】 (2)8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是_____.【解析】 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.【答案】 (k ＋1)2＋k 2二、解答题9.用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n ＜(n ＋1)n .【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k ＜(k ＋1)k ，那么，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1＜(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋2)＜(k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边＜右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N *都成立.10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0.试猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解】 由a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0，得 a 2＝12－0＝12，a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23＝34， a 5＝12－34＝45，….归纳上述结果，可得猜想a n ＝n －1n (n ＝1,2,3，…).下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n ＝1时，猜想显然成立.(2)假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝k －1k ，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k＝12－k －1k＝k k ＋1＝(k ＋1)－1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想a n ＝n －1n 对所有正整数都成立，即为数列{a n }的通项公式.能力提升]1.用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n －y n 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________.【解析】 由于n 为正偶数，第一步应检验n ＝2时，命题成立.第二步，应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立，即n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除.【答案】 2 假设n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除2.用数学归纳法证明：凸n 边形对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)时，f (k ＋1)与f (k )的关系是_______________________________________________.【解析】假设n＝k(k≥4，k∈N*)时成立，则f(k)＝12k(k－3)，当n＝k＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k＋1－2＝k－1条，所以f(k＋1)＝f(k)＋k－1.【答案】f(k＋1)＝f(k)＋k－13.用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n＞1)”，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________.【解析】当n＝k＋1时，左边是1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1增加的是12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共有2k＋1－1－2k＋1＝2k项，故左边应增加的项的项数是2k.【答案】2k4.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.【导学号：01580054】【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k ＋2.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋25.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.当n＝1时，f(1)＝1满足条件.假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。
高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：章末综合检测_02
章末综合测评(二)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点.以上推理中________错误.【解析】大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点.【答案】大前提2.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________.图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1,3,9,27，…，故a n＝3n－1.【答案】3n－13.(2016·日照联考)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得f(22)＞2，f(23)＞52，f(24)＞3，f(25)＞72，由此推测，当n≥2时，有________.【解析】因为f(22)＞42，f(23)＞52，f(24)＞62，f(25)＞72，所以推测，当n≥2时，f(2n)＞n＋22.【答案】f(2n)＞n＋2 24.已知圆x2＋y2＝r2(r＞0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的面积最有可能是________.【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即a＝b情形.∴类比S圆＝πr2，得椭圆面积S＝πab.【答案】πab5.已知a＞0，b＞0，m＝lg a＋b2，n＝lga＋b2，则m与n的大小关系为________.【解析】∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab＞a＋b＞0，∴a ＋b ＞a ＋b ＞0，则a ＋b 2＞a ＋b2.∴lga ＋b 2＞lg a ＋b2，则m ＞n .【答案】 m ＞n6.已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1，若a 1＝b 1，a 2 013＝b 2 013，则a 1 007与b 1 007的大小关系是________.【解析】 由2a 1 007＝a 1＋a 2 013，得a 1 007＝a 1＋a 2 0132.又b 21 007＝b 1·b 2 013，得b 1 007＝b 1·b 2 013， ∵a 1＝b 1＞0，a 2 013＝b 2 013＞0，且a 1≠a 2 013， ∴a 1 007＞b 1 007. 【答案】 a 1 007＞b 1 007 7.利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n＞12(n ＞1，n ∈N *)的过程中，第一步的代数式为____________________.【解析】 第一步：n ＝2时，左边为12＋1＋12＋2，故代数式为12＋1＋12＋2＞12. 【答案】12＋1＋12＋2＞12 8.(2016·江西一模)观察下列等式： (1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8，由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝________. 【解析】 观察知，a 2为数列1,3,6,10，…中的第n 项，而1＝22＝1×22，3＝62＝2×32，6＝122＝3×42，10＝202＝4×52，…，归纳得a 2＝n (n ＋1)2.【答案】n (n ＋1)29.将全体正整数排成一个三角形数阵：图2根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左到右的第三个数是________. 【解析】 前n －1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n 2－n2个， ∴第n 行第3个数是n 2－n 2＋3＝n 2－n ＋62.【答案】 n 2－n ＋6210.(2016·东北三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________.