二阶常系数非齐次微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微ຫໍສະໝຸດ 方程一般式是y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
二阶常系数非齐次微分方程
f ( x) ex[P cosx P sinx] 利用欧拉公式
l
n
ex [Pl
eix eix
2
Pn
eix eix 2i
]
( Pl Pn)e( i) x ( Pl Pn)e(i) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i)x P ( x)e(i) x ,
设 y py qy P(x)e( i)x ,
y* 2ixeix 2 x sin x (2 x cos x)i,
所求非齐方程特解为 y 2 x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x.
例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y xe2ix ,
设 y c1 ( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小 结
(待定系数法)
y xk Q e(i)x ,
1
m
设 y py qy P( x)e(i)x ,
y
xkex[Q eix m
ix
Qme
]
y2
x kQ e(i) x m
,
xkex[R(1) ( x)cosx R(2) ( x)sinx],
m
m
其中 Rm(1) ( x), Rm(2) ( x)是m次多项式， m maxl,n
9二阶常系数非齐次线性微分方程
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
例6 求通解
解 相应齐方程 特征方程 齐通解
y y e cos x
x
y y 0
r 2 1 0 r1, 2 j
Y c1 cos x c2 sin x
则上段重为
下段重为
w (12 x ) w (8 x )
kg w( ) m
由Newton第二定律
d2x [ w(12 x ) w(8 x )]g 20w 2 dt
dx x t 0 0, t 0 0 dt g 2 r 0 特征方程 10
齐通解
特征根
g t 10
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Ae
x
A x e 2 p q , 不是特征方程的根 A y xe x 是特征方程的单根 2 p A 2 x xe 是特征方程的重根 2
2 jx y y xe ,
作辅助方程
2 j 不是特征方程的根 ,
设 y * ( Ax B)e 2 jx ,
代入辅助方程
4 Aj 3 B 0 3 A 1
*
1 4 A ，B j , 3 9
1 4 y ( x j )e 2 jx , 3 9
u x 2 d u y du 2 ( ) 2 3 r dr r dr x
2 2 2
同理
u y 2 d u x du 2 ( ) 2 3 r y dr r dr
2 2 2
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
6.7二阶常系数非齐次线性微分方程
2
e Pm ( x )
Pm ( x ) 为 m 次多项式 . 设特解为
其中
x
Q( x )
Q( x )
为待定多项式,
p y* e
y* e
[ p Q ( x ) p Q ( x )]
[ Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x )]
②
代入原方程① , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 Q (x)为 m 次多项式 系数由②式确定， 从而得到 特解的形式为
(3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
1
21
作业 36页习题6-7
1.(1),(3), 2. 4. 6.
作业本写上班级姓名
22
x x x (1 a b ) x e c e (2 a ) e (1 a b) e x x 对应齐次方程通解: Y C e C e x
1 2 x x
原方程通解为 y C 1 e C 2 e e x e 1 a1 b (0 C ex C 2 1) e x x e x 比较系数得 2 a cx x x y C e C e x e 即 1 1 a b0 2 其中 ( C 2 C 2 1)
是特征方程的根。 不是特征方程的根。 不是特征方程的根。
18
例9. 求微分方程 (其中 为实数 ) .
