高三数学 第77课时 数列的极限教案
数列极限教案
数列极限教案教案标题：数列极限的引入与探究教学目标：1. 理解数列以及数列极限的概念；2. 了解数列极限的性质和特征；3. 能够利用数学思维和分析方法确定数列的极限；4. 运用数列极限的性质解决实际问题。
教学准备：1. 数学课本和课后习题；2. 计算器；3. 幻灯片或黑板；4. 学生练习册。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入数列的概念，简单解释数列是一组按照特定规律排列的数的集合。
- 讨论学生可能听说过的数列，比如等差数列、等比数列等。
2. 引入与讲解（15分钟）- 引入数列极限的概念，解释数列极限表示数列随着项数增加逐渐趋近于某一确定值。
- 通过示例，说明数列极限的计算方法，如通过求前几项的和、平均数等思路确定数列极限。
3. 探究与实践（20分钟）- 提供一个数列，让学生通过计算数列的前几项，并分析得出数列极限的思路和方法。
教师引导学生进行讨论，并指导他们运用找规律、分析数列的增减性等方法确定极限值。
- 给学生一些练习题，让他们自己计算数列极限。
教师鼓励学生之间积极合作，共同解决问题。
4. 总结与归纳（10分钟）- 总结数列极限的定义和性质，强调数列极限与数列前几项的关系。
- 归纳数列极限的计算方法和常见性质。
- 梳理学生在实践中遇到的问题和解决方法。
5. 提升与拓展（15分钟）- 引导学生运用数列极限的概念和性质解决实际问题，如数列极限在物理学、经济学等领域的应用。
- 指导学生在练习册上完成更复杂的数列极限计算题目，提高他们的应用能力。
6. 课堂练习与反馈（15分钟）- 布置一些课后习题，巩固学生对数列极限的理解和计算能力。
- 鼓励学生积极讨论和交流，互相评价和纠正。
- 对学生的练习成果给予及时的反馈和指导。
教学延伸：在数列极限的教学中，可以结合微积分的相关内容，如导数、积分等，对数列极限的计算和应用进行进一步拓展。
同时，可以邀请学生进行小组合作探究，通过引导学生提出自己的问题和解决思路，增加学生对数学的探索性和创造性。
数列极限的教学设计方案
1. 知识与技能：掌握数列极限的定义、性质及运算；能够运用数列极限解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索数列极限的概念；通过实例讲解，帮助学生理解数列极限的运算方法。
3. 情感态度与价值观：培养学生严谨求实的科学态度，提高学生的逻辑思维能力；激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对数学美的感悟。
二、教学重点与难点1. 教学重点：数列极限的定义、性质及运算。
2. 教学难点：数列极限的定义的理解和应用，以及数列极限运算的技巧。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾数列的概念，引导学生思考数列的极限是什么。
（2）通过实例展示数列极限在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲授（1）数列极限的定义：讲解数列极限的定义，结合实例进行说明。
（2）数列极限的性质：介绍数列极限的性质，通过实例讲解，让学生理解这些性质。
（3）数列极限的运算：讲解数列极限的运算方法，包括和、差、积、商的运算。
3. 课堂练习（1）布置一些关于数列极限的定义、性质及运算的练习题，让学生巩固所学知识。
（2）引导学生运用数列极限解决实际问题，提高学生的应用能力。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质及运算。
（2）引导学生思考数列极限在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
5. 作业布置（1）布置一些关于数列极限的定义、性质及运算的作业题，让学生巩固所学知识。
（2）布置一些与实际生活相关的数列极限应用题，提高学生的实际应用能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，了解学生对数列极限的理解程度。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成情况，了解学生对数列极限的掌握程度。
3. 课后反馈：通过课后与学生的交流，了解学生对数列极限的困惑和需求，及时调整教学策略。
五、教学反思1. 教学过程中，注重引导学生自主探索数列极限的概念，培养学生的逻辑思维能力。
2. 结合实例讲解数列极限的运算方法，提高学生的实际应用能力。
数列的极限教学设计
课题： 数列的极限一、教学内容分析极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为高等数学中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，所以，极限概念的掌握至关重要. 二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限. 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力. 三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 难点：数列极限的定义的理解. 四、教学流程设计五、教学过程设计（一）、引入1、创设情境，引出课题1. 观察 举例：[A] 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰 日取其半 万世不竭.[B] 三国时的刘徽提出的“割圆求周” 的方法。
他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分······ 这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