【解析】 由题知13＝12； 13＋23＝⎝⎛⎭⎪⎫2×322； 13＋23＋33＝⎝⎛⎭⎪⎫3×422； 13＋23＋33＋43＝⎝⎛⎭⎪⎫4×522； …∴13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22. 【答案】 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2211.已知点A (x 1,3x 1)，B (x 2,3x 2)是函数y ＝3x 的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论3x 1＋3x 22＞3x 1＋x 22成立.运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜0的图象上任意不同两点，则类似地有____________成立.【解析】 因为y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜0图象是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜0图象上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22＜tan x 1＋x 22成立.【答案】 tan x 1＋tan x 22＜tan x 1＋x 2212.定义映射f ：A →B ，其中A ＝{(m ，n )|m ，n ∈R }，B ＝R ，已知对所有的有序正整数对(m ，n )满足下述条件：①f (m,1)＝1；②若n ＞m ，则f (m ，n )＝0；③f (m ＋1，n )＝nf (m ，n )＋f (m ，n －1)].则f (2,2)＝________，f (n,2)＝________.【解析】 根据定义得f (2,2)＝f (1＋1,2)＝2f (1,2)＋f (1,1)]＝2f (1,1)＝2×1＝2. f (3,2)＝f (2＋1,2)＝2f (2,2)＋f (2,1)]＝2×(2＋1)＝6＝23－2，f (4,2)＝f (3＋1,2)＝2f (3,2)＋f (3,1)]＝2×(6＋1)＝14＝24－2，f (5,2)＝f (4＋1,2)＝2f (4,2)＋f (4,1)]＝2×(14＋1)＝30＝25－2，所以根据归纳推理可知f (n,2)＝2n －2.【答案】 2 2n －213.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，V ，E所满足的等式是_______________________________________________.【解析】 观察表中数据，并计算F ＋V 分别为11,12,14，又其对应E 分别为9,10,12，易观察并猜想F ＋V －E ＝2.【答案】 F ＋V －E ＝214.(2016·北京顺义区统考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规则排列： 12；13，23；14，24，34；15，25，35，45；…1n ，2n ，…，n －1n ….则a 15＝______；若存在正整数k ，使S k －1＜10，S k ＞10，则a k ＝________.【解析】 从题中可看出分母n ＋1出现n 次，当分母为n ＋1时，分子依次是1,2,3，…n 共n 个，由于1＋2＋3＋4＋5＝15.因此a 15＝56.计算分母为n ＋1的各分数的和，依次为12，1，32，2，52，3，…，而12＋1＋32＋2＋52＋3＝10.5＞10，但12＋1＋32＋2＋52＝7.5＜10，再计算17＋27＋3 7＋47＋57＝217，而712＋217＝9914＜10，故a k＝67.【答案】5667二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)用反证法证明：如果x＞12，那么x2＋2x－1≠0.【导学号：01580057】【证明】假设x2＋2x－1＝0，则x＝－1±2.容易看出－1－2＜12，下面证明－1＋2＜12.要证：－1＋2＜12，只需证：2＜32，只需证：2＜94.上式显然成立，故有－1＋2＜12.综上，x＝－1±2＜12.而这与已知条件x＞12相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立.16.(本小题满分14分)设数列{a n}的前n项和S n＝n(a n＋1)2(n∈N*)，a2＝2.(1)求{a n}的前三项a1，a2，a3；(2)猜想{a n}的通项公式，并证明.【解】(1)由S n＝n(a n＋1)2得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3.(2)猜想：a n＝n.证明如下：①当n＝1时，猜想成立.②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即a k＝k，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(a k＋1)2.＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(k＋1)2.所以a k＋1＝k2k－1－1k－1＝k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立.根据①②知，对任意n∈N*，都有a n＝n.17.(本小题满分14分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列.(1)比较ba与cb的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角.【解】(1)ba＜cb.证明如下：要证ba＜cb，只需证ba＜cb.∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c≥21ac，∴b2≤ac.又a，b，c均不相等，∴b2＜ac.故所得大小关系正确.(2)法一：假设角B是钝角，则cos B＜0.由余弦定理得，cos B＝a2＋c2－b22ac≥2ac－b22ac＞ac－b22ac＞0，这与cos B＜0矛盾，故假设不成立.所以角B不可能是钝角.法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以1a＞1b＞0，1c＞1b＞0，则1a＋1c＞1b＋1b＝2b，这与1a＋1c＝2b矛盾，故假设不成立.所以角B不可能是钝角.18.(本小题满分16分)(2016·南通月考)诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2002年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19 800万美元.设f(x)表示为第x(x∈N*)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002年记为f(1)).(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2012年度诺贝尔各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.(参考数据：1.031 29≈1.32)【解】(1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)·6.24%＝f(1)(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)(1＋6.24%)－12f(2)·6.24%＝f(1)·(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19 800·(1＋3.12%)x－1(x∈N*).(2)2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为f(10)＝19 800×(1＋3.12%)9＝26 136万美元，∴2012年度诺贝尔奖各项奖金额为16×12×f(10)×6.24%≈136万美元，与150万美元相比少了约14万美元.所以新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻.19.(本小题满分16分)(2016·南通三模)各项均为正数的数列{x n}对一切n∈N*均满足x n＋1x n＋1<2.证明：(1)x n<x n＋1；(2)1－1n<x n<1.【证明】(1)因为x n>0，x n＋1x n＋1<2，所以0<1x n＋1<2－x n，所以x n＋1>12－x n，且2－x n>0.因为12－x n －x n＝x2n－2x n＋12－x n＝(x n－1)22－x n≥0，所以12－x n≥x n，所以x n ≤12－x n <x n ＋1，即x n <x n ＋1. (2)下面先证明x n ≤1.假设存在自然数k ，使得x k >1，则一定存在自然数m ，使得x k >1＋1m . 因为x k ＋1x k ＋1<2，x k ＋1>12－x k >12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝mm －1. x k ＋2>12－x k ＋1>12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m －1>m －1m －2，…，x k ＋m －1>m －(m －2)m －(m －1)＝2， 与题设x k ＋1x k ＋1<2矛盾，所以x k ≤1. 若x k ＝1，则x k ＋1>x k ＝1，根据上述证明可知存在矛盾. 所以x k <1成立.