2
e
x
的通解
解: 特征方程 r 4r 4 0, 特征根: r1 对应齐次方程通解:
e
x
2 x
r2 2
1) 2 时, 令 y A e
1 , 代入原方程得 A ( 2)2
2 p 0 ,
第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程
y = xk eλxQm (x);
( 2) f ( x ) = e [ Pl ( x ) cos ωx + Pn ( x ) sin ωx ],
λx
y = x e [R ( x)cosωx + R ( x)sinωx];
k
λx
(1) m
( 2) m
只含上式一项解法：作辅助方程 求特解 求特解, 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解. 特解的实部或虚部 得原非齐方程特解
Q λ = 2 j 不是特征方程的根 ,
设 y * = ( Ax + B )e 2 jx ,
代入辅助方程
4 Aj 3 B = 0 3 A = 1
*
1 4 ∴ A = ，B = j , 3 9
1 4 ∴ y = ( x j )e 2 jx , 3 9
1 4 = ( x j )(cos 2 x + j sin 2 x ) 3 9 1 4 4 1 = x cos 2 x + sin 2 x ( cos 2 x + x sin 2 x ) j , 3 9 9 3 1 4 所求非齐方程特解为 y = x cos 2 x + sin 2 x , 3 9
比较两端 x 同 次幂的系数, 得 b0=1, b =1 . 1 3 因此所给 方程的特解为 y*=x+ 1 . 3
提示: [b0x+b1]′′2[b0x+b1]′3[b0x+b1] =2b03b0x3b1 3b0=3, 2b03b1=1. =3b0x2b03b1.
特解形式
2x . 例3 求方程 y′′ 3 y′ + 2 y = xe 的通解
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程
y '' 2 a sin x b co s x x a co s x b sin x
*
y '' y 2 a sin x b co s x 4 sin x
* *
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2a 4 2b 0
a 2 b 0
x m m
特解的形式与的值及m有关。可设
0 * k x y x e Qm ( x ) , k 1 2
不是特征根 是特征单根, 是特征重根
Qm x 为m 次多项式的一般式.
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例如： y '' 2 y ' 3 y x e
2
2x
特征方程 r 2 2 r 3 0
例如：y '' 2 y ' 2 y e
特征方程 r 2 2 r 2 0
1, 1
x
2 co s x sin x
r1,2 1 i
是特征根 k 1 ∴非齐次方程的一个特解可设为
y x
*
i 1 i
a co s x b sin x
2 ix
,
上一页下一页 返回
(
1 3 1 3
x
4 9
i )(cos 2 x i sin 2 x ) 4 sin 2 x ( cos 2 x x sin 2 x ) i , 9 9 3 4 1
x cos 2 x
所求非齐方程特解为 原方程通解为
y
1 3
x cos 2 x
0, 2
i 2i
二阶常系数非齐次线性微分方程
( −3ax − 3b + 4c ) cos 2 x − ( 3cx + 3d + 4a ) sin 2 x = x cos 2 x
(1 (2 y* = xk eλx Rm) ( x)cosωx + Rm ) ( x)sinωx
1 4 所以 a = − 3 , b = 0 , c = 0 , d = 9 于是得原方程的一个特解为 y* = − 1 x cos 2 x + 4 sin 2 x 3 9
6
例 2 求解 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 5
y
x=0
= 1, y ′
x =0
=2
解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 − 3r + 2 = 0 ⇒ r1 = 1, r2 = 2 于是齐次方程的通解为 Y = C 1 e x + C 2 e 2 x 由于 f ( x ) = 5e 0⋅ x , λ=0不是特征方程的根， 不是特征方程的根， 不是特征方程的根 故原方程特解设为： 故原方程特解设为：y* = A 代入方程， 代入方程，得 2 A = 5
