高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.5数学归纳法习题理
高考数学一轮复习 第11章 复数、算法、推理与证明章末总结分层演练 文
第11章复数、算法、推理与证明章末总结B．2D．14(2017·高考全国卷Ⅱ，T8，5分)执行如图的程序框图，如果输入的＝－1，则输出的S＝(B．3D．519，12分)如图，四面体是直角三角形，AB＝BD．若E为棱，求四面体ABCE与四面体ACDE一、选择题1．(选修12 P 61A 组T 5(4)改编)i 为虚数单位，则5i （2＋i ）等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：选D ．5i （2＋i ）＝5－1＋2i ＝5（－1－2i ）5＝－1－2i ．2．(选修12 P 33内文改编)有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为( )A ．3、4、2、1B ．4、2、1、3C ．2、3、1、4D ．1、3、2、4 解析：选B ．由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3．3．(选修12 P 30练习T 2改编)如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15，2)为( )13 16 16 110 13 110 115 1330 1330 115 121 12 1315 12 121…A ．2942B ．710C ．1724D ．73102解析：选C ．由数阵知A (3，2)＝16＋16＝16＋23×4，A (4，2)＝16＋16＋110＝16＋23×4＋24×5，A (5，2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5＋25×6，…，则A (15，2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝16＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－15＋…＋115－116＝16＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－116＝16＋2×1348＝1724，选项C 正确． 4．(必修3 P 34－35案例1改编)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C ．该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90，135＝90×1＋45，90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45，故选C ．二、填空题5．(选修12 P 61A 组T 3改编)ABCD 是复平面内的平行四边形，A 、B 、C 三点对应的复数分别为1＋2i ，－i ，2＋i ，O 为复平面原点，则|OD |＝________．解析：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 因为ABCD 是平行四边形， 所以AB →＝DC →，即－i －(1＋2i)＝(2＋i)－(x ＋y i)，即－1－3i ＝(2－x )＋(1－y )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－11－y ＝－3，解得x ＝3，y ＝4．所以D 点对应的复数为3＋4i ． 所以|OD |＝|3＋4i|＝5， 答案：56．(选修12 P 44B 组T 1改编)已知sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，则tan 2α＝________．解析：由sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，可得2sin α＝－cos α，所以tan α＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－43． 答案：－43三、解答题7．(选修12 P 35B 组T 1改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)．计算S 1、S 2、S 3，并猜想S n ．解：n ＝1时，S 1＝a 1＝－23．n ＝2时，S 2＋1S 2＋2＝a 2＝S 2－S 1＝S 2＋23，所以S 2＝－34．n ＝3时，S 3＋1S 3＋2＝a 3＝S 3－S 2＝S 3＋34，所以S 3＝－45，所以猜想S n ＝－n ＋1n ＋2． 8．(必修2 P 45探究、P 52B 组T 1(1)改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH．证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，所以BCHE为平行四边形．所以BE∥CH．又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH．同理BG∥平面ACH．又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH．(3)证明：连接FH．因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG．又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD．又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG．同理DF⊥BG．又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG．。
高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第1讲算法初步讲义理
1．算法的含义与程序框图(1)算法：算法是指按照□01一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．(2)程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或n个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．(3)算法框图的图形符号及其功能2．三种基本逻辑结构及相应语句续表1．概念辨析(1)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构(选择结构)和循环结构．()(2)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．()(3)在算法语句中，X＝X＋1是错误的．()(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)根据给出的程序框图(如图)，计算f(－1)＋f(2)＝()A．0 B．1 C．2 D．4答案 A解析 f (－1)＝4×(－1)＝－4，f (2)＝22＝4，∴f (－1)＋f (2)＝－4＋4＝0. (2)计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )a ＝1b ＝3a ＝a ＋bb ＝a －bPRINT a ，b ENDA ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,0 答案 B解析 读程序可知a ＝1＋3＝4，b ＝4－3＝1.(3)已知输入实数x ＝12，执行如图所示的流程图，则输出的x 是( )A ．25B ．102C ．103D ．51 答案 C解析 输入x ＝12，经过第一次循环得到x ＝2×12＋1＝25，n ＝2，经过第二循环得到x ＝2×25＋1＝51，n ＝3，经过第三次循环得到 x＝2×51＋1＝103，n ＝4，此时输出x ，故选C.(4)按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为( )A ．k ≥16B ．k ＜8C ．k ＜16D ．k ≥8 答案 A解析 程序运行过程中，各变量的值如下表所示：故退出循环的条件应为k≥16，故选A.题型一顺序结构和条件结构1．阅读如图所示程序框图．若输入x为3，则输出的y值为()A．24 B．25 C．30 D．40答案 D解析a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40. 2．(2017·江苏高考)下图是一个算法流程图．若输入x的值为116，则输出y的值是________．答案 －2解析 输入x ＝116，116≥1不成立，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.输出y 的值为－2.条件探究 将举例说明2中“输入x ”改为“输出y ”，求输入的x 的值． 解 略应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.定义运算a ⊗b 的结果为执行如图所示的程序框图输出的S ，则⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－1 答案 A解析 由程序框图可知，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a －b ，a ≥b ，b a ＋1，a <b ，因为2cos 5π3＝1,2tan 5π4＝2,1<2，所以⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4＝2×(1＋1)＝4.题型 二 循环结构角度1 由程序框图求输出(输入)结果1．(2019·烟台模拟)执行如图所示的程序框图，输出的n 值为( )A ．6B ．7C ．8D ．12 答案 C解析 由程序框图可知，第一次循环：S ＝13，n ＝2；第二次循环：S ＝13＋⎝⎛⎭⎫132，n ＝3；第三次循环：S ＝13＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133，n ＝4；……第六次循环：S ＝13＋…＋⎝⎛⎭⎫136＝1－17292<10082017，n ＝7； 第七次循环：S ＝13＋…＋⎝⎛⎭⎫137＝1－121872>10082017，n ＝8. 故终止循环，输出n ＝8.故选C.角度2 完善程序框图2．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案 B解析 由S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i ＝i ＋2，选B.角度3 逆向求解问题3．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 假设N ＝2，程序执行过程如下： t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出S ＝90＜91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是最小值．故选D.1．循环结构程序框图求输出结果的方法解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；第二，要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化； 第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 2．程序框图补全问题的求解方法 (1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止； (3)根据此时各个变量的值，补全程序框图.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n －2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1000？和n ＝n ＋1B ．A >1000？和n ＝n ＋2C ．A ≤1000？和n ＝n ＋1D ．A ≤1000？和n ＝n ＋2 答案 D解析 因为题目要求的是“满足3n －2n ＞1000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n ，所以内填入“A ≤1000？”．故选D.2．(2018·洛阳三模)定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3，下图的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出a ＝( )A ．9B ．16C ．23D ．30 答案 C解析 由程序框图得k ＝1，a ＝9，a －3·⎣⎡⎦⎤a 3＝0≠2；k ＝2，a ＝16，a －3·⎣⎡⎦⎤a 3＝1≠2；k ＝3，a ＝23，a －3·⎣⎡⎦⎤a 3＝2，a －5·⎣⎡⎦⎤a 5＝3，退出循环体，所以输出a ＝23，故选C. 3．(2018·东北三省四市模拟)庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述．如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，则输入的n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 C解析 第一次循环得S ＝12，k ＝2；第二次循环得S ＝34，k ＝3；第三次循环得S ＝78，k ＝4；第四次循环得S ＝1516，k ＝5；第五次循环得S ＝3132∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，k ＝6，此时满足题意，退出循环，所以输入的n 值为5，故选C.题型 三 基本算法语句1．根据如图算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )A ．25B ．30C ．31D ．61 答案 C解析 该语句表示分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6x －50，x >50，当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝31. 故输出y 的值为31.2．如图程序执行后输出的结果是________．答案 990解析 程序反映出的算法过程为 i ＝11⇒S ＝11×1，i ＝10； i ＝10⇒S ＝11×10，i ＝9； i ＝9⇒S ＝11×10×9，i ＝8；i ＝8<9，退出循环，执行“PRINT S ”． 故S ＝990.1．解决算法语句的三步骤(1)通读全部语句，把它翻译成数学问题； (2)领悟该语句的功能；(3)根据语句的功能运行程序，解决问题． 2．算法语句应用的四关注(2018·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.答案7解析S＝1，I＝1；1<8，S＝3，I＝4；4<8，S＝5，I＝7；7<8，S＝7，I＝10；10>8，终止循环，输出S＝7.。
高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 11.5 数学归纳法学案 理-人教版高三全册数学
