高中数学 2.3数学归纳法第1课时教案 新人教A版选修2-2
选修2-2 2.3.1数学归纳法教案
设计意图： 通过从不同的角度审视， 更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质。 （四）方法的应用 例 1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则 an=a1+(n-1)d 对于一切
n∈ N*都成立。（学生板书，教师在教室走动看同学们对数学归纳法的掌握情况 及做题规范）注：张老师建议将本例题换成 1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6 证明: (1)当 n=1 时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1,
五、教学方法
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出 发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之 间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归
纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证 明一些与正整数 n 有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决 问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强 调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。
在应用数学归纳法时，第一步中的起点 1 可以恰当偏移(如取 k=n0)，那么由 第二步，就可证明命题对 n=n0 以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也 可作灵活的变动， 如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递 推时的基础. 数学归纳法名为归纳法， 实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法 “这 个名字是随便起的”.归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要 的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一 种演绎法，它的实质是如庞加莱所说“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”，它 得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳 公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则 从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性. 数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论 的发现过程中， 往往先通过对大量个别事实的观察， 通过归纳形成一般性的结论， 最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的， 而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”.
人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件
数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．
新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
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山东省临沂第一中学
练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题 练习 下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n + +L+ = 1• 2 2 • 3 n • ( n + 1) n + 1
的过程.你认为他的证法正确吗 为什么 的过程 你认为他的证法正确吗?为什么 你认为他的证法正确吗
1 1 = , 右边 (1).当n=1时,左边 左边= 右边= 当 时 左边 1 • 2 2
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山东省临沂第一中学
思考6 数学归纳法由两个步骤组成， 思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其 中第一步是归纳奠基 第二步是归纳递 归纳奠基， 中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递 完成这两个步骤的证明， 推，完成这两个步骤的证明，实质上解 决了什么问题？ 决了什么问题？ 逐一验证命题对从n 逐一验证命题对从n0开始的所有正整数 都成立. n都成立.
山东省临沂第一中学
2.3 数学归纳法
临沂一中数学组
1
问题提出
山东省临沂第一中学
1.归纳推理的基本特征是什么？ 1.归纳推理的基本特征是什么？ 归纳推理的基本特征是什么 由个别事实概括出一般结论. 由个别事实概括出一般结论. 2.综合法， 2.综合法，分析法和反证法的基本思 综合法 想分别是什么？ 想分别是什么？ 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立， 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证明. 证明.
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探究（ 探究（二）：数学归纳法的基本原理
山东省临沂第一中学
an 思考1 已知数列{a 思考1：已知数列{an}满足 an + 1 = 1 + an 1 a n∈N*），假设当n ），假设当 （n∈ ），假设当n＝k时，k = ，
人教版高中数学选修22数学归纳法教案和教案说明
课题：2.3数学归纳法（1）教材：普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2一、教学目标1.知识与技能（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解与记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
2.过程与方法（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力与严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。
3.情感、态度与价值观（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度与不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
二、教学重、难点1.重点（1）初步理解数学归纳法的原理，明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（2）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
三、教学方法与手段本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。
在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。