（iii）如果λ 2 + pλ + q = 0且2λ + p = 0，即λ是特征方程的重根。 ） 是特征方程的重根。 是特征方程的重根 应是 次多项式. 次多项式 要使(3)式成立， 要使 式成立， Q' ' ( x ) 应是m次多项式 令 式成立 Q( x) = x 2Qm ( x) 仍是比较(3)式两端的系数来确定 的系数。 仍是比较 式两端的系数来确定Qm (x) 的系数。
Q( x) = Qm ( x) = b0 x m + b1 x m−1 + L+ bm−1 x + bm
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
6.5 二阶常系数非齐次
结论2 结论
若 f (x) = eλ x [ P(x)cosω x + P (x)sinω x ] l n
(1) (2) 具有形如 y *(x) = xkeλ x Rm (x)cosω x + Rm (x)sinω x]
其中λ、ω为常数, Pl(x),Pn(x)分别为x的l 次, n 次多项式. P(x) = b0xl +b xl−1 +L+bl−1x +bl , l 1 P (x) = c0 xn + c1xn−1 +L+ cn−1x + cn. n 则对非齐次方程 y′′ + py′ + qy = eλ x [ P(x)cosω x + P (x)sinω x ] l n
非齐通=齐通 非齐特 非齐通 齐通+非齐特 齐通
非齐次方程特解
二、二阶常系数非齐次线性微分方程的通解
二阶常系数非齐次线性微分方程 :
y′′ + py′ + qy = f (x) ( p, q 为 数) 常
根据解的结构定理 , 其通解为
①
y = Y(x)+y *(x)
非齐通=齐通 非齐特 非齐通 齐通+非齐特 齐通
所求通解：
例5. 求方程 的特解. 解 对应齐次方程： 特征方程: 特征根： 对应的齐次方程通解:
满足初始条件
l = 0, n = 0 m= max{0,0} = 0
λ = 0,ω = 2
由于λ +iω = 0+ 2i是特征方程的单根, 故设特解为
代入原方程，整理后得
例5. 求方程 的特解. (续) 代入原方程，整理后得 续 比较两边同类项的系数, 得
7-7.二阶常系数非齐次线性微分方程
P (x)表示m次多项式 m
f ( x) = eλx P ( x) 型 m •一、
* λx 设非齐方程特解为 y = Q(x)e 代入原方程
y′′ + py′ + qy = f (x)
y = Q(x)e
*
(2)
猜想
λx
y*′ = eλ x λQ ( x ) + Q′ ( x )
y = xQm (x)e ;
*
λx
特解
Q′( X ) 是 次 项 m 多 式
(3) 若λ是特征方程的重根， Q′′( X ) 是m次多项式 是特征方程的重根，
λ + pλ + q = 0,
2
2λ + p = 0,
可设 Q ( x ) = x 2 Qm ( x ),
综上讨论
y = x Qm (x)e .
1 x 通解ϕ ( x) = C1 cos x + C2 sin x + e 2
1 x 特解ϕ ( x) = ( cos x + sin x + e ) . 2
布置作业
P347 习题 7-8
1. (8)；2.(3). ；
P304------习题 习题7-2 习题
7.小船从河边 出发驶向对岸 小船从河边0出发驶向对岸 小船从河边 出发驶向对岸……. 解：设小船的航行路线C： 设小船的航行路线 ： y h v 水流 0 x
dy cos x ( 3) + y cot x = 5e , y dx
x=
π
1 3 2 −x y = x − x + 2x + c1 + c2e 3
大学课件高等数学二阶常系数非齐次线性微分方程
(2) 求非齐次方程的特解 x 设 y x 1A e ( 1 是单根 ) A 2 即 y 2 xe x 解得
x
1 特征根 r1 1
所以原方程通解为 y C1e C 2e
2x
2 xe
x
(3) 求原方程的特解 (求函数y的解析表达式)
2 由 y x x 1, 得 y 2 x 1, 且 y ( 0 ) 1,
设y xAe
3 x
将 y , y , y 代入方程,得
A 1 4 ,
y
1 4
xe
3 x
2x
1
C1 e C 2 e
x
2x
2x x( x 1)e
1
2
10
2002年考研数学二, 3分 设 y y ( x ) 是二阶常系数微分方程 py qy e 3 x 满足初始条件 y (0) y (0) 0 y 的特解, 则当 x 0时 , 函数 (A) 不存在. (B) 等于1.
ln( 1 x )
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y( x )
的极限
(D) 等于3.
0 0
(C) 等于2.
2
0 0
解 lim
ln( 1 x )
2
x 0
y( x )
2x lim lim x 0 y( x ) x 0 y ( x ) 2 2 lim x 0 y ( x )
y py qy 0
难点 如何求非齐次方程特解？ 方法 待定系数法.
