因式分解-第1讲竞赛班教师版
数学竞赛专题讲座因式分解
数学竞赛专题讲座因式分解1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．关于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也能够用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，因此上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看作是关于x的二次三项式．关于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也能够用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解因此原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．假如把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这确实是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x 的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．依照因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．关于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一样方法的，然而当多项式f(x)的系数差不多上整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．专门地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们依照上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，因此依照定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，因此原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，专门要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：因此，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式能够化为9x2-3x-2，如此能够简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，假如能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就能够分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，如此，我们就能够连续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用专门广泛，那个地点介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式通过分析，能够确信它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时能够用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，依照多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个专门值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式能够分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．因此原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，依照前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，因此，在有理数集内，原式没有一次因式．假如原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，因此有由bd=7，先考虑b=1，d=7有因此原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯独性，因此对b=-1，d=-7等能够不加以考虑．本题假如b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则，原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注：这里用到公式a，+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数，得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式：(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式：(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式：a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式：a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式：x3-9x+8.解析多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项，式中无二次项，可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中，a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差，应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析 利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+^y-3）展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 （江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式，则b 的值为（）A.-2B.-lC.OD.2解析 运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00，-1) 収 玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式，贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为（兀3-X-d ） - （F+x-d ） = x （x+l ）（x-2）,所以，X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时，£7=0；当公因式为X —2时，a = 6.例4 （2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分 别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！ 解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即（80—。
数学竞赛专题讲座---第一讲因式分解(一)
第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。
八年级数学(竞赛)因式分解
第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。
初中数学课件-因式分解导学课件北师大版1
m2 - 2 . m . 6+62 解： (a+b)2-12(a+b)+36
= (a+b)2-2.(a+b).6+62 =(a+b-6)2
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6