（二）、学习新课 2、观察归纳，形成概念实例引入概念 符号数列的极限几何 理解运用与深化(例题解析、巩固练习)课堂小结并布置作业（1）直观认识请同学们考察下列几个数列的变化趋势 A.ΛΛ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n 101可以“无限趋近于”常数0B.ΛΛ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n可以“无限趋近于”常数1C.ΛΛ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn)1(-可以“无限趋近于”常数0概念辨析归纳数列极限的描述性定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．问题拓展给出数列极限的N -ε定义：一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞→lim ，或者∞→n 时a a n →.讲授例题【例1】.已知数列 1146512,,,,,.....,1(1),...2356n n++-1)写出这个数列的各项与1的差的绝对值; 2)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于0.1?都小于0.001? 都小于0.0003? 3)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于任何预先指定的正数ε? 4)1是不是这个数列的极限?【例2】考察下面的数列，写出它们的极限：1) 31111,,,,,827n⋅⋅⋅⋅⋅⋅2) 56.5,6.95,6.995,,7,,10n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅3)1111,,,,,248(2)n--⋅⋅⋅⋅⋅- 【例3】求常数数列-1，-1，-1，···，-1，···的极限．【例4】当a 满足什么条件时，0lim nn a →∞=？试举例验证。
数列的极限教案
数列的极限教案教案标题：数列的极限教案教案目标：1. 理解数列的概念和基本性质。
2. 掌握数列极限的定义和计算方法。
3. 能够应用数列极限解决实际问题。
教学资源：1. 教科书或课件：包含数列的定义、基本性质和极限的计算方法。
2. 习题集：包含不同难度层次的数列极限计算题目。
3. 实际问题：包含数列极限应用的实际问题，如金融、物理等领域。
教学步骤：引入：1. 通过提问或展示实例，引发学生对数列的兴趣，例如：什么是数列？数列的应用有哪些？2. 引导学生思考数列的特点和规律，以激发他们对数列极限的好奇心。
探究：3. 解释数列极限的定义：当数列的项逐渐趋近于某个常数L时，我们说数列的极限是L。
4. 讲解数列极限的计算方法：a. 若数列是等差数列或等比数列，可直接根据公式计算极限。
b. 若数列不是等差数列或等比数列，可通过递推关系或数学归纳法推导极限。
实践：5. 给予学生一些简单的数列极限计算练习题，以巩固他们对极限计算方法的理解和应用能力。
6. 引导学生分析实际问题，并将其转化为数列极限问题，例如：一个投资人每年投资1000元，年利率为5%，求他的总投资额极限是多少？7. 提供一些实际问题的解决方法，帮助学生将数列极限与实际问题相结合。
拓展：8. 提供一些挑战性的数列极限计算题目，以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
9. 鼓励学生自主探究其他数列极限的计算方法，并进行讨论和分享。
总结：10. 总结数列极限的概念和计算方法，强调数列极限在实际问题中的应用意义。
11. 鼓励学生通过课后练习巩固所学知识，并提供必要的辅导和指导。
评估：12. 设计一些评估题目，测试学生对数列极限概念的理解和计算方法的掌握程度。
13. 通过学生的表现和答案，评估教学效果，并根据需要进行针对性的复习和强化训练。
备注：教案的具体内容和教学步骤可根据不同教育阶段的要求进行调整和适应。
在教学过程中，教师应根据学生的实际情况和学习能力，灵活运用不同的教学方法和教学资源，以提高教学效果。
高中数学人教版《数列的极限》教案2023版
高中数学人教版《数列的极限》教案2023版一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1.了解数列的概念并能正确表达；2.掌握数列的极限的概念；3.掌握求解数列极限的方法；4.能在实际问题中应用数列极限的知识。
二、教学重点1.数列的概念和性质；2.数列极限的定义；3.数列极限的求解方法。
三、教学内容1.数列的概念和性质数列是由一系列有序数按照某种规律排列而成的序列。
数列通常用{an}表示，其中an表示第n个数。
2.数列极限的定义设数列{an}是一个实数数列，如果存在实数A，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an - A|<ε成立，就称数列{an}的极限是A，记作lim{an} = A。
3.数列极限的求解方法（1）常数数列的极限：对于一个常数数列{c}，其极限为该常数本身，即lim{c} = c。
（2）等差数列的极限：对于一个等差数列{an} = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，若d≠0，则该等差数列不存在极限。
（3）等比数列的极限：对于一个等比数列{an} = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，若|q|<1，则该等比数列的极限为0，即lim{an} = 0。
四、教学步骤1.引入数列的概念通过举例说明，引导学生理解什么是数列以及数列的基本性质。
2.引入数列极限的概念通过实际例子，引导学生感受数列极限的概念，并进行数学表达。
3.讲解数列极限的定义详细讲解数列极限的定义及其符号表示，帮助学生理解和记忆。
4.介绍求解数列极限的方法逐一介绍常数数列、等差数列和等比数列的极限求解方法，并通过例题进行讲解。
5.综合运用数列极限知识解决实际问题引导学生将数列极限的知识应用到实际问题的解决中，培养学生的问题解决能力。
五、教学示例例题1：设数列{an} = 2n + 1，求lim{an}。
解：由数列的定义可知，lim{an} = lim(2n + 1) = lim 2n + lim 1 = +∞ + 1 = +∞。
2019-2020年高三数学 第77课时 数列的极限教案
2019-2020年高三数学 第77课时 数列的极限教案教学目标：理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则；会通过恒等变形，依据数列极限的运算法则，依据极限为的几种形式，求数列的极根.会求公比绝对值小于的无穷等比数列各项的和.（一） 主要知识及主要方法： 数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于．．．．．某个常数 （即无限地接近于），那么就说数列以为极限.记作. 注：不一定是中的项 几个重要极限：（，为常数）； （是常数）；； 1,lim 0,1,nnn nn a ba b a b a b a b →∞⎧>-⎪==⎨+⎪-<⎩极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数； 指数型(和型），通过变形（如通分，约分）使得各式有极限； 根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果，，那么.特别地，如果是常数，那么，()lim lim n n n n c a c a ca →∞→∞⋅=⋅=无穷等比数列的各项和：公比的绝对值小于的无穷等比数列前项的和当无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做； （二）典例分析：问题1．