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy Pm ( x )e
二阶常系数非齐次线性微分方程
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx的特解形式为y*=Q(x)eλx，则得等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x)． (1)如果λ 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)eλx． (2)如果λ 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则y*=xQm(x)eλx． (3)如果λ 是特征方程 r2+pr+q=0 的重根，则 λ2+pλ+q =0，2λ+p=0， 要使等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x)． 成立，Q(x)应设为m+2 次多项式：Q(x)=x2Qm(x)， Q m(x)=b0 xm+b1xm1+ +bm1x+bm ， 通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1， ，bm ，并得 所求特解 y*=x2Q m(x)eλx．
一、 f(x) = Pm(x)eλx 型
下面求方程 y′′+py′+qy=Pm(x)eλx， 的特解y* ，其中Pm(x)是m次多项式． 可以猜想，方程的特解y*应具有与Pm(x)eλx类似的函数形式． 设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx的特解形式为y*=Q(x)eλx，代入方程 得 [Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2 Q(x)]eλx+ p[Q′(x)+λQ(x)]eλx +qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)] eλx=Pm(x)eλx， 于是有等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x)．
二阶常系数非齐次微分方程的通解
二阶常系数非齐次微分方程的通解
二阶常系数非齐次微分方程是指形如y''+ay'+by=f(x)的微分方程，其中a、b均为常数，f(x)为已知函数。
对于这类微分方程，我们可以通过以下步骤求出其通解：
1. 先求出对应的齐次方程y''+ay'+by=0的通解y_h(x)。
这个步骤的具体方法可以参考《二阶齐次线性微分方程的解法》。
2. 然后我们需要找到一个特解y_p(x)。
具体的方法可以根据f(x)的形式分别进行求解：
- 如果f(x)是常数，我们可以猜测y_p(x)也是常数，然后代入微分方程中求解得到y_p(x)的值。
- 如果f(x)是指数函数、正弦函数或余弦函数，我们可以猜测y_p(x)也是同类函数，然后代入微分方程中求解得到y_p(x)的值。
- 如果f(x)是多项式函数，我们可以猜测y_p(x)是与f(x)同次数的多项式函数，然后代入微分方程中求解得到y_p(x)的系数。
3. 将y_h(x)和y_p(x)相加，即可得到非齐次微分方程的通解y(x)=y_h(x)+y_p(x)。
需要注意的是，在求解特解y_p(x)时，如果猜测的形式不适用于f(x)，那么我们需要采用其他方法，比如常数变易法等。
- 1 -。
二阶常系数非齐次线性微分方程
例3.
解: 本题 0, 2 特征方程为 r 1 0 i 2i 不是 特征方程的根, 故设特解为
的一个特解. ~ 2, Pl ( x) x, Pn ( x ) 0
代入方程得 ( 3 a x 3 b 4 c )cos2 x (3 c x 3 d 4 a )sin2 x x cos2 x 3 a 1 1 4 比较系数 , 得 3b 4 c 0 a 3 , d 9 3 c 0 b c 0 3 d 4 a 0 于是求得一个特解
Y (C1 C2 x)e .
