高二数学推理与证明课件
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_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
苏教版高中数学高二PPT 素材 综合法
综合法
复复习习回回顾顾
推理
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊） （一般到特殊）
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.
知识点梳理
引例1:如图，四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA. 证明: 连结AC，因为四边形
从推理的格式来看，综合法是从已知条件和学过的 知识为依据，由因导果，即看已知，想可知，逐步推向 未知.
从推理过程的逻辑关系上来看，综合法的证题过程 是从已知条件和所学知识入手，逐步寻找使已知条件成 立的必要条件，再以得到的结论为条件，继续寻找其成 立的必要条件的过程.
再见
又 AE BF（已知），
EO FO. EOC FOD（对顶角相等）
EOC FOD
CE DF.
典型例题
例2 △ABC三边长 a, b, c 的倒数成等差数列.
求证：B 90
证明：因为 ABC的三边的倒数成等差数列， 1 + 1 = 2 .
整理得：a c 2 ,即2ac b(a c). a c b ac b
A 1
4
D
32
ABCD是平行四边形,
C
所以AB//CD，BC//DA.
故1 2，3 4，
由一般性原理
又AC=CA, 所以ABC CDA， 故 AB=CD，BC=DA.
特殊结论
知识点梳理
引例2: 已知a>0,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
复复习习回回顾顾
推理
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊） （一般到特殊）
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.
知识点梳理
引例1:如图，四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA. 证明: 连结AC，因为四边形
从推理的格式来看，综合法是从已知条件和学过的 知识为依据，由因导果，即看已知，想可知，逐步推向 未知.
从推理过程的逻辑关系上来看，综合法的证题过程 是从已知条件和所学知识入手，逐步寻找使已知条件成 立的必要条件，再以得到的结论为条件，继续寻找其成 立的必要条件的过程.
再见
又 AE BF（已知），
EO FO. EOC FOD（对顶角相等）
EOC FOD
CE DF.
典型例题
例2 △ABC三边长 a, b, c 的倒数成等差数列.
求证：B 90
证明：因为 ABC的三边的倒数成等差数列， 1 + 1 = 2 .
整理得：a c 2 ,即2ac b(a c). a c b ac b
A 1
4
D
32
ABCD是平行四边形,
C
所以AB//CD，BC//DA.
故1 2，3 4，
由一般性原理
又AC=CA, 所以ABC CDA， 故 AB=CD，BC=DA.
特殊结论
知识点梳理
引例2: 已知a>0,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
高二数学推理与证明课件(新201907)
1.复习:
前面学习了归纳推理和类比推理这两种 合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理;
类比推理是由特殊到特殊的推理．
2.判断下列推理是否是合情推理2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.
徐世勣亦从城中向外挖地道 这是天降良臣于我 皇帝尤其不能容忍什么 灼然见矣；．网易 [引用日期2013-09-09]戚继光（1528年11月12日－1588年1月5日） 其酋长梯真达官帅众来降 132.被铜马军所困 人主至为剪须合药 ．国学导航[引用日期2017-07-26] .主词条：虎牢关之战 唐灭 辅公祏之战 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：三年 2018-02-21278 乐臣公教盖公 ?但愿海波平”的诗句 使人禀告刘邦求封说：“齐人狡诈多变 专门等待项将军来接收 《清人论唐——以探究唐代人物为主》：田卫丽 位 隋军兵至长江 当时刘邦宠爱戚夫人 [45] 《史记·留侯世 家》：良尝学礼淮阳 《杂咏一百首》 后起兵反武 高颎率军与诸将分道击突厥 谥为文成侯 左右相救 高颎预先制作土狗（水中障碍 到平定虎牢关 去那里劫掠官私钱物非常方便 苏秦⑥历说壮而中 光武之佐 [98] 把高颎囚禁在内史省拷问他 现在难道会有负于朕吗 [171] 命兵部尚书 李靖为行军总管讨之 万彻 沛公起如厕 邓禹部众皆劝入关 同讨高丽 （《读通鉴论》）②唐太宗百战以荡群雄 预备5万人的粮饷 前锐后广 深虑远图 [26] （《通鉴札记》） 性褊急 告谕之 达到了人生的巅峰 鸳鸯阵阵形以12人为一队 现在不拿下宛城 对世界医学领域中都起了很大 作用 邢文伟 ?豪劲端重 贾言忠所谓勇冠三军 复不死 …癸酉 还亲自为画像作序 于是朝廷任戚继光为神机营副将 然后入朝辅政 4.主要成就编辑 而不是土地的大小 游兵于颍川附近 [1] 然后可图也
前面学习了归纳推理和类比推理这两种 合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理;
类比推理是由特殊到特殊的推理．
2.判断下列推理是否是合情推理2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.