11.5 数学归纳法[知识梳理] 数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： 1．(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；2．(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．[诊断自测] 1．概念思辨(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( )(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( )(3)用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1左边应添加的项为(k ＋1)2.( )(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(选修A2－2P 99B 组T 1)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n ＝3.故选C.(2)(选修A2－2P 96T 1)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立时，其初始值至少应取( )A．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.3．小题热身(1)已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 分母为首项为n ，公差为1的等差数列，故f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，1n ＝12，1n 2＝14，故f (2)＝12＋13＋14.故选D. (2)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．答案 2k ＋1解析 由于步长为2，所以2k －1后一个奇数应为2k ＋1.题型1 用数学归纳法证明恒等式典例 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n ＝k 时等号成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立． 方法技巧数学归纳法证明等式的思路和注意点1．思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．2．注意点：由n ＝k 时等式成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．提醒：归纳假设就是证明n ＝k ＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法．冲关针对训练 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(其中n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝12×4＝18，等式右边＝14(1＋1)＝18，∴等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立． 即12×4＋14×6＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)成立，那么当 n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]，即n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *等式均成立． 题型2 用数学归纳法证明不等式典例 已知数列{a n }，当n ≥2时，a n <－1，又a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ，求证：当n ∈N *时，a n ＋1<a n .证明 (1)当n ＝1时，∵a 2满足a 22＋a 2－1＝0，且a 2<0， ∴a 1>a 2.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1<a k ，∵a 2k ＋1－a 2k ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1<a k ≤0，∴a 2k ＋1－a 2k >0. 又a k ＋2＋a k ＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴a k ＋2－a k ＋1<0， ∴a k ＋2<a k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，当n ∈N *时，a n ＋1<a n . 方法技巧应用数学归纳法证明不等式应注意的问题1．适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．2．关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．冲关针对训练已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x )≥18. (1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1.解 (1)由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a26.又f (x )max ≤16，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a 26≤16.所以a 2≤1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x )≥18，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥18，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≥18，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明：用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立．因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，0<f (x )≤16， 所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13.故n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a k <1k ＋1成立．由(1)知a ＝1，f (x )＝x －32x 2，因为f (x )＝x －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13时，f (x )为增函数． 所以由0<a k <1k ＋1≤13， 得0<f (a k )<f ⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1.于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何n ∈N *，不等式a n <1n ＋1成立．1．(2016·武陵期末)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中两项，但又少了一项1k ＋1 D ．增加了A 中一项，但又少了一项1k ＋1答案 C解析 当n ＝k 时，左端＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 那么当n ＝k ＋1时，左端＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)， 故第二步由k 到k ＋1时不等式左端的变化是增加了两项，同时减少了1k ＋1这一项．故选C.2．(2017·珠海期末)《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，反映这个命题本质的式子是( )A ．1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12nB.12＋122＋…＋12n <1C.12＋122＋…＋12n ＝1 D.12＋122＋…＋12n >1 答案 B解析 根据已知可得每次截取的长度构造一个以12为首项，以12为公比的等比数列，∵12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1， 故反映这个命题本质的式子是12＋122＋…＋12n <1.故选B.3．(2017·北京西城区期末)若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)>a (n ∈N *)恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n， 则f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1)， 则f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0， ∴数列f (n )是关于n (n ∈N *)的递增数列， ∴f (n )≥f (1)＝12，∵不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n >a (n ∈N *)恒成立，∴a <12，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 4．(2016·桥西期末)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是________．答案 4k ＋2解析 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．故答案为4k ＋2.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2016·安庆高三月考)用数学归纳法证明2n >n 2(n ≥5，n ∈N *)，第一步应验证( ) A ．n ＝4 B ．n ＝5 C ．n ＝6 D ．n ＝7 答案 B解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证n 取第一个值时命题成立，又n ≥5，故第一步验证n ＝5.故选B.2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2.故选B.3．(2018·沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故选A.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A．30 B．26 C．36 D．6答案 C解析∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明如下：当n＝1,2时，由以上得证．假设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k ＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k＋1)能被36整除．∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m的值为36.5．(2017·泉州模拟)用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k答案 C解析因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋(3k)＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选C.6．(2018·太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 ( )A．n＋1 B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．故选C.7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ；正方形数N (n,4)＝n 2； 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ；六边形数N (n,6)＝2n 2－n .可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝( ) A ．500 B ．1000 C ．1500 D ．2000 答案 B解析 由已知得，N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，根据归纳推理可得，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n .所以N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选B.8．若数列{a n }满足a n ＋5a n ＋1＝36n ＋18，n ∈N *，且a 1＝4，猜想其通项公式为( ) A ．3n ＋1 B ．4n C ．5n －1 D ．6n －2 答案 D解析 由a 1＝4求得a 2＝10，a 3＝16，经检验a n ＝6n －2.故选D. 二、填空题9．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝______.答案12n＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n解析 S n ＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n . 10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.答案 3n 2－3n ＋1解析 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， 推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f (n )＝3n 2－3n ＋1.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______.答案nn ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.12．(2018·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.三、解答题13．(2017·河南期末)设等差数列{a n }的公差d >0，且a 1>0，记T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1.(1)用a 1，d 分别表示T 1，T 2，T 3，并猜想T n ； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 解 (1)T 1＝1a 1a 2＝1a 1(a 1＋d )；T 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 3＝2a 1a 3＝2a 1(a 1＋2d )；T 3＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 4＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 4＝3a 1a 4＝3a 1(a 1＋3d )；由此可猜想T n ＝na 1(a 1＋nd ).(2)证明：①当n ＝1时，T 1＝1a 1(a 1＋d )，结论成立，②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立， 即T k ＝ka 1(a 1＋kd )，则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝T k ＋1a k ＋1a k ＋2＝ka 1(a 1＋kd )＋1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k [a 1＋(k ＋1)d ]＋a 1a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝(a 1＋kd )(k ＋1)a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k ＋1a 1[a 1＋(k ＋1)d ].