下面用数学归纳法证明：x n >1－1n .①当n ＝1时，由题设x 1>0可知结论成立； ②假设n ＝k 时，x k >1－1k ，当n ＝k ＋1时，由(1)得，x k ＋1>12－x k >12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝k k ＋1＝1－1k ＋1，故x n >1－1n .20.(本小题满分16分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋1a 3＋b 3＋…＋1a n ＋b n <512. 【解】 (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立. ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立. (2)1a 1＋b 1＝16<512. 当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n . 1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋1a 3＋b 3＋…＋1a n ＋b n <16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…1n (n ＋1)＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1 <16＋14＝512.综上，原不等式成立.。
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选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分） 1. 集合P ={1, 4, 9, 16…}，若a ∈P , b ∈P 则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是（ ） A ．加法 B ．减法 C ．除法 D ．乘法2. 若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是（ ） A ．直角梯形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形3.给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b b a b a R =⇒=-∈0,则”类比推出“若a,b b a b a C =⇒=-∈0,则”； ②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d ,Q ∈ 则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”；③“若a,b b a b a R >⇒>-∈0,则” 类比推出“若a,b b a b a C >⇒>-∈0,则”； 其中类比结论正确的个数是（ ） (A)0 (B)1 (C)2(D)34.平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到(3)n n ≥维向量，n 维向量可用 123(,,,,)n x x x x 表示.设123(,,,,)n a a a a a =,123(,,,,)n b b b b b =,规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====n i ni i i ni ii b a ba 11221))((cos θ.当(1,1,1,1)a =,(1,1,1,1)b =--时，cos θ=（ ）A ．n n 1- B ．nn 3- C ．n n 2- D ．n n 4- 5. 下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A ．sin2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =- 6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为 y =x 2、值域为{0,4}的“同族函数”共有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D.无数7.对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若 ,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的上确界为（ ） A ．92 B ．92- C ．41D ．4- 8.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。
高二数学苏教版选修2-2阶段质量检测(二)推理与证明
3 _______ () 8 9 4AC BD ABCD AC BD51 21 21 46 ( )F V E8 x y R x 2 y 2 __________ 甘y X 1.91 2 22 2n 1 2n 1(n N *) n 1121 1 1[ 120 160 ](14)5 70ABCB②假设当n = k(k € N *)时，等式成立，即 1+ 2 + 22+…+ 2k 「1 = 2k — 1; 高中数学14 .(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10，…，第n 个三角形数为 中+1 = *n 2+切.记第n 个k 边形数为N(n , k)(k >3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 1 2 1N(n ,3) = ?n +尹 正方形数 N(n,4) = n 2, 五边形数3 2 1 N(n,5) = ?n 2—1n ,六边形数N( n,6) = 2n 2— n ,可以推测N(n , k)的表达式，由此计算 N(10,24) = _________、解答题(本大题共6个小题，共90分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)③则当n = k + 1时,k + 11+ 2+尸+…十2k —1 + 2k=等—T =2k +1 -1则当n = k + 1时等式* »成立•由此可知，对任何 n € N ,等式都成立.上述证明步骤中错误的是 _________ •2 2 210.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，圆x + y = r (r > 0)内切于正 方形 ABCD ，任取圆上一点 P ,若 OP = m OA + n OB (m , n € R ), 则和2 2m 2, n 2的等差中项；现有一椭圆 X 2+ y ^= 1(a >b > 0)内切于矩形 ABCD ,a b任取椭圆上一点 P ,若OP = m OA + n OB (m , n € R )，贝U m 2, n 2的等差中项为 ____________11.(安徽高考)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边BC = 2 . 2. 过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2； 过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为 A 3 ;…，依此类推.设 BA = a 1 , AA 1 =a 2 , A 1A 2= a 3，…， A 5A 6= a 7，贝a 7=___________________________________________ .1 4 27 a12 .已知 x>0，不等式 x +-> 2, x + -2 >3, x + r > 4,…，可推广为 x + n + 1,则x x x xa 的值为 _________ .13.如图，第n 个图形是由正n + 2边形“扩展”而来(n = 1,2,3，…)，则第n 个图形中 共有 ________ 个顶点.15 ( 14 ) a>0 b>0 a b 1 1 1 1 a b ab16 (14 ) {a n}a1 a3 52a n 5n 3 b n 6T n 5n a n{b n}1 a n a n 1 g"n N *)T n a1 a2 5n17 ( 14 ) sin210 2cos 40 sin 10 cos 402 si n262cos 36 sin 6 cos 3634.18 ( 16 ) a b c 0<a b c<2 (2 a)b (2 b)c1.(2 c)a19. (本小题满分16分)数列｛a n｝满足S n= 2n-a n(n € N ).(1)计算a i, a2, a3, a4,并由此猜想通项a n的表达式；⑵用数学归纳法证明(1)中的猜想.1 320. (本小题满分16分)已知函数f(x) = 3X -x，数列｛a n｝满足条件：a1> 1, a n+1>f' (a n+ 1),(1) 证明：a n> 2n- 1(n€ N ).1 1 1(2) 试比较一 + -一+…+ —与1的大小，并说明理由.1 + a1 1 + a2 1 + a n答案1. 解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市.答案：A2. 解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积.故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大.