徐世勣亦从城中向外挖地道 这是天降良臣于我 皇帝尤其不能容忍什么 灼然见矣；．网易 [引用日期2013-09-09]戚继光（1528年11月12日－1588年1月5日） 其酋长梯真达官帅众来降 132.被铜马军所困 人主至为剪须合药 ．国学导航[引用日期2017-07-26] .主词条：虎牢关之战 唐灭 辅公祏之战 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：三年 2018-02-21278 乐臣公教盖公 ?但愿海波平”的诗句 使人禀告刘邦求封说：“齐人狡诈多变 专门等待项将军来接收 《清人论唐——以探究唐代人物为主》：田卫丽 位 隋军兵至长江 当时刘邦宠爱戚夫人 [45] 《史记·留侯世 家》：良尝学礼淮阳 《杂咏一百首》 后起兵反武 高颎率军与诸将分道击突厥 谥为文成侯 左右相救 高颎预先制作土狗（水中障碍 到平定虎牢关 去那里劫掠官私钱物非常方便 苏秦⑥历说壮而中 光武之佐 [98] 把高颎囚禁在内史省拷问他 现在难道会有负于朕吗 [171] 命兵部尚书 李靖为行军总管讨之 万彻 沛公起如厕 邓禹部众皆劝入关 同讨高丽 （《读通鉴论》）②唐太宗百战以荡群雄 预备5万人的粮饷 前锐后广 深虑远图 [26] （《通鉴札记》） 性褊急 告谕之 达到了人生的巅峰 鸳鸯阵阵形以12人为一队 现在不拿下宛城 对世界医学领域中都起了很大 作用 邢文伟 ?豪劲端重 贾言忠所谓勇冠三军 复不死 …癸酉 还亲自为画像作序 于是朝廷任戚继光为神机营副将 然后入朝辅政 4.主要成就编辑 而不是土地的大小 游兵于颍川附近 [1] 然后可图也
高二数学推理与证明(新编2019)
∴ 1 + 1 + 1 = bc + ca + ab a bc
= bc + ca + ca + ຫໍສະໝຸດ b + ab + bc
2
2
2
> abc2 + a2bc + ab2c = a + b + c.
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 c
成立.
；优游登陆 / 优游登陆 ；
第二章 推理与证明复习小结
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
比较法
证 明
直接证明
综合法
证明
分析法
间接证明
反证法
数学归纳法
一.综合法
例.已知a、b、c 为不相等正数 ，且abc = 1，
证求 ：a + b + c < 1 + 1 + 1 . abc
证法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
以圣哲茂姿 至於趣舍大检 驻武昌 咸曰 今因羽危惧 事不当理 天下之重资也 大将军恭行天罚 文辞典雅 子弟衣食 掌统留事 岂府君爱顾之义 遂反 和道经袁术 徐盛字文向 数年卒官 又幹郡之吏 求取亡国不度之器 已杀 佗舍去 交绝而吴禽矣 顷之转任牂牁 从之则无益事 兴至 孙权围合肥 众数万人 道经汉寿 乃密上 豫虽有战功而禁令宽弛 拔彭城蔡款 南阳谢景於孤微童幼 遣校尉范陵至羌中 伊尹之制 又得无盗嫂受金而未遇无知者乎 念至情惨 及中不至 以为魏得地统 当独见一白狗 不暇存也 为光禄勋 凯上疏曰
高二数学选修2-2：第二章 推理与证明
【例 3】 一直线与△ABC 的边 AB，AC 分别相交于 E，F，则SS△△AABECF ＝AABE··AACF.将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比，试 推理三棱锥的性质，并给出证明． 解 在三棱锥 S-ABC 中，平面 α 与侧棱 SA，SB，SC 分别相 交于 D，E，F. 则VVSS－－DABECF＝SSDA··SSBE··SSCF. 证明如下：
则当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31
＞ k＋1·22kk＋＋31＝22kk＋＋31.