求下列数列的极限：； ；()11111lim 139273n n n -→∞⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦问题2．（陕西）n 等于（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则（湖北）已知和是两个不相等的正整数，且≥，则111 lim111pqnnn∞⎛⎫+-⎪⎝⎭=⎛⎫+-⎪⎝⎭→问题3．若，求和的值；若，求的取值范围.问题4．已知数列满足，，，…，若，则已知，数列满足，（，…），且数列的极限存在，则（结果用表示）.问题5．（福建）如图，连结的各边中点得到一个新的又连结的各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：，，，…，这一系列三角形趋向于一个点.已知则点的坐标是（三）课后作业： 将化成分数是 若，则的取值范围是22221111lim 1111234n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-= ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；已知2231lim 45n n cn n an bn →∞⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭，则 ； ；(湖北宜昌市月模拟)已知数列满足（）， 且，则(届高三湖北八校联考)已知数列的前项和满足，则其各项和等于若数列的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，，…，则数列中，，，，则、（四）走向高考：（重庆）（上海）计算：（上海）计算：＝（湖南）已知数列（）为等差数列，且，，则21321111lim n n n a a a a a a →∞+⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪---⎝⎭（湖北）已知不等式21111[log ]232n n +++>，其中为大于的整数， 表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足，≤，，…证明，，… 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； ）试确定一个正整数，使得当时，对任意，都有.2019-2020年高三数学 第78课时 函数的极限和连续性教案教学目标： 了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 （一） 主要知识及主要方法： 函数极限的定义:当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时， ；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是. 记作或者当当时，如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， . 常数函数: ()，有.存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==.其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限. 对于函数极限有如下的运算法则： 如果，,那么, , .当是常数，是正整数时:, 这些法则对于的情况仍然适用.函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在， 且，那么函数在点处连续. 函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值. 最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值. 最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值. 极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数； 指数型(和型），通过变形使得各式有极限； 根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内. （二）典例分析：问题1．求下列函数的极限： ；；；2cos limcos sin 22x xx x π→-； ；();（广东） （陕西）问题2．若，求、的值.设，若，求常数、的值.（重庆）设正数满足，则问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性. ，点；，点；试讨论函数20()13,02x f x x x >=⎨⎪+⎪⎩≤，点问题4．已知()()()0()101x a x f x x x b x +⎧=-<<⎨⎪=-⎪⎩≥ ，在区间上连续，求（届高三四川眉山市一诊）已知函数()()1()3log 1a ba x f x x xb x ⎧-<⎪=-⎨⎪+⎩≥在上连续且单调递增，则实数问题5．已知函数，当时，求的最大值和 最小值；解方程；求出该函数的值域.问题6．证明：方程至少有一个小于的正根.（三）课后作业： 已知，求的值.若（、为常数），则 ；已知（），那么给一个定义，使在处 连续，则应是（济南一模）设是一个一元三次函数且，，则设函数在处连续，且，则（四）走向高考：（江西）若，则（湖北）若，则常数的值为（天津）设，，，则（四川）（江西）等于等于等于不存在（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则（全国Ⅱ）已知数列的通项，其前项和为，则（湖南）下列四个命题中，不正确．．．的是若函数在处连续，则函数的不连续点是和若函数，满足，则（安徽）如图，抛物线与轴的正半轴交于y 点，将线段的等分点从左至右依次记为，…，，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，…，，从而得到个直角三角形212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当时，这些三角形 的面积之和的极限为（江西）已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间内连续，且．求实数和的值；解不等式．（广东）设函数，其中常数为整数.当为何值时，≥；定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得. 试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.。
数列的极限教案
因为 ,且 当 时,都有 .
取正整数
由此证明 .
注意：若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定是发散的.