即n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，T n ＝1a 1(a 1＋nd )对于一切n ∈N *恒成立．14．(2017·扬州模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3×2n －2(n ∈N *)．(1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n ·n ！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论． 解 (1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3×2n －12－1，∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1>0，∴a n ＋1＝a n ＋12.(2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1>b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3<b 3. 猜想：当n ≥3时，a n <b n ， 下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由上知，a 3<b 3，结论成立． ②假设n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k <b k 成立， 即a k <1－2k ·k ！， 则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋12<2－2k ·k ！2＝1－1k ·k ！，b k ＋1＝1－2(k ＋1)·(k ＋1)！， 要证a k ＋1<b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎫1－1k ·k ！2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1－1k ·k ！<1－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2，即证明1k ·k ！－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，即证明 (k －1)2k (k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，显然成立．∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n <b n 成立．综上可得，当n ＝1时，a 1>b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2； 当n ≥3，n ∈N *时，a n <b n .15．(2018·上饶模拟)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n 且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解 (1)设a n 的首项为a 1，∵a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2·a 5＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.∵n ＝1时，b 1＝T 1＝1－12b 1，∴b 1＝23.n ≥2时，T n ＝1－12b n ①，T n －1＝1－12b n －1②，①－②得b n ＝13b n －1数列是等比数列．∴b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .(2)S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2，以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，1b 4>S 5，猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2，那么，n ＝k ＋1时， 1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1. 综合①②，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.16．(2018·合肥模拟)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．解 (1)证明：用数学归纳法证明2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f (2)－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3. (2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n .设b n ＝x n －3， 则1b n ＋1＝5b n ＋1，即1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1.故数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。
近年高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3合情推理与演绎推理课后作业理(2021年
2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3 合情推理与演绎推理课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3 合情推理与演绎推理课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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11。
3 合情推理与演绎推理[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名;观众乙猜测：3号选手不可能得第一名;观众丙猜测：1,2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案D解析若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确,与题意不符,故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名,故3号是第1名，则乙猜测错误,丁猜测正确．故选D。
2．已知a1＝3，a2＝6,且a n＋2＝a n＋1－a n，则a2016＝( ）A．3 B．－3 C．6 D．－6答案B解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3,a4＝－3,a5＝－6，a6＝－3，a7＝3,…，∴｛a n｝是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a2016＝a6＝－3.故选B。
2020版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第3讲课后作业理含解析
高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明：第11章 算法复数推理与证明 第3讲A 组 基础关1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )c ＝a (b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m ||n |”类比得到“|a ·b |＝|a ||b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·cb ·c ＝ab”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ∵向量的数量积满足交换律，∴①正确； ∵向量的数量积满足分配律，∴②正确； ∵向量的数量积不满足结合律，∴③不正确； ∵向量的数量积不满足消去律，∴④不正确； 由向量的数量积公式，可知⑤不正确； ∵向量的数量积不满足消去律，∴⑥不正确； 综上知，正确的个数为2个，故B 正确．2．在用演绎推理证明通项公式为a n ＝cq n(cq ≠0)的数列{a n }是等比数列的过程中，大前提是( )A ．a n ＝cq nB.a na n －1＝q (n ≥2)C ．若数列{a n }满足a n ＋1a n(n ∈N *)是常数，则{a n }是等比数列 D ．若数列{a n }满足a n ＋1a n(n ≥2)是常数，则{a n }是等比数列 答案 C解析 证明一个数列是等比数列的依据是等比数列的定义，其公式表示为a n ＋1a n(n ∈N *)或a na n －1(n ≥2)是常数． 3．(2018·江西南昌模拟)已知13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622,13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222,13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3025，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n 3时，等号右边的数为⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋122，因此，令⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122＝3025，则n n ＋12＝55，n ＝10或n ＝－11(舍去)．4.(2018·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217 D ．3 5答案 B解析 利用类比的方法，在空间中，点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离d ′＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，所以点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离d ＝2＋8＋2＋31＋4＋4＝153＝5.5．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2017到2019的箭头方向是( )答案 B 解析看作一个循环体，又因为2016＝504×4.所以从2017到2019的箭头方向是.6．(2018·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12 B.5－12 C.1＋52 D.1－52答案 C解析 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍去，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 7．(2018·陕西一模)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知，四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中R 的求解过程可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V ＝V 四面体S －ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.故选C.8．(2018·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.答案 2πr 4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr ，即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝43πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.9．(2018·重庆调研)甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书．答案 丙解析 因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．10．已知点A (x 1，a x1)，B (x 2，a x2)是函数y ＝a x的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上任意不同的两点，则类似地有______________成立．答案sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22解析 由题意知，点A ，B 是函数y ＝a x的图象上任意不同的两点，该函数是一个变化率逐渐变大的函数，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有成立；而函数y ＝sin x (x ∈(0，π))，其变化率逐渐变小，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论sin x 1＋sin x 22<sinx 1＋x 22.B 组 能力关1．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3,5，第三行为7,9,11，第四行为13,15,17,19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为a i ，j ，比如a 3,2＝9，a 4,2＝15，a 5,4＝23，若a i ，j ＝2019，则i ＋j ＝( )1 3 5 11 9 7 13 15 17 19 29 27 25 23 21……A ．64B ．65C ．71D ．72 答案 C解析 根据数表排列可得，第1行到第i 行末共有1＋2＋…＋i ＝i 1＋i2个奇数，所以第1行到第44行末共有990个奇数，到第45行末共有1035个奇数，又(2019＋1)÷2＝1010，即2019是第1010个奇数， 所以2019在第45行，即i ＝45.因为第45行第一个奇数是整体数表的第991个数，即为991×2－1＝1981，所以1981＋2(x －1)＝2019，解得x ＝20，又第45行奇数从右到左依次递增，所以j ＝45＋1－20＝26，所以i ＋j ＝71. 2．已知f (x )＝2x2－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝ f n －1[f n －1(x )](n >1，n ∈N *)，若f m (x )＝x1－256x(m ∈N *)，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．126 答案 B解析 由题意可得f 2(x )＝f 1[f 1(x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x ＝2×2x 2－x 2－2x 2－x ＝x 1－x ，同理可得，f 3(x )＝x 1－2x ，f 4(x )＝x1－4x，f 5(x )＝x 1－8x ，…，f n (x )＝x1－2n －2x，由f m (x )＝x1－256x (m ∈N *)恒成立，可得2m －2＝256＝28，即有m －2＝8，即m ＝10.