答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3. 解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确.大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确•故②错误.答案：①③④4. 形对角线互相垂直且平分V1_竺_包也」1_ 15.解析:V2 1 S2 h2 4 2 8'1站2答案：1 : 8高中数学12x6 6 10 26 8 12 2F V E 2.8x y 4x 2 122222x (1 y ) 1 y (1 x ) 2yp1 x 2y x 2 1 x 2 y 2.y)2 0 yx 2 y 2 1.1944 2 XT XT x xa n n n n10P(x y) 227 p 2 1 A(a b) B( a b)m OA n OBn 2(m n a (m n p22 , m n 1 ~~24m 2 n 21 4.11 ABCBC 2^2 ABAC a 1AA 1 a 2 V 2 A 1A 2a 3 1 ABCAn 1A nan 12 /(m n) (m A 5A 6 a 7 a 11 4.2 , 2A 2a7a 1 2 AA 13 27 3 P x4 x xn n -n n x13 a n a1 3 3 3 a2 4 4 4高中数学12 xa n -2 = n + n •,22a n = (n + 2) + n + 2 = n + 5n + 6. 答案：n 5+ 5n + 614. 解析：N(n , k) = a k n 2 + b k n(k 》3)，其中数列｛a k ｝是以舟为首项，2为公差的等差数列; 数列｛b k ｝是以*为首项，一1为公差的等差数列；所以N(n,24) = 11n 2- 10n,当n = 10时，N(10,24)=11 x 102- 10 x 10= 1 ooo.答案：1 00015. 证明：•/ a>0, b>0, a + b = 1.1 11 = a + b >2 ab , ab <㊁，ab <4, •-存4当a = 2, b = 2时等号成立 又 a +6=(a +b) 1+b当a =1，b =2■时等号成立 1 1 1 •1+ b +新 8. 16. 解：因为 T n = a 1 + a2 5+ a3 52+ …+ an 5nS ① 所以 5T n = a 1 5+ a 2 5 + a 3 5 + …+ a n -1 5 1+a n 5，② 由①+②得：6T n = a 1+ (a 1 + a ?) 5+ @+ 83) 52 + …+ (a n -1+ a *) 5n 1+ a * 5n=1 + 5x 5+ 1 2x 52+-+n -1x 5n -1 + a n 5n=n+ an 5 ,所以 6T n — 5n a n = n ,所以数列｛ b n ｝的通项公式为b n = n.17•解：观察 40。
高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第二章 推理与证明 16含解析
学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.(2016·西安高二检测)△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________.【答案】∠BAP≥∠CAP2.(2016·无锡高二期末)用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，________个锐角.”【解析】“至少有两个”的否定是“至多有一个”.【答案】至多有一个3.(2014·山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax ＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________.【解析】因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.【答案】方程x3＋ax＋b＝0没有实根4.命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________.【01580049】【解析】“a＝b＝1”是“a＝1且b＝1”，又因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，所以“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”.【答案】a≠1或b≠15.若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________.【解析】若两个方程均无实根，则⎩⎨⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝4a 2＋8a<0，解得⎩⎨⎧ a>13或a<－1，－2<a<0.∴－2<a<－1. 因此两方程至少有一个有实根时，应有a ≤－2或a ≥－1.【答案】 {a|a ≤－2或a ≥－1}6.用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________.【解析】 “a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.【答案】 a ，b 不全为07.若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0；②a>b 与a<b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立.其中正确的是________(填序号).【解析】 因为a ，b ，c 不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可以同时成立，所以③错.【答案】 ①②8.完成反证法证题的全过程.题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数.证明：假设p 为奇数，则__________均为奇数.①因7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为__________.②而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③②与③矛盾，故p 为偶数.【解析】 由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾.【答案】 ①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0二、解答题9.已知x ，y ，z 均大于零，求证：x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x这三个数中至少有一个不小于4.【证明】 假设x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x都小于4， 即x ＋4y <4，y ＋4z <4，z ＋4x<4， 于是得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12， 而⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4z ≥2 x ·4x ＋2 y ·4y ＋2 z ·4z＝12， 这与⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12矛盾， 因此假设错误，即x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x中至少有一个不小于4. 10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【解】 (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n(n ＋2).(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.。
2016-2017学年高二数学苏教版选修2-2学业分层测评14 推理案例赏析