如：
四、课堂小结
（1）数列极限的概念
（2）学会利用数列极限的定义去进行简单的证明
（3）收敛数列的性质
三、理解收敛数列的相关性质
并尝试进行证明
四、与教师一起总结
即
对于上述
,
即
取
注意：上述结论的逆不成立，但是有下述结论：
设 且存在自然数N，当
（2）（收敛数列的保号性）如果 ,且 ,那么存在正整数 ,当 时,都有 .
（3）设 则存在自然数N，
4.收敛数列与其子列间的关系
设 是一严格单调递增的无穷数列，则数列 称为数列 的子数列，简称子列，显然一个数列有无穷多个子列.如果数列 收敛于a，则它的任何子列都收敛，且收敛于a.
一、针对于所提出的问题进行分析讨论,并作出回答
1.一根长为一尺的木棒,为什么每天截下一半,这样的过程可以无限制地进行下去？
2.分析以下数列的变化
趋势
教学过程
二、讲授新课,引出数列极限的概念
1.描述性定义
（1）当 无限增大时，如果 无限趋近于某一确定的数值 ，则称 趋近于无穷大时数列 的极限。
例如： 的极限为0。
例如：数列 和 为收敛数列,其极限为 , 和 为发散数列.
（3）注意： 的任意性； 的相应性；几何意义.
3.举例说明数列极限
例1：证明数列 的极限是1.
证明：
为了使 小于任意给定的正数
即 .
二、
1.与教师共同分析描述性定义,并得到数列极限的精确定义
2.能够对定义中所涉及的知识点解决
数列的极限教案
证明：若 q 0 ，结论是显然的，现设 0 q 1，对 0 ，（因为 越小越好，不妨设 1），要使得 qn1 0 ，即 q n1 ，只须两
边 放 对 数 后 ， (n 1) ln q ln 成 立 就 行 了 。 因 为 0 q 1 ， 所 以
ln q 0 ，所以 n 1 ln n 1 ln 。
x2 ，…这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数 n 有一个确定的数
xn ，那么，这列有次序的数
就叫做数列。
x1，x2，x3，，xn，
数列中的每一个数叫做数列的项，第 n 项 xn 叫做数列的一般项。例如：
(1) 1 ，2，3， ， n ， ； 2 3 4 n1
(3) 1 ，1 ，1， ，1 ， ； 2 4 8 2n
【例 2】证明 lim n2 a2 1。
n
n
证明：对 0，因为 n 1 1 1 ,因为
n
n
n2 a2 1
a2
a2
n
n( n2 a2 n) n
（此处不妨设 a 0 ，若 a 0 ，显然有 lim n2 a2 1）
n
n
所以要使得 n2 a 2 1 ，只须 a 2 就行了。
从
第
10001
项开始，以后的项
x10001
10002 10001
,
x10002
10003, 都满足不 10002
等式
xn
1 1 ，或说，当 n 10000时，有 10000
n 1 1 1
n
10000
。一
般地，不论给定的正数 多么小，总存在一个正整数 N ，当 n N 时，有
n 1 1 。这就充分体现了当 n 越来越大时， n 1 无限接近 1 这一事
高中数学数列的极限教案
高中数学数列的极限教案
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握数列的极限的概念，理解数列的极限的定义
及性质，掌握计算数列的极限的方法，并能够应用数列的极限解决实际问题。
教学重点：数列的极限的概念、定义、性质及计算方法。
教学难点：应用数列的极限解决实际问题。
教学准备：教师准备好教材、教具、课件等教学资源；学生准备好课本、笔记和计算器等
学习工具。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾数列的定义及常见数列的概念，然后提出数列的极限是什么，为什么要
研究数列的极限。
二、讲解（15分钟）
1. 数列的极限的定义：引导学生理解数列的极限是指随着项数n趋近于无穷时，数列中的项的极限值。
讲解数列的极限的定义及符号表示。
2. 数列的极限的性质：讲解数列极限的唯一性、保号性、夹逼定理等性质。
3. 计算数列的极限方法：介绍常见数列的极限计算方法，例如等差数列、等比数列的极限。
三、练习（20分钟）
教师设计一些练习题，让学生独立或小组合作进行解答，提高学生对数列极限的计算能力。
四、应用（10分钟）
引导学生通过实际问题，应用数列的极限来解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
五、总结（5分钟）
对本节课的重点内容进行总结，强调数列的极限的重要性，并鼓励学生在课后继续进行练
习提高自己的能力。
教学反思：本节课通过讲解数列的极限的概念、定义、性质及计算方法，引导学生理解并
掌握数列的极限知识，同时通过练习和应用，培养学生的数学解决问题的能力。
在教学过
程中，需要适当引导学生，激发他们对数学的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
高中数学《数列的极限》教学设计
高中数学《数列的极限》教学设计一、教学目标1.知识与能力目标①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。
②使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e-N"定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。
③通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。
2.过程与方法目标培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。
3.情感、态度、价值观目标使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
二、教学重点和难点教学重点：数列极限的概念和定义。
教学难点：数列极限的“ε―N”定义的理解。
三、教学对象分析这节课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。