师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n 有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。
既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性与合作性。
四、教学过程（一）创设问题情景情景一：观察下列等式，12+1+17＝19，22+2+17＝23，32+3+17＝29，42+4+17＝37……你能得出形如n 2+n+17的数为什么数（质数）？进一步提问，你得出的结论对吗？请你将16代入检验，（得出猜想是错的）说明这种不完全归纳得出的结论不可靠。
数学归纳法(人教教案)docx
“数学归纳法”（第一课时）教学设计（修改稿）浙江省衢州高级中学何豪明一、内容和内容解析“数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）》中的内容，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明．在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．应用数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法)证明命题的步骤：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设当时命题成立，证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立．数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①；②若，则．那么是全体正整数的集合，即）也叫做归纳公理．设是一个与正整数有关的命题，我们把使成立的所有正整数组成的集合记为，如果要证明对于所有正整数都成立，只要证明即可．为此，根据归纳公理，首先证明（数学归纳法中的第一步“归纳奠基”正是进行这样的证明）；其次证明若，则（数学归纳法中的第二步“归纳递推”正是进行这样的证明）．这样即可得到，从而证明了命题对于一切正整数都成立．不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当时命题成立，利用这个假设，如果能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有的正整数，………，命题都成立.也就是说，当时命题成立，可以推出时命题成立，当时命题成立，可以推出时命题成立，……．即命题真命题真命题真命题真．因此可知命题对于从开始的所有正整数都成立．数学归纳法的思维模式是：“观察——归纳——猜想——证明”．数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．二、目标和目标解析本节课的目标是：1．借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；2．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题，在证明过程中，要分“两个步骤和一个结论”．其中第一步是归纳奠基，只需验证取第一个值（这里是使结论有意义的最小的正整数，它不一定是1，可以是2，或取别的正整数）时命题成立；第二步是归纳递推，就是要证明命题的传递性．把第一步的结论和第二步的结论联系起来，才可以断定命题对所有的正整数都成立．因此，用数学归纳法证明命题时，完成了上述两个步骤后，还应该有一个总的结论．否则，还不能算是已经证明完毕．所以，严格地说，用数学归纳法证明命题的完整过程应该是“两个步骤和一个结论”．应用类比的方法，类比多米诺骨牌游戏和数学归纳法，将一块“骨牌”对应一个“命题”，某块骨牌“倒下”对应某个命题“成立”，从而培养学生的类比推理能力．三、教学问题诊断分析教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，直接将代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明．为突破以上教学难点，课堂教学中两条线索交替进行．一条是主线：“提出问题——分析问题——解决问题”；另一条是暗线：“课堂提问的规则——根据学号提问，并依次从小号到大号”．在这个过程中，让学生体会数学归纳法证明命题的第一步的第一个值不一定是1，就如同第一个被提问到的学生不一定是1号的学生一样．若是2号，则下一个被提问的学生一定是3号．另外，设计命题：已知时，命题成立，求证：时命题成立．从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．四、教学支持条件分析在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”．这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础．因此，教学时应该充分注意这一教学条件，通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质．利用flash软件，动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果．五、教学过程设计1.从思考题中引入课题思考题：已知数列的第1项，且，计算由此推测计算的公式，并给出证明．分析：逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”．【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.思考游戏1: 摆放好多米诺骨牌，推倒第1块骨牌，观察发生的结果？思考游戏2: 摆放好多米诺骨牌，推倒第2块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.思考游戏3: 摆放好多米诺骨牌，先抽走第块骨牌，然后推倒第块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌不能拿走，因为第块骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性．问题1:为什么会有这些结果的发生？如果我们想要确保所有的多米诺骨牌都倒下，那么必须满足哪些条件？问题2:从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命题的方法？【设计意图】在类比的过程中学习数学归纳法.分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立.分析2：根据“任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立.分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立.【设计意图】抽象出“多米诺骨牌游戏”的本质.3.数学归纳法概念的形成数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立.问题3:(1)为什么完成了“两个步骤和一个结论”就说明命题对所有的正整数都成立？(2)为什么在证明命题时“两个步骤和一个结论”缺一不可？【设计意图】进一步理解“通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的情形.分析：缺了第（1）步，就没有了归纳奠基；缺了第（2）步，就丧失了归纳递推的过程；缺了结论，整个数学归纳法的过程就不能顺利完成.“两个步骤和一个结论”缺一不可.其思维过程是，当时命题成立，可以推出时命题成立，当时命题成立，可以推出时命题成立，……．4.数学归纳法的应用例1：已知数列的第项，且，求证：.【设计意图】因为从“n=k到n=k+1”的一般性递推，可以看成一个独立的命题，所以设计这一例题，有利于突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．例2：已知数列的第1项，且，计算由此推测计算的公式，并给出证明.【设计意图】在应用的过程中理解数学归纳法.5.