x
2. 求 y'' 3 y' 2 y cos x的一个特解. 解: 在所给方程中, A 1, B 0, 1， 方程对应的齐次方程的特征方程为 2 r 3r 2 0, 它有两个不同的实根
因为 i i不是特征方程的根, 取k 0. 设原方程的特解为 y* a cos x b sin x, 其中a, b为待定系数,
非奇次方程特解的求法 (待定系数法) y py q y f ( x ) x 一、 f ( x ) e Pm ( x ) 型 (其中 为实数, Pm ( x ) 为 m 次多项式) x 设特解为 y* e Q ( x ) , 其中 Q ( x )为待定多 x 项式, y* e [ Q ( x ) Q ( x )]
y *'' 2(2a sin 2 x 2b cos 2 x) x(4a cos 2 x 4b sin 2 x) (4b 4ax) cos 2 x (4a 4bx) sin 2 x. 把y*, y *' , y *''代入方程, 得 4b cos 2x 4a sin 2x 2 cos 2x 4 sin 2x. 4a 4， 比较上式两端同类项系数得 1 4b 2， 得 a 1，b . 2 1 故一个特解为 y* x cos 2 x sin 2 x ， 2 所以方程的通解为 y Y y *
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在学习高等数学的过程中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的知识点。
理解和掌握它的解法，对于解决许多实际问题和理论研究都具有重要意义。
首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中$p$、＄q$是常数，＄f(x)＄是一个已知函数。
其解法的关键在于先求出对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最终将两者相加得到非齐次方程的通解。
对于齐次方程$y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$，我们可以通过特征方程$r^2＋ pr ＋ q ＝ 0$来求解。
特征方程的根有三种情况：1、两个不相等的实根$r_1$和$r_2$，此时齐次方程的通解为$y_c＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄。
2、两个相等的实根$r$，通解为$y_c ＝（C_1 ＋C_2x)e^｛rx}＄。
3、一对共轭复根$＼alpha ＼pm ＼beta i$，通解为$y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos\beta x ＋ C_2\sin\beta x)＄。
接下来，我们重点讨论如何求非齐次方程的特解。
根据$f(x)＄的形式，通常使用待定系数法来求解。
常见的$f(x)＄形式有以下几种：1、＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$P_n(x)＄是$x$的$n$次多项式。
若$＼lambda$不是特征根，设特解为$y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$Q_n(x)＄是与$P_n(x)＄同次的待定多项式。
若$＼lambda$是特征方程的单根，设特解为$y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
若$＼lambda$是特征方程的重根，设特解为$y_p ＝ x^2Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
2、＄f(x) ＝ e^｛＼lambda x}P_l(x)＼cos\omega x ＋ Q_m(x)＼sin\omega x$若$＼lambda ＼pm ＼omega i$不是特征根，设特解为$y_p ＝ e^｛＼lambda x}R_{l+m}（x)＼cos\omega x ＋ S_{l+m}（x)＼sin\omegax$，其中$R_{l+m}（x)＄和$S_{l+m}（x)＄是与$P_l(x)＄和$Q_m(x)＄同次的待定多项式。
二阶常系数非齐次微分方程解的关系
在微分方程的研究中，二阶常系数非齐次微分方程解的关系是一个重要的主题。
通过深入分析和探讨，我们可以更好地理解和应用这一概念。
在本文中，我将从浅入深地讨论二阶常系数非齐次微分方程的解，带领您深入探索这一主题。
1. 二阶常系数非齐次微分方程的基本概念让我们了解一下二阶常系数非齐次微分方程的基本概念。
二阶常系数非齐次微分方程的一般形式可以表示为：$$ay'' + by' + cy = f(x)$$其中，a、b、c为常数，f(x)为非齐次项。
在研究二阶常系数非齐次微分方程的解的关系时，我们需要重点关注它的特征根和非齐次项的关系。
2. 特征根与非齐次项的关系在求解二阶常系数非齐次微分方程时，我们首先需要求得对应齐次方程的特征根。
特征根的求解可以帮助我们得到齐次方程的通解。
接下来，我们要考虑非齐次项f(x)的形式和特征根的关系。
这个关系非常重要，它决定了非齐次微分方程的特解形式。
一般来说，非齐次项f(x)的形式决定了特解的形式，而特解与齐次方程的通解之间存在一定的关系。
3. 解的关系及其应用通过对二阶常系数非齐次微分方程解的关系进行深入研究，我们可以发现其中蕴含着许多有趣的数学性质和应用。
