第3章控制系统的时域分析

sn sn-1 sn-2 sn-3 … s2 s1 s0
a0 a2 a1 a3 b1 b2 c1 c2 … … f1 f2 g1 h1
a4 a5 b3 c3
a6 a7 b4 c4
…… …… …… ……
其中
a0 b1 a1 a1 a2 a3 a3 , b2 a0 a1 a1 a4 a5 a5 , b3 a0 a1 a1 a6 a7 a7 ,
反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部 时，则暂态响应将随时间的推移而发散，即
lim c(t )
t
这样的系统就是不稳定的。 综上所述，系统稳定的充分必要条件是系 统特征根的实部均小于零，或系统的特征根均 在根平面的左半平面。
3.3.3
劳斯判据
设n阶系统的特征方程为
D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an =a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0 将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯 阵列(劳斯表)
N ( s) n c(t ) L1 [C ( s)] L1 Ai e pit D( s) i 1
若系统所有特征根pi 的实部均为负值，即 Re［pi］<0 则零输入响应(暂态响应)最终 将衰减到零，即 lim c(t ) 0 t
这样的系统就是稳定的。
值之差。即 ess lim [r (t ) c(t )] t
3.2.2 动态性能指标 1．上升时间tr：从零时刻首次到达稳态值 的时间,即阶跃响应曲线从t=0开始第一 次上升到稳态值所需要的时间。
2. 峰值时间tp： 从零时刻到达峰值的时间，即 阶跃响应曲 线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时 间. 3.最大超调量Mp： 阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳 态值之比，即
§3.1 线性定常系统的时域响应
对于一单输入单输出n阶线性定常系统， 可用一n阶常系数线性微分方程来描述。
d c(t ) d c(t ) dc(t ) a0 a1 n1 an1 an c(t ) n dt dt dt m m 1 d r (t ) d r (t ) dr (t ) b0 b1 m1 bm1 bm r (t ) (3 - 1) m dt dt dt
(3 - 7)
对式(3-7)作拉氏变换，得
M (s) N ( s) C ( s) R( s ) D( s ) D( s ) (3 - 8)
在式(3-8)中取R(s)=0，得到在初始状态影响下系 统的时间响应(即零输入响应)为
N ( s) C (s) D( s )
若pi 为系统特征方程D(s)=0的根且当pi 各 不相同时，有
1 a1 0 2 a1 a3 a1 3 a3 a5 n 0 a0 a2 a0 a2 a4 a1 a 2 a 0 a 3 0 0 a1 0 a2
例3-8 系统的特征方程为
a0 s 3 a1 s 2 a 2 s a3 0 (a0 0)
从系统时域响应的两部分看，稳态 分量(特解)是系统在时间t→∞时系统的 输出，衡量其好坏是稳态性能指标：稳 态误差。系统响应的暂态分量是指从 t=0开始到进入稳态之前的这一段过程， 采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如 稳定性、快速性、平稳性等来衡量。
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§3.2 控制系统时域响应的性 能指标
3.2.1 稳态性能指标 采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当时间 t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际
例 3-6系统特征方程 列劳斯表
s3 s2 s1 s1 1 10 0 20 16 160 0 0
s 3 10s 2 16s 160 0
辅助多项式P( s ) 10s 2 160
s 0 160
劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右 半平面的根，但由P(s)=0求得
10s 2 160 0
列劳斯表
s3 s2 s1 s0 1 6 30 K 6 K 5 K 0
按劳斯判据，要使系统稳定，应有K>0， 且30-K>0，故K的取值范围为0<K<30
例 3-11 系统结构图如图3-3所示，试分析 参数K1 ，K2 ，K3和T对系统稳定性的影 响。 解 系统的闭环传递函数
K1 K 2 K 3 C ( s) 3 R( s) Ts s 2 K1 K 2 K 3
3.3.1 稳定性的概念 若控制系统在足够小的初始偏差的作 用下，其过渡过程随时间的推移，逐渐衰 减并趋于零，即具有恢复原平衡状态的能 力，则称这个系统稳定。否则，称这个系 统不稳定。
3.3.2 线性定常系统稳定的充分必要条件 设n阶线性定常系统的微分方程为