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导入
右边是整式 的积
a2 2ab b2 (a b)2 (a b)(a b) a2 2ab b2 (a b)2 (a b)(a b)
左边是多项式
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难点突
破
因式分解中的完全平方公式：
a2+2ab+b2=(a +b)2 两个数的平a方2-和加上（或减去） 这两个数的2积ab的+2b倍2=，(等a于-这两个 数的和（或b差)2）的平方。
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公式法
（完全平方式）
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八年级培优竞赛第一讲因式分解1
培优竞赛八年级第一讲：因式分解·基础知识：·问题解决：例1：分解因式：333(23)(32)125()x y x y x y -+---例2：要使二次三项式25x x p --在整数范围内分解因式，那么整数p 可取值有（ ）A.2个B.4个C.5个D.无数个例3：把下列各式分解因式：⑴22(52)(53)12x x x x ++++-⑵2(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++⑶()(2)(1)(1)x y x y xy xy xy +++++-例4：分解因式：⑴2a ab ac bc -+-⑵22244x y z yz --+例5：分解因式：⑴326116x x x +++⑵4322928x x x x +---测试1因式分解（一）一选择题（每题5分，共30分）⒈将()()()()2222a b x m n x ab x n m x -+---分解因式时，可提取公因式(). ()A ()()22a b x m x n -+ ()B ()()ab x m x n -+()C ()ab x m - ()D ()ab x n - ⒉下列因式分解中错误的是().()A ()()111a b ab b a --+=-- ()B ()()111a b ab a b +--=+- ()C ()()222222111a b a b a b +++=++ ()D ()()222111a b ab a b -++=-+ ⒊将222222a c ab d b cd ---+-分解因式后有因式().()A a b c d +++ ()B a b c d +-- ()C a b c d -++ ()D a b c d -+-⒋下列各式能用完全平方公式分解因式的是().()A 444x y + ()B 22424x xy y -+ ()C 2244x xy y --+ ()D ()22510x x -+- ⒌如果可以分解为两个整系数的一次因式的积，那么().()A m 一定是偶数 ()B m 一定是奇数 ()C m 是定是正数 ()D m 一定是负数⒍化简的值最接近于()()()()()()()()()()333333333321314199110012131419911001---⋅⋅⋅--+++⋅⋅⋅++().()A 12 ()B 13 ()C 23 ()D 58二、填空题（每题6分，共30分） ⒎分解因式：2244a b x ax -+-= ．⒏分解因式：()()226151y x y x ---+= ． ⒐分解因式：224293x x y y +--= ．⒑分解因式：2242244241a b c ab ac bc ++--+-= ． ⒒分解因式：()()()2122xy x y x y xy ++++--= ．三、解答题（每题15分，共60分）⒓已知2222221996196a b ++++=+，a 、b 都是正整数，求()2a b +的值．⒔m 是正整治数，215x x m ++能分解为两个系数都为整数的一次因式的积，求m 的值．⒕写出尽可能多的整数a ，使220x ax --在整数范围内可以分解因式．⒖已知0a b c d +=+≠，3333a b c d +=+．求证：ad cd =．。
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三、十字相乘法①
前面出现了一种公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 暂且称为p、q型因式分解 我们能够用它进行因式分解（合用于二次三项式）
例1：因式分解x2+4x+3 能够看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3)
这个公式简朴旳说， 就是把常数项拆成两个数旳乘积， 而这两个数旳和刚好等于一次项系数
8a3b2－12ab3c 旳公因式是什么？
公因式 4
a
b2
最大公约数 相同字母 最低指数
观察 一看系数 二看字母 三看指数 方向
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子旳公因式,能够直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
按照提公因式 法因式分解。
①3a 2b 6abc
⑤36x2 y3 45x3 y2
② 5x3 y 10xy 2 20xy ⑥74a3b2c4 111a4b3c4
③ 1 m3n mn 5 mn2
4 +3=7
3 x2 + 11 x + 10
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
1
52
3
25
25 + 165==1117
因式分解竞赛讲义 姓名
因式分解竞赛讲义 姓名-----------第一部分：方法介绍一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)
初中数学竞赛辅导资料因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。
下面再介紹两种方法1．添项拆项。
是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
湖南教育出版社初中数学九年级上册 因式分解法-“江南联赛”一等奖
一元二次方程解法：因式分解法（第1课时）湘教版九年级上册桂林市桂电中学数学组郭丽丽【学情分析】九年级的同学们已经学习了一元一次方程、二元一次方程、分式方程，对解方程已经有了一定的基础。
而且前面已经学习了一元二次方程的三种解法：直接开平方法、配方法、公式法，这几种解法的本质是要解一元二次的方程关键在于通过降次为一元一次方程来解。
而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。
【教材分析】一元二次方程在初中数学中占有重要地位，有着承上启下的作用。
我们从知识的发展来看，同学们通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。
而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。
本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。
【学习目标】（一）知识与技能：1.理解因式分解法的基本原理，会用因式分解法解一元二次方程．2.理解一元二次方程与一元一次方程的联系，体会“降次”化归的思想方法．3.进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）过程与方法：1、通过新方法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想。
（三）情感态度与价值观：体会解决问题方法的多样性，体验数学逻辑推理的严密性。
【学习重难点】重点：掌握因式分解法解一元二次方程一般步骤，理解应用因式分解法解一元二次方程。
2021年同课异构部级比赛《因式分解》一等奖教案 (2)
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
