最大值最小值问题

思考题解答
结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例 y f ( x) x x [0,1] 在 x 0 有最小值，但 f (0) 1 0
返
0.5公里
s(t )
A
B 4公里
解 (1)建立敌我相距函数关系
设 t 为我军从B处发起 追击至射击的时间(分).
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
(3) y f ( x)的最大值、最小值一定在 f ' ( x) 0或f ' ( x)不存在的点及区间的端 点取得；
(4) 极大值、极小值是局部的概念，而 最大值、最小值是全局的概念。
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x)
(
x
20)
50
x
180 10
R(
x)
(
x
20)
68
x 10
R( x)
68
x 10
(x
20)
1 10
70
x 5
R( x) 0 x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最大(或最小)值．
例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
P
则切线PT为
y y0 2 x0( x x0 ),
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2
x0 )(16x0
x02 )
(0 x0 8)
令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
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16 , 3
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 217
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问 我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最 好）？
3.4 最大值、最小值问题
最值的求法 应用举例
返
一、最值的求法
函数y f ( x)在闭区间[a, b]上连续，(a, b)内可导：
(1) 由函数在闭区间[a, b]的性质知：y f ( x) 在[a, b]一定有最大值和最小值； (2) y f ( x)在[a, b]上的最大值或最小值一定 在极大值点、极小值点或区间的端点处取得；
最大收入为R(
x)
(350
20)
68
350 10
10890 (元)
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点，
使曲线在该点 处的切线与直 线 y0及 x8 所围成的三角 形面积最大．
y
P
oA
T B
Cx
解 如图,
y
设所求切点为P( x0 , y0 ),