北京理工大学数学专业数学分析试题MTH17042MTH17169

课程编号：17042 北京理工大学2021-2021 学年第一学期2021级数学专业数学分析Ⅲ阶段测验〔一〕试题()(),,,,,u u x y z v v x y z ==是3中的调和函数，S 是3中任意的分片光滑闭曲面。

求证：SSv u udS vdS nn ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰，其中u n ∂∂和v n∂∂分别表示函数u 和v 沿S外法线方向的方向导数。

’比值判别法，并利用前者证明后者。

3.判断以下级数的敛散性： 〔1〕1n∞=∑〔2〕111nnn ∞=+⋅-〔3〕21ln 1n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 〔4〕221sinsin 1n n n ∞=-+〔5〕n ∞=0,1,2,n u n >=。

又设广义极限ln ln limln ln n n u nL n→∞+=存在。

求证： 当1L <-〔含L =-∞〕时，级数1n n u ∞=∑收敛； 当1L >-〔含L =+∞〕时，级数1n n u ∞=∑发散。

32sin ln n nn n α∞=∑的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中α是实参数。

1nnn a R ∞=∑收敛，其中R>0，求证：对一切(),x R R ∈-，1nnn na x ∞=∑绝对收敛。

,0n n b ∀>，且有极限1lim 10n n n b n p b →∞+⎛⎫-=> ⎪⎝⎭。

求证：数列{}n b 收敛，且lim 0n n b →∞=。

lim n n a A →∞=存在，又设1n n b ∞=∑绝对收敛。

求证：111lim n k n k nn k n a b A b ∞+-→∞===∑∑。

课程编号：17042 北京理工大学2021-2021 学年第一学期2021级数学专业数学分析Ⅲ期中试卷一、〔15分〕〔1〕设数项级数1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑均绝对收敛，问：1n nn a b ∞=∑是否一定收敛？为什么？如果1n n a ∞=∑收敛，1n n b ∞=∑绝对收敛，那么1n n n a b ∞=∑是否一定收敛？为什么？〔2〕设lim 0n n a →∞=，()11n n n a a ∞+=-∑绝对收敛，又设1n n b ∞=∑的n 次局部和序列有界，求证：1n n n a b ∞=∑收敛。

二、〔10分〕设{}n a 单调递减，且,0n n a ∀≥；又设p 是任意固定的正整数，求证：1n n a ∞=∑收敛当且仅当1pn n a ∞=∑收敛。

三、〔15分〕设对每一个自然数n ，函数()n u x 在数集E 内有定义，〔1〕用肯定语气表达函数项级数()1n n u x ∞=∑在数集E 内不满足一致收敛的准那么的严格含义；〔2〕设存在数列{}n a 和{}n b ，满足,n x E ∀∀∈，都有()n n n a u x b ≤≤，且数项级数1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑均收敛，试利用一致收敛的准那么证明函数项级数()1n n u x ∞=∑在数集E 内一致收敛。

四、〔10分〕设2313,1,2,2nn k x n n ==-=，求证：{}n x 收敛。

五、〔15分〕研究函数项级数()11ln nxn nn ∞=-∑的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明： 〔1〕函数项级数()11ln n xn nn∞=-∑的和函数()S x 在其收敛域内连续； 〔2〕函数项级数()11ln nxn nn ∞=-∑在其收敛域内不一致收敛。

六、〔10分〕设()()0,,1,2,n f x x n =∈+∞=。

〔1〕求证：函数序列(){}n f x 在()0,+∞中内闭一致收敛； 〔2〕用两种方法证明(){}n f x 在()0,+∞内不一致收敛。

七、〔15分〕〔1〕求幂级数()()121112n nnn n x -∞=--∑的收敛域及和函数；〔2〕求函数()(ln f x x =+的级数展开式并确定收敛区间。

八、〔10分〕设函数()(),n f x f x 在区间I 内定义()1,2,n =，且n ∀，()n f x 在区间I 内一致连续；又设n →∞时(){}n f x 关于x 在I 内一致收敛于()f x 。

求证：()f x 在区间I 内一致连续，且(){}n f x 在区间I 内等度连续，即0,0εδ∀>∃>，使得,,n x x I '''∀∀∈，只要x x δ'''-<，就有()()n n f x f x ε'''-<。

九、〔10分〕设函数序列(){}n f x 在区间(),a +∞内点态收敛于极限函数()f x ，且n ∀，极限()limn n x f x A →+∞=存在；又设当x →+∞时(){}n f x 等度收敛于{}n A ，即0,0X ε∀>∃>，使得当x X >时，n ∀，都有()n n f x A ε-<，求证：()lim lim n x n f x →+∞→∞及()lim lim n n x f x →∞→+∞都存在，且二者相等。

〔第八题、第九题二题中任选一题〕课程编号：17169 北京理工大学2021-2021学年第一学期2021 级数学及统计学院数学分析Ⅲ期中考题1.〔20分〕讨论以下正项级数的收敛性。