在信号处理中，二阶常系数非齐次微分方程解的关系可以帮助我们分析和处理不同类型的信号。
在控制理论中，这一概念也有着重要的应用，例如在控制系统的建模和分析中起着关键作用。
4. 个人观点和总结对于二阶常系数非齐次微分方程解的关系，我个人认为它是微分方程理论中的一个重要且有趣的研究方向。
通过深入的学习和探讨，我们可以更好地理解和应用这一概念，从而为实际问题的解决提供有力的数学工具和方法。
在撰写本文的过程中，我深入思考并总结了二阶常系数非齐次微分方程解的关系，希望对您有所帮助。
在本文中，我从浅入深地探讨了二阶常系数非齐次微分方程解的关系这一主题，并共享了个人观点和总结性内容。
通过多次提及指定的主题文字，我希望能够全面、深刻地探讨这一概念，为您对这一主题的理解和应用提供有力的支持。
二阶常系数非齐次方程
二阶常系数非齐次方程
二阶常系数非齐次方程是指一个形如
$$a\frac{{d^2y}}{{dt^2}}+b \frac{{dy}}{{dt}}+cy = f(t)$$的常
微分方程。
其中$a$、$b$、$c$都是常数，$f(t)$是$t$的函数。
要解这样的方程，可以先求齐次方程的通解，再找一个特解，将齐次解和特解相加即可得到非齐次方程的通解。
解齐次方程的步骤如下：
1. 假设通解为$y_c(t) = e^{rt}$，其中$r$是一个待定常数。
代
入方程得到$$a r^2 e^{rt}+b r e^{rt}+ce^{rt}= 0$$
2. 因为$e^{rt}$永远不会等于零，所以上式可以化简为
$$ar^2+br+c=0$$这是一个二次方程，可以通过求根公式求解。
设方程的两个根为$r_1$、$r_2$，则齐次方程的通解可以表示
为$$y_c(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}$$其中$C_1$、
$C_2$是待定的常数。
接下来要找特解。
特解的求解方法因方程的形式而异，常见的方法有常数变易法、待定系数法和特殊解法等。
具体的方法可以根据$f(t)$的形式来选择。
最后，将齐次解和特解相加，得到非齐次方程的通解$$y(t) =
y_c(t) + y_p(t)$$其中$y_p(t)$是特解。
二阶非齐次常微分方程
二阶非齐次常微分方程（建议阅读最新版本）预备知识二阶常系数齐次微分方程结论在二阶常系数齐次微分方程的右端加上一个函数 f(x)，就得到了二阶常系数非齐次微分方程\begin{align}&y'' + by' + cy = f(x)&(1)\\\end{align}这就是二阶常系数非齐次微分方程．其解为\begin{align}&y(x) = C_1 y_1 + C_2 y_2 - y_1\int\frac{y_2 f}{W} \,\mathrm{d}{x} + y_2\int \frac{y_1 f}{W} \,\mathrm{d}{x}&(2)\\\end{align}其中 W 可以写成二阶行列式 \begin{align}&W =\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix} = y_1 y'_2 - y'_1 y_2&(3)\\\end{align}其中 y_1, y_2, W, f 都是 x 的函数，后面的括号和自变量被省略．y_1(x) 和 y_2(x) 是对应齐次方程\begin{align}&y'' + by' + cy = 0&(4)\\\end{align}的两个线性无关的解．应用推导下面介绍的方法叫常数变易法，其主要思想可参考一阶线性非齐次微分方程的通解设通解的形式为\begin{align}&y = v_1 y_1 + v_2 y_2&(5)\\\end{align}其中，v_i 也是关于 x 的函数．对该式两边求导，得\begin{align}&y' = v'_1 y_1 + v'_2 y_2 + v_1 y'_1 +v_2 y'_2&(6)\\\end{align}为了接下来计算方便，我们规定 v_1， v_2 满足关系1\begin{align}&v'_1 y_1 + v'_2 y_2 = 0&(7)\\\end{align}把式 7 代入式 6 ，得到 \begin{align}&y' = v_1 y'_1 + v_2 y'_2&(8)\\\end{align}继续对求导，得到 \begin{align}&y'' = v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2 + v_1 y''_1 + v_2 y''_2&(9)\\\end{align}把式 5 式 8 式 9 代回原方程式 1 得 \begin{align}&(v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2 + v_1 y''_1 + v_2 y''_2) + b (v_1y'_1 + v_2 y'_2) + c(v_1 y_1 + v_2 y_2) =f&(10)\\\end{align}化简，得 \begin{align}&(v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2) + v_1 (a y''_1 + b y'_1 + c y_1) + v_2 (a y''_2 + b y'_2 + c y_2) = f&(11)\\\end{align}由于 y_1 和 y_2 都是式 4 的解，式（9）化为\begin{align}&v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2 =f&(12)\\\end{align}总结一下，刚刚的推导说明，和在（5）的假设条件下，只要满足（10）即可满足（1）式．