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，试归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2n n ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2n n ＋2答案 A解析 ∵S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1·S n －1，又S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1，故选A. 4．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 答案 D解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.5．(2018·黑龙江检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则________________成等比数列．答案 T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12解析 设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1， 则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66， T 16＝b 161q1＋2＋…＋15＝b 161q 120， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38，T 16T 12＝b 41q 54， 故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 6．如图，平面上，点A ，C 为射线PM 上的两点，点B ，D 为射线PN 上的两点，则有S △PAB S △PCD＝PA ·PBPC ·PD(其中S △PAB ，S △PCD 分别为△PAB ，△PCD 的面积)；空间中，点A ，C 为射线PM 上的两点，点B ，D 为射线PN 上的两点，点E ，F 为射线PL 上的两点，则有V P －ABEV P －CDF＝________(其中V P －ABE ，V P －CDF 分别为四面体P －ABE ，P －CDF 的体积)．答案PA ·PB ·PEPC ·PD ·PF解析 设PM 与平面PDF 所成的角为α，则A 到平面PDF 的距离h 1＝PA sin α，C 到平面PDF 的距离h 2＝PC sin α，∴V P －ABE ＝V A －PBE＝13S △PBE ·h 1， V P －CDF ＝V C －PDF ＝13S △PDF ·h 2，∴V P －ABE V P －CDF ＝13S △PBE ·h 113S △PDF ·h 2＝13PB ·PE ·PA sin α13PD ·PF ·PC sin α＝PA ·PB ·PEPC ·PD ·PF.7．如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是________．答案 341解析 边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，…，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋2×8×92＝341，故所求总数为341.8．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为20192的格点的坐标为________．答案 (1010,1009) 解析 观察已知图形可知， 点(1,0)处标1，即12，点(2,1)处标9，即32，点(3,2)处标25，即52，……由此推断，点(n＋1，n)处标(2n＋1)2.当2n＋1＝2019时，n＝1009，故标签为20192的格点的坐标为(1010,1009)．。
近年高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.2数系的扩充与复数的引入学案理(2021年
2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.2 数系的扩充与复数的引入学案理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.2 数系的扩充与复数的引入学案理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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11.2 数系的扩充与复数的引入［知识梳理]1．复数的有关概念2．复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即（1）复数z＝a＋b i复平面内的点Z（a,b）（a，b∈R）．（2）复数z＝a＋b i（a，b∈R）平面向量错误!。
3．复数代数形式的四则运算（1）运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R）,则（2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z＋z1，（z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3）．2（3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2,z3∈C，有z·z2＝z2·z1,（z1·z2)·z3＝z1·（z2·z3）,z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.1（4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量错误!，错误!不共线，则复数z1＋z2是以错误!，错误!为两邻边的平行四边形的对角线错误!所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z1－z2是错误!－错误!＝错误!所对应的复数．4．模的运算性质：①｜z|2＝|错误!|2＝z·错误!；②｜z1·z2|＝｜z1|｜z2｜；③错误!＝错误!。
第十一章 算法、框图、复数、推理与证明11-4数学归纳法(理)
证明：①n＝1 时，左边＝1<2＝右边，结论成立． ②假设 n＝k (k∈N＋)时，结论成立， 1 1 1 即 1＋ ＋ ＋„＋ <2 k， 2 3 k
1 1 1 1 则当 n＝k＋1 时，1＋ ＋ ＋„＋ ＋ 2 3 k k＋1 2 k· k＋1＋1 k＋(k＋1)＋1 1 <2 k＋ ＝ < k＋1 k＋1 k＋1 ＝2 k＋1结论也成立． 由①②知，原不等式成立．
当n＝3时，D3为Rt△OAB3的内部包括斜边， 这时a3＝9，„， 由此可猜想an＝3n. 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，猜想显然成立． ②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝ 3k(k∈N*)， 将不等式y≤－k(x－3)，k∈N*化为≤3－x， k∈N*，可知取整点时x＝1或2.平面区域Dk 为Rt△OABk的内部包括斜边、平面区域Dk＋ 1为Rt△OABk＋1内部包括斜边，
1 1 1 1 1 n∈N ，求证：1－2＋3－4＋„＋ － 2n－1 2n
*
1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋2n. n＋1 n＋2
n＋11 分析：本题左边表达式为数列 (－1) n 的前
2n
项和．
1 1 1 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－ ＝ ，右边＝ ＝ 2 2 1＋1 1 2.左边＝右边． 1 1 1 1 (2)假设 n＝k 时等式成立， 1－2＋3－4＋„＋ 即 2k－1 1 1 1 1 － ＝ ＋ ＋„＋ ，则当 n＝k＋1 时， 2k k＋1 k＋2 2k
证明：(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两 个部分， 又f(1)＝12－1＋2＝2，所以n＝1时，命题成 立． (2)假设n＝k时命题成立，即平面内满足条 件的k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部 分． 则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆中的每 一个各有两个交点，又无三圆相交于同一点， 故共得2k个交点，这2k个交点把第k＋1个圆 分成2k条圆弧，每条圆弧把原来所在的区域 一分为二，所以平面的区域增加2k个，即f(k ＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－
高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第3讲作业课件理
5 21 C. 7
D．3 5
答案 B
12/11/2021
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答案
解析 利用类比的方法，在空间中，点(x0，y0，z0)到直线 Ax＋By＋Cz＋ D＝0 的距离 d′＝|Ax0＋AB2＋y0＋B2C＋zC0＋2 D|，所以点(2,4,1)到平面 x＋2y＋2z＋3＝0 的距离 d＝2＋18＋＋42＋＋43＝135＝5.
答案 T4，TT48，TT182，TT1162
12/11/2021
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答案
解析 设等比数列{bn}的公比为 q，首项为 b1， 则 T4＝b41q6，T8＝b81q1＋2＋…＋7＝b81q28， T12＝b112q1＋2＋…＋11＝b112q66， T16＝b116q1＋2＋…＋15＝b116q120， ∴TT84＝b41q22，TT182＝b41q38，TT1162＝b41q54， 故 T4，TT84，TT182，TT1162成等比数列．
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1 35 11 9 7 13 15 17 19 29 27 25 23 21 …… A．64 B．65 C．71 D．72
答案 C
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答案
解析 根据数表排列可得，第 1 行到第 i 行末共有 1＋2＋…＋i＝i1＋2 i个 奇数，所以第 1 行到第 44 行末共有 990 个奇数，到第 45 行末共有 1035 个奇 数，
即 m＝10. 12/11/2021
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解析
3．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，试归纳 猜想出 Sn 的表达式为( )
2019-2020年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.3合情推理与演绎推理学案理
2019-2020年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.3合情推理与演绎推理学案理[知识梳理]1．推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．(2)分类：推理一般分为合情推理与演绎推理．2．合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．(2)分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理．(3)归纳和类比推理的定义、特征3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．[诊断自测]1．概念思辨(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．教材衍化(1)(选修A2－2P 75例题)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10为( )A ．28B ．76C ．123D ．199 答案 C解析 记a n＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.故选C.(2)(选修A2－2P 84A 组T 5)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 8解析 设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1， 则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q1＋2＋…＋11＝b 121q 66， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 8T 42＝T 12T 8·T 4，故T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列．故答案为T 8T 4，T 12T 8. 3．小题热身(1)(xx·厦门模拟)已知圆：x 2＋y 2＝r 2上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比以上结论，有双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为________．答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设圆上任一点为(x 0，y 0)，把圆的方程中的x 2，y 2替换为x 0x ，y 0y ，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任一点为(x 0，y 0)，则切线方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1(这个结论是正确的，证明略)．(2)(xx·陕西高考)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为________．答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 观察已知等式可知，第n 个等式左边共有2n 项，其中奇数项为12n －1，偶数项为－12n ，等式右边共有n 项，为等式左边后n 项的绝对值之和，所以第n 个等式为1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12).题型1 类比推理典例 已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过点P 的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py，所以过点P的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．注意题意要求，类比上述方法求切线． 答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过点P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0.方法技巧1．类比推理的四个角度和四个原则 (1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比： ①类比定义：如等差、等比数列的定义；②类比性质：如椭圆、双曲线的性质；③类比方法：如基本不等式与柯西不等式；④类比结构：如三角形内切圆与三棱锥内切球．