学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．如图2119所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是________.【导学号：01580042】图2119【解析】 由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a ＝3＋3＝6.【答案】 62．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝Error! 33＝Error! 43＝Error!….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________.【解析】 根据分裂特点，设最小数为a 1，则ma 1＋×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1.m (m －1)2∵a 1为奇数，又452＝2 025，∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝.(1 979＋2 071)×452【答案】 453．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.【解析】 平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．【答案】 夹在两个平行平面间的平行线段相等4．观察下面不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，猜122321221325312213214274想第n 个不等式为________．【解析】 当n ≥2时，则不等式左端就为1＋＋＋…＋，而右端的1221321n 2分母正好是n ，分子是2n －1，因此可以猜想，n ≥2时，满足的不等式为1＋＋＋…＋<.1221321n 22n －1n故可归纳式子为：1＋＋＋…＋<(n ≥2)．1221321n 22n －1n【答案】 1＋＋＋…＋<(n ≥2)1221321n 22n －1n5．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立：，≥，≥.由a 1＋a 22a 1a 2a 1＋a 2＋a 333a 1a 2a 3a 1＋a 2＋a 3＋a 444a 1a 2a 3a 4此推测成立的不等式是_______________________________________________．(要注明成立的条件)【答案】 (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋)a 1＋a 2＋a 3＋…＋annna 1a 2a 3…an 6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…则52 015的末四位数字为________．【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125，510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125，512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52 015＝54×503＋3末四位数字为8 125.【答案】 8 1257．(2016·湖北调研)如图2120①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则图2120(1)f (5)＝________；(2)f (2 015)的个位数字为________．【解析】 观察规律可知：f (5)＝4×5＋1＝21，f (2 015)＝2 014×2015＋1，它的个位数字是1.【答案】 (1)21 (2)18．(2016·江西稳派调研)将2n 按如表所示的规律填在5列的数表中，设22015排在数表的第n 行，第m 列，则第m －1列中的前n 个数的和S n ＝________.212223242827262529210211212216215214213……………【解析】 由于2 015＝4×503＋3，故22 015位于表格的第504行第4列，所以n ＝504，m ＝4.所以S n ＝＝.22[1－(24)504]1－2422 018－415【答案】 22 018－415二、解答题9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝S n (n ∈N *)，证明：n ＋2n (1)数列是等比数列；{Snn }(2)S n ＋1＝4a n .【导学号：01580043】【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n ，n ＋2n ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故＝2·，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．Sn ＋1n ＋1Snn {Snn }(2)由(1)知＝4·(n ≥2)．Sn ＋1n ＋1Sn －1n －1∴S n ＋1＝4(n ＋1)·＝4··S n －1＝4a n (n ≥2)．Sn －1n －1n －1＋2n －1又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1，∴对任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a .类比上述32命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】 类比所得的真命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a .63证明：设M 是正四面体P ABC 内任意一点，M 到面ABC ，面PAB ，面PAC ，面PBC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P ABC ＝V M ABC ＋V M PAB ＋V M PAC ＋V M PBC＝·S △ABC ·(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，13而S △ABC ＝a 2，V P ABC ＝a 3，34212故d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝a (定值)．63[能力提升]1．(2016·盐城高二期终)已知＝2，＝3，＝4，…类比这些等式，若2＋23233＋38384＋415415＝6(a ，b 均为正实数)，则a ＋b ＝______.6＋ab ab 【解析】 类比已知的3个等式，知a ＝6，b ＝62－1＝35.所以a ＋b ＝41.【答案】 412．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的AGGD 四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则等于________．AOOM 【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝，此时点63O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4××r ＝××⇒r ＝，故AO ＝AM －MO ＝－＝，故13341334636126361264AO ∶OM ＝∶＝3.64612【答案】 33．(2016·湖北宜昌高三模拟)观察下列等式：①sin 2θ＝cos θ·2sin θ；②sin 4θ＝cos θ(4sin θ－8sin 3θ)；③sin 6θ＝cos θ(6sin θ－32sin 3θ＋32sin 5θ)；④sin 8θ＝cos θ(8sin θ－80sin 3θ＋192sin 5θ－128sin 7θ)；⑤sin 10θ＝cos θ(10sin θ－160sin 3θ＋m sin 5θ－1 024sin 7θ＋n sin 9θ)．则可以推测(1)n ＝________，(2)m ＝________.【解析】 由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数．数值为2n ，n 的值与sin θ的次数相同，所以式子⑤中n ＝29＝512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等，偶数式与θ的系数相反，所以⑤式中10－160＋m －1 024＋512＝10，∴m ＝672.【答案】 512 672【答案】 145．设f (x )＝，g (x )＝(其中a >0，a ≠1)．ax ＋a －x2ax －a －x2(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示．(2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明．【解】 (1)由题意可得f (2)＝，f (3)＝，g (2)a 2＋a －22a 3＋a －32＝，g (3)＝.a 2－a －22a 3－a －32则f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)＝＝.a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54a 5－a －52又g (5)＝，a 5－a －52因此，g (5)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)．(2)g (5)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)，即g (3＋2)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)．于是猜测g (x ＋y )＝f (x )·g (y )＋g (x )·f (y )．证明：∵f (x )＝，g (x )＝，ax ＋a －x2ax －a －x2∴g (x ＋y )＝，a (x ＋y )－a －(x ＋y )2g (y )＝，f (y )＝，ay －a －y 2ay ＋a －y2所以f (x )·g (y )＋g (x )·f (y )＝·＋·ax ＋a －x 2ay －a －y 2ax －a －x 2ay ＋a －y 2＝＝g (x ＋y )．a (x ＋y )－a －(x ＋y )2故g (x ＋y )＝f (x )·g (y )＋g (x )·f (y ).。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2单元测试 第2章推理与证明
