2020年上海市青浦区高考数学一模试卷

D．若 m ⊥ α , m ⊥ β ，α，β 不平行，则 m, n 为异面直线.
15．过抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 的焦点作两条互相垂直的弦 AB 和 CD ，则 1 + 1 的 | AB | | CD |
ห้องสมุดไป่ตู้
值为（ ）
A． p 2
B． 2 p
C． 2 p
D． 1 2p
16．设等比数列{an}的公比为 q ，其前 n 项和之积为Tn ，并满足条件：a1 > 1, a2019a2020 > 1，
第 5 页（共 6 页）
参考答案
1.{5} ； 2. 13 ； 3. π ； 4. (1 )n ；
6
2
6. 16 + 32 2 ； 7. 1 ； 8. 5 ； 9. 81； 16 4
5. − 24 ； 25
10.
1 2
log2
k
；
11.； 12. 8 ；
13.B
14.C
15.D
16.B
17.（1） 2 3 ；（2） π ； 4
（1）已知函数 f (x) = 1− (x −1)2 ，判断 f (x) 是否具有性质 P( 1 ) ，并说明理由； 2
（2）求证：任取 m ∈ (0,2) ，函数 f (x) = (x −1)2 ， x ∈[0,2] 具有性质 P(m) ； （3）已知函数 f (x) = sin πx, x ∈[0,2]，若 f (x) 具有性质 P(m) ，求 m 的取值范围.
a2019 a2020
−1 −1
<
0
，给出下列结论：①
0
<
q
< 1；②
a a 2019 2020
−1
>
0
；③ T2019
是数列{Tn} 中
的最大项；④使Tn > 1 成立的最大自然数等于 4039 ，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④
三、解答题（本题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对
第 6 页（共 6 页）
OM ⊥ ON ，求 ∆OMN 面积的最小值； （3）若与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点，交 x 轴于定点 M ，线段 AB 的垂直平
分线交 x 轴于点 N ，且 | AB | 为定值，求点 M 的坐标. | MN |
第 4 页（共 6 页）
21．（18 分）已知函数 f (x) 的定义域为[0,2]，且 f (x) 的图像连续不间断，若函数 f (x) 满 足 ： 对 于 任 意 给 定 的 实 数 m ， 且 0 < m < 2 ， 存 在 x0 ∈[0,2 − m] ， 使 得 f (x0 ) = f (x0 + m) ，则称 f (x) 具有性质 P(m) ；
A．4
B．5
C．6
D．7
14．对于两条不同的直线 m, n 和两个不同的平面α，β ，以下结论正确的是（ ）
A．若 m ⊂α ， n // β ， m, n 是异面直线，则α，β 相交； ≠
B．若 m ⊥ α , m ⊥ β , n // α ，则 m // n ；
C．若 m ⊂α ， n // α ， m, n 共面于 β ，则 m // n ； ≠
现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配名优教师，则不同
的分配方案共有_______种.
10. 已知对于任意给定的正实数 k ，函数 f (x) = 2x + k ⋅ 2−x 的图像都关于直线 x = m 成轴对
称图形，则 m = __________.
11. 如图，一矩形 ABCD 的一边 AB 在 x 轴上，另两个顶点
2020 年上海市青浦区高考数学一模试卷
安逸数学工作室 2019.12
一、填空题（本题满分 54 分)本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，要求在答 题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
1. 已知集合U = {1,3,5,9}, A = {1,3,9}, B = {1,9}，则 CU ( A U B) = ________. 2. 若复数 z = i(3 − 2i) （ i 是虚数单位），则 z 的模为_________.
3. 直线 l1 : x −1 = 0 和直线 l2 : 3x − y = 0 的夹角大小为________.
4. 我国古代庄周所著的《庄子·天下篇》中引用过一句话：“一尺之锤，日取其半，万世不 竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限的进行下去， 若把“一尺之锤”的长度记为 1 个单位，则第 n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的
长度为 an ，则 an = _________. 5. 已知角α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，角α 的终边与单位圆的交点坐标
是 (− 3 , 4) ，则 sin 2α = __________. 55
6. 已知正四棱柱底面边长为 2 2 ，体积为 32，则此四棱柱的表面积为_________.
18．（ 14 分） 已知向 量 a = ( 3 cosωx, sin ωx), b = (cosωx, cosωx) ，其中 ω > 0 ， 记 f (x) = a ⋅b ；
（1）若函数 f (x) 的最小正周期为π ，求ω 的值； （2）在（1）的条件下，已知 ∆ABC 的内角 A, B,C 对应的边分别为 a,b, c ，若 f ( A) = 3 ，
7. 设 x, y ∈ R+ ，若 4x + 1 = 1，则 x 的最大值为________.
y
y
8.
已知数列{an}中， a1
= 1, an − an−1
=
1 2n+1
(n
∈
N
∗)
，则
lim
n→∞
an
= ________.
9. 某地开展名优教师支教活动，现有五名优秀教师被随机分到 A,B,C 三个不同的乡镇中学，
n
个月的利润是
f
( n)
=
10
1 ≤ n ≤ 10, n ∈ N
，
n 11 ≤ n ≤ 60, n ∈ N
（单位：万元），记第
n
个月的当月利润为
g
(n)
=
第n个月的利润 截止到第n个月投入的资金总和
；
（1）求第 n 个月的当月利润率； （2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润最大，并求出该月的当月利润.
20．（16 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点到两个焦点的距离的和为 10，椭圆 C 经过 点 (3,16) ； 5
（1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2 ） 过 椭 圆 C 的 右 焦 点 F 作 与 x 轴 垂 直 的 直 线 l1 ， 直 线 l1 上 存 在 M , N 两 点 满 足
18.（1）ω = 1 ； （2） 3 3 ； 4
10
19.（1）
g
(n)
=

n
+
49
；（2）第 33 月利润最大， 330 ；
20n
1073
n2 − n +1090
20.（1） x2 + y2 = 1； （2） 9 ； （3） M (±3,0) ； 25 16
21.（1） f (x) 具有性质 P( 1 ) ，证明略； （2）证明略； （3） m ∈ (0,1] ； 2
C,D
在函数
f
(x)
=
x 1+ x2
,
x
>
0 的图像上，则此矩形绕
x
轴旋转而成的几何体的体积最大值是_________.
第 1 页（共 6 页）
12. 已知点 P 在双曲线 x2 − y2 = 1 上，点 A 满足 PA = (t −1)OP, (t ∈ R) ，且 OA⋅ OP = 60 ， 9 16
2 且 a = 4,b + c = 5 ，求 ∆ABC 的面积.
第 3 页（共 6 页）
19．（14 分）某企业生产的产品具有 60 个月的时效性，在时效期内，企业投入 50 万元经销
该产品，为了获得更多的利润，企业将每月的利润的10% 再投入到次月的经营中，市场
调研表明，该企业在经销这个产品的第
应的题号）内写出必要的步骤。
第 2 页（共 6 页）
17．（14 分）如图所示，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 AB = 2 ， AD = 2 2 ， PA = 2 ，求：
（1）三角形 PCD 的面积； （2）异面直线 BC 与 AE 所成角的大小.
OB = (0,1) ，则| OB ⋅OA | 的最大值为_________.
二、选择题（本题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5 分，否则一律 得零分.
13．使得 (3x + 1 )n (n ∈ N ∗ ) 的展开式中含有常数项的最小的 n 为（ ） xx