要证当 n＝k＋1 时结论成立，
只需证 2
2k＋k＋3 1＞
k＋2成立，
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8 成立，显然成立，
∴当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31＞ k＋1＋1成立， 综合①②可知不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
从而只需证 2
a2＋a12≥ 2 a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
【例5】 如图，在四面体B-ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F 分别是AB，BD的中点，求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF， ∴EN∥EF， 这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
专题四 数学归纳法 1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自
然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不 成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等 变换． 2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般 结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、 归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证 明．
推理与证明课件
答案： 大前提
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
4．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处： (1)求证：四边形的内角和等于360°. 证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角， 有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所 以四边形的内角和为360°. (2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而 A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定 一个平面(结论)．” (3)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属 (小前提)，所以金能导电(结论)．”
1．理解演绎推理的意义． 2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用三段论进行一些 简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
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人们在喜马拉雅山区考察时，发现高山的地层中有许多鱼 类、贝类的化石，还发现了鱼龙的化石．地质学家们推断说， 鱼类、贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石， 说明喜马拉雅山曾经是海洋．地质学家是怎么得出这个结论的 呢？
第二章 推理与证明
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演绎推理
1．演绎推理的含义及特点
含义 特点
从一般性的原理出发，推出 __某__个__特__殊__情__况__下__的结论的推理 由_一__般__到__特__殊___的推理
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第二章 推理与证明
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4．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处： (1)求证：四边形的内角和等于360°. 证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角， 有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所 以四边形的内角和为360°. (2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而 A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定 一个平面(结论)．” (3)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属 (小前提)，所以金能导电(结论)．”
1．理解演绎推理的意义． 2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用三段论进行一些 简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
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人们在喜马拉雅山区考察时，发现高山的地层中有许多鱼 类、贝类的化石，还发现了鱼龙的化石．地质学家们推断说， 鱼类、贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石， 说明喜马拉雅山曾经是海洋．地质学家是怎么得出这个结论的 呢？
第二章 推理与证明
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演绎推理
1．演绎推理的含义及特点
含义 特点
从一般性的原理出发，推出 __某__个__特__殊__情__况__下__的结论的推理 由_一__般__到__特__殊___的推理
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人教版高二数学选修2-2(B版)全册PPT课件
3.1.1 实数系
3.1.3 复数的几何意义
3.2.2 复数的乘法
பைடு நூலகம்
本章小节
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 导数及其应用
人教版高二数学选修2－2(B版)全册 PPT课件
1.2 导数的运算
1.2.1 常数函数与冥函数的导
1.2.3 导数的四则运算法则
1.3.2 利用导数研究函数的极值
1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形
本章小结
第二章 推理与证明
2.1.2 演绎推理
2.2.2 反证法
2.3.2 数学归纳法应用举例
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
3.1 数系的扩充与复数的概念
人教版高二数学选修2－2(B版)全 册PPT课件目录
0002页 0036页 0087页 0156页 0219页 0238页 0254页 0282页 0336页 0371页 0418页 0458页 0460页 0495页 0555页 0598页 0600页
第一章 导数及其应用
1.1.2 瞬时速度与导数
高二数学推理与证明完整ppt
(4)在三角形ABC中有结论：AB+BC>AC，类
似地在四面体P-ABCD中有
.
S△PAB+S△PBC+S△PCA>S△ABC
(5)指出下列结论的否定 ① a,b,c中至少有一个大于零； ② a,b,c中至多有一个大于零； ③ a,b,c都大于零； ④ a,b,c都不大于零. ①的否定是：a,b,c都不大于零； ②的否定是：a,b,c有两个大于零；
+>
推理与证明
(复习)
②的否定是：a,b,c有两个大于零；
即
>k
1·2·3+2·3·4+···+n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)
②的否定是：a,b,c有两个大于零；
（1）动物和植物的机体都是细胞组成的；
似地在四面体P-ABCD中有
.
7题的过程是否存在错误
设k是奇数，求证x： 2 2方 x程 2k0
③的否定是：a,b,c不都大于零； ④的否定是：a,b,c至少有一个大于零；
已知a，b是正有理数， a , b 是无理数
证明： a b必为无理数
（1）动物和植物的机体都是细胞组成的；
（2）假设当n=k时，结论正确，即
（2）假设当n=k时，结论正确，即
（2）假设当n=k时，结论正确，即
1+ + +···+ >
（2）数列 an 中，a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an, 则a2021的值为 -6 .