(2)四个原则①长度类比面积；②面积类比体积；③平面类比空间；④和类比积，差类比商．见典例．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．常见类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．冲关针对训练(xx·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．答案465解析类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得，因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.题型2 归纳推理角度1 与数字有关的归纳推理典例(xx·石家庄模拟)如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为( )131 61 61 10131101 15133013301151 2112131512121……A.2942 B.710 C.1724 D.73102答案 C解析 观察题中所给的数阵，可以看出从第三行开始，每行第二个数等于它肩上的两个数的和，所以A (15,2)＝16＋16＋110＋115＋121＋…＋1120＝16＋2×( 112＋120＋130＋142＋…＋1240) ＝16＋2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×4＋14×5＋15×6＋16×7＋…＋115×16 ＝16＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－15＋15－16＋…＋115－116＝16＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－116＝1724.故选C. 角度2 与式子有关的归纳推理典例 (xx·山东高考)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2 ＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2 ＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 分析等式右边的结构规律． 答案4n (n ＋1)3解析 观察前4个等式，由归纳推理可知⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2 ＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.角度3 与图形有关的归纳推理典例 如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18个火柴，……，则第xx 个图形用的火柴根数为( )A ．xx×2019B ．xx×xxC ．xx×2019D ．3027×2019答案 D解析 由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1； 第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)； 第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)； ……由此，可以推出，第n 个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n )．所以第xx 个图形所需火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋xx)＝3×2018×(1＋2018)2＝3027×2019，故选D.方法技巧归纳推理问题的常见类型及解题策略1．与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．见角度1典例．2．与式子有关的归纳推理(1)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (2)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．见角度2典例．3．与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．见角度3典例．冲关针对训练某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图，n 级分形图中共有________条线段．答案 3×2n－3解析 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n－3.题型3 演绎推理典例 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，将已知a n ＋1＝n ＋2nS n 中的a n ＋1用S n ＋1－S n 表示． 证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 方法技巧三段论的应用1．三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .2．应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．冲关针对训练(xx·厦门模拟)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明： (1)a >0且－2<b a<－1；(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根． 证明 (1)因为f (0)>0，f (1)>0， 所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0，所以－2<b a<－1.(2)因为抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，3ac －b 23a ，又因为－2<b a <－1，所以13<－b 3a <23.因为f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ＝3ac －b 23a ＝－a 2＋c 2－ac 3a＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c 22＋3c243a<0，所以方程f (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 3a 与⎝ ⎛⎭⎪⎫－b3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．1．(xx·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩答案 D解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.2．(xx·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误．故选B.解法二：设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球．依题意知，甲盒中有(n－k)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有(k－s)个，丙盒中共有(n－k)个球，其中红球有(n－k－s)个，黑球有(n－k)－(n－k－s)＝s个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.3．(xx·石家庄模拟)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ 3163V，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A．d≈36031V B．d≈32VC．d≈3158V D．d≈32111V答案 D解析 由V ＝4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫d 23，解得d ＝36V π，选项A 代入得π＝31×660＝3.1；选项B 代入得π＝62＝3；选项C 代入得π＝6×815＝3.2；选项D 代入得π＝11×621＝3.142857.由于D 的值最接近π的真实值．故选D. 4．(xx·湖北七市联考)观察下列等式 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________________________. 答案1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) 解析 观察所给等式的左侧和右侧并归纳推理，等式右边的因式应为n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)，系数为15×24＝1120.可以得到答案．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(xx·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案 D解析 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名，故3号是第1名，则乙猜测错误，丁猜测正确．故选D.2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a xx ＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6 答案 B解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又xx ＝6×335＋6，∴a xx ＝a 6＝－3.故选B.3．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式： x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x3≥4，…，类比有x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝( ) A ．n B ．2n C ．n 2D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n.故选D.4．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…， 那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.故选D.5．(xx·阳山一模)下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 答案 C解析 对于A ，“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B ，“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C ，将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c ”是正确的；对于D ，“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n＋b n ”是错误的，如(1＋1)2＝12＋12.故选C.6．(xx·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a xx ＝( ) A ．502 B ．503 C ．504 D ．505 答案 D解析 由a 1，a 3，a 5，a 7，…组成的数列恰好对应数列{x n }，即x n ＝a 2n －1，当n 为奇数时，x n ＝n ＋12.所以a xx ＝x 1009＝505.故选D.7．(xx·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12 B.5－12 C.1＋52 D.1－52答案 C解析 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 8．(xx·陕西一模)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知，四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中R 的求解过程可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V ＝V 四面体S －ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.故选C.9．(x x·鹰潭模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]＝3.S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，…，依此规律，那么S 10等于( ) A ．210 B ．230 C ．220 D ．240 答案 A解析 ∵[x ]表示不超过x 的最大整数， ∴S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝1×3＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7＝21，……，S n ＝[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[n 2＋2n －1]＋[n 2＋2n ]＝n ×(2n ＋1)，∴S 10＝10×21＝210.故选A.10．(xx·龙泉驿区模拟)对于问题：“已知两个正数x ，y 满足x ＋y ＝2，求1x ＋4y的最小值”，给出如下一种解法：∵x ＋y ＝2，∴1x ＋4y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ， ∵x >0，y >0，∴y x＋4x y≥2y x ·4xy＝4， ∴1x ＋4y ≥12(5＋4)＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝4x y，x ＋y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝43时，1x ＋4y 取最小值92.参考上述解法，已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则1A ＋9B ＋C 的最小值为( )A.16π B.8π C.4π D.2π答案 A解析 A ＋B ＋C ＝π，设A ＝α，B ＋C ＝β，则α＋β＝π，α＋βπ＝1，参考题干中解法，则1A ＋9B ＋C ＝1α＋9β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋9β·(α＋β)1π＝1π⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋βα＋9αβ≥1π(10＋6)＝16π，当且仅当βα＝9αβ，即3α＝β时等号成立．故选A.二、填空题11．(xx·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________； (2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设A 1(xA 1，yA 1)，B 1(xB 1，yB 1)，线段A 1B 1的中点为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝yA 1＋yB 1＝2y 1.因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．