联立（5）和（10）式，得到关于 v_1' 和 v_2' 的方程组 \begin{align}&\begin{cases}y_1 v'_1 + y_2 v'_2 = 0\\ y'_1 v'_1 + y'_2 v'_2 = f\end{cases}&(13)\\\end{align}解得 \begin{align}&\begin{cases} v_1' = -y_2f/W\\ v_2' = y_1 f/W \end{cases}&(14)\\\end{align}其中 \begin{align}&W = y_1 y'_2 - y_2 y'_1 =\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y'_1 & y'_2\end{vmatrix}&(15)\\\end{align}对（13）的两条式子积分，即可得到 \begin{align}&v_1 = - \int \frac{y_2 f}{W} \,\mathrm{d}{x} +C_1&(16)\\\end{align}\begin{align}&v_2 = \int \frac{y_1 f}{W}\,\mathrm{d}{x} + C_2&(17)\\\end{align}（15）（16）代入（5）式，得到方程（1）的解为\begin{align}&y(x) = C_1 y_1 + C_2 y_2 - y_1 \int\frac{y_2 f}{W} \,\mathrm{d}{x} + y_2 \int \frac{y_1 f}{W} \,\mathrm{d}{x}&(18)\\\end{align}由于上式满足线性微分方程解的结构，所这已经是通解了．但是必须注意，根据常数变易法，我们只能在没有零点的区间内找到方程式 1 的通解．1. 这么规定会不会丢失一部分解呢？或许会，但是由于我们已经有了式 1 对应的齐次解 y_1 和 y_2，根据线性微分方程解的结构（见同济大学的《高等数学》），只需要找到式 1 的任意一个解，就可以找到它的通解．。
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因
多项式 .
本质上为实函数 ,
均为 m 次实
小 结:
对非齐次方程
为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
则可设特解:
例4.
解: 本题
特征方程
不是特征方程的根,
的一个特解 .
故设特解为
代入方程得
比较系数 , 得 于是求得一个特解
例5.
解: 特征方程为 对应齐次方程的通解为
的一个特解.
代入方程 :
比较系数, 得
于是所求特解为
例2.
解: 本题
特征方程为
对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 比较系数, 得
因此特解为 所求通解为
的通解.
其根为
二、
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
第二步 求出如下两个方程的特解
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
为特征方程的单根 ,
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
其根为
的通解.
因此设非齐次方程特解为
内容小结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根,
则设特解为
为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
则设特解为
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
二阶常系数线性非齐次微分方程 : ①
根据解的结构定理 , 其通解为
齐次方程通解
非齐次方程特解
求特解的方法
— 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
一、
为实数 ,
设特解为
为 m 次多项式 . 其中 为待定多项式 ,
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根, Q (x) 为 m 次待定系数多项式 形式为
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
第二步 求如下两方程的特解
设 特解:
是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),
故 等式两边取共轭 :
为方程 ③ 的特解 .
② ③
则②有
第三步 求原方程的特解
原方程 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
均为 m 次多项式 .
第四步 分析
从而得到特解
则取
(2) 若 是特征方程的单根 ,
即
为m 次多项式, (3) 若 是特征方程的重根 ,
故特解形式为 即
是 m 次多项式,
故特解形式为
小结 对方程①,
当 是特征方程的 k 重根 时,
特解
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
可设
例1.
解: 本题
而特征方程为
不是特征方程的根 . 设所求特解为
提示:
时可设特解为