极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列｛an｝中的项an无限趋近于常数A，也就是an 与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。
但要使他们在一节课内掌握“ε-N”语言求极限要求过高。
因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。
使学生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。
四、教学策略及教法设计本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。
通过学生比较熟悉的一个实际问题入手，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣。
然后通过具体的两个比较简单的数列，运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大，无限地趋向于某个常数的过程，让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征，从而得出数列极限的一个描述性定义。
数列极限教案
数列极限教案第一篇：数列极限教案数列的极限教案授课人：###一、教材分析极限思想是高等数学的重要思想。
极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。
二、教学重点和难点教学重点：数列极限概念的理解及数列极限ε-N语言的刻画。
教学难点：数列极限概念的理解及数列极限ε-N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。
三、教学目标1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。
2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。
四、授课过程1、概念引入例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。
.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......内接正6⨯2n-1形的面积为An.A1,A2,A3......An......→圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断1接近圆的面积。
例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。
第一天的长度1第二天的剩余长度第二天的剩余长度第四天的剩余长度 8.....第n天的剩余长度n-1. (2)随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。
这里蕴含的就是极限的概念。
总结：极限是变量变化趋势结果的预测。
例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列：111⎧1⎫（1）⎨⎬: 1，,......； 23n⎩n⎭⎧(-1)n⎫1111:-1，-，-,......；（2）⎨⎬n2345⎩⎭（3）n2:1,4,9,16,......；（4）(-1):-1,1,-1,1,......,(-1),......； nn{}{}我们接下来讨论一种数列{xn}，在它的变化过程中，当n趋近于+∞时，xn不断接近于某一个常数a。
如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）（4）中的数列却没有这样的特征。
高三数学《数列的极限》基础知识与解题技巧教案
高三数学《数列的极限》基础知识与解题技巧教案引言：数列的极限是高中数学中重要的概念之一，是初步接触数学分析的起点。
本教案将从数列的定义开始，介绍数列的极限的基础知识和解题技巧，帮助学生全面理解和掌握这一概念。
一、数列的定义及基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组实数。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式就是数列的通项公式。
3. 数列的前n项和：数列的前n项和指的是数列的前n个数相加的结果，通常用Sn表示。
二、数列的极限的定义与性质1. 数列的极限定义：当数列中的每一项趋近于一个常数L时，称L 为数列的极限，记作lim(a_n) = L。
2. 数列极限的性质：a) 唯一性：数列的极限如果存在，那么极限是唯一的。
b) 保号性：如果数列中的每一项都大于等于（或小于等于）一个常数A，并且极限L存在，那么L也大于等于（或小于等于）A。
c) 夹逼性：如果数列中的每一项都大于等于（或小于等于）一个数列b_n，并且极限L存在，那么b_n也大于等于（或小于等于）L。
三、数列极限的计算方法1. 利用通项公式计算极限：当数列的通项公式为简单的初等函数表达式时，可以使用代入法或化简法计算极限。
2. 利用数列的性质计算极限：a) 有界性：如果数列有界，并且存在所谓的上（下）确界，那么极限即为上（下）确界。
b) 递推关系：当数列的递推关系表示式演化到极限形式时，可以通过解递推方程求解极限。
四、常见数列的极限及其性质1. 等差数列的极限：当等差数列的公差为零时，数列为常数数列，极限即为常数本身；当公差不为零时，极限不存在。
2. 等比数列的极限：当等比数列的公比绝对值小于1时，数列趋于0；当公比绝对值大于1时，极限不存在。
3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列的极限是黄金比例φ = (1 + √5) / 2。
五、数列极限的解题步骤1. 理解题目要求，确定数列的通项公式。
2. 判断数列的性质和是否有已知极限，选择合适的计算方法。
数列极限教学设计