课堂练习练习1：已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．解：猜想：．证明：（1）当时，左边=，右边=1，所以猜想成立．（２）假设当时猜想成立,即，那么，，所以，当时猜想也成立．根据（１）和（２），可知猜想对任何都成立．问题4：请看练习1的三个变式，请问它们的分析过程合理吗？请问它的三个变式正确吗？变式1：等式对任意的正整数都成立吗？分析：假设当时命题成立,即，那么，，所以，当时命题也成立．所以等式（）成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，只有归纳递推，没有归纳奠基是不行的．变式2：等式对任意的正整数都成立吗？分析：当时，左边=，右边=，所以等式（）成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，只有归纳奠基，没有归纳递推也是不行的．变式3：等式对任意的正整数都成立吗？分析：（1）当时，左边=，右边=，所以等式成立．（2）假设当时等式成立,即那么，，所以当时，等式也成立，所以等式对任何都成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，不能没有归纳递推的过程（即证明命题时归纳假设一定要用上），因为它是运用“有限”手段，解决“无限”问题的关键．练习2：用数学归纳法证明．练习3：已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．【设计意图】进一步熟练数学归纳法证明命题的步骤，加深对数学归纳法本质的理解．6.课堂小结（1）数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．（2）数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可．（3）数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用上,解题目标要明确（也就是人们常说的“双凑”：凑假设和凑结论）.（4）数学归纳法体现的核心思想是什么？数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题．它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．其蕴含的数学思想方法有归纳的思想，递推的思想，特殊到一般的思想，有限到无限的思想方法．等等．【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容，提高学生对本节课知识的整体认识．六、目标检测设计（1）用数学归纳法证明：①；②首项是，公差是的等差数列的通项公式是，前项和的公式的．【设计意图】通过数学归纳法的简单应用，体会其思维模式：“观察——归纳——猜想——证明”．（2）用数学归纳法证明命题:的步骤如下,其证明方法是否正确?并说明理由.证明:假设时命题成立,就是，那么,当时,,这就是说,当时命题也成立.根据数学归纳法,成立.【设计意图】数学归纳法证明命题时不能没有第一步，因为它是归纳奠基．（3）用数学归纳法证明.【设计意图】数学归纳法证明命题时，两个步骤和一个结论，缺一不可．同时，归纳假设一定要用上．（4）已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．【设计意图】体现数学归纳法的思维模式：“观察——归纳——猜想——证明”．这就是数学归纳法的核心思想．（5）用数学归纳法证明.【设计意图】数学归纳法证明命题时，第一步中的第一个值不一定是1．。
选修2-2数学归纳法教案
高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计一、教材分析数学归纳法是一种重要的数学证明方法, 在高中数学内容中占有重要的地位, 其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法.首先, 我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法, 即不完全归纳法, 这是研究数学问题, 猜想或发现数学规律的重要手段.但是, 由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确, 这种推理方法不能作为一种论证方法.因此, 在不完全归纳法的基础上, 必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法, 这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节, 掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材.二、教学目标1. 知识目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确, 初步理解数学归纳法原理.（2）能以递推思想为指导, 理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论.（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式.2.能力目标（1）通过对数学归纳法的学习, 使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力, 让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.（3）在学习中培养学生大胆猜想, 小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力.3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究, 亲历知识的构建过程, 领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点.（2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐, 感悟数学的内在美, 激发学生学习热情, 使学生喜欢数学.（3）学生通过置疑与探究, 初步形成正确的数学观, 创新意识和严谨的科学精神.三、教学重点与难点1. 教学重点借助具体实例了解数学归纳法的基本思想, 掌握它的基本步骤, 运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式, 特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用.2. 教学难点（1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性.（2）递推步骤中如何利用归纳假设, 即如何利用假设证明当时结论正确.四、教学方法本节课采用类比启发探究式教学方法, 以学生及其发展为本, 一切从学生出发.在教师组织启发下, 通过创设问题情境, 激发学习欲望.师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理, 并类比多米诺骨牌倒下的原理, 探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力, 进而应用数学归纳法, 证明一些与正整数有关的简单数学命题；提高学生的应用能力, 分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考, 又提倡团结合作；既重视教师的组织引导, 又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性.五、教学过程（一）创设情境, 提出问题情景一: 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话: 财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论, 用的就是“归纳法”, 不过, 这个归纳推出的结论显然是错误的.情境二：平面内三角形内角和是, 四边形内角和是, 五边形内角和是, 于是得出：凸边形内角和是 .