第2章过关检测(时间90分钟，满分100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，满分56分)1．如果f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)等于__________．2．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比为：S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2，则类似的结论为：__________.3．根据图中的5个图形及相应的点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有__________个点．4．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中的“小前提”是__________．5．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则S (n )共有__________项，S (2)＝__________.6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1， 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知对任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是__________．7．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中真命题是__________．8．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出一般的式子是__________．9．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若0＜c ＜1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b )2，则p 、q的大小关系是__________．10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线__________上．11．在等差数列{a n }中，当a r ＝a s (r ≠s )时，数列{a n }必定是常数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r ，s (r ≠s )，当a r ＝a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是__________．12．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，a ij＝2 009，则i ＋j ＝__________.13．在平面上的n 个圆中，每两个圆都相交，每三个圆不交于一点，则它们把平面分成__________部分．14．{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，…，则a 3＝__________.二、解答题(本大题共4小题，满分44分)15．(10分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．16.(10分)已知数列{a n}满足a1＝1，且4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)猜想{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明你的猜想．17．(12分)下列命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则b2－aca＜ 3.18．(12分)已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使对任意n ∈N *，都有m 整除f (n )？若存在，求出最大值的m 值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．参考答案1．2 009 解析：令x ＝n (n ∈N *)，y ＝1得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝f (n )，所以f (n ＋1)f (n )＝1，所以f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)＝1＋1＋…＋1＝2 009. 2.VO —P 1Q 1R 1VO —P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 23．n 2－n ＋1 解析：如设第n 个图中的点数为a n ，则有a 1＝1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝32－2，a 4＝13＝42－3，a 5＝21＝52－4.故a n ＝n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.4．② 解析：①的意思是：如果船不准时起航，那么它就不能准时到达目的港，它的逆否命题是：如果船准时到达目的港，那么它是准时起航．由此可知，①是大前提，②是小前题．5．n 2－n ＋1 1312解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．S (2)＝12＋13＋14＝1312. 6．在证明n ＝k ＋1时，没有用假设n ＝k 时的结论7．③⑤ 解析：“F (k )真⇒F (k ＋1)真”等价于“F (k ＋1)假⇒F (k )假”．8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *) 解析：1－4＝－(1＋2)＝(－1)2－1·2(2＋1)2，1－4＋9＝1＋2＋3＝(－1)3－13(3＋1)2，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)＝(－1)4－14(4＋1)2，由此可归纳出结论． 9．p ＞q 解析：∵a 2＋b 22≥ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c (1a ＋b )2＝log c 1a ＋b ＋2ab＞log c 14ab ＝log c 14＞0，∴q ＞p . 10.x a 2－yb2＝0 11．1，－1,1，－1，…(不唯一)12．60 解析：2 009是正奇数1,3,5，…中的第1 005个，则1 005＝1＋2＋3＋…＋(i －1)＋j ＝(i －1)i2＋j .估算：当i ＝45时，(i －1)i2＝990，j ＝15，所以i ＋j ＝60.13．n 2－n ＋2 解析：n ＝1时，a 1＝2； n ＝2时，a 2＝4＝a 1＋2＝a 1＋2×1； n ＝3时，a 3＝8＝a 2＋4＝a 2＋2×2； n ＝4时，a 4＝14＝a 3＋6＝a 3＋2×3； …a n ＋1＝a n ＋2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a n ＋1＝a n＋2n⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2×1＋2＝n 2－n ＋2.14．2 解析：由已知a 4a 3＝(a 2＋2)(a 1＋2)＝5×2＝10×1， ∴a 3可能取值1,2,5,10. 若a 3＝1，a 4＝10，从而a 5＝(a 3＋2)(a 2＋2)a 4＝1510＝32，显然a 5不是非负整数，与题设矛盾． 若a 3＝10，则a 4＝1，从而a 5＝60. 但再计算a 6＝35，也与题设矛盾．∴a 3＝2，a 4＝5(或a 3＝5，a 4＝2⇒a 5∉N *，舍去)． 15．证明：假设b 、c 不是异面直线，即b 与c 共面， 设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c ， ∵a ∥c ，∴α∥γ.又a ⊂α，且α∩γ＝b ， ∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾．因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 16．解：(1)由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9得 a n ＋1＝9－2a n 4－a n ＝2－1a n －4，求得a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)猜想a n ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N ＋)时，猜想成立，即a k ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝2－1a k －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．③综合①②，猜想对任何n ∈N ＋都成立． 17．解：此命题是真命题．∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 要证b 2－ac a ＜3成立，只要证b 2－ac ＜3a ，即证b 2－ac ＜3a 2，也就是证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，即证(a－c)(2a＋c)＞0，∵a－c＞0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b＞0，∴(a－c)(2a＋c)＞0成立．故原不等式成立．18．解：由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1 224，猜想f(n)被36整除．证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②设n＝k时，f(k)能被36整除．则n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，根据假设3[2(k＋7)·3k＋9]被36整除，而3k－1－1是偶数，∴18(3k－1－1)能被36整除，从而f(k＋1)能被36整除．综上所述，n∈N*时，f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故36是整除f(n)的自然数中的最大数．。