又p 1＝yA 1＋yB 1xA 1＋xB 1＝2y 12x 1＝y 1x 1＝y 1－0x 1－0，其几何意义为线段A 1B 1的中点E 1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p 1，p 2，p 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p 2最大．12．(xx·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.答案 2πr 4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr ，即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝43πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.13．(xx·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .答案172解析 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x2×3；第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x3×4；……第8关收税金：x 8×9＝x72. 14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b xx 是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)． 答案 (1)5040 (2)5k (5k －1)2解析 观察知这些三角形数满足a n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，当n ＝5k －1或n ＝5k ，k ∈N *时，对应的三角形数是5的倍数，为数列{b n }中的项，将5k －1和5k 列为一组，所以b xx 是第1008组的后面一项，即b xx 是数列{a n }中的第5×1008＝5040项；b 2k －1是第k 组的前面一项，是数列{a n }中的第5k －1项，即b 2k －1＝a 5k －1＝5k (5k －1)2.三、解答题15．(xx·未央区期中)阅读以下求1＋2＋3＋…＋n 的值的过程： 因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1…22－12＝2×1＋1以上各式相加得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比上述过程，求12＋22＋32＋…＋n 2的值． 解 ∵23－13＝3·22－3·2＋1， 33－23＝3·32－3·3＋1，…，n 3－(n －1)3＝3n 2－3n ＋1，把这n －1个等式相加得n 3－1＝3·(22＋32＋…＋n 2)－3·(2＋3＋…＋n )＋(n －1)， 由此得n 3－1＝3·(12＋22＋32＋…＋n 2)－3·(1＋2＋3＋…＋n )＋(n －1)， 即12＋22＋…＋n 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3－1＋32n (n ＋1)－(n －1).16．(xx·南阳模拟)我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{a n }、{b n }是两个等差数列，它们的前n 项的和分别是S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(1)请你证明上述命题；(2)请你就数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．解 (1)证明：在等差数列{a n }中，a n ＝a 1＋a 2n －12(n ∈N *)，那么对于等差数列{a n }、{b n }有：a nb n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(a 1＋a 2n －1)(2n －1)12(b 1＋b 2n －1)(2n －1)＝S 2n －1T 2n －1. (2)猜想：数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，它们的前n 项的积分别是X n ，Y n ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a n b n 2n －1＝X 2n －1Y 2n －1. 证明：在等比数列{a n }中，a 2n ＝a 1a 2n －1＝a 2a 2n －2＝…(n ∈N *)， (a n )2n －1＝a 1a 2a 3…a 2n －1(n ∈N *)，那么对于等比数列{a n }、{b n }有⎝ ⎛⎭⎪⎫a n b n 2n －1＝a 1a 2a 3…a 2n －1b 1b 2b 3…b 2n －1＝X 2n －1Y 2n －1.2019-2020年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.3合情推理与演绎推理课后作业文一、选择题1．(xx·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案 D解析 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名，故3号是第1名，则乙猜测错误，丁猜测正确．故选D.2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a xx ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6 答案 B解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又xx ＝6×335＋6，∴a xx ＝a 6＝－3.故选B.3．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式： x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x3≥4，…，类比有x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝( ) A ．n B ．2n C ．n 2D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n.故选D.4．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫1368 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…， 那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.故选D.5．(xx·阳山县校级一模)下面使用类比推理恰当的是( ) A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ” B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ” C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 答案 C解析 对于A“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C 将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋b c”是正确的；对于D“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n”是错误的；如(1＋1)2＝12＋12.故选C.6．(xx·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a xx ＝( ) A ．502 B ．503 C ．504 D ．505 答案 D解析 由a 1，a 3，a 5，a 7，…组成的数列恰好对应数列{x n }，即x n ＝a 2n －1，当n 为奇数时，x n ＝n ＋12.所以a xx ＝x 1009＝505.故选D.7．(xx·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12 B.5－12 C.1＋52 D.1－52答案 C解析 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 8．(xx·陕西一模)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ，类比这个结论可知，四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中R 的求解过程可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V ＝V 四面体S －ABC＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.故选C.9．(xx·鹰潭模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]＝3.S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，…依此规律，那么S 10等于( ) A ．210 B ．230 C ．220 D ．240 答案 A解析 ∵[x ]表示不超过x 的最大整数， ∴S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝1×3＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7＝21，…S n ＝[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[n 2＋2n －1]＋[n 2＋2n ]＝n ×(2n ＋1)，∴S 10＝10×21＝210.故选A.10．(xx·龙泉驿区模拟)对于问题：“已知两个正数x ，y 满足x ＋y ＝2，求1x ＋4y的最小值”，给出如下一种解法：∵x ＋y ＝2，∴1x ＋4y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ， ∵x >0，y >0，∴y x＋4x y≥2y x ·4xy＝4， ∴1x ＋4y ≥12(5＋4)＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝4x y，x ＋y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝43时，1x ＋4y 取最小值92.参考上述解法，已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则1A ＋9B ＋C 的最小值为( )A.16πB.8πC.4πD.2π 答案 A解析 A ＋B ＋C ＝π，设A ＝α，B ＋C ＝β，则α＋β＝π，α＋βπ＝1，参考题干中解法，则1A ＋9B ＋C ＝1α＋9β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋9β·(α＋β)1π＝1π⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋βα＋9αβ≥1π(10＋6)＝16π，当且仅当βα＝9αβ，即3α＝β时等号成立．故选A.二、填空题11．(xx·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________． (2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设A 1(xA 1，yA 1)，B 1(xB 1，yB 1)，线段A 1B 1的中点为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝yA 1＋yB 1＝2y 1.因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．又p 1＝yA 1＋yB 1xA 1＋xB 1＝2y 12x 1＝y 1x 1＝y 1－0x 1－0，其几何意义为线段A 1B 1的中点E 1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p 1，p 2，p 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p 2最大．12．(xx·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.答案 2πr 4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr, 即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝43πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.13．(xx·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .答案172解析 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x2×3；第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x3×4；……第8关收税金：x 8×9＝x72. 14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b xx 是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)． 答案 (1)5040 (2)5kk －2解析 观察知这些三角形数满足a n ＝n n ＋2，n ∈N *，当n ＝5k －1或n ＝5k ，k ∈N*时，对应的三角形数是5的倍数，为数列{b n }中的项，将5k －1和5k 列为一组，所以b xx 是第1008组的后面一项，即b xx 是数列{a n }中的第5×1008＝5040项；b 2k －1是第k 组的前面一项，是数列{a n }中的第5k －1项，即b 2k －1＝a 5k －1＝5kk －2.三、解答题。
近年届高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本文(20
2019届高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三节合情推理与演绎推理A组基础题组1.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（）A。
121 B.123 C。
231 D。
2112。
观察(x2)'=2x，(x4)’=4x3,(cos x）’=—sin x，由归纳推理可得:若定义在R上的函数f（x)满足f（-x）=f(x）,记g(x）为f（x）的导函数,则g（—x）=( )A。
f(x) B.-f（x) C。
g（x) D。
-g（x)3.某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1，2，3,5，则预计第10年树的分枝数为（)A。
21 B。
34 C。
52 D.554。
设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r，则r=,类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R=（)A。
B。
C. D.5。
学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好"。