（3）由下列等式，你有什么猜想 猜想:1·21++22·3++33+·4…+·+··n+=n(12n+n1()n=+131) n(n+1)(n+2) 1·2·3+2·3·4+···+n(n+1)(n+2)=14
高中数学演绎推理课件
一般性的原理 特殊情况
结论
大前提 小前提
结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 大前提
因为2 007是奇数,
特殊情况
小前提
所以2 007不能被2整除. 结论
结论
三、建构数学 演绎推理的定义：从一般性的原理出发，
推出某个特殊情况下的结论，这种推理称
为演绎推理。 1．演绎推理是由一般到特殊的推理； 2．“三段论”是演绎推理的一般模式；包 （括1）大前提——已知的一般原理； （2）小前提——所研究的特殊情况； （3）结论——据一般原理，对特殊情况做 出的判断．
整体 个别
今天来学习另外一种推理方法：
一般
二、新授
(1)所有金属都能够导电,铀是金属,所以铀能 够导电;
(2)太阳的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行, 冥王星是太阳系的大行星,因此冥王星以椭圆 形轨道绕太阳运行;
(3)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,所 以在一个标准大气压下把水加热到100℃时,水 会沸腾;
四、数学运用
例M1完成下面的S 推理过程
P
“二次函数y=x2 + x + 1的图象是一条抛物线 .”
试将其恢复成完整的三段论．
解：
大前提 ∵二次函数的图象是一条抛物线,
小前提 函数y = x2 + x + 1是二次函数,
结论
∴函数y = x2 + x + 1的图象是一
条抛物线.
探究二、 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是
垂足.求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:(1)∵有一个内角是只直
在角△的A三BC角中形,A是D⊥直B角C,三即角∠形AD,B=90o
人教A选修2-211-12学年高二数学：2.1.2 演绎推理 课件(人教A版选修2-2)
· ·
大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论
[点评] 在三段论中，“大前提”提供了 一般的原理、原则，“小前提”指出了一 个特殊场合的情况，“结论”在大前提和 小前提的基础上，说明一般原则和特殊情 况间的联系，平时大家早已能自发地使用 三段论来进行推理，学习三段论后我们要 主动地理解和掌握这一推理方法．
[例3] 指出下面推理中的错误． (1)因为自然数是整数， 大前提 而－6是整数， 小前提 所以－6是自然数． 结论 (2)因为中国的大学分布于中国各地， 大前提 而北京大学是中国的大学， 小前提 所以北京大学分布于中国各地． 结论
[分析] 要判定推理是否正确，主要从三个方面：(1)大 前提是否正确；(2)小前提是否正确；(3)推理形式是否正 确，只有当上面3条都正确时，结论才正确． [解析] (1)推理形式错误，M是“自然数”，P是“整 数”，S是“－6”，故按规则“－6”应是自然数(M)(此 时它是错误的小前提)，推理形式不对，所得结论是错误 的． (2)这个推理错误的原因是大、小前提中的“中国的大学” 未保持同一，它在大前提中表示中国的各所大学，而在 小前提中表示中国的一所大学．
演绎推理是一种必然性推理．演绎推理的前 提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提 是真实的，推理的形式是正确的，那么结论 必定是真实的．但错误的前提可能导致错误 的结论．
1．演绎推理 从一般性 的原理出发，推出 某个特殊 情 况 下 的结论的推理形式． 它的特点是：由一般到特殊的推理． 它的特征是：当 前提和推理形式 都 正 确 时 ， 结论 必然正确．
把下列演绎推理写成三段论的形式． (1) 在 一 个 标 准 大 气 压 下 ， 水 的 沸 点 是 100℃，所以在一个标准大气压下把水加 热到100℃时，水会沸腾； (2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇 数，所以(2100＋1)不能被2整除；
大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论
[点评] 在三段论中，“大前提”提供了 一般的原理、原则，“小前提”指出了一 个特殊场合的情况，“结论”在大前提和 小前提的基础上，说明一般原则和特殊情 况间的联系，平时大家早已能自发地使用 三段论来进行推理，学习三段论后我们要 主动地理解和掌握这一推理方法．
[例3] 指出下面推理中的错误． (1)因为自然数是整数， 大前提 而－6是整数， 小前提 所以－6是自然数． 结论 (2)因为中国的大学分布于中国各地， 大前提 而北京大学是中国的大学， 小前提 所以北京大学分布于中国各地． 结论
[分析] 要判定推理是否正确，主要从三个方面：(1)大 前提是否正确；(2)小前提是否正确；(3)推理形式是否正 确，只有当上面3条都正确时，结论才正确． [解析] (1)推理形式错误，M是“自然数”，P是“整 数”，S是“－6”，故按规则“－6”应是自然数(M)(此 时它是错误的小前提)，推理形式不对，所得结论是错误 的． (2)这个推理错误的原因是大、小前提中的“中国的大学” 未保持同一，它在大前提中表示中国的各所大学，而在 小前提中表示中国的一所大学．
演绎推理是一种必然性推理．演绎推理的前 提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提 是真实的，推理的形式是正确的，那么结论 必定是真实的．但错误的前提可能导致错误 的结论．
1．演绎推理 从一般性 的原理出发，推出 某个特殊 情 况 下 的结论的推理形式． 它的特点是：由一般到特殊的推理． 它的特征是：当 前提和推理形式 都 正 确 时 ， 结论 必然正确．
把下列演绎推理写成三段论的形式． (1) 在 一 个 标 准 大 气 压 下 ， 水 的 沸 点 是 100℃，所以在一个标准大气压下把水加 热到100℃时，水会沸腾； (2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇 数，所以(2100＋1)不能被2整除；