(完整版)数学选修2-2练习题及答案
目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 第二章 推理与证明 章末检测
第二章《推理与证明》章末检测 一、填空题 1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是________推理．2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为________________________．3．用反证法证明命题 “三角形的内角至多有一个钝角”时，反设为________．4．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________．5．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为________． 6．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4页，则这个数列的一个通项公式为________．7．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为________．8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________个． ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．9．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013＝________. 10．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为____________________________________．11．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有____________．12．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n＋1与a n (n ∈N *)之间的关系是______．13．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．二、解答题14．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．15．1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．16．设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．17．设a ，b ，c 为一个三角形的三边，s ＝12(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s <2a .18．数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n . (1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．19．设f (n )＝1＋12＋13＋ (1)，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·[f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．答案1．归纳2．三角形的中位线平行于第三边3．假设至少有两个钝角4.2(k ＋1)(k ＋2)5．f (x )＝2x ＋16．a n ＝3n －1(n ∈N *，n ≥1)7．18．29．－110．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)211．f (2n )>2＋n 2(n ≥2) 12．a n ＋1＝2a n ＋113.AE EB ＝S △ACD S △BCD14．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．15．解 假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d 得m ＝(3＋1)n .∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数，∴m ≠(3＋1)n .∴假设不成立．即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项．16．证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立． 17．证明 要证s <2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s <s 2b ，即证b <s . 因为s ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c . 由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．18．解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，∴S 2＝2×(2＋1)2a 2， 即a 1＋a 2＝3a 2.∴a 2＝112. 令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2a 3， 即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120. 令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2a 4， 即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130. (2)猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)， 则当n ＝k ＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k 2(k ＋2)， S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1. ∴k 2(k ＋2)＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴a k ＋1＝k 2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2－1＝k k (k ＋3)(k ＋2) ＝1(k ＋2)(k ＋3). 当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2). 19．解 当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·[f (2)－1]，得g (2)＝f (1)f (2)－1＝1(1＋12)－1＝2， 当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·[f (3)－1]，得g (3)＝f (1)＋f (2)f (3)－1＝1＋(1＋12)(1＋12＋13)－1＝3， 猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)成立， 那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1k ＋1]－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立，故存在函数g (n )＝n ，使等式成立．。