高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第1讲作业课件理
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解析
5．(2018·洛阳一模)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是 ()
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A．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2017 项和 B．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2018 项和 C．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1009 项和 D．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1010 项和 答案 C
B 组 能力关 1．(2018·广东肇庆一模)图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成 绩茎叶图，第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 A1，A2，…，A14.图 2 是统计 茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输 出的结果是( )
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解析
7．阅读如图的程序框图，若输出的 y＝12，则输入的 x 的值为(
)
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A．－1 B．1 C．1 或 5 D．－1 或 1 答案 B
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答案
解析 这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法
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A．26 B．44 C．68 D．100 答案 B 12/13/2021
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答案
解析 第一次运行，n＝1，a＝n2－2 1＝0，S＝0＋0＝0，不符合 n≥m， 继续运行；第二次运行，n＝2，a＝n22＝2，S＝0＋2＝2，不符合 n≥m，继续 运行；第三次运行，n＝3，a＝n2－2 1＝4，S＝2＋4＝6，不符合 n≥m，继续 运行；第四次运行，n＝4，a＝n22＝8，S＝6＋8＝14，不符合 n≥m，继续运
高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.5数学归纳法课后作业理
高考数学一轮复习第 11 章算法复数推理与证明 11.5 数学 归纳法课后作业理 0521271[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．(2016·安庆高三月考)用数学归纳法证明 2n>n2(n≥5，n∈N*)，第一步应验证( )A．n＝4 B．n＝5 C．n＝6 D．n＝7答案 B解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证 n 取第一个值时命题成立，又 n≥5，故第一步验证 n＝5.故选 B. 2．用数学归纳法证明 12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n2n2＋1 3时，由 n＝k 的假设到证明 n＝k＋1 时，等式左边应添加的式子是( ) A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2D.13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]答案 B 解析 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，左边增加(k＋1)2＋k2.故选 B. 3．(2018·沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被 9 整除”，利用归纳法假设证明 n＝k＋1 时，只需展开( A．(k＋3)3 C．(k＋1)3) B．(k＋2)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A 解析 假设 n＝k 时，原式 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被 9 整除，当 n＝k＋1 时，(k＋1)3 ＋(k＋2)3＋(k＋3)3 为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3 展开，让其出现 k3 即可．故选A. 4．已知 f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数 m，使得对任意 n∈N*，都能使 m 整除 f(n)，则最大的 m 的值为( )A．30 B．26 C．36 D．6答案 C解析 ∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)都能被 36 整除，猜想 f(n)能被 36 整除．证明如下：当 n＝1,2 时，由以上得证．假设当 n＝k(k≥2) 时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9 能被 36 整除，则当 n＝k＋1 时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1 －(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k1＋1)能被 36 整除．∵f(1)不能被大于 36 的数整除，∴所求最大的 m 的值为 36. 5．(2017·泉州模拟)用数学归纳法证明 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记 f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则 f(k＋1)－f(k)等于( )A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k答案 C解析 因为 f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋(3k)＋(3k＋1)，则 f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选C.6．(2018·太原质检)平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为 ( )A．n＋1 n2＋n＋2C. 2B．2n D．n2＋n＋1答案 C解析 1 条直线将平面分成 1＋1 个区域；2 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2)＝4 个区域；3 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2＋3)＝7 个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋nn＋1 2n2＋n＋2 ＝ 2 个区域．故选 C.7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数 1,3,6,10，第 n个三角形数为nn＋1 2＝12n2＋12n.记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分 k边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n,3)＝12n2＋12n；正方形数 N(n,4)＝n2；五边形数 N(n,5)＝32n2－12n；六边形数 N(n,6)＝2n2－n.可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝( )A．500 B．1000 C．1500 D．2000答案 B解析 由已知得，N(n,3)＝12n2＋12n＝3－2 2n2＋4－2 3n，N(n,4)＝n2＝4－2 2n2＋4－2 4n，N(n,5)＝32n2－12n＝5－2 2n2＋4－2 5n，N(n,6)＝2n2－n＝6－2 2n2＋4－2 6n，根据归纳推理可得，N(n，k)＝k－2 2n2＋4－2 kn.所以 N(10,24)＝24－ 2 2×102＋4－224×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选 B. 8．若数列{an}满足 an＋5an＋1＝36n＋18，n∈N*，且 a1＝4，猜想其通项公式为( ) A．3n＋1 B．4n C．5n－1 D．6n－2答案 D2解析 由 a1＝4 求得 a2＝10，a3＝16，经检验 an＝6n－2.故选 D. 二、填空题9．设 Sn＝1＋12＋13＋14＋…＋21n，则 Sn＋1－Sn＝______.1111答案 2n＋1＋2n＋2＋2n＋3＋…＋2n＋2n解析 Sn＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋2n1＋1Sn＋1－Sn＝2n＋1 1＋2n＋1 2＋2n＋1 3＋…＋2n＋1 2n.10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19个蜂巢，按此规律，以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢总数，则用 n 表示的 f(n)＝________.答案 3n2－3n＋1解析 由于 f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推测当 n≥2 时，有 f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以 f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋[f(n－2)－f(n－3)]＋…＋[f(2) －f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又 f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f(n)＝3n2－3n＋1. 11．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算 S1， S2，S3，猜想 Sn＝______.n 答案 n＋1解析 由(S1－1)2＝S21，得 S1＝12；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得 S2＝23；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得 S3＝34.猜想 Sn＝n＋n 1.12．(2018·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋ 43＝102，…，根据上述规律，第 n 个等式为________．答案13＋23＋33＋…＋n3＝nn＋1 223解析 由第一个等式 13＝12，得 13＝(1＋0)2；第二个等式 13＋23＝32，得 13＋23＝(1＋2)2； 第三个等式 13＋23＋33＝62，得 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式 13＋23＋33＋43＝102，得 13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第 n 个等式为 13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝nn＋1 22.三、解答题13．(2017·河南期末)设等差数列{an}的公差 d>0，且 a1>0，记 Tn＝a11a2＋a21a3＋…＋ana1n＋1. (1)用 a1，d 分别表示 T1，T2，T3，并猜想 Tn； (2)用数学归纳法证明你的猜想．解(1)T1＝a11a2＝a11 a1＋d；T2＝a11a2＋a12a3＝1da11－a12＋1da12－a13＝1da11－a13＝a12a3＝a12 a1＋2d；T3＝a11a2＋a12a3＋a13a4＝1da11－a12＋1da12－a13＋1da13－a14＝1da11－a14＝a31a4＝a13 a1＋3d；由此可猜想 Tn＝a1n a1＋nd.(2)证明：①当 n＝1 时，T1＝a11 a1＋d②假设当 n＝k 时(k∈N*)时结论成立，，结论成立，即 Tk＝a1k a1＋kd，则当 n＝k＋1 时，Tk＋1＝Tk＋ak＋11ak＋2k1＝a1 a1＋kd ＋ a1＋kd [a1＋ k＋1 d]＝a1k[a1＋ a1＋kdk＋1 d]＋a1 [a1＋ k＋1 d]＝a1a1＋kd k＋1 a1＋kd [a1＋ k＋1k＋1 d]＝a1[a1＋ k＋1d].即 n＝k＋1 时，结论成立．由①②可知，Tn＝a11 a1＋nd对于一切 n∈N*恒成立．14．(2017·扬州模拟)在数列{an}中，an＝cos3×π2n－2(n∈N*)．(1)试将 an＋1 表示为 an 的函数关系式； (2)若数列{bn}满足 bn＝1－n·2n！(n∈N*)，猜想 an 与 bn 的大小关系，并证明你的结论．解 (1)an＝cos3×π2n－2＝cos3×2π2n－14＝2cos3×π2n－12－1， ∴an＝2a2n＋1－1，∴an＋1＝±an＋2 1，又 n∈N*，n＋1≥2，an＋1>0，∴an＋1＝an＋2 1.(2)当 n＝1 时，a1＝－12，b1＝1－2＝－1，∴a1>b1，当 n＝2 时，a2＝12，b2＝1－12＝12，∴a2＝b2，当 n＝3 时，a3＝ 23，b3＝1－19＝89，∴a3<b3. 猜想：当 n≥3 时，an<bn， 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝3 时，由上知，a3<b3，结论成立． ②假设 n＝k，k≥3，n∈N*时，ak<bk 成立， 即 ak<1－k·2k！，则当 n＝k＋1，ak＋1＝ ak＋2 1<2 2－k·k！2＝1－k·1k！，bk＋1＝1－k＋12 · k＋1！，要证 ak＋1<bk＋1，即证明 1－k·1k！2<1－ k＋114即证明 1－k·k！<1－ k＋1 · k＋1 ！＋2 · k＋1！2，k＋12 · k＋1！2，即证明k·1k！－k＋14 · k＋1！＋即证明 kk－1 2 k＋1 · k＋1！＋k＋1k＋12 · k＋1！2>0，2 · k＋1！2>0，显然成立．∴n＝k＋1 时，结论也成立．综合①②可知：当 n≥3 时，an<bn 成立． 综上可得，当 n＝1 时，a1>b1；当 n＝2 时，a2＝b2； 当 n≥3，n∈N*时，an<bn. 15．(2018·上饶模拟)已知等差数列{an}的公差 d 大于 0，且 a2，a5 是方程 x2－12x＋27 ＝0 的两根，数列{bn}的前 n 项和为 Tn 且 Tn＝1－12bn.5(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，试比较b1n与 Sn＋1 的大小，并说明理由．解 (1)设 an 的首项为 a1， ∵a2，a5 是方程 x2－12x＋27＝0 的两根，∴a2＋a5＝12， a2·a5＝27，解得a1＝1， d＝2，∴an＝2n－1. ∵n＝1 时，b1＝T1＝1－12b1，∴b1＝23.n≥2 时，Tn＝1－12bn①，Tn－1＝1－12bn－1②，①－②得 bn＝13bn－1 数列是等比数列．