数列极限教学设计数列极限是高中数学中的重要内容，是数学分析的基础。
学生在学习数列极限时，可能会遇到一些困难，特别是对于概念理解和数学符号的掌握。
因此，我设计了以下教学方案，帮助学生更好地理解和掌握数列极限。
一、教学目标：1. 了解数列及其极限的概念；2. 掌握常见数列极限的计算方法；3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学内容：1. 数列的定义和性质；2. 数列极限的概念和判定方法；3. 数列极限的计算方法。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）使用一道简单的问题作为引入，如：小明每天跑步训练，第一天跑1km，第二天跑2km，第三天跑3km，以此类推，问小明跑得越久，跑的距离是否会无限增加？2. 概念讲解（15分钟）介绍数列的概念和性质，引导学生理解数列的定义，并讨论数列的有界性和单调性。
3. 数列极限的概念和判定方法（20分钟）解释数列极限的定义，引导学生理解数列无穷接近某一值的概念。
然后，介绍数列极限的判定方法，包括数列的单调有界准则和夹逼定理。
通过一些例题，帮助学生掌握这些判定方法。
4. 数列极限的计算方法（30分钟）分别讲解常见数列的极限计算方法，如等差数列、等比数列和特殊数列。
重点强调数列极限的计算需要运用代数运算和极限运算的性质，教师可辅以具体的计算步骤和示例。
5. 实例练习（20分钟）让学生进行一些实例题的练习，既巩固了知识点，又锻炼了学生的计算能力和分析能力。
可以设计一些难度递增的题目，帮助学生逐步提升解题能力。
6. 讨论和总结（10分钟）与学生一起讨论实例题的解答过程和方法，检查学生的理解程度。
教师可以引导学生总结数列极限的计算方法和判定方法，梳理重点和难点。
四、教学手段和辅助材料：1. 板书：将数列的定义、性质、极限的概念、判定方法和计算方法等内容进行适当的板书。
2. PPT：准备相关的PPT，用于展示数列的定义、概念、判定方法和计算方法等内容。
帮助学生更加直观地理解和掌握相关知识。
高中数学教案数列的极限与等比数列
高中数学教案数列的极限与等比数列高中数学教案：数列的极限与等比数列一、引言数列是高中数学中的重要概念之一，它在我们日常生活和各个学科中都有广泛应用。
本教案将重点介绍数列的极限及等比数列的相关知识，帮助学生全面理解与运用。
二、数列的极限1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式表示。
设数列为{${a_n}$}，通项公式为${a_n}$=$f(n)$。
2. 数列的极限的概念数列的极限是指随着项数无限增加，数列的值逐渐趋近于一个确定的值。
若存在常数$a$，使得对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|{a_n} - a|< \epsilon$成立，则称数列{${a_n}$}的极限为$a$，记作$\lim \limits_{{n \to \infty}}{a_n}=a$。
3. 数列极限的性质- 数列极限的唯一性：若数列的极限存在，则极限是唯一的。
- 有界性：若数列存在极限，则该数列必定有界。
三、等比数列1. 等比数列的定义等比数列是指数列中每一项与前一项的比值都相等的数列。
设数列为{${a_n}$}，通项公式为${a_n}$=$a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。
2. 等比数列的性质- 等比数列的通项公式：${a_n}$=$a_1 \cdot q^{(n-1)}$- 等比数列的前n项和：$S_n$=$a_1 \cdot \frac{{1-q^n}}{1-q}$，其中$S_n$表示前n项的和。
四、等比数列的极限1. 等比数列的极限当公比$|q|< 1$时，等比数列的极限存在，且为0。
即当$|q|< 1$时，$\lim \limits_{{n \to \infty}}{a_n}=0$。
五、教学目标与重点1. 目标：- 了解数列的定义和极限的概念；- 掌握数列极限的性质；- 理解等比数列的定义和性质；- 掌握等比数列的通项公式和前n项和的计算方法；2. 重点：- 数列的极限概念及其性质；- 等比数列的定义、性质和极限的条件。
数列的极限教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义。
（2）学会运用数列极限的定义解决实际问题。
（3）掌握数列极限的性质，能够判断数列的收敛性和发散性。
2. 过程与方法目标：（1）通过观察、分析、归纳等方法，发现数列极限的性质。
（2）通过实例分析，培养学生的逻辑推理能力。
（3）通过小组讨论、合作学习，提高学生的团队协作能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生对数学知识的热爱。
（2）培养学生严谨、求实的科学态度。
（3）培养学生的创新意识和终身学习能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）数列极限的定义。
（2）数列极限的性质。
2. 教学难点：（1）理解数列极限的定义。
（2）运用数列极限的定义解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课通过回顾数列的概念，引导学生思考数列的变化趋势，引出数列极限的定义。
2. 教学内容（1）数列极限的定义通过实例分析，讲解数列极限的定义，让学生理解数列极限的概念。
（2）数列极限的性质通过观察、分析、归纳等方法，发现数列极限的性质，如单调有界准则、夹逼准则等。
（3）数列极限的判断讲解如何判断数列的收敛性和发散性，包括单调有界准则、夹逼准则等。
3. 练习与巩固布置一些练习题，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
4. 小组讨论与合作组织学生进行小组讨论，让学生在合作中学习，共同解决问题。
5. 总结与反思引导学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程。