情境三: 数列的通项公式为可以求得于是猜想出数列的通项公式为.情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔, 怎么证明它们是白色的呢？结论: 情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论, 即不完全归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法, 情景四是完全归纳法, 结论可靠但要一一核对,工作量大.提出问题: 如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.（二）实验演示, 探索解决问题的方法① 1. 几何画板演示动画多米诺骨牌游戏, 师生共同探讨: 要让这些骨牌全部倒②下, 必须具备哪些条件呢③第一块骨牌必须倒下.两块连续的骨牌, 当前一块倒下一定导致后一块倒下.可以看出, 条件②事实上给出了一个递推关系: 当第块倒下时, 相邻的第块也倒下.这样, 只要第1块倒下, 其他所有的就能够相继倒下.无论多少块, 只要①②成立, 那么所有的骨牌一定可以全部倒下.演示小节: 数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.2. 数学归纳法原理证明一个与正整数 有关的命题, 可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基） 当n 取第一个值0n （*0n ∈）时命题成立；（2） （归纳递推）假设当 时命题成立, 证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立. 上述证明方法称为数学归纳法.主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础, 解决了特殊性；第二步是递推的依据, 解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步, 属不完全归纳法；只有第二步, 假设就失去了基础.（注：数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉.”）（三）迁移应用, 理解升华例1 用数学归纳法证明：如果 是一个等差数列, 那么 对于一切 都成立.证明: (1)当1n = 时,左边1,a = 右边()1111,a d a =+-=结论成立(2)假设当 时结论成立, 即则当1n k =+ 1k k a a d +=+ ()11a k d d =+-+ ()1[11]a k d =++-当 时, 结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.例2 已知数列{}n a 其通项公式为21,n a n =-试猜想该数列的前n 项和公式,n S 并用数学归纳法证明你的结论. 用假设凑结论解: （1）323459S S a =+=+= 4349716S S a =+=+=(2) 猜想2,n S n =问题转化为证明213521.n n ++++-=证明:（1） 当1n =时,左边=1,右边=1,等式是成立的.(2) 假设当 时等式成立, 即有()213521k k ++++-= 则当1n k =+,有()()()()22213521[211][211]211k k k k k k k ++++-++-=++-=++=+因此, 当 时, 等式也成立由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.（四）反馈练习, 巩固提高课堂练习：课本第95页练习1, 2（五）课堂小结: 让学生归纳本节课所学内容, 不足的老师补充.1.归纳法是一种由特殊到一般的推理方法2.数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两 个步骤一个结论.3数学归纳法的科学性: 基础正确, 可传递.用有限的步骤证明无限的结论.（六）布置作业课本第96页习题 2.3 A 组1.2.。
人教A版高中数学选修2-2《数学归纳法》说课稿
数学归纳法（第一课时）说课稿（人教A版高中数学选修2-2）一、教材分析1、教材地位数学归纳法是人教A版高中数学选修2—2第二章第三节的内容，它是一种特殊的证明方法，对证明一些与正整数有关的命题是非常有用的研究工具，弥补了不完全归纳法的不足。
用它解答一些高考题往往能起到柳暗花明的神奇作用，因此是高中理科生应掌握的一种证明方法。
2、教学重点、难点教学重点：理解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证明命题的基本步骤教学难点：（1）理解数学归纳法的原理（2）如何利用归纳假设证明当n=k+1时命题也成立。
二、教学目标（1）知识目标：理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证题的基本步骤，会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。
（2）能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的逻辑、抽象、创新思维能力，让学生经历知识的建构过程, 体会类比的数学思想。
（3）情感目标：通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度，感受数学内在美，激发学习热情。
三、学情分析：在此之前学生经历了数列的求通项、求和等知识的学习，还学习了归纳推理、类比推理、演绎推理等知识，已具备了一定的观察、分析、归纳能力。
四、教学方法教学方法：本节课主要采用感性体验法、类比、引导发现法进行教学。
教学手段：借助多媒体展示创设教学情境学法指导：本课以问题情境为中心，以解决问题为主线展开，引导学生通过以下模式：“观察情境→提出问题→分析问题→解决问题→提升理论→巩固应用”进行探究式学习。
五、教学过程：（一）知识链接归纳推理特点:由特殊到一般 类比推理特点:由特殊到特殊常用⎩⎨⎧完全归纳法不完全归纳法归纳法（设计意图：复习归纳推理和类比推理，为学习数学归纳法作铺垫）（二）创设情境情境1 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子由“一字是一横，二字是二横，三字是三横”，得出“四就是四横、五就是五横……，百是百横，……，万是万横，……”的结论，用的就是“不完全归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．情境2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N *时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了 1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．（设计意图：通过以上两个例子让学生了解不完全归纳法得出的结论不一定正确，即使是数学家也不例外。
高中数学课件-2 3数学归纳法(1)
倒下。
也成立。
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可 可知不论有多少块骨 知对任意的正整数n， 牌，都能全部倒下。 猜想都成立。
什么是数学归纳法？
对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的
方法来证明它的正确性： 1.先证明当n取第一个值n0时命题成立； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成 立，证明当n=k+1时命题也成立。
证明（：1）当n=1时左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 那么 6
12 22 32 k 2 (k 1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
12 22 32 k 2 (k 1)2
ak
1 k
,那么当n=k+1时猜
1
事实上,
ak 1
ak 1 ak
k 1
1
1 k 1
k
即n=k+1时猜想也成立.
