小学奥数综合测试(一)

综合测试（一）
一、填空题
1.计算：41602434014321
4016940146+⨯+⨯+
⨯+⨯ 解：原式=416024340143)412008334014(32+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=4
16024340143)41602434014(32+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=2 2.将六个自然数14,20,33,117,143,175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成（ 3 ）组。

解：把这些数分解质因数：14=2×7,20=2×2×5,33=3×11,117=3×3×13,143=11×13,175=5×5×7。

14和20有公因数，20,175有公因数，因此，14,20,175三个数两两不互质，不能按要求分成两组，因此分组要大于或等于3。

下面是一种分成3组的情况，每组两个数没有公因数，它们是{14,33}，{20,117}，{143,175}。

3.记A=21+43+87+1615+…+1024
1023,那么比A 小的最大自然数是（ 9 ）。

解：A=21+43+87+1615+…+10241023=（1-21）+（1-41）+（1-81）+（1-161）+…+（1-1024
1）=10-（21+41+81+…+10241）=10-【（1-21）+（21-41）+(41-81)+…+（5121-1024
1）】=10-（1-10241）=9+1024
1 4.四个人夜间过一座独木桥，他们只有一只手电筒，一次同时最多可以两人一起过桥，而过桥的时候必须持有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去，两人同行时以较慢者的速度为准。

四人过桥的时间分别是1分钟、2分钟、5分钟、10分钟，他们过桥最少需要（ 17 ）分钟。

解：过桥时间需要10分钟和5分钟的应一起过，过桥时间最少的人数应把手电筒带来带去，这样时间才能最少，所以最少时间是2+1+10+2+2=17（分钟）
5.有一个横2000格，竖1000格的矩形方格纸。

现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到前面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去……直到将所有方格都涂满。

那么，最后被涂的那格是从上到下的第（ 501 ）行，从左到右的第（ 500 ）列。

解：如图所示，顺时针涂完第1圈后，有两行两列
被涂了色，下一圈要涂的是第2行第2列的方格。

涂完第499圈后，有998行998列被涂了色，剩下
第5题
2行1002列未被涂色。

最后一圈从500行500列开始，到501行500列结束。

6.两个形状和大小都一样的直角三角形ABC 和DEF ，
如图所示放置，它们的面积都是2004平方厘米，
而每一个三角形直角的顶点都恰好落在另一个直角
三角形的斜边上。

这两个直角三角形的重叠部分是
一个长方形，那么四边形ADEC 的面积为（ 4008 ）
平方厘米。

解：因为两个直角三角形重叠部分是一个长方形，
所以两个直角三角形的对应边平行，连结BF 如图
所示。

△ADF 与△ABF 是同底（AF ）等高的三角形
，面积相等，所以△ADG 与△BGF 面积相等。

同理，
△ECH 与△BHF 面积相等。

由此得到，两个直角三
角形重叠的部分正好等于△ADG 与△ECH 的面积之
和，所以四边形ADEC 的面积恰好等于两个直角三
角形的面积之和，是2004×2=4008（平方厘米）。

7.计算：
（1-423⨯）×（1-533⨯）×（1-6
43⨯）×（1-753⨯）×…×（1-98963⨯）×（1-99973⨯）=（ 9725 ） 解：因为1-)1)(1(3+-K K =)
1)(1(3)1)(1(+--+-K K K K =)1)(1(3)1(2+---K K K =)1)(1(2\22+--K K K = )1)(1()2)(2(+-+-K K K K ,所以原式=)13)(13()23)(23(+-+-×)14)(14()24)(24(+-+-×)
15)(15()25)(25(+-+-×…×)197)(197()297)(297(+-+-×)198)(198()298)(298(+-+-=4
251⨯⨯×5362⨯⨯×6473⨯⨯×…98969995⨯⨯×999710096⨯⨯=41×97100=97
25 8.请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有（12504 ）。