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高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_14 含解析学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如图2-1-19所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是________.【导学号：01580042】图2-1-19【解析】 由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a ＝3＋3＝6.【答案】 62．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”： 23＝⎩⎨⎧3，5，33＝⎩⎨⎧7，9，11，43＝⎩⎨⎧13，15，17，19，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________. 【解析】 根据分裂特点，设最小数为a 1， 则ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1. ∵a 1为奇数，又452＝2 025， ∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.【答案】 453．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.【解析】 平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．【答案】 夹在两个平行平面间的平行线段相等4．观察下面不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为________．【解析】 当n ≥2时，则不等式左端就为1＋122＋132＋…＋1n 2，而右端的分母正好是n ，分子是2n －1，因此可以猜想，n ≥2时，满足的不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n .故可归纳式子为：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)． 【答案】 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2) 5．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立：a 1＋a 22≥a 1a 2，a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3，a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式是_______________________________________________．(要注明成立的条件) 【答案】a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥na 1a 2a 3…a n (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋)6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…则52 015的末四位数字为________． 【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125， 510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125， 512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴52 015＝54×503＋3末四位数字为8 125. 【答案】 8 1257．(2016·湖北调研)如图2-1-20①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则图2-1-20(1)f (5)＝________；(2)f (2 015)的个位数字为________．【解析】 观察规律可知：f (5)＝4×5＋1＝21，f (2 015)＝2 014×2 015＋1，它的个位数字是1.【答案】 (1)21 (2)18．(2016·江西稳派调研)将2n 按如表所示的规律填在5列的数表中，设22 015排在数表的第n 行，第m 列，则第m －1列中的前n 个数的和S n ＝________.【解析】 由于2 015＝4×503＋3，故22 015位于表格的第504行第4列，所以n ＝504，m ＝4.所以S n ＝22[1－(24)504]1－24＝22 018－415. 【答案】22 018－415 二、解答题9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【导学号：01580043】【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)．∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1， ∴对任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a .类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】 类比所得的真命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a .证明：设M 是正四面体P -ABC 内任意一点，M 到面ABC ，面P AB ，面P AC ，面PBC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P -ABC ＝V M -ABC ＋V M -P AB ＋V M -P AC ＋V M -PBC ＝13·S △ABC ·(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)， 而S △ABC ＝34a 2，V P -ABC＝212a 3，故d1＋d2＋d3＋d4＝63a(定值)．能力提升]1．(2016·盐城高二期终)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…类比这些等式，若6＋ab＝6ab(a，b均为正实数)，则a＋b＝______.【解析】类比已知的3个等式，知a＝6，b＝62－1＝35.所以a＋b＝41.【答案】412．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于________．【解析】如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝63，此时点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4×13×34r＝13×34×63⇒r＝612，故AO＝AM－MO＝63－612＝64，故AO∶OM＝64∶612＝3.【答案】 33．(2016·湖北宜昌高三模拟)观察下列等式：①sin 2θ＝cos θ·2sin θ；②sin 4θ＝cos θ(4sin θ－8sin3θ)；③sin 6θ＝cos θ(6sin θ－32sin3θ＋32sin5θ)；④sin 8θ＝cos θ(8sin θ－80sin3θ＋192sin5θ－128sin7θ)；⑤sin 10θ＝cos θ(10sin θ－160sin3θ＋m sin5θ－1 024sin7θ＋n sin9θ)．则可以推测(1)n＝________，(2)m＝________.【解析】由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数．数值为2n，n的值与sinθ的次数相同，所以式子⑤中n ＝29＝512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等，偶数式与θ的系数相反，所以⑤式中10－160＋m －1 024＋512＝10，∴m ＝672.【答案】 512 672【答案】 145．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，a ≠1)． (1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示． (2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明．【解】 (1)由题意可得f (2)＝a 2＋a －22，f (3)＝a 3＋a －32，g (2)＝a 2－a －22，g (3)＝a 3－a －32. 则f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)＝a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54＝a 5－a －52.又g (5)＝a 5－a －52，因此，g (5)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)． (2)g (5)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)， 即g (3＋2)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)． 于是猜测g (x ＋y )＝f (x )·g (y )＋g (x )·f (y )． 证明：∵f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2，∴g(x＋y)＝a(x＋y)－a－(x＋y)2，g(y)＝a y－a－y2，f(y)＝a y＋a－y2，所以f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)＝a x＋a－x2·a y－a－y2＋a x－a－x2·a y＋a－y2＝a(x＋y)－a－(x＋y)2＝g(x＋y)．故g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y).。