你能得到哪些启示？
多米诺骨牌游戏原理 通项公式的证明方法
（1）第一块骨牌倒下1）当n=1时，猜想成立
（2）若第k块倒下时，2）假设当n=k时猜想
则相邻的第k+1块也 成立，当n=k+1时猜想
=2×2k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何 n∈N*都成立。
【课堂练习】
1、用数学归纳法证明：1 a a2 an1 1 an2
C 1 a
(a 1)，在验证n＝1时，左端计算所得项为_____ .
A、1
B、1 a
高中数学《2.3.1数学归纳法》教案2 新人教A版选修22
数学归纳法一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程： 【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。
（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题。
【探索研究】问题：用数学归纳法证明：(31)71n n +-g能被9整除。
法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k 到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】例1：求证: 121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +）。
例2：数列{a n }中，1n na a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++=（1）求234,,a a a 的值；（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n }满足211n n n a a na +=-+，n ∈N +,(1)当a 1=2时，求234,,a a a ，并猜想{a n }的一个通项公式； （2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有 ①a n ≥n+2 ②1211111112n a a a ++≤+++g g g例3：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2+n+2个部分。
高中数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
利用到假设
根据(1)和 都成立. 根据 和(2),可知等式对任何 n ∈ N 都成立 可知等式对任何 错误原因：由证明 错误原因：由证明n=k+1等式成立 等式成立 没有用到n=k命题成立的归纳假设 命题成立的归纳假设 时没有用到 命题成立的
思考
1 1 1 1 , ， 已知数列 , , · · ·， n－ 2)(3 n + 1) (3 − 1× 4 4 × 7 7 ×10
(2)(归纳递推) (2)(归纳递推)是递推的依据 归纳递推 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用， 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 利用假设及已知的定义 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
求证: n+1)(n+2)…(n+n)=2 (2n例、求证:(n+1)(n+2) (n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1) (2n
请问： 请问： 步中“ n=k+1时 的证明可否改换为： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+ +(2k-1)+[2(k+1)1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) +(2k1+3+5+ +(2k +(2k = （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？ 为什么？
证明： n=1时 左边=1+1=2 右边=2 1=2 左边=右边， =1+1=2， 1=2， 证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 式成立。 时有： ② 假设当n=k((k∈N ）时有： 假设当 (k+1)(k+2)…(k+k) (k+k)= (2n-1), (k+1)(k+2) (k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), n=k+1时 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3) =(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) 左边=(k+2)(k+3) (k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) (k+k) （2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k) k+1)(k+2)(k+3) (k+k)•
人教A版选修2-2 2.3数学归纳法 学案
2. 3数学归纳法课前预习学案一、预习目标：理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。
二、预习内容：提出问题：问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．讨论问题：问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．解决问题：由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值()时命题成立；(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、 学习目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
数学归纳法教案
选修2-2 §2.3数学归纳法 (第一课时)教案时间：2014年4月班级：高二3班授课教师：文瑾一、教材分析1、教学内容数学归纳法是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》第二章推理与证明第3节的内容，主要内容是了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2、地位和作用数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M．那么M是全体正整数的集合，即M=N*）也叫做归纳公理。
不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质。
数学归纳法是高中数学中的一个较难理解的概念，也是一种重要的数学方法。
证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题（例如：数列通项及前n项和等）。
数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．3、教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题，对于数学归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。
4、教学难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设。
如果不会运用“假设当n=k,（k ≥n0，k∈N*）时，命题成立”这一条件，直接将n=k+1代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明。
二、学情分析1、学生知识准备在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”。
这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础。
2、能力储备学生具备一些的从特殊到一般的归纳能力，但对复杂的逻辑推理是模糊的。
高中数学：数学归纳法(一)课件新课标人教A版选修2-2
证明： (1)当n=1时a1 =1成立
1 (2)假设n=k时猜想成立即 a k k 1
则n=k+1时,a k+1 ak k 1 1 ak 1 1 k 1 k
即n=k+1时猜想也成立
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
练习：1、如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
思考：用数学归纳法证明:当 n N
证明：①当n=1时，左边＝
1 3 5 .......... (2n 1) n
证明 假设 当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立， 2. 当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做 数学归纳法 。