〔1〕21nn n e∞=∑； 〔2〕()()21!2!n n n ∞=∑； 〔3〕1n ∞=∑。

2.〔30分〕判断以下级数是否收敛；假设收敛，是绝对收敛还是条件收敛？〔1〕()1sin 1102np n nx x n n π∞=⎛⎫+<< ⎪⎝⎭∑； 〔2〕()21ln npn n n ∞=-∑。

3.〔15分〕求幂级数()11n n n n x ∞=+∑的收敛半径和收敛域，并求出和函数的表达式。

4.〔15分〕设{}n f 和{}n g 都在区间I 上有界，1,2,n =，并且{}n f 在I 上一致收敛于f ，{}n g 在I 上一致收敛于g 。

证明：{}n n f g 在I 上一致收敛于fg 。

5.〔20分〕设()21cos 1n nxf x n ∞==+∑，证明： 〔1〕f 在其定义域内连续；〔2〕f 在区间()0,2π上可导；〔3〕()20711522F f x dx ππ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭⎰。

课程编号：17042 北京理工大学2021-2021 学年第一学期22021级数学专业数学分析Ⅲ第三次阶段练习一、判别敛散性：〔1〕ln 2ln nn n n n ∞=∑； 〔2〕0sin ln 1x x +∞+⎰； 〔3〕1011cos dx x x ⎰。

二、设{}n a 单调递减，且,0n n a ∀≥，求证：1n n a ∞=∑收敛当且仅当212nn n a ∞=∑收敛。

三、设3414,1,2,3nn k x n n ==-=，求证：{}n x 收敛。

四、〔1〕求函数())ln f x x =的级数展开式并确定收敛区间；〔2〕求幂级数()21111n n n x n ∞+=-+∑的收敛域及和函数。

五、〔1〕证明无穷级数1111122n n n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑收敛，并求其和；〔2〕设()()2220xxt sf x e dt ds -=⎰⎰，求()f x '及()f x 的表达式。

六、设对每一个自然数n ，函数()nu x 在数集E 内有定义，又设3,n x E ∀≥∀∈，都有()()()111sinln ln n n n u x nnn--≤≤+，求证：函数项级数()1n n u x ∞=∑在数集E 内一致收敛。

七、设1nn n a R ∞=∑收敛，其中0R >为定数，求证：〔1〕幂级数1n n n a x ∞=∑在(),R R -内绝对收敛；〔2〕()0,c R ∀∈，幂级数1n n n a x ∞=∑在[],c R -内一致收敛。

八、设有广义积分()20sin p I p x x dx +∞=⎰，问：p 取何值时()I p 绝对收敛？p 取何值时()I p 条件收敛？p 取何值时()I p 发散？ 九、求广义积分()21ln p xJ p dx x+∞=⎰的收敛域I ，并证明：〔1〕函数()J p 在I 内连续；〔2〕广义积分()J p 在I 内不一致收敛。

十、设,0,a b m >∈，用三种方法计算广义积分0sin ax bxe e mxdx x--+∞-⎰。

选作 设()f x 和()g x 在[)0,+∞内连续，又设极限()lim x f x A →+∞=存在，且广义积分()0g x dx +∞⎰绝对收敛，求证：()()()0limTT f x g T x dx A g x dx +∞→+∞-=⎰⎰。

课程编号：17042 北京理工大学2021-2021 学年第一学期2021级数学专业数学分析Ⅲ期末试题B 卷一、〔每题7分，共35分〕〔1〕求幂级数()()2111n n n n x ∞=--∑的收敛域及和函数；〔2〕设()()222sin y y F y yx dx =⎰，求()F y '；〔3〕将()()2ln 423f x x x =--展开成x 的幂级数，确定收敛区间，并求()()50f 的值；〔4〕求证无穷级数()11111211n n n n ∞=⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭∑收敛，并求其和。

〔5〕设()x f x e -=，其中x ππ-<<。

求f 以2π为周期的级数展开式，并求其和函数在[]0,2π内的表达式。

二、〔10分〕设{}n a 单调递减，且,0n n a ∀≥，求证：1n n a ∞=∑收敛当且仅当320n n a ∞+=∑收敛。

三、〔10分〕设11101,,1,2,1pnn p k n p x n k p -=<<=-=-∑，求证：数列{}n x 收敛。

四、〔15分〕〔1〕设(),f x y 在,a x y I ≤<+∞∈内有定义，其中I 是一个区间，且A a ∀>，y I ∀∈，f 关于x 在[],a A 内常义可积，用肯定语气表达广义积分(),af x y dx +∞⎰关于y 在区间I 内不满足一致收敛准那么的严格含义；〔2〕用两种方法计算广义积分230cos x xe e xdx x--+∞-⎰〔证明计算过程的合理性〕。

五、〔15分〕求广义积分()41ln p xJ p dx x +∞=⎰的收敛域I ，并证明：〔1〕函数()J p 在I 内连续；〔2〕广义积分()J p 在I 内不一致收敛。

六、〔7分〕设,0n n a ∀≥，又设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径为1，其和函数为()f x 。