d n c(t ) d n1c(t ) dc(t ) a0 a1 n1 an1 an c(t ) n dt dt dt d m r (t ) d m1r (t ) dr (t ) b0 b1 m1 bm1 bm r (t ) m dt dt dt
3 2 例 3-4 系统特征方程 s 4s 6 0 它有一个系数为负的，有劳斯判据的系统不稳 定。但究竟有几个右根，仍需列劳斯表：
s s s s
3 2 1 0
1 4 2.5 6
1 6
劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2 个右半平面的根
有两种特殊情况需要说明： ＊1. 劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该 行其它元素并不为零，则在计算下一行第一 个元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳 斯表的计算无法进行。 ＊2. 劳斯表中某一行的元素全为零。则表示在 s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或 共轭虚根，系统是不稳定的。
a1
a1
a1
b1 b3 b1 b2 b1 b4 c1 , c2 , c3 , b1 b1 b1
劳斯判据给出了控制系统稳定的充分条件是， 劳斯表中第一列所有元素均大于零。
例3-1 已知三阶系统特征方程为
a0 s 3 a1s 2 a2 s a3 0
n n 1
系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t) 随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程 的解，就是系统的时域响应。 由线性微分方程理论知，方程式的解 由两部分组成，即 c(t)=c1(t)+c2(t) (3-2) c1(t)——对应齐次微分方程的通解 c2(t)——非齐次微分方程的一个特解
劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定， 且有一个右半平面的根，由P(s)=0得
2s 6s 8 0
4 2
s1, 2 1
s3, 4 j 2
3.3.4 赫尔维茨判据 设系统的特征方程式为
a0 s n a1 s n1 a 2 s n2 an1 s a n 0
劳斯阵列为
s s
3 2
a0 a1 a1 a 2 a 0 a3 a1 a3
a2 a3 0 0
0 0
s1 s
0
故得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零， 且a1a2>a0a3
例 3-2已知系统特征方程
s 6s 12s 11s 6 0
4 3 2
方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表：
列出行列式 Δ
a1 0
a0 a2 0
0 a1 a3
a3
由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要 条件是：
1 a1 0 2 a1 a3 a0 a2 a1 a 2 a0 a3 0
3 a3 2 0
或写成系统稳定的充分必要条件为
a0>0 a1>0 a2>0 a3>0
知 识 要 点
系统稳定的充分必要条件，Routh判据，
误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系
统的型号，线性定常一阶、二阶系统的时域
响应及动态性能的计算，高阶系统的主导极
点，偶极子及高阶系统的降阶。
目
录
§3.1 线性定常系统的时域响应 §3.2 控制系统时域响应的性能指标 §3.3 线性定常系统的稳定性 §3.4 系统的稳态误差 §3.5 一阶系统的时域响应 §3.6 二阶系统的时域响应 §3.7 高阶系统的瞬态响应 §3.8 用MATLAB和SIMULINK进行瞬态 响应分析
a1a2-a0a3>0
例3-9 二阶系统的特征方程为
a0 s 2 a1 s a2 0
列出行列式 Δ

a1 0
a1>0
a0 a2
a1a2>0
由Hurwitz判据，系统稳定的充分必要条件为
a0>0
即二阶系统稳定的充分必要条件是特征方程式的所
有系数均大于零。
3.3.5 系统参数对稳定性的影响
Mp c(t p ) c() c ( ) 100%
4. 调整时间ts：阶跃响应曲线进入允许 的误差带(一般取稳态值附近±5%或±2% 作为误差带)并不再超出该误差带的最小 时间，称为调整时间(或过渡过程时间)。 5. 振荡次数：在调整时间ts内响应曲线 振荡的次数。
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3.3 线性定常系统的稳定性
以特征方程式的各项系数组成如下行列式
a1 a3 a5 a7 a0 a2 a4 a6 0 a1 a3 a5 0 a0 a2 a4 0 0 a1 a3 0 0
a 0 a 2 an
赫尔维茨判据指出，系统稳定的充分必 要条件是在a0>0的情况下，上述行列式 的各阶主子式Δ i均大于零，即
特征方程为
D( s) Ts 3 s 2 K1 K 2 K 3 0
由于特征方程缺项，由劳斯判据知，不论K1 ， K2 ，K3和T取何值系统总是不稳定的，称为结 构不稳定系统。欲使系统稳定，必须改变系统 的结构。如在原系统的前向通道中引入一比例 微分环节，如图3-4所示。变结构后系统的闭 环传递函数为