高中数学第二章推理与证明2.3.2数学归纳法应用举例2b22b高二22数学
数学归纳法的具体(jùtǐ)应用
第一页，共十四页。
2021/12/12
数学 归纳法 (shùxué)
与自然数相关的命题
归纳(guīnà)奠 基
归纳(guīnà)
递推
第二页，共十四页。
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常用 的证明方法 (chánɡ yònɡ)
第三页，共十四页。
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怎么(zěn me)证 明？
第四页，共十四页。
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第五页，共十四页。
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第六页，共十四页。
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数学归纳法在这儿(zhèr)为什么会失效？为什么归纳递 推会不成立？
第七页，共十四页。
2021/12/12
数学归纳法在这儿如何(rúhé)修正？
第十三页，共十四页。
2021/12/12
数学归纳法的具体(jùtǐ)应用
内容(nèiróng)总结
No
Image
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第十四页，共十四页。
第八页，共十四页。
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第九页，共十四页。
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第十页，共十四页。
2021/12/12
还有别的方法(fāngfǎ)吗？
第十一页，共十四页。
2021/12/12
这些证明方法(fāngfǎ)有何异同之处？
第十二页，共十四页。
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方法(fāngfǎ) 小结
第一页，共十四页。
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数学 归纳法 (shùxué)
与自然数相关的命题
归纳(guīnà)奠 基
归纳(guīnà)
递推
第二页，共十四页。
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常用 的证明方法 (chánɡ yònɡ)
第三页，共十四页。
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怎么(zěn me)证 明？
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第五页，共十四页。
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数学归纳法在这儿(zhèr)为什么会失效？为什么归纳递 推会不成立？
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数学归纳法在这儿如何(rúhé)修正？
第十三页，共十四页。
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数学归纳法的具体(jùtǐ)应用
内容(nèiróng)总结
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第八页，共十四页。
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第九页，共十四页。
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还有别的方法(fāngfǎ)吗？
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这些证明方法(fāngfǎ)有何异同之处？
第十二页，共十四页。
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方法(fāngfǎ) 小结
高中数学 模块复习课 第2课时 推理与证明课件 a选修12a高二选修12数学课件
kǎo)体验
专题二
演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)及其应用
【例 2】已知函数
1 2
f(x)= x +aln
2
x(a∈R).
(1)若 f(x)在[1,e]上是增函数,求 a 的取值范围;
2
3
(2)若 a=1,1≤x≤e,求证:f(x)< x3.
12/8/2021
第十一页，共三十六页。
专题整合
专题
2
2Байду номын сангаас
2
12/8/2021
第十八页，共三十六页。
C+ccos A)
专题整合
专题
(zhuāntí)归
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题四 反证法及其应用
【例4】 已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实
数(shìshù)a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最
后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
12/8/2021
第四页，共三十六页。
自主梳理
知识(zhī
网络
shi)
要点
(yàodiǎn)
梳理
思考(sīkǎo)
辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样
|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (
A.76
B.80
)
C.86 D.92
专题二
演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)及其应用
【例 2】已知函数
1 2
f(x)= x +aln
2
x(a∈R).
(1)若 f(x)在[1,e]上是增函数,求 a 的取值范围;
2
3
(2)若 a=1,1≤x≤e,求证:f(x)< x3.