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
例1：用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
3
1 n(n 1)(n 2) 3
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
(k 1)(k 2)
利 用 假 设
1 ( k 1) (k 1)(k 2) 3
1 ( k 1)k 1 1k 1 2 = 3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当
n N ，命题正确。
数学归纳法步骤，用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。 归纳奠基
1 1 1 1 答案： 3K 2 3K 3 3K 4 K 1
[精品]新人教A版选修2-2高中数学数学归纳法2优质课教案
![[精品]新人教A版选修2-2高中数学数学归纳法2优质课教案](https://img.taocdn.com/s3/m/229122c9998fcc22bcd10dd3.png)
§2.3 数学归纳法(2)【学情分析】：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。
本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。
【教学目标】：（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。
（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】：进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
【教学难点】：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学过程设计】：【练习与测试】： 1．使用数学归纳法证明22()n n n N <∈，若不等式成立，则n 的取值范围是（ ）A. 2n ≥B. 3n ≥C. 4n ≥D. 5n ≥ 答案：D解：当n 取第一个值5时，命题成立。
2．用数学归纳法证明“*)(11312111N n n n n ∈>++++++ ”，要证明第一步时，左边的式子= 。
答案：1213413121=++。
3．当*N n ∈时，求证：3()2n n >。
证明：（1）当n=1时，左式=32，右式=1，312>，原不等式成立。
（2）假设当n=k 时，原不等式成立，即3()2k k >则当n=k+1时，左式=13333()()22222k k kk k +=>=+132,1,()12k k k k +≥∴≥+>+上式即所以n=k+1时结论成立综合（1）（2）原不等式对于任意*N n ∈均成立。
2015高中数学2.3数学归纳法教学设计新人教A版选修2-2
数学归纳法教学设计【教学目标】（1）知识与技能：①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。
（2）过程与方法：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。
（3）情感态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数有关的数学命题；【教学难点】数学归纳法中递推关系的应用。
【辅助教学】多媒体技术辅助课堂教学。
【教学过程】一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）（情景一）问题1：大球中有个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2: 如果是一个等差数列，怎样得到?（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。
【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。
归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。
（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？二、搜索生活实例，激发学生兴趣展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。
）①第一块骨牌必须要倒下②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下相当于能推倒第一块骨牌相当于第块骨牌能推倒第块骨牌三、师生合作，形成概念。
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§2.3 数学归纳法
一、教学目标
1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．
2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．
3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．
二、教学重点与难点
重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明
一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。
难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的
作用，不易根据归纳假设作出证明；
2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
三、教学过程
（一）创设情景
对于数列{an}，已知11=a ， a a a n n n +=+11(n=1,2,…), 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为n
a n 1= 。
这个猜想是否正确需要证明。
一般来说，与正整数n 有关的命题，当n 比较小时可以逐个验证，但当n 较大时，验证就很麻烦。
特别是n 可取所有正整数时逐一验证是不可能的。
因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立。
（二）研探新知
1、了解多米诺骨牌游戏。
可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
思考：你认为条件（2）的作用是什么？
可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：
当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。
2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。
思考：你认为证明数列的通过公式是n
a n 1= 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相
似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n0时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n=k(n n k k *
∈≥,0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成
立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n 都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法
注意：（1）这两步步骤缺一不可。
（2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。
（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。
4、例题讲解
例1 课本P94
例2 课本P94
例3．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n －1)=n 2。
证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.
(2)假设当n=k 时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k －1)=k 2，
那么
1+3+5+…+(2k －1)+［2(k+1)－1］=k 2+［2(k+1)－1］=k 2+2k+1=(k+1)2。
即当n=k+1时等式也成立。
根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立。
（三）课堂练习：
1、用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=2)
1(+n n 。
2、课本P95练习1、2。
（四）小结 ：
数学归纳法的原理和步骤。
（五）布置作业：。