《因式分解》教学目标1、理解因式分解的概念和意义．2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法．3、由自行探求解题途径，培养观察、分析、判断能力和创新能力，深化逆向思维能力和综合运用能力．教学重难点重点：因式分解的概念．难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系．教学过程一、学前准备1、回忆小学时学过的因数分解概念__________________________________；并举出例子___________，_____________．2、如何简便计算（1）若a=101，b=99，则a2-b2=___________；（2）若a=99，b=-1，则a2-2ab+b2=____________．二、师生探究，合作交流1、观察a2-b2=（a+b）（a-b）、a2-2ab+b2 =（a-b）2、20x2+60x=20x（x+3），找出它们的特点．（等式的左边是一个什么式子？右边又是什么形式？）比较小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念：把一个_______________化成几个___________的____形式叫做因式分解，也叫多项式分解因式．2、计算下列各式：（1）3x（x-1）=_________________；（2）m（a+b+c）=_______________；（3）（m+4）（m-4）=_____________；（4）（y-3）2=_________________．根据上面的算式填空：（1）3x2-3x=（）（）；（2）m2-16=（）（）；（3）ma+mb+mc=（）（）；（4）y2-6y+9=（）2．3、观察两组计算的不同想想整式乘法和因式分解的不同？说明：第一部分是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）； 第二部分都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形式． 结论：因式分解与整式乘法正好__________．你能写出整式相乘（其中至少一个是多项式）的两个例子，并由此得到相应的两个多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流．三、例题解析例1：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？（1）x 2-3x +1=x （x -3）+1；（2）（m ＋n ）（a ＋b ）＋（m ＋n ）（x ＋y ）＝（m ＋n ）（a ＋b ＋x ＋y ）；（3）2m （m -n ）=2m 2-2mn ；（4）4x 2-4x +1=（2x -1）2；（5）3a 2+6a =3a （a +2）；结合因式分解的概念，整式乘法与因式分解的区别．例2：检验下列因式分解是否正确．（1）x 2y -xy 2=xy （x -y ）；（2）2x 2-1=（2x +1）（2x -1）；（3）x 2+3x +2=（x +1）（x +2）．分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等．四、学习体会1、本节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？2、预习的效果如何？五、检测练习判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？（1）()()y x y x y x 22422+-=- （2）()xy x y x x 62322-=- （3）()110251522+-=-a a a （4）()22244+=++x x x （5）（a ＋3）（a －3）=2a －9 （6）()()2242-+=-m m m 在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基本题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。
因式分解-第1讲竞赛班学生版
第一讲 因式分解综合一、 知识回顾因式分解的基本方法：（1）提取公因式；（2）运用公式法；（3）分组分解法；（4）十字相乘法。
因式分解的其他常用方法：（5）拆项、添项；（6）换元法；（7）双十字相乘法；（8）待定系数法；（9）利用因式定理分解。
二、 对称式、交代式和轮换式1． 对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。
如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母a ，b 的对称式。
2． 交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。
例如a b -，22a b -。
3． 轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式。
如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等。
三、 对称式、交代式和轮换式的因式分解由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法。
因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解。
四、 例题例1. 分解因式66()()x y x y x y -+-例2. 分解因式32332a a a +++例3. 分解因式222()()()x p q x pq p q p q -+++-例4. （92年四川初中联赛试题）分解因式22276212x xy y x y -++--例5. 分解因式4322928x x x x +--+例6. 分解因式3333x y z xyz ++-例7. （第六届莫斯科数学奥林匹克）分解因式333()()()b c c a a b -+-+-例8. 分解因式()()()y z z x x y xyz ++++例9. 分解因式333()()()a b c b c a c a b -+-+-例10. 分解因式()()a b c ab bc ca abc ++++-五、 因式分解的应用例11.已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c ==例12. （第9届莫斯科奥林匹克）证明：对于任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33： 543223453515412x x y x y x y xy y +--++例13. （1982年天津初中数学竞赛）已知在ABC 中，222166100a b c ab bc --++=（a 、b 、c 是三角形三边的长），求证：2a c b +=例14.（基辅数学奥林匹克）证明对于任意整数n ，65222n n n n +--能被120整除六、 练习题1． 选择题（1）下列式子中，是轮换对称多项式的有（ ）○132x y z ++ ○2234432x y z x y z +++ ○32233xy y z z x ++ ○4333222x y z x y z ++--- A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2）若2222223()()x y xy y z yz z x zx xyz k x y z xy yz zx ++++++=++++，则k 的值是（ ）A ．12 B ．1 C ．3 D ．－1（3）将444222222222a b c a b b c c a ++---分解因式得（ ）A ．2222()a b c --B ．222222(2)(2)a b c bc a b c bc --+---C ．()()()()a b c a b c a b c a b c +--+++--D ．()()()()a b c b c a c a b a b c +-+-+-++2． 分解因式（1）222()()()a b c b c a c a b -+-+-（2）222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-（3）222333()()()()2x y z y z x z x y x y z xyz +++++-++-3． 若多项式32x ax bx ++能够被(5)x -和(6)x -整除，那么a=______；b=______；4． 已知0a b c d +++=，33333a b c d +++=，求证： （1）33()()0a b c d +++=；（2）()()1ab c d cd a b +++=。