∴bn＝23·13n－1＝32n.(2)Sn＝1＋2n－1 2n＝n2，Sn＋1＝(n＋1)2，1 以下比较bn与Sn＋1的大小：当 n＝1 时，b11＝32，S2＝4，b11<S2，当 n＝2 时，b12＝92，S3＝9，b12<S3，当 n＝3 时，b13＝227，S4＝16，b13<S4，当 n＝4 时，b14＝821，S5＝25，b14>S5，猜想：n≥4 时，b1n>Sn＋1.下面用数学归纳法证明：①当 n＝4 时，已证．②假设当 n＝k(k∈N*，k≥4)时，b1k>Sk＋1， 即32k>(k＋1)2，那么，n＝k＋1 时，bk1＋1＝3k2＋1＝3·32k>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3 ＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1. 综合①②，当 n≥4 时，b1n>Sn＋1. 16．(2018·合肥模拟)函数 f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1 是过两点6P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标． (1)证明：2≤xn<xn＋1<3； (2)求数列{xn}的通项公式． 解 (1)证明：用数学归纳法证明 2≤xn<xn＋1<3. ①当 n＝1 时，x1＝2，直线 PQ1 的方程为 y－5＝f 22－4－5(x－4)，令 y＝0，解得 x2＝141，所以 2≤x1<x2<3.②假设当 n＝k 时，结论成立，即 2≤xk<xk＋1<3.f 直线 PQk＋1 的方程为 y－5＝xxkk＋＋11－4－5(x－4)，令 y＝0，解得 xk＋2＝32＋＋4xxkk＋＋11.由归纳假设知xk＋2＝3＋4xk＋1 2＋xk＋1＝4－5 2＋xk＋1<4－5 2＋3＝3，xk＋2－xk＋1＝3－xk＋11＋xk＋12＋xk＋1>0，即 xk＋1<xk＋2.所以 2≤xk＋1<xk＋2<3，即当 n＝k＋1 时，结论也成立．由①②知对任意的正整数 n,2≤xn<xn＋1<3.(2)由(1)及题意得 xn＋1＝32＋＋4xxnn.设 bn＝xn－3，则bn1＋1＝b5n＋1，即bn1＋1＋14＝5b1n＋41，所以数列b1n＋14是首项为－34，公比为 5 的等比数列，因此b1n＋14＝－34·5n－1，即 bn＝－ 4 3·5n－1＋1.故数列{xn}的通项公式为 xn＝3－3·5n4－1＋1.7。
高考数学文一轮分层演练：第11章复数、算法、推理与证明章末总结(1)
章末总结B．2D．14Ⅱ，T8，5分)执行如图的程序框图，如果输入的＝－1，则输出的S＝()B．3D．5，12分)如图，四面体是直角三角形，AB＝BD．若，求四面体ABCE与四面体一、选择题1．(选修1-2 P 61A 组T 5(4)改编)i 为虚数单位，则5i （2＋i ）等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：选D ．5i （2＋i ）＝5－1＋2i＝5（－1－2i ）5＝－1－2i ．2．(选修1-2 P 33内文改编)有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为( )A ．3、4、2、1B ．4、2、1、3C ．2、3、1、4D ．1、3、2、4解析：选B ．由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3．3．(选修1-2 P 30练习T 2改编)如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15，2)为( )13 16 16 110 13 110 115 1330 1330 115 121 12 1315 12 121…A ．2942B ．710C ．1724D ．73102解析：选C ．由数阵知A (3，2)＝16＋16＝16＋23×4，A (4，2)＝16＋16＋110＝16＋23×4＋24×5，A (5，2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5＋25×6，…，则A (15，2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝16＋2⎝⎛⎭⎫13－14＋14－15＋…＋115－116＝16＋2⎝⎛⎭⎫13－116 ＝16＋2×1348＝1724，选项C 正确． 4．(必修3 P 34－35案例1改编)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C ．该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90，135＝90×1＋45，90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45，故选C ．二、填空题5．(选修1-2 P 61A 组T 3改编)ABCD 是复平面内的平行四边形，A 、B 、C 三点对应的复数分别为1＋2i ，－i ，2＋i ，O 为复平面原点，则|OD |＝________．解析：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 因为ABCD 是平行四边形， 所以AB →＝DC →，即－i －(1＋2i)＝(2＋i)－(x ＋y i)， 即－1－3i ＝(2－x )＋(1－y )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－11－y ＝－3，解得x ＝3，y ＝4．所以D 点对应的复数为3＋4i ． 所以|OD |＝|3＋4i|＝5， 答案：56．(选修1-2 P 44B 组T 1改编)已知sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，则tan 2α＝________．解析：由sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，可得2sin α＝－cos α，所以tan α＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－122＝－43． 答案：－43三、解答题7．(选修1-2 P 35B 组T 1改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)．计算S 1、S 2、S 3，并猜想S n ．解：n ＝1时，S 1＝a 1＝－23．n ＝2时，S 2＋1S 2＋2＝a 2＝S 2－S 1＝S 2＋23，所以S 2＝－34．n ＝3时，S 3＋1S 3＋2＝a 3＝S 3－S 2＝S 3＋34，所以S 3＝－45，所以猜想S n ＝－n ＋1n ＋2．8．(必修2 P 45探究、P 52B 组T 1(1)改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH．证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，所以BCHE为平行四边形．所以BE∥CH．又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH．同理BG∥平面ACH．又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH．(3)证明：连接FH．因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG．又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD．又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG．同理DF⊥BG．又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG．。
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6．(2018·太原质检)平面内有 n 条直线，最多可将平面
分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为 ( )
A．n＋1
B．2n
n2＋n＋2 C. 2
D．n2＋n＋1
解析 1 条直线将平面分成 1＋1 个区域；2 条直线最
多可将平面分成 1＋(1＋2)＝4 个区域；3 条直线最多可将
平面分成 1＋(1＋2＋3)＝7 个区域；……；n 条直线最多可
5．(2017·泉州模拟)用数学归纳法证明 n＋(n＋1)＋(n＋ 2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记 f(n)＝n＋(n＋1) ＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则 f(k＋1)－f(k)等于( )
A．3k－1 B．3k＋1 Ck＋2)＋…＋(3k－2)，f(k ＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋(3k)＋(3k＋ 1)，则 f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选 C.
课后作业夯关 11.5 数学归纳法
[基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1．(2016·安庆高三月考)用数学归纳法证明 2n>n2(n≥5， n∈N*)，第一步应验证( ) A．n＝4 B．n＝5 C．n＝6 D．n＝7
解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证 n 取第一 个值时命题成立，又 n≥5，故第一步验证 n＝5.故选 B.
8．若数列{an}满足 an＋5an＋1＝36n＋18，n∈N*，且 a1 ＝4，猜想其通项公式为( )
A．3n＋1 B．4n C．5n－1 D．6n－2
解析 由 a1＝4 求得 a2＝10，a3＝16，经检验 an＝6n －2.故选 D.
二、填空题 9．设 Sn＝1＋12＋13＋14＋…＋21n，则 Sn＋1－Sn＝ _2_n_＋1__1_＋_2_n_＋1__2_＋__2_n_＋1__3_＋__…__＋__2_n_＋1_2__n .
将平面分成 1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋nn＋ 2 1＝n2＋2n＋2
个区域．故选 C.
7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形 数．如三角形数 1,3,6,10，第 n 个三角形数为nn2＋1＝12n2 ＋12n.记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：
解析 Sn＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋2n1＋1 Sn＋1－Sn＝2n＋1 1＋2n＋1 2＋2n＋1 3＋…＋2n＋1 2n.
10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢 可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面
图．其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三 个图有 19 个蜂巢，按此规律，以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢 总数，则用 n 表示的 f(n)＝________3_n_2_－__3_n_＋__1________.
解析 由于 f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝ 2×6，
推测当 n≥2 时，有 f(n)－f(n－1)＝6(n－1)， 所以 f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋[f(n－2) －f(n－3)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋ 2＋1]＋1＝3n2－3n＋1. 又 f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f(n)＝3n2－3n＋1.
三角形数 N(n,3)＝12n2＋12n； 正方形数 N(n,4)＝n2； 五边形数 N(n,5)＝32n2－12n；
六边形数 N(n,6)＝2n2－n. 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝( ) A．500 B．1000 C．1500 D．2000
解析 由已知得，N(n,3)＝12n2＋12n＝3－2 2n2＋4－2 3n，
4．已知 f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数 m，使得对任 意 n∈N*，都能使 m 整除 f(n)，则最大的 m 的值为( )
A．30 B．26 C．36 D．6
解 析 ∵ f(1) ＝ 36 ， f(2) ＝ 108＝ 3×36， f(3)＝ 360 ＝ 10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)都能被 36 整除，猜想 f(n)能被 36 整除．证明如下：当 n＝1,2 时，由以上得证．假设当 n＝k(k≥2) 时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9 能被 36 整除，则当 n＝k＋1 时，f(k ＋ 1)－ f(k)＝ (2k＋ 9)·3k＋1－ (2k＋ 7)·3k＝ (6k＋ 27)·3k－ (2k＋ 7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k＋1)能被 36 整 除．∵f(1)不能被大于 36 的数整除，∴所求最大的 m 的值 为 36.
2．用数学归纳法证明 12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－ 1)2＋…＋22＋12＝n2n32＋1时，由 n＝k 的假设到证明 n＝k ＋1 时，等式左边应添加的式子是( )
A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D.13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
解析 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，左边增加(k＋1)2＋k2.故 选 B.
3．(2018·沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋ (n＋2)3(n∈N*)能被 9 整除”，利用归纳法假设证明 n＝k＋1 时，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 解析 假设 n＝k 时，原式 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被 9 整除，当 n＝k＋1 时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 为了能用 上面的归纳假设，只须将(k＋3)3 展开，让其出现 k3 即可．故 选 A.
N(n,4)＝
n2
＝
4－2 2
n2
＋
4－4 2n
，
N(n,5)
＝
3 2
n2
－
1 2n
＝5－2 2
n2
＋
4－2 5n，N(n,6)＝2n2－n＝6－2 2n2＋4－2 6n，根据归纳推理可
得，N(n，k)＝k－2 2n2＋4－2 kn.所以 N(10,24)＝242－2×102＋
4－224×10＝1100－100＝1000，故答案为 1000.选 B.