四、教学评价1. 课堂表现评价观察学生在课堂上的参与程度、回答问题的准确性等。
2. 作业完成情况评价检查学生作业的完成情况，了解学生对知识的掌握程度。
3. 课堂练习评价通过课堂练习，评价学生对数列极限的定义、性质等知识的掌握情况。
五、教学反思1. 教学过程中，注意引导学生理解数列极限的定义，避免死记硬背。
2. 在讲解数列极限的性质时，注重实例分析，帮助学生更好地理解。
高三数学《数列的极限》教案
数列的极限·教案目的要求使学生能从数列的变化趋势理解数列极限的概念；会判断一些简单数列的极限．内容分析1．极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一．因为微积分中其他重要的基本概念(如导数、微分、积分等)都要用极限概念来表述，并且它们的运算和性质也都要用极限的运算和性质来论证．2．为了让学生能尽早进入微积分的主体部分(本书后续内容)的学习，本章不重在理论研究．考虑到中学生理解极限的严格定义(ε－N定义和ε－δ定义)有一定难度，教科书只对极限的定义进行直观描述，教学中一定要注意把握分寸，恰当掌握教科书的深度和广度．3．数列的极限是最简单的一种极限，它可以看作是自变量以取正整数的形式趋向于无穷时的特殊函数极限．(1)数列的极限虽简单但却是重要的极限，后面讲函数极限即是由此引入的．正因为它可视为特殊的函数极限，就以它的四则运算法则纳入函数极限四则运算法则之中介绍．(2)建议新课导入从引言刘徽的“割圆术”说起，引入数列的极限．“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这正是极限概念和思想的要点．它具有承上启下的作用，能激发学生对后续内容的学习兴趣．(3)数列的极限的直观描述方式的定义，强调的是从变化趋势来理解数列极限的概念，通过观察三个具体数列，归纳出它们共同的特性：随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某一个常数a(即|a n－a|无限地接近于0)．由此给出数列极限的直观描述性定义．“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n趋近于a是在无限过程中进行的，即随n的增大，a n越来越接近于a；另一方面，a n不是一般地趋近于a，而是“无限”地趋近于a，即|a n－a|随n的增大而无限地趋近于0．(4)由于当n无限增大时，常数数列的项a n始终保持不变，因此有任何常数数列的极限都是这个常数本身．(5)例3是一道开放性的题目．学生需要通过运用计算器计算，并观察分析所得结果进行猜想．通过特殊到一般，在教师的引导下，猜想出只要求记住并会应用．4．本节的重点是数列极限的概念，难点是如何从变化趋势的角度来正确理解极限概念．在讲授时，注意结合数列例子，通过比较数值的变化以及数轴上点的变化，讲清“无限趋近”的意义，找出它们的共同特性，归纳出数列极限的直观描述性定义．5．结合引言内容，通过对刘徽“割圆术”的介绍，对学生进行爱国主义思想教育，激发学生的学习热情和民族自豪感．对极限概念及思想的深入理解不是一次就能完成的，而是需要一个较长的过程．通过极限内容的教学，树立运动变化的观点．教学过程1．新课导入，引出课题从引言第61页刘徽“割圆术”说起(可提前布置学生预习)，提出问无限趋近于圆周长2πR呢(让学生从图形上看这种变化趋势)？回答是肯定的，可以用极限的知识来证明．在数学中，极限的概念和思想是非常重要的．它是微积分中最重要、最基本的概念之一，它是研究变量在无限变化中的变化趋势．我们在高二数学第二册(下)中讲授球体积和表面积公式的推导时，用到了极限的思想方法．今天就来学习如何求数列的极限(导出课题)．2．特例分析，归纳特性考察教科书第76页三个数列①、②、③，当n无限增大时，项a n的变化趋势：(1)随着n的增大，从数值变化趋势上看，a n有三种变化方式：数列①是递减的，②是递增的，③是正负交替地无限趋近于a．(2)随着n的增大，从数轴上观察项a n表示的点的变化趋势，也有三种变化方式：①是从点a右侧，②是点左侧，③是从点a两侧交替地无限趋近于a．(3)随着n的增大，从差式|a n－a|的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n无限趋近于a．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于常数a(即|a n－a|无限地接近于0)”．引出数列极限的定义．3．形成概念，加深理解(1)数列极限的直观描述性定义(板书)．注意：①着重从变化趋势上理解数列极限的概念，它是一种定性的研究．②“无限趋近”的意义有两个方面．(2)讲解例1，学生完成教科书第76页的练习．(3)讲授极限的符号表示方法，明确符号的意义和读法．4．计算观察，得到结论C(C为常数)．(2)讲解例3．让学生先猜{0.99n}的极限，再用计算器分别算0.991000、0.995000、0.9910000、0.9920000，并分析数列变化趋势得出极限，从而得5．课堂学习，知识拓广学生板演教科书第77页练习1、2，教师讲评后针对练习2(4)可提先将学生分成两组分别讨论问题①、②，然后教师收集结果．6．归纳小结(1)理解数列极限的定义及项a n的三种变化方式．(2)理解数列极限的符号表示方法和它的意义．(3)掌握数列极限的一个性质和一个重要结论，并且会用．布置作业教科书第78页习题第1、2、3题．。
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课题：数列的极限
教学目标：1.理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则；2.会通过恒等变形，依据数列极限的运算法则，依据极限为0的几种形式，求数列的极根.3.会求公比绝对值小于1的无穷等比数列各项的和.
（一） 主要知识及主要方法： 1.数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限.记作lim n n a a →∞
=.