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第一讲 因式分解综合
教学内容：复习因式分解的基本方法、常用方法；学习对称式的分解方法。
一、 知识回顾（例1至例5，重点复习待定系数法和因式定理）
回顾因式分解的基本方法：
（1）提取公因式；
（2）运用公式法；
（3）分组分解法；
（4）十字相乘法。
因式分解的其他常用方法回顾：
（5）拆项、添项；
（6）换元法；
（7）双十字相乘法；
（8）待定系数法；
（9）利用因式定理分解。
二、 对称式、交代式和轮换式
1． 对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关
于这两个字母的对称式。
如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母a ，b 的对称式。
2． 交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符
号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。
例如a b -，22a b -。
3． 轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母
换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式。
如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等。
三、 对称式、交代式和轮换式的因式分解
由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法。
因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解。
（具体见例6至例10）
四、 例题
例1. 分解因式66
()()x y x y x y -+-
《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P21，例4（2）
提公因式和公式法
例2. 分解因式32332a a a +++ 《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P22，例6
分组法，拆项添项法
例3. 分解因式222()()()x p q x pq p q p q -+++-
《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P23，例8
十字相乘法
例4. （92年四川初中联赛试题）分解因式22
276212x xy y x y -++--
《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P11，例8
双十字，待定系数法
例5. 分解因式4322928x x x x +--+ 《奥数教程》初二，P13，例7
例6. 分解因式333
3x y z xyz ++-
《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P42，例1
例7. （第六届莫斯科数学奥林匹克）分解因式333()()()b c c a a b -+-+-
《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P12，例9
例8. 分解因式()()()y z z x x y xyz ++++
《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P45，习题六1
例9. 分解因式333
()()()a b c b c a c a b -+-+-
《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P43，例4
例10. 分解因式()()a b c ab bc ca abc ++++- 《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P45，习题六3
五、 因式分解的应用
例11. 已知2222
3()()a b c a b c ++=++，求证：a b c == 《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P48，例7
例12. （第9届莫斯科奥林匹克）证明：对于任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33：
543223453515412x x y x y x y xy y +--++
《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P22，例8
例13. （1982年天津初中数学竞赛）已知在ABC 中，222166100a b c ab bc --++=（a 、b 、c 是三角形三边的长），求证：2a c b +=
《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P23，例9
例14. （基辅数学奥林匹克）证明对于任意整数n ，65222n n n n +--能被120整除
22原式＝n(n+2)(n-1)(n+1)(n +1)
=n(n+2)(n-1)(n+1)(n -4)+5(n-1)n(n+1)(n+2)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)(n+2)
第一项为连续五个自然数相乘，必能被5！＝120整除；第二项中是连续四个整数的乘积的5倍，因此也能被120整除。
六、 练习题
1． 选择题《奥数教程初二年级》P28，测试题、一1，2
（1）下列式子中，是轮换对称多项式的有（ ）
○
132x y z ++ ○2234432x y z x y z +++ ○32233xy y z z x ++ ○
4333222x y z x y z ++--- A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 （2）若2222223()()x y xy y z yz z x zx xyz k x y z xy yz zx ++++++=++++，则k 的值
是（ ）
A ．12
B ．1
C ．3
D ．－1
（3）将444222222222a b c a b b c c a ++---分解因式得（ ）
《初中数学竞赛同步辅导》第二分册P13，1（1）
A ．2222
()a b c --
B ．222222(2)(2)a b c bc a b c bc --+---
C ．()()()()a b c a b c a b c a b c +--+++--
D ．()()()()a b c b c a c a b a b c +-+-+-++
2． 分解因式
（1）222
()()()a b c b c a c a b -+-+-
《初中数学竞赛同步辅导》第二分册P15，3（3）
（2）222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-
《奥数教程初二年级》P28，测试题、二4
（3）222333()()()()2x y z y z x z x y x y z xyz +++++-++-
《奥数教程初二年级》P28，测试题、二5
3． 若多项式32x ax bx ++能够被(5)x -和(6)x -整除，那么a=______；b=______； 希望杯数学竞赛培训教程，初二年级P13，（二）5
4． 已知0a b c d +++=，33333a b c d +++=，求证：
（1）33()()0a b c d +++=；（2）()()1ab c d cd a b +++=
《奥数教程初二年级》P29，测试题、三7 课外小故事
野马与蝙蝠
成败在于心态
哲理的故事
南非有一种野马， 性情暴烈，奔跑速度极 快，是难
得的优良马种。
但它却有一个身体极小 的天敌——吸血蝙蝠。
这种蝙蝠
一旦趴在马身上，就用尖嘴狂吸马血，不管马如何狂奔乱跳，
都甩不掉它，只有吸饱了它才会离去。
虽然这种蝙蝠吸血不
多，但由于对吸血的惧怕，马总是没完没了地狂奔，最后常
常力竭而死。