解：首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、
三、四位数码都有9种选择。

当前四位数码和被3除余数为0时，第五位数码只能取0,6,9；当余数为1时，第五位数码只能取2,5,8；当余数为2时，第五位数码只能取1,4,7，故五位数中是3的倍数但不含数码3共有8×9×9×9×3=17496（个），而3的倍数的五位数共有30000个，故满足条件的五位数共有30000-17496=12504（个）。

9.自然数A 、B 满足A 1-B 1=182
1,且A:B=7:13。

那么，A+B=（ 240 ）。

第6题
解：设A=7K,B=13K, A 1-B 1=K 71-K 131=K 916=182
1,故K=12，从而A+B=20K=240 10.平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别在边AD 、
AB 上，且AM=2MD,AN=2NB,线段DN 与BM 相交于
点O 。

已知四边形ABCD 的面积为60cm ²，△NBO
与△MDO 的面积之和是（8cm ² ）。

解：连结AO ，因为S ABM ∆= S ADN ∆=31 S ABCD ∆,所以 S NBO ∆= S DMO ∆.设S NBO ∆= S DMO ∆=x ，则S ANO ∆= 2S NBO ∆=2x ，S ABo ∆= 2S DMO ∆=2x ，S ABM ∆=5x, S ABCD ∆=15x.所以△NBO 与△MDO 的面积之和是：60÷15×2=8（cm ²）
二、解答题
11.甲、乙两人比赛乒乓球，先胜三局的人算赢，直到决出胜负为止，共有多少种可能发生的情况？
解：先考虑甲胜第一局的情况，一共有10种情况，列树形图如下：
同理，乙胜第一局也有10种情况，合计有20种情况。

12.如右图，长方形ABCD 中，AB=67，BC=30。

E 、F 分别是AB 、BC 边上的两点，BE+BF=49。

那么，三角形DEF 面积的最小值是多少？
第10题
第12题
甲
甲 乙 甲
甲
乙 乙
乙 甲
乙 甲
乙 甲
乙 甲
乙 甲 乙 甲
1 2 3 4 5
解：如右图，过F 作AB 的平行线，交AD 于G,连结EG 。

S ABCD ∆= S ABFG ∆+ S CDGF ∆=2S DFG ∆+2S EFG ∆=2S DEFG ∆，从而S DEFG ∆-67×30÷2=1005，而S DEFG ∆= S DEF ∆+S DEG ∆,要使S DEF ∆小，只需S DEG ∆大。

S DEG ∆=DG ×AE ÷2,而DG+AE=（67+30）-49=48，所以，当DG=AE 时，S DEG ∆取最大值24×24÷2=288，那么，S DEG ∆最小值为1005-288=717.
13.在高速公路上一辆长3米的小轿车以每小时110km 的速度超过一辆长17米以每小时100km 的速度行驶的卡车。

请问小轿车从追及到超越卡车的整个超车过程用了多少秒？ 解：小轿车每小时比卡车多行110-100=10（千米）；超车过程即小轿车从卡车后面行驶到卡车前面的过程，行驶了17+3=20（米），这是小轿车追及的路程。

所以超车用的时间为（20÷1000）÷（10÷3600）=7.2（秒）。

14.杯子里盛有浓度为80%的酒精100克，现从中倒出10克，加入10克水搅匀后再倒出10克，然后再倒入10克水。

问此时杯中纯酒精有多少克？水有多少克？
解：第一次倒出10克，再加入10克水后，溶液浓度为（100-10）×80%÷100=72％。

第二次倒出10克，再加入10克水后，纯酒精有（100-10）×72%=64.8（克），水有100-64.8=35.2（克）。

15.一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。

则甲、乙两地相距多少千米？
解：设原定车速为v 千米/小时，原定时间为t 小时，则有vt=（1+20%）v （t-1），解得
t=6.再设汽车行120千米用时为t 1，则有vt 1+（1+25%）v （6-32-t 1）=6v ，解得t 1=3
8。

故汽车速度为120÷38=45（千米/小时），于是甲、乙两地相距45×6=270（千米）。