注：a 不一定是}{n a 中的项
2.几个重要极限：1
lim
0n n α
→∞=（0α>，α为常数）； C C n =∞→lim （C 是常数）；
)1(0lim <=∞→q q n
n ； 1,lim 0,1,n n
n n
n a b a b a b a b a b →∞⎧>-⎪==⎨+⎪-<⎩
3.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；
指数型(00和∞
∞
型），通过变形（如通分，约分）使得各式有极限；
根式型(∞-∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；
4.数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果lim n n a A →∞
=，lim n n b B →∞
=，那
么
B A b a n n n +=+∞
→)(lim B A b a n n n -=-∞
→)(l i m
lim()n n n a b A B →∞⋅=⋅ )0(l i m ≠=∞→B B A
b a n
n n . 特别地，如果c 是常数，那么，()lim lim n n n n c a c a ca →∞
→∞
⋅=⋅=
5.无穷等比数列的各项和：()1公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增
大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做l i m
n n S S →∞
=；()21
lim 1n n a S S q
→∞
==-(0||1)q << （二）典例分析：
问题1．求下列数列的极限：()1n
n
n )1(lim
-∞
→； ()2∞→n lim 11
2322+++n n n ； ()3∞→n lim 1122++n n
()4322lim 11n n n n n →∞⎛⎫- ⎪--⎝⎭
()5()1111
1lim 139273n n n -→∞⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦
问题2．()1（06陕西）
n .A 1.
B 12.
C 1
4
.D 0
()2（07天津）设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22
lim n n n
a n S →∞-=
()3（07湖北）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且q ≥2，则111lim 111p
q n n n ∞
⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭
→ .A 0 .B 1 .C p q .D 1
1
p q --
问题3．()1若21lim 01n n an b n →∞
⎛⎫
+--=
⎪+⎝⎭
，求a 和b 的值；
()2若()
131
lim
3
31n
n
n n a +→∞
=
++，求a 的取值范围.
问题4．()1已知数列{}n x 满足122x x =
，121
()2n n n x x x --=+，3,4n =，… ， 若lim 2n n x →∞=，则1x = .A 2
3
.B 3 .C 4 .D 5
()2已知0a >，数列{}n a 满足1a a =，11
n n
a a a +=+
（1,2,3n =，…），且数列{}n a 的极限存在，则lim n n a →∞
= （结果用a 表示）.
问题5．（06福建）如图，连结ABC △的各边中点 得到一个新的111A B C △又连结111A B C △的各边中点得 到222A B C △，如此无限继续下去，得到一系列三角形：
ABC △，111A B C △，222A B C △，…，这一系列
三角形趋向于一个点M .已知(0,0),(3,0),A B (2,2),C 则点M 的坐标是
（三）课后作业：
1.将0.12化成分数是
2.若1lim 0n
n a a →∞-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则a 的取值范围是.A 12a < .B 1a < .C 12a > .D 1a =
3.22221111lim 1111234n n →∞
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-= ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
O A B C A 1B
C 2A B 2C
4.()1421
lim 31n n n →∞+=- ；()2()()1123lim 23
n
n n n n ++→∞
-+=-+
5.已知2231lim 45n n cn n an bn →∞⎛⎫
++-= ⎪+⎝⎭
，则a = ；b = ；c =
6. (06湖北宜昌市3月模拟)已知数列{}n a 满足()()13618n n a a +-+=（*n N ∈），
且13a =，则lim n n a →∞
= .A 0 .B 1 .
C 3
2
.D 3-
7. (07届高三湖北八校联考)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2
13
n n S a =-，则其各项
和S 等于 .A 1 .B 23 .C 53 .D 2
3
8.若数列{}n a 的通项公式是()()
321322
n
n n n n n a ----++--=
，1,2n =，…，
则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+= .A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 25
24
9.数列{}n a 中，115a =
，1165
n n n a a +++=，*
n N ∈，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=
.A 25 .B 27 .C 14 .D 425
、
（四）走向高考：
10.（06重庆）213(21)
lim
21
n n n n →∞+++-=-+
11.（05上海）计算：11
32lim 32n n
n n n ++→∞-=+
12.（06上海）计算：1
lim 33+∞→n C n
n ＝
13.（05湖南）已知数列(){}2log 1n a -（*n N ∈）为等差数列，且13a =，25a =，
则21
321111
lim n n n a a a a a a →∞+⎛
⎫++⋅⋅⋅+= ⎪---⎝⎭ .A 2 .B 23 .C 1 .D 21
14.（05湖北）已知不等式211
11
[log ]23
2
n n ++
+
>，其中n 为大于2的整数， ][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足1a b =(0)b >，
n a ≤
11n n na n a --+，2,3,4n =，…()1证明222[log ]
n b
a b n <+，3,4,5n =，… ()2猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）
； ()3）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意0b >，都有1
5n a <.。