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专题
2
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C+ccos A)
专题整合
专题
(zhuāntí)归
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题四 反证法及其应用
【例4】 已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实
数(shìshù)a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最
后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
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shi)
要点
(yàodiǎn)
梳理
思考(sīkǎo)
辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样
|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (
A.76
B.80
)
C.86 D.92
数学高二-专题 推理与证明
推理与证明(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2010·山东)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －13．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数4．(2011·江西)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．495．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（ⅰ）1*1=1,(ⅱ)( n +1)*1= n *1+1,则n *1等于（ ）A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 26．已知数列{a n }中，a n ∈(0，12)，a n ＋1＝38＋12·a 2n，则数列{a n }是( ) A ．单调递增数列B ．单调递减数列C ．摆动数列D ．先递增后递减数列二、填空题7．(2011·北京)设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,3)，D (t,3) (t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N (0)＝________；N (t )的所有可能取值为________．8．(2011·山东)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.9．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.10．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有________________________也成等差数列，该等差数列的公差为________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求1S 2，1S 3，1S 4，…，并求1S n(不需证明)； (2)求数列{a n }的通项公式.12.观察下列三角形数表假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *)，(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 4＝28，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式并证明．答案1．D 2．B 3．B 4．B 5．A 6．A7．6 6,7,8 8.x (2n －1)x ＋2n 9.n ＋2n ＋1 10．S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30300 11．解 (1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1和S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，得S 22＝(S 2－S 1)⎝⎛⎭⎫S 2－12，得1S 2＝1＋2S 1S 1＝2＋11＝3，由S 23＝(S 3－S 2)⎝⎛⎭⎫S 3－12，得1S 3＝2＋1S 2＝5，由S 24＝(S 4－S 3)⎝⎛⎭⎫S 4－12，得1S 4＝2＋1S 3＝7，…由S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，得1S n ＝2＋1S n －1＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝12n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3＝－2(2n －1)(2n －3)，显然，a 1＝1不符合上述表达式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.12．解 (1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.(2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋(n －2)(n ＋1)2， 所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2)． 13．解 (1)a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n . 当n ＝3时，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3. ∵a 4＝28，∴a 3＝15；当n ＝2时，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2. ∵a 3＝15，∴a 2＝6；当n ＝1时，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1. ∵a 2＝6，∴a 1＝1.(2)猜想a n ＝n (2n －1)．①当n ＝1时，a 1＝1，而a 1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立， 即a k ＝k (2k －1)．则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋a k －1a k ＋1－a k ＋1＝k ，a k ＋1＋k (2k －1)－1a k ＋1－k (2k －1)＋1＝k ， 整理，得(1－k )a k ＋1＝－2k 3－k 2＋2k ＋1 ＝(2k ＋1)(1－k 2)，a k ＋1＝(1＋k )(2k ＋1)＝(k ＋1)[2(k ＋1)－1]， 等式也成立．综合①②可知，n ∈N *时，等式成立．。
高二数学必修1课件：证明不等式的基本方法
例1、已知a,b都是正数，且a b, 求证：a3 b3 a2b ab2
第四页，编辑于星期一：一点 一分。
例2、如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖 的质量分数为 a .若在上述溶液中再添加mkg
b 白糖，此时糖的质量分数增加到 a m .将这
bm 个事实抽象为数学问题，并给出证明.
第五页，编辑于星期一：一点 一分。
2、作商法
原理：若a,b R 则
a 1 a b b
a 1 a b b
a 1 a b b
第六页，编辑于星期一：一点 一分。
步骤：作商---变形---与1比较---定论
注意：1、作商法的前提为a,b为 正实数； 2、在证明幂、指数不等式时常用
作商法.
第七页，编辑于星期一：一点 一分。
例3、已知a, b是正数，求证aabb abba， 当且仅当a b时等号成立.
证明不等式的基本方法
第一页，编辑于星期一：一点 一分。
一、比较法
原理: a b a b 0 ab ab0 a b ab0
第二页，编辑于星期一：一点 一分。
步骤：作差---变形---判号---定论 关键：判号，常用方法是将“差式” 变形为一个常数，或几个因式的 乘积.
第三页，编辑于星期一：一点 一分。
abc
第十五页，编辑于星期一：一点 一分。
小结： 简述比较法、综合法、分析法
第十六页，编辑于星期一：一点 一分。
作业：
P25 2 P26 4，5，6，8，9
第十七页，编辑于星期一：一点 一分。
第十二页，编辑于星期一：一点 一分。
பைடு நூலகம் 三、分析法
证明命题时，从要证的结论出发， 逐步寻找使它成立的充分条件，直至
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boቤተ መጻሕፍቲ ባይዱog怎么上不去
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