高三数学等比数列复习资料

等比数列一．【课标要求】1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

体会等比数列与指数函数的关系二．【命题走向】等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。

客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具预测2010年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力三．【要点精讲】1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-。

（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=。

3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q -=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。

说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

四．【典例解析】题型1：等比数列的概念例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c 三数成等比数列的充要条件是b 2=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。

命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列； 命题2中可知a n+1=a n ×21，a n+1<a n 未必成立，当首项a 1<0时，a n <0，则21a n >a n ，即a n+1>a n ，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，c ∈R ，此时有ac b =2，但数列a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac ，则成为不必要也不充分条件。

点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。

例2．命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n +b(a ≠1)，则数列{a n }是等比数列； 命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c(a ≠0)，则数列{a n }是等差数列；命题3：若数列{a n }的前n 项和S n =na －n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析： 由命题1得，a 1=a+b ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(a －1)·a n －1。

若{a n }是等比数列，则12a a =a ，即b a a a +-)1(=a ，所以只有当b=－1且a ≠0时，此数列才是等比数列。

由命题2得，a 1=a+b+c ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2na+b －a ，若{a n }是等差数列，则a 2－a 1=2a ，即2a －c=2a ，所以只有当c=0时，数列{a n }才是等差数列。

由命题3得，a 1=a －1，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=a －1，显然{a n }是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a －1≠0；即a ≠1时数列{a n }才又是等比数列。

点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到S n 与a n 的关系，它们是a n =⎩⎨⎧--,11n nS S a 时当时当21≥=n n ，正确判断数列{a n }是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。

上述三个命题都不是真命题，选择A 。

题型2：等比数列的判定例3．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞【解1】：∵等比数列()n a 中21a = ∴当公比为1时，1231a a a ===，33S = ； 当公比为1-时，1231,1,1a a a =-==-，31S =- 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D ；【解2】：∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+；当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭ ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞ 故选D ；【考点】：此题重点考察等比数列前n 项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用； 【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前n 项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。

例4．（2009浙江文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或题型3：等比数列的通项公式及应用例5．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列解析：设所求的等比数列为a ，aq ，aq 2； 则2(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4)2=a(aq 2+32)；解得a=2，q=3或a=92，q=－5； 故所求的等比数列为2，6,18或92，－910，950。

点评：第一种解法利用等比数列的基本量q a ,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。

例6．(2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=- （2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T .例7．（1）（2009安徽卷文）已知数列{} 的前n 项和，数列{}的前n项和（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；（Ⅱ）设，证明：当且仅当n ≥3时，＜【思路】由11 (1)(2)nn a n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩可求出n n a b 和，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出n n a b 和后，进而得到n c ，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法 【解析】(1)由于114a s ==当2n ≥时, 221(22)[2(1)2(1)]4n n n a s s n n n n n -=-=+--+-=*4()m a n n N ∴=∈ 又当x n ≥时11(26)(2)n n n m m b T T b --=-----12n n b b -∴=∴数列{}n b 项与等比数列,其首项为1,公比为1211()2n n b -∴=(2)由(1)知22111116()2n n C a b n -=⋅=⋅2(1)121221116(1)()(1)21216()2n n n n n C n C n n +-+-+⋅+∴==⋅ 由21(1)112n n C n C n++<<得即22101n n n -->∴>3n ≥又3n ≥时2(1)212n n +<成立,即11n nC C +<由于0n C >恒成立. 因此,当且仅当3n ≥时, 1n n C C +<点评：对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式，对应好首项和公比求出最终结果即可例8．（1）设｛a n ｝为等差数列，｛b n ｝为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝b 3，b 2b 4＝a 3．分别求出｛a n ｝及｛b n ｝的前10项的和S 10及T 10；（2）在1与2之间插入n 个正数a 1，a 2，a 3……，a n ，使这n ＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数b 1，b 2，b 3，……，b n ，使这n ＋2个数成等差数列.记A n ＝a 1a 2a 3……a n ，B n ＝b 1＋b 2＋b 3＋……＋b n .（Ⅰ）求数列｛A n ｝和｛B n ｝的通项；（Ⅱ）当n ≥7时，比较A n 与B n 的大小，并证明你的结论。